复变函数3.4解析函数与调和函数的关系
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z = x • iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z =y/x2+y2；2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。
3）arg z与arctan y之间的关系如下：xy当x 0, argz=arctan工；x[ yy - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, xy y :: 0,arg z = arctan 「愿L x4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。
（二）复数的运算仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y22.乘除法:1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy •- 丫2为-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则3.乘幂与方根ei "'2 ；土評匀）Z2Z21）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。
2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿（三）复变函数1•复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2•复初等函数1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。
复变函数3-4
z z z
打洞!
C
பைடு நூலகம்
i C1 C -i 2 x
o
9
C1
ez ez ( z i)2 ( z i)2 dz dz 2 2 C2 ( z i ) ( z i)
z
2i e 2 (2 1)! ( z i )
z i
2
2i e 2 (2 1)! ( z i ) y
d 1 2 z z 0 z z z 0 z 2 z z 0 z d
z0
d
z
C
D
6
1 I 2
z f ( z ) z z 0 z z z 0
2
C
2
ds
1 I z 2
z 0
21 M ds z 3 C M d d d 显然， lim I 0, 从而有
f ( z0 z ) f ( z0 ) 1 f ( z) f ' ( z0 ) lim dz 2 z 0 z 2i C ( z z0 ) 依次类推，用数学归纳法可得
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 ) 用途 : 利用它计算积分.
z f ( z ) z z0 z z z0
2
C
ds
0
5
f ( z )在C上解析 f ( z )在C上连续 M 0, 1 f ( z ) M .定义d min z z0 , 且取 z d , 则有 zC 2
z z0 d
1 1 . z z0 d
复变函数
f(z) 在全平面除
1 1 z1 i , z2 i 外解析。 2 2
3、函数解析的条件(C-R条件) 定理 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在点 z=x+iy 可导的充分必要条件是 (1) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 可微; (2) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 的微分满足 C-R 方程：
(3) 满足
e z1 z2 e z1 e z2 ,
(4) 以2kπi (k=0, ±1, ± 2,...)为复周期。这是因为 ei2kπ=cos(2kπ) +i sin(2kπ)=1， 所以 ez+i2kπ= ez·i2kπ=ez. e
我们发现导数定义与实函数完全类似。因此我们也有与实函数完 全相似的符号(例如以 △f=f(z+△z)-f(z)称为函数增量等等)。并且有 完全相同的求导运算法则。
例：函数 f(z)=|z|2 在 z=0 可导并且 f’(0)=0. 证：
f ( z ) f ( 0) | z |2 zz lim lim lim lim z 0. z 0 z 0 z 0 z z 0 z0 z
vx=-uy=6xy , 所以 v=3x2y+g(y), (2) 这一步中的g(y) 也是必须的。
(2) 曲线积分法
例：求 u=x3-3xy2 的共轭调和函数。
解：因为 u 是调和函数，因此其共轭调和函数 v 存在并且其全微分 dv=vxdx+vy=-uydx+uxdy=6xydx+(3x2-3y2)dy, 利用高等数学中全微分的原函数求法，取顶点为 (0,0), (x,0), (x,y) 的 折线作为积分路径，由此求出
复变函数与积分变换复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
《复变函数论》课件 3.4解析函数与调和函数的关系
• 先由 C R 条件中的一个得
vy ux 3x2 3y2
故 v 3x2 y y3 (x)
再由 C R 条件中的另一个得
vx 6xy (x) u y 6xy
• 故 (x) 0,即(x) C,
• 因此 v(x, y) 3x2 y y3 C
• 故 f (z) u iv x3 3xy2 i(3x2 y y3 C) (x iy)3 iC z3 iC
辅导课程八
第四节 解析函数与调和函数的关系
• 问题：
v u 如何选择 与 才能使函数 u iv
在区域D内解析。
• 分析：
设 f (z) u iv 在区域 D 内解析，
u v
u v
得
x y
y x
故有
2u 2v y 2 yx
2u 2v x 2 xy
同理
2u 2u 0
x2 y 2 2v 2v 0 x2 y 2
• 即在 D 内满足拉普拉斯（Laplace）方
程：
u 0, v 0
这里
2 2 x 2 y 2
是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。
பைடு நூலகம்
• 定义3·5 如果二元实函数 H (x, y)
在区域 D 内有二阶连续偏导数，且满足
拉普拉斯方程
H 0
则称 H (x, y)为区域 D 内的调和函数。
• 定理3·19 若
x2
vxx
2xy (x2 y2)2
, v yy
2xy (x2 y2)2
,(x
0)
• 于是
vxx v yy 0, (x 0)
故在右半平面内， v(x, y)
是调和函数。
C R
u(x, y) uxdx (y) vydx (y)
复变函数
惟一性 复合运算等
• 二、函数的连续性 • 定义1.4.2 设 f ( z ) 在点 z0 的某邻域内有定义， f ( z ) f ( z 0 ) ，则称函数 f ( z )在点 z0 处连续. 若 zlim z • 若 f ( z )在区域 D 内每一个点都连续，则称函数 f ( z ) 在区域 D 内连续. • 定理1.4.2 函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) ， u ( x, y )和 v( x, y ) 0 在 z 0 x0 iy处连续的充要条件是 都在点 ( x , y ) 处连续.
