北师大版九年级数学下册课件：2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2和y=
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
图象特点 平移规律
当a>0,开口向上； 当a<0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是（h,k).
左右平移： 括号内左加右减； 上下平移： 括号外上加下减.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
当c > 0 时，向上平移|c|个单位长度得到. 当c < 0 时，向下平移|c|个单位长度得到.
获取新知
1.（1）完成下面问题. ①完成下表，并比较2x2和2(x-1)2的值，它们之间有什么关系？
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … 2x2 … 32 18 8 2 0 2 8 18 32 … 2(x-1)2 … 50 32 18 8 2 0 2 8 18 …
18 16 14 12 10 8
6 4 2
-5 -4-3-2 -1 O1 2 3 4 5 x
函数y=2(x-1)2的图象由y=2x2的图象 向右平移1个单位得到， 它是轴对称图形. 对称轴：直线x=1 顶点坐标：（1，0）
类似地，你能发现二次函数y=2（x+1）2的图像
与二次函数y=2x2的图像有什么关系吗？
1？
平移方法1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
向左平移
y 1 (x 1)2 1
2
1个单位
y 1 x2 1 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3
y 1 x2
-4
2
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
平移方法2
y 1 (x 1)2 2
y=a(x+h)2 y=a(x-h)2
④对于函数y=2(x-1)2和y=2(x+1)2，x取哪些值时， y值随x 值的增大而增大？ x取哪些值时， y值随x值的增大而减小？
函数y=2(x-1)2(y=2x2或y=2(x+1)2)
当x>1
(x>0 或 x>-1)时，
y值随x值的增大而增大;
当x<1
(x<0 或 x<-1)时，
y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上 向下
直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
4. 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶 端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离 为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
第二章 二次函数
2.2 第3课时
二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质
知识回顾
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和
增减变化情况: (1)y=ax2
y
Ox
y
O
x
(2)y=ax2+c
2.二次函数 y=ax2+c（a≠0与y=ax2（a≠0）的图象有何关系？
二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0） 的图象平移得到：
②在下图中作出二次函数y=2(x-1)2的图象
y y=2x2 y=2 (x-1)2
18 16 14 12 10 8
6 4 2
-5 -4-3-2 -1 O1 2 3 4 5 x
③函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？它 是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
y y=2x2 y=2 (x-1)2
随堂演练
1. 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
2.对于抛物线y=-
1 2
(x−2）2+6，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=2；
(0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
课堂小结
y=ax2
平移关系
探索y=a(x-h)2 的图象及性质
描点法 图象的画法
平移法
开口方向 图象的特征 对称轴
顶点坐标
a>0,开口向上 a<0,开口向下
直线x=h
(h,0)
性质
a>0,x<h，y随x的增大而减小； x>h，y随x的增大而增大
③顶点坐标为（2，6）；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
向上 直线x=－3 (－3, 5 ) 向下 直线x=1 ( 1, －2 )
y=a (x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 向上 向下
对称轴 顶点坐标 直线x=h （h，k） 直线x=h （h，k）
例题讲解
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二
次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
y=2x2
y
y=2（x+1）2
18
16
14
12
10
8
6
4
2
y=2 (x-1)2
-5 -4-3-2 -1 O1 2 3 4 5 x
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0). 当向左平移 ︱h︱ 时
y=ax2 当向右平移 ︱h︱ 时
平移规律： 括号内左加右减.
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a = 1 ，
4
∴平移后二次函数关系式为y＝
1 4
(x－3)2.
例2 抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口方向、顶点坐标、 对称轴分别是( D )
A．向下，(1，2)，直线x＝1 B．向上，(－1，2)，直线x＝－1 C．向下，(－1，2)，直线x＝－1 D．向上，(1，2)，直线x＝1
y值随x值的增大而减小.
y=2x2
y
y=2（x+1）2
18
16
14
12
10
8 6
4
2
y=2 (x-1)2
-5 -4-3-2 -1 O1 2 3 4 5 x
基础函数y=2x2的所有与范围和位置有关的性质全 部作对应的平移即可得到平移函数的对应的性质
怎样移动抛物线
y
1 2
x
2
就可以得到抛物线
y 1 (x 1)2 2
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. y
因此可设这段抛物线对应的函数是 3
B(1，3)
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
A 2
∵这段抛物线经过点(3,0)， 1
∴ 0=a(3－1)2＋3.
解得: a=－ 3
O 123 x
4
因此抛物线的解析式为:
y=
－3 4
(x－1)2＋3
向左平移 y 1 x2
1个单位
2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1 x2 2
-5
-6
-7
ห้องสมุดไป่ตู้
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
归纳总结：一般地，平移二次函数y=ax2的图象便 可得到二次函数y=a (x-h)2+k的图象.因此，二次函数 y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对 称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
例3 设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a
上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为( A )
A．y1 ＞y2 ＞y3
B．y1 ＞y3 ＞y2
C．y3＞y2 ＞y1
D．y3＞y1＞y2
分析： ∵函数的关系式是y＝－(x＋1)2＋a， ∴函数图象的对称轴是直线x＝－1， ∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标是(0，y1)， 那么点A′，B，C都在对称轴的右侧． ∵在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小， ∴y1 ＞y2 ＞y3.
