质点动力学.
质点动力学
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
13
aaxy
x a 2 cost y b 2 sint
2x 2 y
即
a axi ay j 2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m 2x m 2 y
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
d v v d v , 再分离变量积分。 dt ds
16
[例3] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
F F0 cos t ，其中 F0， 均是常数，初始时 x0 0，v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
再积分一次
19
代入初始条件得 :
c1 v0 cos0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
则运动方程为:
则轨迹方程为:
xv0tcos0,yv0tsin0
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值，得： d y dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
即 F Fxi Fy j m 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
14
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
质点动力学
质点动力学
t t0
Fi
dt
n
mi vi
n
mi vi0
i 1
i 1
其分量式： t t0
Fixdt
mivix
mi
vi
0
x
t t0
Fiydt
miviy
mi
vi
0
y
t t0
Fizdt
miviz
mivi0 z
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于 在该方向上质点系动量分量的增量。
1）动量定理说明，质点动量的改变是由外力和 外力作用时间两个因素，即由冲量决定的。
2）冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与 动量增量的方向相同。
质点动力学
3） 动量定理 P 是矢量式，其直角坐标
的分量式为：
I Ixi Iy j Izk
I x
t2 t1
Fx
dt
mv2 x
mv1 x
2）若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量 为 0，则在该方向上动量守恒。
ΣFix 0 , ΣFiy 0 , ΣFiz 0 ,
px mi vix C x p y mi viy C y pz mi viz C z
质点动力学
3）自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系 统的内力 >> 外力，可近似认为动量守恒。在碰 撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中， 往往可忽略外力。
1、恒A 力F直c线os运 动| 的rr |功：F
Δr
r
r
F
F
θ
位移无限小时：dA
r F
drr
Δr
dA F cos drv F cosds = Fτ ds
笫二章质点动力学
F
13
四、力的分类
在目前的宇宙中，存在着四类基本的相互作用，所有的 运动现象的原因都逃不出这四类基本的力,各式各样的力只不 过是这四类基本力在不同情况下的不同表现.
四种力：万有引力，电磁力，强力和弱力
万有引力 电 磁 力
强力
弱力
适用范围 m
相互作用举 例
长程力
长程力
1015
1016
恒星结合在一 电子和原子核 质子和中子结 表征核子
起形成银河系 结合形成原子 合形成原子核 衰变的力
相对强度
1039
102
1
105
14
㈣ 牛顿运动定律应用
一、动力学的典型问题可归结为两类：
笫一类问题：己知作用于物体（质点）上的力，由力 学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态.
笫二类问题：己知物体的运动情况或平衡状态，由 力学规律来推究作用于物体上各种力.
d 2
d 2
,
cos
d 2
1
整理以上方程可得：
dT N
1 dTd Td N
2
18
TA TB
dT T
0d
ln TA TB
TB TAe
讨论： 如果 0.25
则： 时， TB 0.46TA
2时， TB 0.21TA
10时， TB 0.00039TA
19
例题2－2 从实验知道,当物体速度不大时,可认为空 气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运动 的物体,其速度将如何变化？
一、万有引力与重力
F
G
m1m2 r2
mr
1
m
2
重力:地球对表面物体的 万有引力mg
g
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第七章质点动力学静力学研究了作用于物体上力系的简化和平衡条件。
运动学从几何方面分析了物体在非平衡力系作用下的运动规律，但没有涉及运动和作用力之间的关系。
静力学和运动学所研究的内容相互独立，只是物体机械运动的一种特殊情况。