定义：
函数w f ( z), z D; z0 , z0 z D
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 极限 lim lim z 0 z z 0 z
存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的
dw 导数，记作 f ( z0 )或 . dz z z0
f ( z )在点
f ( z) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 ) z z0 z z0 z z0
f ( z) f ( z0 ) lim ( z z 0 ) lim z z0 z z0 z z0
问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，
如何判别其解析（可导）性？
解析的充分必要条件
定理2.1.1 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足
u v , x y
解析函数与调和函数
2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上 调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis
解析函数与调和函数的定义与性质
解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。
解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。
本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。
一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。
解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。
即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2. 解析函数的复共轭也是解析函数。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。
3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。
调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。
即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。
2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。
即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。
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由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
( x, y)
du(x,y)=uxdx+uydy= vydx-vxdy
x
e x (cos y i sin y ) i ( x iy )e x sin y ( x iy )e x cos y 1 i
19
e (cos y i sin y ) ( x iy )e [cos y i sin y ]
x x
1 i
e
x iy
课堂练习 证明 u( x , y ) x 3 6 x 2 y 3 xy 2 2 y 3 为
调和函数, 并求其共轭调和函数.
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
12
例3.17 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调
和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.
解
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y
u v 由 e x (cos y y sin y x cos y ) 1, x y
即u及v都是D内的调和函数
3
定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)
u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数
例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的 调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析 原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件 定义3.6 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足 C.-R.条件： u v u v , x y y x
故 g( y ) y c ,
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
14
f ( z ) u iv
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
故 f ( z ) i ( z c ).
3
(c 为任意实常数)
18
f 例3.21 用不定积分法求解例2中的解析函数 (z )
虚部 v( x, y ) e ( y cos y x sin y ) x y.
x
解
f ( z ) V ( z ) v y iv x e x (cos y y sin y x cos y ) 1 i[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]
3 2
解
f ( z ) U ( z ) ux iuy 3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
f ( z ) 3iz 2dz iz 3 c1 ,
(因为 f ( z ) 的实部为已知函数 不可能包含 , 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
( x, y)
使f(z)= u+iv是D内的解析函数.
注：1. 若(0,0)∈D,则在上式中,常取(x0,y0)=(0,0)
2. (3.22)可用如下方法记忆:
dv(x,y)=vxdx+vydy= -uydx+uxdy
5
例3.15 验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和数， 并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使合f(0)=i
v( x, y) v y ( x, y)dy 3x 2 3 y 2 dy 3x 2 y y 3 x
7
由此得： v 6xy ( x) u 6xy ( x) 0 x y
( x) C v( x, y) 3x2 y y3 C
解：
u 3x 2 3 y 2 x u 6 xy y
2u 2u 2u 2u 6x 2 2 2 0 2 x y x y
要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)
方法一：线积分法，用公式3.22得：
v( x, y)
u v u v 且 , , x y y x
所以上面两式分别相加减可得
21
v y 3 x 2 3 y 2 2,
v x 6xy,
f ( z ) v y iv x 3 x 2 3 y 2 2 6 xyi
f ( z ) ux iuy U ( z ), f ( z ) v y iv x V ( z ),
9
将上两式积分, 得
f ( z ) U ( z )dz c , f ( z ) V ( z )dz c ,
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
则称H(x,y)为区域D内的调和函数 2 2 注： 2 称为Laplace算子 2 x y
。
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
2
3.4.2解析函数与调和函数的关系 设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件
y vx 2 x y2
x vy 2 x y2
2 2
vxx
x
2 xy
2
y
v yy
x
2 xy
2
y
2 2
vxx v yy 0
11
du ux dx uy dy vy dx vx dy x y 1 2 dx 2 dy d ln( x 2 y 2 ) x y2 x y2 2
试确定解析函数 f ( z ) u iv .
解
两边同时求导数
2 2
ux v x ( x 4 xy y ) ( x y )( 2 x 4 y ) 2,
u y v y ( x 2 4 xy y 2 ) ( x y )(4 x 2 y ) 2,
u 解 因为 2 x, x
u 2, 2 x
2
u 2ky, y
2u 2k , 2 y
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f ( z ) U ( z ) ux iu y 2 x 2kyi
16
2 x 2kyi 2 x 2 yi 2z ,
v称为u在区域D内的共轭调和函数.
4
定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析, 在区域D内v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数. 3.4.3 由调和函数构造解析函数 定理3.19 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数, 则可构造函数v(x,y)：
u u v( x, y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x
得 u [e (cos y y sin y x cos y ) 1]dx
x
13
u e ( x cos y y sin y ) x g( y ),
x
v u 由 ,得 x y
e x ( y cos y x sin y sin y ) 1 e x ( x sin y y cos y sin y ) g( y ),
2
方法四：不定积分法
( z) ux iuy (3 x2 3 y2 ) i 6 xy 3( x iy)2 3z 2 f
f ( z) z 3 C v( x, y) 3x2 y y3 C
f (0) i f ( z) z i