解析函数与调和函数的关系 3-7
12
将上两式积分, 得
f (z) U(z)dz c, f (z) V (z)dz c,
适用于已知实部u 求 f (z), 适用于已知虚部 v 求 f (z),
13
例3 求 k 值, 使 u x2 ky2 为调和函数. 再求v, 使
f (z) u iv 为解析函数, 并求 f (i) 1的 f (z).
求解析函数的方法称为不定积分法. 不定积分法的实施过程: 解析函数 f (z) u iv 的导数 f (z) 仍为解析函数, 且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx 把 ux iuy 与 vy ivx 用 z 来表示, f (z) ux iuy U(z), f (z) vy ivx V (z),
得 u [e x (cos y y sin y x cos y) 1]dx
9
u ex ( x cos y ysin y) x g( y), 由 v u , 得
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y), 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
第七节 解析函数与调和函数 的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系 三、小结与思考
一、调和函数的定义
定义
如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程
2
x 2
2
y2
0,
那末称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
拉普拉斯
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
(c 为任意常数)
8
例2 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 0. 解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1,
x v e x (cos y y sin y x cos y) 1, y 由 u v ex (cos y ysin y xcos y) 1, x y
10
f (z) u iv xexeiy iyexeiy x(1 i) iy(1 i) c zez (1 i)z c, 由 f (0) 0, 得 c 0, 所求解析函数为 f (z) zez (1 i)z.
11
4. 不定积分法 已知调和函数u( x, y) 或 v( x, y), 用不定积分
x y
7
3 y2 g( x) 3 y2 3x2, (c 为任意常数)
故 g( x) 3x2dx x3 c, v( x, y) x3 3xy2 c,
得一个解析函数 w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c). 这个函数可以化为 w f (z) i(z3 c). 课堂练习 证明 u( x, y) x3 6x2 y 3xy2 2 y3 为 调和函数, 并求其共轭调和函数. 答案 v( x, y) 3x2 y 6xy2 y3 2x3 c.
x y y x 两个调和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
区域D内的解析函数的虚部为偏积分法
如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.
例1 证明 u( x, y) y3 3x2 y 为调和函数, 并求
解 因为 u 2x, x
2u x 2
2,
u 2ky, y
2u y2
2k
,
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f (z) U(z) ux iuy 2x 2kyi
14
2x 2kyi 2x 2 yi 2z,
根据不定积分法 f (z) 2zdz z2 c,
由 f (i) 1, 得 c 0, 所求解析函数为
2
二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
证 设 w f (z) u iv 为 D内的一个解析函数,
那末 u v , u v . x y y x
从而
2u x 2
2v yx
,
2u y2
2v xy
.
3
根据解析函数高阶导数定理, u 与 v 具有任意阶的连续偏导数,
f (z) x2 y2 2xyi z2.
15
例4 用不定积分法求解例1中的解析函数 f (z) 实部 u( x, y) y3 3x2 y. 解 f (z) U(z) ux iuy
3i( x2 2xyi y2 ) 3iz2 ,
f (z) 3iz2dz iz3 c1,
其共轭调和函数v( x, y) 和由它们构成的解析函
数.
解
因为 u 6xy, x
2u x 2
6
y,
u 3 y2 3x2 , y
2u y2
6
y,
6
于是
2u x 2
2u y2
0,
故 u( x, y) 为调和函数.
因为 v u 6xy, y x
v 6 xydy 3xy2 g( x),
v 3 y2 g( x), x 又因为 v u 3 y2 3x2,
2v 2v , yx xy
从而
2u x 2
2u y2
0,
同理
2v x 2
2v y2
0,
因此 u 与 v 都是调和函数.
[证毕]
4
2. 共轭调和函数的定义 设 u( x, y) 为区域 D内给定的调和函数, 我
们把使 u iv 在 D内构成解析函数的调和函数 v( x, y) 称为u( x, y)的共轭调和函数. 换句话说, 在 D内满足方程 u v , u v 的
(因为 f (z)的实部为已知函数, 不可能包含 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
故 f (z) i(z3 c). (c 为任意实常数)
16
例5 用不定积分法求解例2中的解析函数 f (z) 虚部 v( x, y) ex ( ycos y xsin y) x y. 解 f (z) V (z) vy ivx
将上两式积分, 得
f (z) U(z)dz c, f (z) V (z)dz c,
适用于已知实部u 求 f (z), 适用于已知虚部 v 求 f (z),
13
例3 求 k 值, 使 u x2 ky2 为调和函数. 再求v, 使
f (z) u iv 为解析函数, 并求 f (i) 1的 f (z).