动力学则对物体的机械运动进行全面地分析，研究作用于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。
动力学以牛顿定律为基础，属于经典力学。
实践证明经典力学适用范围在两方面受到限制，一是研究的物体运动的速度远小于光速(3 x 105 km /s)，二是研究的运动对象不能太小，系统作用量(能量时间)远大于普朗克常数(6.626 10-34Js)。
在通常的工程问题中，遇到的物体大都是宏观物体，而且其运动的速度也远小于光速。
有关的力学问题用经典力学的理论分析和解决已足够精确。
动力学中研究的物体模型分为质点和质点系。
质点是具有一定质量但几何尺寸大小可以忽略的物体。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。
有限或无限个有某种联系的质点所组成的系统称为质点系。
它包括了刚体、固体、流体以及由几个物体组成的机构。
动力学可分为质点动力学和质点系动力学，而前者是后者的基础。
本章首先根据动力学基本定律建立质点动力学模型，然后分析和求解一个质点的动力学问题，最后讨论在非惯性系中质点的运动。
§ 7.1质点运动的动力学建模1动力学基本定律质点动力学的基础是牛顿三定律，这些定律是牛顿在总结了前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的。
这三个定律描述了动力学的最基本的规律，是经典力学的核心。
第一定律：不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。
这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态的特性，物体的这种保持运动状态不变性质称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，所以又成为惯性定律。
第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即m a = F (7.1.1) 上述方程建立了质点的加速度a、质量m与作用力F之间的关系，称为质点动力学的基本方程。
若质点受到多个力作用时，则力F应为此汇交力系的合力。
第二定律表明了质点运动的加速度与其所受力之间的瞬时关系，同时说明加速度矢量不仅取决于作用力矢量，而且加速度的大小与质点的质量成正比。
这说明支点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。
因此，质量是质点惯性的度量。
在地球表面，任何物体都受到重力的作用。
在重力的作用下，物体的加速度用g表示,(7.1.2)应该注意，虽然物体的质量和重量存在着上述关系，但是它们的意义却有本质的区别。
在经典力学中，作为物体惯性的度量，质量是常量，而重量是物体所受重力的大小，由于地球表面各处的重力加速度的数值略有不同，因此物体的重量在地面各处也有所不同，在工程实际计算中，一般取 g = 9.80 m / s2。
在国际单位制（SI）中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取为m （米）、kg （千克）和s （秒）;力的单位是导出单位。
质量为1kg的质点，获得1 m / s2的加速度时，作用于2 该质点的力为 1 N （牛顿），即卩1 N = 1kg X 1 m / s。
第三定律：两个物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
这一定律在静力学中曾作为公里叙述过，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。
在动力学中，第三定律仍然是分析两个物体相互作用关系的依据。
必须指出，质点动力学的三个基本定律是人们在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，并且被实践证明在一定的范围内适用。
第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系，这就是惯性参考系。
有了第一定律作为基础，才能进一步谈及第二定律。
我们在讲述运动学时，可以选择任意的参考系，完全取决于求解问题的方便。
但是在动力学中，因为要用到牛顿定律，必须严格区分惯性参考系和非惯性参考系。
只有对于惯性参考系，式（7.1.1）才成立。
对于非惯性系，不能简单的运用方程（7.1.1），详细讨论见本章§ 7.3节。
综上所述，惯性参考系就是不受外力作用的质点在其中保持静止或匀速直线运动的参考系。
在一般的实际工程问题中，把固定在地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性系，可以得到相当精确的结果。
如果物体运动的尺度很大，所研究的问题精度要就又很高，比如人造卫星的运动轨道，那末地球自转的影响就必须考虑，应该取地心系作为惯性参考系。
在进一步，研究天体的运动时，地心运动的影响也不可忽略，必须取日心系作为惯性参考系。
在本书中，如无特殊说明，我们均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。
2质点运动微分方程质点动力学第二定律，建立了质点的加速度与作用力之间关系的方程式，是质点动力学的基本模型。
当质点受到n个力F i（i= 1,2,…,n）作用时，式（7.1.1）应写为nm a 八F ii =1(7.1.3)d2r dt2n二m r 八F ii 1(7.1.4)其中r 为质点矢径，上标“ •”表示对时间的二阶导数，以后将在动力学中使用，不另行说明。
