球面调和函数
基于球面调和函数的人脸识别
对畸变不变性的物体识别提 出了动态链接模型， 用稀疏图形来描述物体 ， 其顶点用局部能量谱的多尺度描
述来 标记 ， 边用 几何 距离 来标 记 ， 并且 它表 示顶 点之 间 拓 扑连 接 关 系． 后 应 用 塑性 图形 匹配 技 术 来 寻找 然
最近 的 已知 图形． ３ 基 于概 率模 型 的方 法 ， 隐 马 尔 可夫 模 型 ， 本 作 为 信号 的一 种 统计 模 型 在语 音 信 （） 如 原
号处 理领 域得 到 了广泛 的应 用 ； ａ ｒ 等 人 研究 了采 用 ＨＭＭ 进行 人 脸 识别 取 得 了很 好 结果 ． ４ 基 于 Ｓ ｍａ ａ ｉ （） 外貌 的人 脸识 别方 法． 方法 所得 到 的识别 特征 是 由 图像本 身 的灰度 分布 所决 定 的 ， 描述 了图像 的 内在 此 它 消息 ， 而这 种 内在 消息对 增强 图像 的识 别能 力是 非常 重要 ． 常 把一 幅大小 为 ｍ ｘｈ的人脸 图像看 作 ＝ 通
Ｍａ ０ １ １ ｖ ２ ０８ Ｖｏ ． ８ Ｎｏ． ２
基 于 球 面 调 和 函 数 的 人 脸 识 别
胡 彭 勇
（ 安徽大学 ａ 智能计算与信号处理教 育部 重点实验室 ， ． ． ｂ 数学科学学院 ， 合肥 摘 ２０３ ） ３０ ９
要： 根据在任意光照下 朗伯 凸表 面的图像 可 以由一个低 维线性子 空 间近似这 一原 理 ， 出 了一种 新的人脸 提
般是 通 过提取 人 眼 、 鼻等 重要 特 征点 的位 置 和 眼 睛等 重要 器 官 的几 何 形状 作 为 分 类特 征 ， 献 ［ ］ 口、 文 ３ 实 验结 果表 明此 方法 的识 别率 对几 何特 征提 取 的精确 性 有 很 高 的要 求 ． ２ 基 于 弹性 模 型 的方 法 ． 献 ［ （） 文 ４］
一种基于球面调和函数的3D模型仿真方法
区 分 病 灶 等 。 但 由于 受 到 模 型 图像 数 据 量 庞 大 ， 算
法 复 杂 ， 以及 计 算 机 处 理 速 度 慢 等 因 素 的 限制 ， 导
１ 球 面调 和 函数 的数 学 原理
球 面 调 和 函数 是 一个 定 义 在 球 面 坐 标 系 下 的 一 组 函 数 ，并 且 构 成 球 面 上 的 一 组 标 准 正 交 基 ，通 常
是 球
收 稿 日期 ： ２ １－ ３ ０ ； 修 回 日期 ： ２ １ － ４ １ ０２０— ５ ０２０—９ 作 者 简 介 ： 张 斌 （９ ３ ） １ ８一 ，男 ， 河 南 人 ， 硕 士 研 究 生 ， 从 事 虚 拟 现 实 、三 维 图 像 建 模 、力 触 觉 反 馈 方 向的 研 究 。
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｄ ｓ ｒｂ ｓ ａ ｎ ｗ ｔ ｏ ｏ ｈ ｉｕ ｌ ａ ｉ ｎ ｏ Ｄ ｍａ ｅ ｄ ｔ ｅ ｏ ｓｒ ｃ ｉ ｎ ａ ｄ ｉｓｃ ｒ ｈ ｍ ｅ ｔａ ｔ ｉ ａ ｅ ｅ ｃ ｉ ｅ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｆ ｒｔ ｅ ｖ ｓ ａ ｉ ｔｏ ｆ３ ｉ ｇ ａ ａ ｒ ｃ ｎ ｔ ｕ ｔ ， ｎ ｔ ｏ ｅ ｔ ｅ ｚ ｏ ｉ ｈ ｔ ｄ ｃ ｍ ｐ ｓ Ｄ ｄ ｌｉ ｔ ｒ ｕ ｆ ｏ ｔ ｏ ｏ ａ ａ ｉ ｘ ｅ ｄ ｄ ｃ ｅ ｃ ｅ ｔｏｆｓ ｈ ｒｃ ｌｈ ｒ ｎ ｃ ｆ ｎ ｔｏ ．Ｔｈ ｓｔ ａ ｅ ｏ ｏ ｅ ３ ｍｏ ｅ ｎ ｏ ａ ｇ ｏ ｐ ｏ ｒ ｈ ｇ ｎ ｌ ｂ ｓ ｓ ｅ ｔ ｎ ｅ ｏ ｆ ｉ ｎ ｐ ｅ ｉ ａ ａ ｍｏ ｉ ｕ ｃ ｉ ｎ ｉ ｅ ｐ ｐ ｒ ｕ ｉ ｇ ｌ ａ ｔ ｓ ｕ ｒ ｓ ｍｅ ｈ ｄ ｆ ｒ ｔａ ｓ ｏ ｍｉ ｇ ｔ ｅ ｏ ｉ ｉ ａ ｏ ｒ ｉ ａ ｅ ｉ ｔ ｒｈ ｇ ｎ ｌｂ ｓｓ ｅ ｔ ｎ ｅ ｏ ｆ ｃ ｅ ｔ ｏ ａ ｅ ｓｎ ｅ ｓ ｑ ａ ｅ ｔ ｏ ｒ ｎ ｆ ｒ ｎ ｈ ｒｇ ｎ ｌ ｃ ｏ ｄ ｎ ｔ ｎ ｏ ｏ ｔ ｏ ｏ ａ ａ ｉ ｘ ｅ ｄ ｄ ｃ ｅ ｆ ｉ ｎ ｆ ｏ ｉ
向量的复变函数和调和函数
向量的复变函数和调和函数复变函数和调和函数是数学中两个十分重要的概念。
它们的研究不仅有着深刻的意义，而且在很多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将从向量的角度出发，介绍复变函数和调和函数的概念、性质以及应用，为读者提供一份简要而又全面的了解。
一、复变函数复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
