质点动力学.
质点动力学
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
13
aaxy
x a 2 cost y b 2 sint
2x 2 y
即
a axi ay j 2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m 2x m 2 y
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
d v v d v , 再分离变量积分。 dt ds
16
[例3] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
F F0 cos t ，其中 F0， 均是常数，初始时 x0 0，v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
再积分一次
19
代入初始条件得 :
c1 v0 cos0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
则运动方程为:
则轨迹方程为:
xv0tcos0,yv0tsin0
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值，得： d y dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
即 F Fxi Fy j m 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
14
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
质点动力学教案
量子质点动力学中，波函数是描述粒子状态的基本工具， 通过薛定谔方程描述粒子随时间的演化。
量子质点动力学对于理解量子计算、量子通信和量子传 感等领域具有重要意义。
质点动力学的其他重要理论
哈密顿力学
哈密顿力学是经典质点动力学的 一个重要分支，它通过引入广义 坐标和广义动量，将动力学问题 转化为哈密顿方程的求解问题。
质点动力学教案
• 质点动力学的定义与基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 质点动力学的应用实例 • 质点动力学的扩展与深化
01
质点动力学的定义与基本概念
质点的定义与特性
总结词
质点是一个理想化的物理模型，用于描述具有质量的点状物体在空间中的运动。质点不具有大小和形状，只具有 质量、位置和运动状态等属性。
VS
详细描述
自由落体运动是质点动力学中最简单的一 种运动形式，其基本特点是初速度为零， 仅受重力作用。在自由落体运动中，物体 的加速度等于地球的重力加速度，方向竖 直向下。自由落体运动的公式包括位移公 式、速度公式和时间公式等，这些公式在 解决实际问题中具有广泛的应用。
抛体运动
总结词
抛体运动是质点在重力作用下沿抛物线轨迹 的运动，其加速度与质量有关，方向时刻改 变。
描述质点相对于参照物作加速运动的 状态，其加速度保持不变。
相对匀速运动
描述质点相对于参照物作匀速运动的 状态，其速度和方向均保持不变。
03
质点的动力学方程
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态变化与作用力之间关系的定律。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体运动的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的 质量成反比。公式表示为F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示 物体的加速度。
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。
本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。
2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。
2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。
3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。
4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。
4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。
5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。
5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。
6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。
6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。
7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。
7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。
8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结基本概念：质点：具有质量但没有体积和形状的物体模型。
力：质点动力学研究的核心内容，包括恒力、变力和约束力。
运动方程：描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
动量：描述质点运动状态的重要物理量，等于质点的质量乘以速度。
动能：描述质点运动状态的另一个重要物理量，等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
势能：描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
角动量和角动量定理：与质点的旋转运动相关的物理量和定理。
基本理论：牛顿运动定律：描述了质点在作用力作用下运动的规律，即F=ma，其中F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