北师大版初中数学9年级下册2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质-优课件
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
y2x32 向上
y2x22 向上
y 3x12 向下
4
对称轴 直线x=3 直线x=2 直线x=1
顶点坐标 ( 3, 0 ) (2, 0 ) ( 1, 0)
课堂小结
图象性质
二次函数y=a(x-h)2 的图象及性质
左右平移
对称轴是x=h; 顶点坐标是（h,0) a的符号决定开口方向.
1 2
－2 －4.5 －8 ···
0
1 2
1 2
－2
···
y
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线
开口方向
对称轴
y 1x12 向下
2
y 1 x2 2
向下
y 1x12 向下
2
直线x=-1 直线x=0 直线x=1
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0)
物线的解析式是 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 .
2.二次函数y=2(x___( 32__, 0_)__.
3 2
)2图象的对称轴是直线__x ___32__，顶点是
3 .若（-
13 4
，y1）（-
5 4
，y2）（
1 4
，y3）为二次函数y=(x-2)2图
象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为___y1__＞__y_2 _＞__y_3___.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
导入新课
复习引入
问题1 二次函数 y=ax2+c（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
北师大版九年级数学下册2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 导学案
2.2 二次函数的图象与性质
第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
学习目标:
1．会用描点法画出二次函数与的图象；
2．能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；
3．通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、
分析、总结的能力;
学习重点:
画出形如与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的
开口方向，对称轴，顶点坐标.
学习难点:
理解函数、与及其图象间的相互关系
学习过程:
一、复习引入
提问：
1．什么是二次函数？
2．我们已研究过了什么样的二次函数？
3．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
二、新课
例1 在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象. 由图象思考下列问题：
（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
（4）抛物线与同有什么关系？
继续回答：
①抛物线的形状相同具体是指什么？
②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？
③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？
④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线
呢？
⑤你认为是什么决定了会这样平移？
例2.在同一平面直角坐标系内画出与的图象．
三、本节小结
本节课学习了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。
填写下表：
表一：
表二：。
北师大版九年级数学下册第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件
想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移 后会得到新的抛物线吗？
1 二次函数 y = a(x - h)2 的图象和性质
例1 画出二次函数 y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它
们的开口方向、对称轴和顶点．
解：列表如下：
x
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
2x2
32 18 8 2
yO
x
-4 -2
24
(1) 顶点都是最_高___点，函数都
-2
有最_大___值，都为__y_=__0__；y 1 x 1 2 -4
(2)
y
函数的增减性： 1 x 1 2 当 x＜-1
时，y
2
随
x
y
增大而增大
1 2
x
12
2
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
y 1 x 12
2
当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大 当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小
2(x - 1)2 50 32 18 8
02 20
8 18 32 0 8 18
你能发现 2(x - 1)2 与 2x2 的值有什么关系？
描点、连线，如图所示： 根据图象回答下列问题:
(1) 图象的形状都是 抛物线 ；
(2) 图形的开口方向 向上 ；
(3) 从左到右对称轴分别是都 是 x = 0，x = 1 ；
(4) 从左到右顶点坐标分别是 _(_0_，__0_)_，__(_1_，__0_)___；
y = 2x2
y = 2(x - 1)2
(5) 顶点都是最_低___点，函数都有 y = 2x2 最__小__值，都为__y_=__0__； (6) 函数 y = 2(x - 1)2 的增减性 ：
北师大版数学9年级下册 第2章二次函数y=a(x-h)2和y= a(x-h)2 +k的图象和性质课件
上下 平移
y = ax2
左右 平移
二次项系数a不变.
随堂演练
1. 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C ) A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
2.对于抛物线y=-
1 2
(x−2）2+6，下列结论：
第二章 二次函数
2.2 第3课时
二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识回顾
获取新知
例题讲解 课堂小结
随堂演练
知识回顾 问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
a,c的符号
a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0
a<0,c<0
图象
开口方向
向上
对称轴 顶点坐标
当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0
当x＜h时，y随x的增 当x＞h时，y随x的增 大而减小；x＞h时， 大而减小；x＜h时， y随x的增大而增大. y随x的增大而增大.