式（7.1.4）是矢量形式的微分方程，也称为质点动力学基本方程。
在分析和计算实际问 题时，可根据不同的坐标系将基本方程表示为相应形式的微分方程组，以便应用。
（1）直角坐标形式的质点运动微分方程 设矢径r 在直角坐标轴上的投影分别为x, y, z,力F i （i = 1,2,…，n ）在坐标轴上的投影分别为F xi , F yi , F zi ,则基本方程（7.1.4）在直角坐标轴上的投影形式为（2）自然坐标形式的质点运动微分方程如果质点M 的运动轨迹已知，则在质点上建立其运动轨迹的局部自然坐标系 M.nb,如图7-1所示。
设s 为质点沿已知轨迹的弧坐标，并将基本方程（7.1.4）投影到自然轴系上，得n 2 n n二' F T , m v F ni , 0 = 'F bii 1■' i 1i A式中F , F n 和F b 分别是作用于质点的各力 F i 在切线、主法线和副法线上的投影； 二为运动轨迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。
式（7.1.5 ）和（7.1.6）是质点运动微分方程两种常用的投影形式。
§ 7・2质点运动的动力学分析1质点动力学的两类基本问题质点动力学问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类是已 知作用于质点的力，求质点的运动。
这两类问题构成了质点动力学的两类基本问题。
求解质 点动力学第一类基本问题比较简单，因为已知质点的运动方程，所以只需求两次导数得到质 点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。
求解质点动力学第二 类基本问题相对比较复杂。
因为求解质点的运动，一般包括质点的速度和质点的运动方程。
在数学上归结为求解微分方程的定解问题。
在用积分方法求解微分方程时应注意根据已知的 初始条件确定积分常数。
因此，求解第二类基本问题时，除了要知道作用于质点上的力，还 应知道运动的初始条件。
此外，有些质点动力学问题是 第一类和第二类问题的综合。
一般的解题步骤可归纳如下：（1）根据题意选取某质点作为研究对象；（2）分析作用在质点上的主动力和 约束反力；（3）根据质点的运动特征，建立适当的坐标 系。
如果需要建立运动微分方程，应对质点的一般位置 做出运动分析；（4）利用动力学关系进行求解。
例7.2-1 :质点M 在固定平面 Oxy 内运动，如图所 示。
已知质点的质量为m,运动方程为d 2x dt 2n八 F xi ，i 1m 写dt 2 n八 F yii 4d 2 z'm TFn八F zi i =1(7.1.5)d 2 s(7.1.6)例7.2-1图x = acoskt, y = bsin kt式中a, b, k均为常量。
求作用于质点 M的力F。
解：本例题属于第一类问题。
由运动方程求导可得到质点的加速度在固定坐标轴投影分量，即x, y上的… 2 2 … 2 2 a x= x - -k acoskt - -k x,a y= y - -k bsin kt - -k y (a)代入到方程(7.1.5)中得2 2F x = -mk x, F y= -mk y (b) 于疋力可表示成2 2F = F x i F y j 二-mk (x i y j) = —mk r(c)可见作用力F与质点M的矢径r方向相反，恒指向固定点 0。
这种作用线恒通过固定点的力称为有心力，这个固定点称为力心。
例7.2-2:质量为m的质点在有阻尼的介质(如空气、水或油等)中无初速地自由下落。
已知阻力R的大小与质点下落的速度成正比，比例系数为c,求质点的运动规律。
解：本例题属于第二类问题。
质点受到重力m g和阻力R的作用。
由于质点做一维运动，可建立一维坐标 Ox，坐标原点取为质点的下落点，x轴竖直向下，那末 m g = mg i, R =-cx i，其中负号表示阻力与速度反向。
于是，质点的运动微分方程是mx = mg - cx初始条件是x(0) =0, x(0)=0 令v = mg/c，将(a)式写成分离变量x和t，并求积分，得(b)dxdt=g i (c)v dx01 -x/v*t二0gdt (d)设x= v < v*，积分后得* xv In 1 _F = _gtI V丿从上式将x解出得(e)(f)从式(f)可以看出，质点初始时速度为零，以后越来越大，最后当t趋于无穷时，速度x趋于v *，所以v *称为极限速度。
另外，在得出式(e)时我们曾假定x < V *，这个假定是成立的，所 以得到的解有效。
这个解说明质点在下落的过程中，开始时重力大于阻力，因此质点是加速 的，随着速度曾大阻力也曾大，加速度就减小了。
因为重力不变，最后阻力实际上与重力相 等，质点就不再加速了，几乎以极限速度等速下降。
将关系式(f)进一步进行积分，求得质点的运动方程(g)为了便于分析，将式(g)写作量纲一变量的形式x t t/- 1 -ev其中*T=v /g =m/c当t 很小(t << )时，将式(h)右端按变量t /展成幕级数，得到(j)略去高阶小量，并注意到式 (i)，得到x > gt 2/2式(k)表明质点近似作无阻尼的自由落体运动。
当t 很大(t >> )时，式(h)可写成*X ： V (t - .)式(I)表明质点几乎作匀速直线运动， 速度为v *。
这和前面讨论的结果完全吻合。
需要指出的是,由式(i)定义的 称为特征时间。
通过这个例子可以看出，要解决一个力学问题，必须在解题的全过程中结合物理意义及 时分析和讨论。