§4.解析函数与调和函数解读
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
浅谈解析函数与调和函数的关系
浅谈解析函数与Leabharlann 和函数的关系张瑜张越像宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布 0 12000)
摘
要.该文对复变函数中解析函数与询和函辈宜之间的关系进行归纳总结并介绍三种解决已知解析函
数的实部 ( 或虚部 ) 求它的应部 ( 或实部 ) 的方法 .
关键词.解析解析函数调和函数共领涵和函数
中图分类号: 0174.5
定理 若函数 /"(z)= u(x , y)+ iV(x， y) 在区域D 内解析，则在区域 D 内 U(X， y) 与 V(x， y)都是调和函
张荒草(1977→，男，讲师，硕士，研究方向:应用数学 。
• J J4 '
数，且在区域 D 休:) V怡， y) 必为 u怡， y) 的共辄 i剧和函数.
X -
于是 I:lu = u xx + u)(v = O. I:lν=VJVy= 0(z =x+ 伊求 。)
Y'
.)' -
(X
. Y
,
-" J ' X
-
(X
1
-6χ 1 y +2y'
(X
2
+ y2
Y
在 z 平面上除原点外是调和函数. 即岭 ， Y) = X2_y2 是 z 平面上的调和函数 .巾， y) = τLτ x- y.
定义 1 轩函数 百 = /(z)在区域 D 内可微，贝IJ 称 /(z)在区域 D 内解析 . 或称 I(z) 为区域 D 内的解析
函数.
函数 I(z) 在某点处的解析.指函数 I(z)在该点的某领域内解析，而函数I(z)在闭域E 解析，指函数 f(z)在包含该闭域万的某区域内解析. 定义 2 若二元实踊数 H(x， y)在区域 D 内具有二阶连续的偏导数.且满足拉普拉斯方程 a2 H a2H _ _. _ AH = -T+-7=0 . 称二兀实函数 H(x， y) 为区域 D 内的调和函数.
解析函数和调和函数的关系
3
u 与 v 具有任意阶的连续偏导 数,
2v 2v , yx xy 2u 2u 从而 2 0, 2 x y 2v 2v 同理 2 0, 2 x y
u 2u 解 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 6 y, 3 y 3x , 2 y y
6
数.
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 因为 6 xy, y x
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
10
f ( z ) u iv
e x ( x cos y y sin y ) x y c i[e x ( y cos y x sin y ) x y]
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
8
例2 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0. 解
根据不定积分法 f ( z ) 2 zdz z 2 c ,
由 f ( i ) 1, 得 c 0,
所求解析函数为
f ( z ) x 2 y 2 2 xyi z 2 .
14
例4
用不定积分法求解例1中的解析函数 f ( z )
3.4 解析函数与调和函数的关系
注：如果u, v是区域D内的任意两个 调和函数，则u + iv在D内未必解析。
y 例2 证明u ( x, y ) = x − y , v( x, y ) = 2 x + y2
2 2
都是调和函数，但f ( z ) = u + iv不是解析函数。
注：如果u, v是区域D内的两个调和函数， 且v是u的共轭调和函数，即满足C − R方程， 则u + iv在D内解析。
(3.22)
所确定的函数v( x, y ), 使u + iv = f ( z )是D内的
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
公式(3.22)不必强记 可以如下推得 不必强记,可以如下推得 注: 公式 不必强记
3 2
的解析函数, 并求以u ( x, y )为实部的解析函数 f ( z ), 使得f (0) = i.
y 例3.16 验证v( x, y ) = arctan ( x > 0)在 x 右半z平面内是调和函数, 并求以此为虚部 的解析函数.
定理 3.18 定理 3.19
⇔ 在区域D内v( x, y )是u ( x, y )的共轭调和函数.
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
例3.15 验证u ( x, y ) = x − 3 xy 是z3; iv y dy = − u y dx + u x dy 然后两端积分.类似的可以由v( x, y )求u ( x, y ).
解析函数与调和函数的关系
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
第四讲 解析函数和调和函数讲诉
例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它 为实部的解析函数。
解：
2u x2
6x
2u y2 6x
显然：2u 2u 0 ， u(x,y)为调和函数。
x2 y2
若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：
v x
u y
6xy,
(1)
v
u
3x2
3y2,
第二节 解析函数和调和函数
1、共轭调和函数
由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条 件，即：u v , u v 。而由C-R条件有：
x y y x
2u x2
2v xy
,
2u y 2
2v yx
显然有：2u
x2
2u y 2
0,
2v x2
2v y 2
0
定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏
y0 )
v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) 0
y
x
x
y
很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。
例2，在复平面上的解析函数f (z) az2 b 解： f (z) az2 b a(x iy)2 b
a x2 y2 b i2axy 所以：u(x, y) a x2 y2 b
定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。
2、共轭调和函数的几何意义
在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)0，并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线：
解析函数与调和函数
2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上 调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis
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§4. 解析函数与调和函数
一、教学目标或要求：
掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算
二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
基本内容：解析函数与调和函数的关系例题
重点：解析函数与调和函数的关系
难点: 例题
三、教学手段与方法：
讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习：
16、17、18
§4. 解析函数与调和函数
在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。
因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。
现在我们来研究应该如何选择
才能使函数在区域D内解析。
设在区域D上解析，则C--R条件成立
，.