例题讲解
例1 若抛物线y＝3(x＋ 2)2的图象上有三个点，A(－3 2 ，y1)， B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为 ___y_2_＜__y_3_＜__y1_____．
解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交 点坐标是(1，0)，
则另一个交点坐标是(5，0)．
4.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
北师大版九年级数学下 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1 教案
2.2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1．掌握二次函数y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2(a ≠0)图象之间的联系；(重点) 2．能灵活运用二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的知识解决简单的问题．(难点) 一、情境导入二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到：当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度． 问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论．二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a ＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 二次函数y ＝a(x －h )2与三角形的综合如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S梯形ABOD －S △ACD －S △BOC＝12(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB －12CD ·AD ＝12(4＋16)×6－12×2×4－12×4×16＝24.方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题【类型五】 二次函数y ＝a(x －h )2的探究性问题某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位得到．(1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象；(2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点为B .①求线段AB 的长及直线AB 的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝174，因此这个C点的坐标为C 4(－2，174)．综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174)． 方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 1．二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 2．二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系3．二次函数y ＝a (x －h )2的图象的应用本节课采用启发式、讨论式结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构. 另外，在教学过程中，采用多媒体辅助教学，直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率.。
北师大版数学九年级下册习题课件2.2二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y=a(x-h)2,y=
7．(3分)(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)都在抛物线y＝－(x＋1)2＋2 上，则下列结论正确的是( A ) A．2>y1>y2 B．2>y2>y1 C．y1>y2>2 D．y2>y1>2 8．(3分)(易错题)对于二次函数y＝4(x－m)2－3，当x≤2时，y随x的增大而
减小，则m的取值范围是___m__≥_2_______．
解：(1)y＝－(x－3)2＋4，画图略 (2)当 x<3 时，y 随 x 的增大而增大
9．(3分)如图所示的是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，则该图象在y轴右侧与x轴的交点的坐标是(1，0)．
14．如图，点A，B的二坐标次分别函为数(0，4y)和＝(3a，x4)2，的抛物图线象y＝a与(x－二m)2次＋n函的顶数点在y线＝段aAB(x上－运动h(抛)2物，线y随顶点一起平移)，与x轴交于
解：(1)将点 A(－2，0)，C(0，94
16a＋c＝0， )代入 y＝a(x－2)2＋c，得4a＋c＝94，
解得a＝－136， c＝3，
∴抛物线的表达式为 y＝－136
(x－2)2＋3，即 y＝－136
x2＋34 x＋94 ，∴顶点 D 的坐标为(2，3)
(2)当 y＝－136 (x－2)2＋3＝0 时，解得 x1＝－2，x2＝6，∴A(－
一、选择题(每小题6分，共12分)
CA．．y开C＝口3．x向2－下y3＝DB3．．x对y2＝－称3(轴x3＋是3直)2线Dx．＝my＝3(x＋3)2
AA．．2－1>3y21>．By2．(64B分．C2．>)7y若2>Dy将1．8抛物线y＝5x2先向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的表
九年级数学北师大版下册第二章2二次函数的图象与性质课时3二次函数y=a(x-h)2的图像与性质
1
2
1
2
分析：二次函数y＝3x2＋1的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x>0时，y随x的增大而增大；
二次函数y=a(x-h)2的图象
2
2
在此坐标系中画出抛物线y=－ x (见图中虚线部分), 类似地，你能发现二次函数y= (x+1)2的图象与二次函数y=
二次函数y＝a(x－h) 的图象和性质 对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：
2
次函数y＝ax2－k 的图象是什么？
D．向下平移2个单位长度
的对称轴是直线x＝－ .
次函数y＝ax2－k 的图象是什么？
知识点2 二次函数y＝a(x-h)2的性质
2
向右平移h个单位(h＞0) y＝a(x－h) 知识点2 二次函数y＝a(x-h)2的性质
解:2 先列表
1)2 与
描点
由图知：对称轴是直线x＝h， 顶点坐标是(h，0).
y
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
y
1 ( x 1)2
2
-6
-7
-8
-9
x=－1 -10 y x=1
1 ( x 1)2 2
新课讲解
练一练
1 抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( B )
顶点坐标是_______,对称轴是_________.
1 2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
观察抛物线y=－ (x+1) ，y=－ (x－1) 与抛物线y= 2 二次函数的图像和性质
1 顶点坐标是(h，0).