如果一个函数f(z) 在某一点 z0 处的导数存在，那么我们可以定义这个函数在对应的点 z0 的复导数为：f'(z0) = lim_{z -> z0} [f(z) - f(z0)] / [z - z0]这个定义与实际函数的导数的定义相同，只不过这里的自变量和函数值都是复数。
复导数与实数导数的最大不同点在于，它存在方向性。
因此，在复平面上，我们经常使用向量来表示复导数的方向和大小。
特别地，如果一个复变函数满足某些额外的条件，例如全纯（在复平面上处处可导）或者调和（满足拉普拉斯方程），那么这个函数可能有着更多的特殊性质和应用。
二、调和函数调和函数是指满足拉普拉斯方程的复变函数。
对于复平面上任意一点 z，可以定义它的拉普拉斯算子为：Delta = ∂²/∂x² + ∂²/∂y²那么对于一个调和函数 u(x,y) 来说，它必须满足方程：Delta u = 0因此，调和函数一般被称为“不产生源或汇”的函数，因为它对应的标量场满足的方程与无源场的方程相同。
在物理学和工程学的很多领域中，调和函数都有着广泛的应用。
例如电动力学中的电势和磁场、流体力学中的速度场和压力场以及信号处理中的实数或复数时域信号与频域信号的转换等等。
此外，调和函数还有着一些特殊的性质。
例如，调和函数的极值一定出现在边界上；调和函数可以表示为一个球面调和函数与一系列的圆柱调和函数之和等等。
三、向量分析向量分析是一门研究向量（或矢量）的数学理论。
在物理学和工程学中，向量分析是研究场论、力学、电磁学、渗流等领域的重要工具。
基于球面调和函数和Fourier变换的三维模型刻画
基于球面调和 函数和 Ｆ 变换的三维模型刻画 ｒ ｏ ｒｅ ｕｉ
梅 春 亮 （ 丽水 学 院数理 学院 浙江 丽水 ３ ３ ０ ） ２ ０ ０ 摘 要 ： ＪＣ Ｄ 型的重 用里 ， －￣ Ａ 模 通过球 面调和分 析可 以将三 堆立体模 型 由时域 转换 到频域 ， 然后在频域 内基 于频谱 信息完成模 型的相似 性 评价 ， 而球 面调 和函数 的建 立 ， ｏ ｒｅ 变换 到 小波矩 变换是模 型 几何特 征刘 画精 致 化的基 础 。 Ｆ ｕ ｉｒ 关键 词 ： Ａ 重 用检 索 球 面调和函数 Ｆ ｕ ｉｒ Ｃ Ｄ ｏ ｒ 变换 小波 变换 ｅ 中 图分 类 号 ： Ｐ ９ Ｔ３１ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ６ ２ ３ ９ （ ｏ １０ ｃ） ０ ２ —Ｏ １ ７ － ７ １ ２ １ ） ５ａ一 ０ ｌ ２
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其中 ：
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１ 基于球面调和 的层次化表征参数
球面 调和 分析 已经在 信 号分析 领域 应用 很广 。 过球 面调和 分析 通
４： ７
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∑ ∑ ／ ） （ｓ： （ Ｐ ， 九 ｃ ） ｏＯ
于文 本检 索的局 限 ， 接 从媒体 数据 的 内容及 上下 文抽 取语 义特征 信 直 息， 并以此 建立索 引和完 成检索 。 目前 已在声音 、 图像、 视频 等多媒 体数 据 的检索与 重用中获得 了广 泛的应 用。 中的最为 关键的基 础技 术是形 其 状描 述几 何特征 的刻 画与提取 。
极低 的严峻现 状 ， 成为一种 巨大的 挑战 ， 统的成组 技术 （ Ｔ 等文本 又 传 Ｇ ） 式的检索 方法 已远远 无法满足专业 人士的要求 。 基于 内容 的检索技术 自 ２ 世纪９ 年 代提 出后带 来了一场设计 技术的重 大变革 ， ０ Ｏ 它突破 了传 统基
球面调和函数
球面调和函数的应用—光照(1/2)
• 球谐光照用新的光照方程来替代通常所说的光照 方程，把方程中的信息使用球谐基函数投射到频 域空间中，在渲染的时候可以使用SH系数来对原 始光照方程还原渲染场景
球面调和函数的应用—光照(2/2)
谢谢！
n
G(x) ciBi (x)
i1
Storing a finite number of coefficients ci gives an approximation of G(x)
基函数的系数的求解(2/9)
• sum of scaled basis functions
c1
c2
c3
n
ciBi x
m=-3
m=-2 m=-1 m=0
m=1 m=2 m=3
球面函数的分解(1/4)
Given a spherical function f, we can obtain a rotation invariant representation by expressing f in terms of its spherical harmonic decomposition:
-Compute its inverse B-1
• Given a function G(x) to approximate
-Compute dot products
G B1 G B2 G Bn T
-Compute coefficients as
c1
G B1
c2
B
1
G B2
f ( ,) fl ( ,) l 0
where each flVl:
l
调和函数是什么意思
调和函数是什么意思
调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
扩展资料：
介值性质
设B(x,r)是一个以x为中心，以r为半径的完全在U中的球，那么调和函数f(x)球的边界上取值的平均值和f在球的内部的取值的平均值相同。
也就是说：
其中表示n维的单位球面。
二元的调和函数的例子有：
•任意全纯函数的实数部分和虚数部分。
•函数：f(x1,x2) =ln(x12+x22)
这个函数定义在R\ {0}上（实际上是一个均匀线电荷所产生的电势或一个细长的均匀无限长圆柱形物体产生的引力势所对应的数学模型）
•函数：f(x1,x2) =exp(x1)sin(x2)。
•n元的调和函数的例子有：
（1）R所有的常数函数、线性函数和仿射函数（比如说两块均匀带电无限大平板之间的电势）。
（2）定义在R\ {0}上的函数f(x1,...,xn) = (x1+ ... +xn)，其中n≥ 2。
在三元的调和函数的例子前，先定义
以简化形式。
下面表格中的函数在经过数乘（乘以一个常数）、旋转和相加后仍然会是调和函数。
调和函数是由其奇点决定的。
调和函数的奇点可以在电磁学中解释为电荷所在的点，因此相应的调和函数可以看作是某种电荷分布下的电势场。
50个常见收敛发散级数
50个常见收敛发散级数在数学中，级数是由无穷多个数相加或相乘的表达式。
其中，收敛级数指的是其部分和序列逐渐趋于一个有限值，而发散级数则是其部分和序列无穷大或无穷小。
在本文中，我们将探讨50个常见的收敛与发散级数。
1. 调和级数（Harmonic series）是最简单的级数之一，其公式为1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n。
经过研究发现，调和级数是发散的。
2. 几何级数（Geometric series）是由等比数列构成的级数。
例如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n。
当公比小于1时，几何级数收敛于有限值；当公比大于等于1时，则发散。
3. 幂级数（Power series）是由幂函数构成的级数。
例如，1 + x + x^2 +x^3 + ... + x^n。
幂级数的收敛半径与x的取值有关，超出收敛半径将发散。
4. 指数级数（Exponential series）是由指数函数构成的级数。
例如，1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ... + (x^n)/n!。
指数级数在整个实数范围内都是收敛的。
5. 对数级数（Logarithmic series）是由对数函数构成的级数。
例如，1 + (x-1)/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - ... + (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n。
对数级数在-1<x<1范围内收敛。
6. 斯特林级数（Stirling series）是用于估算阶乘的级数。
它基于斯特林公式，其公式为n! ≈ √(2πn)*(n/e)^n。
7. 贝塞尔级数（Bessel series）是由贝塞尔函数构成的级数。
贝塞尔函数广泛应用于物理和工程学领域中的振动问题。
8. 超几何级数（Hypergeometric series）是由超几何函数构成的级数。
它在统计学和数论中有重要应用。
基于球面调和函数的3_D人脸识别方法_丁晓宇
文章编号:1004-9037(2009)05-0632-06基于球面调和函数的3-D 人脸识别方法丁晓宇1 邓 娜2 马争鸣2(1.华南农业大学工程学院,广州,510642; 2.中山大学电子与通信工程系,广州,510275)摘要:根据3-D 数据的优势,利用图像成像原理和球面调和函数理论,结合3-D 投影原理和P CA 技术建立了一个3-D 人脸模型。
该模型用不受光线影响的低维线性子空间的基向量来表示,将结构和纹理两个3-D 信息作为整体进行考虑,使得模型只需要通过一组参数简单描述。
由于本文构建的3-D 模型只与人脸的内在属性有关,与光线无关,因此能够排除光线对人脸识别率的影响,本文在AR 人脸数据库上的识别实验证明了本文方法的有效性。