下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数
,
两式相加可得
同理可得
定义3.5若二元实函数
在区域
内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方
程，则称为区域内的调和函数。
记，
则为运算符号，称为拉普拉斯算子。
定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件
y v x u ∂∂=∂∂， x
v
y u ∂∂-=∂∂
的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义
设是区域D 上的解析函数，则
，
两式相乘得
即
所以
就是说，梯度跟梯度
正交. 我们知道，和
分别是曲线族“”和“
”的法向矢量，因而上式
表示“
”与“
”两族曲线相互正交. 这就解析函数
实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。
定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数.
证 由
在
内解析知，
，从而。
又解析
函数具有的无穷可微性保证
，
在
内均连续，故必相等，于是在
内。
同理
，即，满足拉普拉斯方程。
定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理
),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是)
,(y x u 的共轭调和函数。
函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数。
从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。
1.线积方法
定理3.19 设
是在单连通区域
内的调和函数，则存在
，
使
是
内的解析函数。
（其中
是
内定点,
是
内动
点,为任意常数，积分与路径无关） 证 要使成为解析函数,则
必须满足条件
(
条件),
又
,故
，又
在单连通区域
可微，故
积分与路径无关，从而
2.条件
由，两边对求积分
,两边同时求的偏导
，由条件
两边对求积分求得的表达式,从而
3.观察法
例验证是平面上的调和函数,并求出以为实部的解析函数,使。
解(1) 故
(2)
方法一
故
又故，从而。
方法二
由于，故
于是,从而，
于是，即。
故，以下同方法一（略）。
方法三
由于
故。
余下（略）。
例验证在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数。
解（1）
故即在右半平面内是调和函数。
（2）由得
又,故, 于是，故
从而
在右半平面单值解析。
例 设222),(y xy x y x u --=，试求以),(y x u 为实部的解析函数
),(i ),()(y x v y x u z f +=，使得i )0(=f ．
解 依C.— R.条件有 y x u v x y 22-== 于是 ⎰-=y y x v d )22( )(22x y xy ϕ+-= 由此得 )(2x y v x ϕ'+=y u -=y x 22+= 从而有 c x x +=2)(ϕ
因此 c x y xy y x v ++-=222),( （c 为任意常数） 故得 )2(i 2)(2222c x y xy y xy x z f ++-+--= c z i )i 1(2++=
将i )0(=f 代入上式，得 i c f ==i )0( 由此得1=c ，故得 i )i 1()(2++=z z f 经验证，所得)(z f 既为所求。
本章内容课后讨论
1． 何谓复变函数的围道积分？它与二元实线积分有何关系？
2． 设l 是z 平面上以A 为起点B 为终点的光滑曲线，试问
与
的
几何意义有何不同?不等式
说明了什么几何性质?
3． 计算复变函数的积分有哪几种方法? 4． 复变函数的基本性质是什么?
5． 若
,能否说f(z)在l 内必解析?试举例说明.
6．对于什么样的闭曲线l,有
7．到此,我们能计算哪些复变函数的围道积分?总结一下计算这些复变函数围道积分的公式?
8．何谓原函数?如何计算解析函数的积分?
9．以下二论断是否均正确?试举例说明.
(z)存在,则f(n)(z)亦存在.
(1)对于复变函数f(z)而言，若
(2)对于实变函数f (x)而言，若
10．解析函数的导数是否仍为解析函数？
11．以下论断是否正确？为什么？
若在曲线l上连续，则积分定义一一个不在l上的解析函
数，且
12.若f（z）在区域内解析，在闭区域上连续，试证明在内有
成立，其中M为的上界，s为l的全长，d
Cauchy不等式
和z离边界上最近的一点的距离。
13．Liouville定理实际指出：“在整个复平面可微且有界的复变函数必是常数”。
由此我们是否可推断：“在整个数轴（）上可微且有界的实函数一定是常数”？试举例说明。
14．如何从Cauchy积分公式来理解解析函数其值之间的内在联系？。