动量定理：通过动量的概念揭示了力与运动之间的内在联系，即合外力的冲量等于物体动量的变化量，表达式为Ft=mV-mv。
动能定理：引入动能的概念，建立了力学与能量之间的关系，即合外力做的功等于物体的动能的改变量，表达式为W=1/2mV^2-1/2mv^2。
分析方法：矢量方法：利用矢量运算符对问题进行矢量分析。
微分方程方法：将运动方程化为微分方程，然后求解微分方程获得运动规律。
能量方法：利用能量守恒定律等能量原理分析运动问题。
实际应用：军事方面：应用在导弹、卫星、航天器和飞机等领域，研究其受力情况和运动规律，从而提高军事制式的效率和效果。
经济方面：应用在金融市场和交通运输领域，分析市场变化和流动性，以及货运运输的效益和优化策略。
社会方面：研究城市交通拥堵问题、人口迁移以及城市规律，以提高城市的运作效率和质量。
总的来说，质点动力学涉及到质点的运动规律、动量、动能、势能等基本物理量的研究，以及相关的理论和实际应用。
通过学习和掌握质点动力学的知识，可以更好地理解物体在外力作用下的运动规律，以及如何利用这些规律解决实际问题。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
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第七章质点动力学静力学研究了作用于物体上力系的简化和平衡条件。
运动学从几何方面分析了物体在非平衡力系作用下的运动规律，但没有涉及运动和作用力之间的关系。
静力学和运动学所研究的内容相互独立，只是物体机械运动的一种特殊情况。
动力学则对物体的机械运动进行全面地分析，研究作用于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。
动力学以牛顿定律为基础，属于经典力学。
实践证明经典力学适用范围在两方面受到限制，一是研究的物体运动的速度远小于光速(3×105 km /s)，二是研究的运动对象不能太小，系统作用量(能量⨯时间)远大于普朗克常数(6.626⨯10-34J⋅s)。
在通常的工程问题中，遇到的物体大都是宏观物体，而且其运动的速度也远小于光速。
有关的力学问题用经典力学的理论分析和解决已足够精确。
动力学中研究的物体模型分为质点和质点系。
质点是具有一定质量但几何尺寸大小可以忽略的物体。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。
有限或无限个有某种联系的质点所组成的系统称为质点系。
它包括了刚体、固体、流体以及由几个物体组成的机构。
动力学可分为质点动力学和质点系动力学，而前者是后者的基础。
本章首先根据动力学基本定律建立质点动力学模型，然后分析和求解一个质点的动力学问题，最后讨论在非惯性系中质点的运动。
§7.1 质点运动的动力学建模1 动力学基本定律质点动力学的基础是牛顿三定律，这些定律是牛顿在总结了前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的。
这三个定律描述了动力学的最基本的规律，是经典力学的核心。
第一定律：不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。
这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态的特性，物体的这种保持运动状态不变性质称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，所以又成为惯性定律。
第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即m(7.1.1)a=F上述方程建立了质点的加速度a、质量m与作用力F之间的关系，称为质点动力学的基本方程。
若质点受到多个力作用时，则力F应为此汇交力系的合力。
第二定律表明了质点运动的加速度与其所受力之间的瞬时关系，同时说明加速度矢量不仅取决于作用力矢量，而且加速度的大小与质点的质量成正比。
这说明支点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。
因此，质量是质点惯性的度量。
在地球表面，任何物体都受到重力的作用。
在重力的作用下，物体的加速度用g表示，称为重力加速度。
设物体重量为P ，质量为m ，则根据式（7.1.1）有g P m = 或 gP m =(7.1.2)应该注意，虽然物体的质量和重量存在着上述关系，但是它们的意义却有本质的区别。
在经典力学中，作为物体惯性的度量，质量是常量，而重量是物体所受重力的大小，由于地球表面各处的重力加速度的数值略有不同，因此物体的重量在地面各处也有所不同，在工程实际计算中，一般取g = 9.80 m / s 2。
在国际单位制（SI ）中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取为m （米）、kg （千克）和s （秒）；力的单位是导出单位。
质量为1kg 的质点，获得1 m / s 2的加速度时，作用于该质点的力为1 N （牛顿），即1 N = 1kg ×1 m / s 2。
第三定律：两个物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
这一定律在静力学中曾作为公里叙述过，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。
在动力学中，第三定律仍然是分析两个物体相互作用关系的依据。
必须指出，质点动力学的三个基本定律是人们在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，并且被实践证明在一定的范围内适用。
第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系，这就是惯性参考系。
有了第一定律作为基础，才能进一步谈及第二定律。
我们在讲述运动学时，可以选择任意的参考系，完全取决于求解问题的方便。
但是在动力学中，因为要用到牛顿定律，必须严格区分惯性参考系和非惯性参考系。
只有对于惯性参考系，式（7.1.1）才成立。
对于非惯性系，不能简单的运用方程（7.1.1），详细讨论见本章§7.3节。
综上所述，惯性参考系就是不受外力作用的质点在其中保持静止或匀速直线运动的参考系。
在一般的实际工程问题中，把固定在地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性系，可以得到相当精确的结果。