求解析函数的方法称为不定积分法. 不定积分法的实施过程: 解析函数 f (z) u iv 的导数 f (z) 仍为解析函数, 且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx 把 ux iuy 与 vy ivx 用 z 来表示, f (z) ux iuy U(z), f (z) vy ivx V (z),
得 u [e x (cos y y sin y x cos y) 1]dx
9
u ex ( x cos y ysin y) x g( y), 由 v u , 得
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y), 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
第七节 解析函数与调和函数 的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系 三、小结与思考
一、调和函数的定义
定义
如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程
2
x 2
2
y2
0,
那末称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
拉普拉斯
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
(c 为任意常数)
8
例2 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 0. 解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1,
x v e x (cos y y sin y x cos y) 1, y 由 u v ex (cos y ysin y xcos y) 1, x y
10
f (z) u iv xexeiy iyexeiy x(1 i) iy(1 i) c zez (1 i)z c, 由 f (0) 0, 得 c 0, 所求解析函数为 f (z) zez (1 i)z.
11
4. 不定积分法 已知调和函数u( x, y) 或 v( x, y), 用不定积分
x y
7
3 y2 g( x) 3 y2 3x2, (c 为任意常数)
故 g( x) 3x2dx x3 c, v( x, y) x3 3xy2 c,
得一个解析函数 w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c). 这个函数可以化为 w f (z) i(z3 c). 课堂练习 证明 u( x, y) x3 6x2 y 3xy2 2 y3 为 调和函数, 并求其共轭调和函数. 答案 v( x, y) 3x2 y 6xy2 y3 2x3 c.
x y y x 两个调和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
区域D内的解析函数的虚部为偏积分法
如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.
例1 证明 u( x, y) y3 3x2 y 为调和函数, 并求
解 因为 u 2x, x
2u x 2
2,
u 2ky, y
2u y2
2k
,
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f (z) U(z) ux iuy 2x 2kyi
14
2x 2kyi 2x 2 yi 2z,
根据不定积分法 f (z) 2zdz z2 c,
由 f (i) 1, 得 c 0, 所求解析函数为
2
二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
证 设 w f (z) u iv 为 D内的一个解析函数,
那末 u v , u v . x y y x
从而
2u x 2
2v yx
,
2u y2
2v xy
.
3
根据解析函数高阶导数定理, u 与 v 具有任意阶的连续偏导数,
f (z) x2 y2 2xyi z2.
15
例4 用不定积分法求解例1中的解析函数 f (z) 实部 u( x, y) y3 3x2 y. 解 f (z) U(z) ux iuy
3i( x2 2xyi y2 ) 3iz2 ,
f (z) 3iz2dz iz3 c1,
其共轭调和函数v( x, y) 和由它们构成的解析函
数.
解
因为 u 6xy, x
2u x 2
6
y,
u 3 y2 3x2 , y
2u y2
6
y,
6
于是
2u x 2
2u y2
0,
故 u( x, y) 为调和函数.
因为 v u 6xy, y x
v 6 xydy 3xy2 g( x),
v 3 y2 g( x), x 又因为 v u 3 y2 3x2,
2v 2v , yx xy
从而
2u x 2
2u y2
0,
同理
2v x 2
2v y2
0,
因此 u 与 v 都是调和函数.
[证毕]
4
2. 共轭调和函数的定义 设 u( x, y) 为区域 D内给定的调和函数, 我
们把使 u iv 在 D内构成解析函数的调和函数 v( x, y) 称为u( x, y)的共轭调和函数. 换句话说, 在 D内满足方程 u v , u v 的
(因为 f (z)的实部为已知函数, 不可能包含 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
故 f (z) i(z3 c). (c 为任意实常数)
16
例5 用不定积分法求解例2中的解析函数 f (z) 虚部 v( x, y) ex ( ycos y xsin y) x y. 解 f (z) V (z) vy ivx
合集下载
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
3-7调和函数
g( x) 3x2dx x3 c,
(c 为任意常数)
3xy2 g( x),
v 3 y2 g( x), x 又 v 3x2 3 y2 ,
x
3 y2 g( x) 3 y2 3x2,
v( x, y) x3 3xy2 c,
得解析函数 w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c).
这个函数可以化为
g( x) 3x2 ,
w f (z) i(z3 c).