关键词:人脸识别;球面谐波;3-D 人脸模型;P CA 中图分类号:T P391.41 文献标识码:A 基金项目:广东省科技计划基金(2004B10101031)资助项目;珠海市科技计划基金(P C20051017)资助项目。
收稿日期:2008-01-08;修订日期:2008-04-073-D Face Recognition Method Based on Spherical HarmonicsDing X iao y u 1,Deng N a 2,M a Zhengming2(1.Schoo l o f Eng ineer ing ,South China A gr icultur e U niver sity ,G uang zho u ,510642,China ;2.Departm ent o f Electr o nics Engineer ing ,Sun Yat -sen U niver sity ,G uang zho u,510275,China)Abstract :The accuracy of 2-D face r ecognitio n methods is affected by lighting.A nov el m ethod is pr opo sed according to the ascendancy of 3-D face data.A 3-D face m odel is constructed by the imaging theor y and spherical harm onics ,com bining w ith the principle of 3-D projection and PCA .T he m odel co mbines tw o 3-D parameters of the shape and the texture as a w ho le .And the model is represented by harm onic vectors in lo w -dimensional linear subspaces.In this w ay,the model can be sim ply described by one set of parameters.T he 3-D mo del is invariant w ith the illum ination because it is only determined by phy sical characteristics of human faces .The exper im ent on AR face database show s that the m ethod is effective.Key words :face reco gnition;spherical harmonics;3-D face model;PCA引 言人脸识别技术作为模式识别领域的前沿课题,在公共安全、信息安全、人机交互、执法司法等领域有着十分广泛的应用前景[1]。
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球面调和函数
球面调和函数是一种在球面上定义的函数，它在物理学、数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
球面调和函数是一种特殊的调和函数，它们在球面上的性质与平面调和函数在平面上的性质非常相似。
球面调和函数的定义是在单位球面上定义的调和函数。
它们是球面上的标量函数，可以用来描述球面上的物理量，如电势、温度、压力等。
球面调和函数的定义是通过勒让德多项式和球谐函数来实现的。
球面调和函数的一般形式可以表示为：
Y(l,m)(θ,φ) = (-1)^m √[ (2l+1)/(4π) (l-m)!/(l+m)! ] P(l,m)(cosθ) e^(imφ)
其中，l和m是整数，θ和φ是球面上的极角和方位角，P(l,m)是勒让德多项式，e^(imφ)是复指数函数。
球面调和函数具有许多重要的性质。
它们是正交的，即对于不同的l和m，它们之间的积分为零。
此外，它们也是归一化的，即它们的平方积分为1。
这些性质使得球面调和函数在物理学和数学中有广泛的应用。
球面调和函数在物理学中的应用非常广泛。
它们可以用来描述电势、磁场、声波、光波等物理量在球面上的分布。
在天文学中，球面调和函数也被用来描述天体的形状和引力场。
在地球物理学中，球面调和函数被用来描述地球的引力场和地球表面的形状。
球面调和函数是一种非常重要的数学工具，它们在物理学、数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
球面调和函数的定义和性质使得它们成为了描述球面上物理量分布的重要工具。