如果物体运动的尺度很大，所研究的问题精度要就又很高，比如人造卫星的运动轨道，那末地球自转的影响就必须考虑，应该取地心系作为惯性参考系。
在进一步，研究天体的运动时，地心运动的影响也不可忽略，必须取日心系作为惯性参考系。
在本书中，如无特殊说明，我们均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。
2 质点运动微分方程质点动力学第二定律，建立了质点的加速度与作用力之间关系的方程式，是质点动力学的基本模型。
当质点受到n 个力F i (i=1,2,…,n )作用时，式（7.1.1）应写为∑==ni i m 1F a(7.1.3)或∑===ni i m t m 122d d F r r(7.1.4)其中r 为质点矢径，上标“⋅⋅”表示对时间的二阶导数，以后将在动力学中使用，不另行说明。
式（7.1.4）是矢量形式的微分方程，也称为质点动力学基本方程。
在分析和计算实际问题时，可根据不同的坐标系将基本方程表示为相应形式的微分方程组，以便应用。
(1) 直角坐标形式的质点运动微分方程设矢径r 在直角坐标轴上的投影分别为x , y , z ，力F i (i = 1, 2,…, n )在坐标轴上的投影分别为F xi ，F yi ，F zi ，则基本方程（7.1.4）在直角坐标轴上的投影形式为∑∑∑======ni zin i yi n i xi F t z m F t y m F t x m 122122122d d d d d d ，，(7.1.5)(2) 自然坐标形式的质点运动微分方程如果质点M 的运动轨迹已知，则在质点上建立其运动轨迹的局部自然坐标系M τnb ，如图7-1所示。
设s 为质点沿已知轨迹的弧坐标，并将基本方程（7.1.4）投影到自然轴系上，得∑∑∑======n i i n i i n i i F F v m F t s m 1b 1n 21τ220,,d d ρ (7.1.6)式中F τ，F n 和F b 分别是作用于质点的各力F i 在切线、主法线和副法线上的投影；ρ为运动轨迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。
式（7.1.5）和（7.1.6）是质点运动微分方程两种常用的投影形式。
§7.2 质点运动的动力学分析1 质点动力学的两类基本问题质点动力学问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类是已知作用于质点的力，求质点的运动。
这两类问题构成了质点动力学的两类基本问题。
求解质点动力学第一类基本问题比较简单，因为已知质点的运动方程，所以只需求两次导数得到质点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。
求解质点动力学第二类基本问题相对比较复杂。
因为求解质点的运动，一般包括质点的速度和质点的运动方程。
在数学上归结为求解微分方程的定解问题。
在用积分方法求解微分方程时应注意根据已知的初始条件确定积分常数。
因此，求解第二类基本问题时，除了要知道作用于质点上的力，还应知道运动的初始条件。
此外，有些质点动力学问题是第一类和第二类问题的综合。
一般的解题步骤可归纳如下：(1) 根据题意选取某质点作为研究对象；(2) 分析作用在质点上的主动力和约束反力；(3) 根据质点的运动特征，建立适当的坐标系。
如果需要建立运动微分方程，应对质点的一般位置做出运动分析；(4) 利用动力学关系进行求解。
例7.2-1：质点M 在固定平面Oxy 内运动，如图所示。
已知质点的质量为m ，运动方程为例7.2-1图kt b y kt a x sin ,cos ==式中a , b , k 均为常量。
求作用于质点M 的力F 。
解：本例题属于第一类问题。
由运动方程求导可得到质点的加速度在固定坐标轴x , y 上的投影分量，即y k kt b k ya x k kt a k x a y x 2222sin ,cos -=-==-=-== (a) 代入到方程（7.1.5）中得y mk F x mk F y x 22,-=-=(b)于是力可表示成r j i j i F 22)(mk y x mk F F y x -=+-=+=(c)可见作用力F 与质点M 的矢径r 方向相反，恒指向固定点O 。
这种作用线恒通过固定点的力称为有心力，这个固定点称为力心。
例7.2-2：质量为m 的质点在有阻尼的介质（如空气、水或油等）中无初速地自由下落。
已知阻力R 的大小与质点下落的速度成正比，比例系数为c ，求质点的运动规律。
解：本例题属于第二类问题。
质点受到重力m g 和阻力R 的作用。
由于质点做一维运动，可建立一维坐标Ox ，坐标原点取为质点的下落点，x 轴竖直向下，那末m g = mg i , R =i xc -，其中负号表示阻力与速度反向。
于是，质点的运动微分方程是x c mg xm -= (a)初始条件是0)0(,0)0(==xx (b)令v * = mg /c ，将(a)式写成⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*v x g t x 1d d (c)分离变量x和t ，并求积分，得⎰⎰=-t vt g v x x00*d /1d (d)设x= v < v *，积分后得gt v x v -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-* 1ln *(e)从上式将x解出得()*/*1v gt e v x--= (f)从式(f)可以看出，质点初始时速度为零，以后越来越大，最后当t 趋于无穷时，速度x趋于v *，所以v *称为极限速度。
另外，在得出式(e)时我们曾假定x< v *，这个假定是成立的，所以得到的解有效。
这个解说明质点在下落的过程中，开始时重力大于阻力，因此质点是加速的，随着速度曾大阻力也曾大，加速度就减小了。
因为重力不变，最后阻力实际上与重力相等，质点就不再加速了，几乎以极限速度等速下降。
将关系式(f)进一步进行积分，求得质点的运动方程()*/2**1)(v gt e gv t v x ---=(g)为了便于分析，将式(g)写作量纲一变量的形式()τττ/*1t e t v x ---= (h)其中c m g v //*==τ(i)当t 很小(t <<τ)时，将式(h)右端按变量t /τ展成幂级数，得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=332*O 21τττt t v x (j)略去高阶小量，并注意到式(i)，得到2/2gt x ≈(k)式(k)表明质点近似作无阻尼的自由落体运动。