北师大版初中数学九年级下册2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1
解析：因为抛物线的顶点在 x 轴上，
C．向左平移 1 个单位 D．向右平
所 以 可 设 该 抛 物 线 的 解 析 式 为 y＝ a(x－ 移 1 个单位
h)2(a≠0)， 而 二 次 函 数 y＝ a(x－ h)2(a≠0)
解析：抛物线 y＝－2x2 的顶点坐标是
1
1
与 y＝－ x2 的图象相同，所以 a＝－ ，而
与性质
用代入求值方法，也可以利用二次函数的
【类型一】 二次函数 y＝a(x－h)2 的 增减性解决．
图象
变式训练：见《学练优》本课时练习
顶点为(－2，0)，开口方向、形 “课后巩固提升” 第 4 题
1 状与函数 y＝－ x2 的图象相同的Fra bibliotek物线的2
【类型三】 二次函数 y＝a(x－h)2 的 图象与 y＝ax2 的图象的关系
2
2
(0，0)，抛物线 y＝－2(x＋1)2 的顶点坐标 是(－1，0)．则由二次函数 y＝－2x2 的图
抛物线的顶点为(－2，0)，所以 h＝2，把 a 象向左平移 1 个单位即可得到二次函数 y＝
1
1
＝－ ，h＝2 代入 y＝a(x－h)2 得 y＝－ (x
2
2
－2(x＋1)2 的图象．故选 C. 方法总结：解决本题要熟练掌握二次
性质
若抛物线 y＝3(x＋ 2)2 的图象上
一、情境导入
的 三 个 点 ， A(－ 3 2， y1)， B(－ 1， y2)， C(0， y3)， 则 y1， y2， y3 的 大 小 关 系 为 ________________．
二次函数 y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以
＋2)2.故选 C.
函数的平移规律．
【北师大版】2019年春九年级数学下册优秀教案2.2第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质2
?
1
(函数 y＝－ 13(x ＋ 2)2 的图象可以看作是将函数
y ＝－ 1 x 2 的图象向左平移 2 个单位得到的。 ) 3
问题 8： 你能说出函数
y＝－
1 3(x
＋
2)2
图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
?
(函数
1 y＝－ 3(x
十
2)2 的图象开口向下，对称轴是直线
x＝－ 2，顶点坐标是 (－ 2， 0)) 。
2．你能说出
六、作业
1．习题
2
3
4
5
3．教师巡视、指导。
问题 3：现在你能回答前面提出的问题吗 ?
2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：
函数 y＝ 2(x－ 1)2 与 y＝ 2x2 的图象、
开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数
y＝ 2(x 一 1)2 的图象可以看作是函数 y＝ 2x2 的图象向右平移 1
2.2 二次函数的图象与性质
第 3 课时 二次函数 y=a(x-h)2 的图象与性质
教学目标 ：
1．使学生能利用描点法画出二次函数
y＝ a(+h) 2 的图象。
2．让学生经历二次函数
2
y＝ a(x+h)
性质探究的过程，
理解函数
y ＝ a(x+h) 2 的性质，理解二次函数
的 图象与二次函数 y＝ ax2 的图象的关系。
教学要点
让学生讨论、交流，举手发言，达成共识： 当 x＜－ 1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x＞－ 1 时， 函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x＝一 1 时，函数取得最小值，最小值 y＝ 0。
问题 7： 在同一直角坐标系中，函数
【北师版九年级数学下册教案】2.2第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质2
2.2二次函数的图象与性质第 3 课时二次函数 y=a(x-h)2的图象与性质教课目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝ a(+h) 2的图象。
2．让学生经历二次函数 y＝ a(x+h) 2性质研究的过程，理解函数y＝ a(x+h) 2的性质，理解二次函数 y＝ a(x+h) 2的图象与二次函数 y＝ax2的图象的关系。
重点难点：重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x+h) 2的图象，理解二次函数y＝a(x+h) 2的性质，理解二次函数 y＝ a(+h) 2的图象与二次函数 y＝ ax2的图象的关系是教课的重点。
难点：理解二次函数 y＝a(x+h) 2的性质，理解二次函数y＝ a(x+h) 2的图象与二次函数 y＝ ax2的图象的互相关系是教课的难点。
教课过程：一、提出问题1．在同向来角坐标系内，画出二次函数121x2y＝－ x ， y＝－2－ 1 的图象，并回答：2(1)两条抛物线的地址关系、对称轴、张口方向和极点坐标。
(2)说出它们所拥有的公共性质。
2．二次函数y＝ 2(x －1)2的图象与二次函数y＝ 2x2的图象的张口方向、对称轴以及极点坐标同样吗 ?这两个函数的图象之间有什么关系?二、解析问题，解决问题问题 1：你将用什么方法来研究上边提出的问题?(画出二次函数 y＝2(x －1)2和二次函数 y＝2x2的图象，并加以观察 )问题 2：你能在同向来角坐标系中，画出二次函数y＝ 2x 2与 y＝2(x － 1)2的图象吗 ?2．让学生在直角坐标系中画出图来：3．教师巡视、指导。
问题 3：此刻你能回答前方提出的问题吗?2．让学生分组谈论，交流合作，各组选派代表发布建议，达成共识：2函数 y＝ 2(x－ 1)与 y＝ 2x2的图象、张口方向同样、对称轴和极点坐标不一样；函数y＝ 2(x一 1)2的图象可以看作是函数 y＝ 2x2的图象向右平移 1 个单位获取的，它的对称轴是直线x＝ 1，极点坐标是(1， 0)。