10
w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c) i4 y3 i2 3x2 y i( x3 i2 3xy2 c)
w i[ x3 3x2 (iy) 3x(iy)2 (iy)3 ] ci
i( x iy)3 ic iz3 ic
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y),
g( y) 1, 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
14
eiy cos y i sin y
若v(x, y)是u(x, y)的共轭调和函数，
那么u(x, y)是否也是v(x, y)的共轭调和函数？ 若v(x, y)是u(x, y)的共轭调和函数，则u iv是解析函数， 从而 u v , u v .
x y y x
要使u(x, y)也是v(x, y)的共轭调和函数，
6
若v(x, y)是u(x, y)的共轭调和函数，则u iv是解析函数，
z x iy
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
11
注：已知解析函数的实部求虚部，至多相 差一个常数。
12
例 2 已知v(x, y) e x ( ycos y x sin y) x y 为调
高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件
共轭调和函数
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u v x y C—R方程成立 v u y x
f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
在D内解析
注： 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
[例1]
得：
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
故 g ( x ) 3 x dx x c ,
2
3
(c 为任意常数)
因此
v(x,y)=x3–3xy2+c
从而得到一个解析函数
w=y3–3x2y+i(x3–3xy2+c)
[例1]
偏积分法也可以是下列形式：
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
4、不定积分法
[例3] 用不定积分法求解[例1]中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 3 x 2 y.
[解] f ( z ) U ( z ) ux iuy
3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
[例1]
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 6 xy, （2） 因为 y x
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 2 2 3 y 3 x , 又因为 x y
2、共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
解析函数与调和函数的关系
一、 解析函数与调和函数的关系
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系1. 引言调和函数和解析函数是数学中两个重要的函数类别，在分析学和复变函数研究中具有广泛的应用。
两者有着密切的联系，本文将对两者的定义、性质、用途和工作方式等进行详细解释。
2. 调和函数的定义调和函数是指定义在欧几里德空间中的函数，满足拉普拉斯方程，即：Δf=∂2f∂x12+∂2f∂x22+⋯+∂2f∂x n2=0其中Δ是拉普拉斯算子，f是调和函数。
对于二维空间中的调和函数，即n=2的情况，拉普拉斯方程可以简化为：Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2=0调和函数的定义可以扩展到更高维空间，由此可见，调和函数的概念是多维的。
3. 解析函数的定义解析函数是指定义在复平面上的函数，满足柯西－黎曼方程，即：∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x其中u(x,y)是解析函数的实部，v(x,y)是解析函数的虚部。
柯西－黎曼方程表明解析函数是复可微的，它可以展开成幂级数的形式，具有无穷次可导的性质。
4. 调和函数和解析函数的联系调和函数和解析函数在某些条件下是可以联系起来的。
具体而言，二维空间中的调和函数可以通过某个复数函数的实部或虚部来表示。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个解析函数，其中z=x+iy，u和v分别是f的实部和虚部。
由柯西－黎曼方程可知，∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x可以求出u和v的偏导数。
进一步，可以验证u和v满足拉普拉斯方程：∂2u ∂x2+∂2u∂y2=∂2v∂y2−∂2v∂x2=0∂2v ∂x2+∂2v∂y2=−∂2u∂y2−∂2u∂x2=0因此，u和v分别是调和函数。
这就是调和函数和解析函数的联系。
5. 调和函数和解析函数的性质调和函数和解析函数具有一些重要的性质，这些性质使得它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
5.1 调和函数的性质•调和函数的线性组合仍然是调和函数。
即如果f1(x,y),f2(x,y),…,f n(x,y)都是调和函数，那么对于任意实数c1,c2,…,c n，函数g(x,y)=c1f1(x,y)+c2f2(x,y)+⋯+c n f n(x,y)也是调和函数。
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系调和函数和解析函数在数学中都是非常重要的概念，它们之间的关系也是我们需要深入了解的。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，而解析函数则是指在某个区域内可以展开成幂级数的函数。
在实际应用中，我们常常需要研究调和函数和解析函数之间的联系，以便更好地理解它们的性质和特点。
我们可以从数学定义上来看调和函数和解析函数的关系。
调和函数满足拉普拉斯方程，而解析函数则有复变函数的性质。
在某些情况下，调和函数可以通过某些方法转化为解析函数，比如通过傅里叶变换或者柯西积分公式等。
这种转化的过程可以帮助我们更好地理解两者之间的联系，并且在实际问题中起到重要作用。
我们可以从几何意义上来理解调和函数和解析函数的关系。
调和函数在物理学中有很多应用，比如电场、热场等问题都可以通过调和函数来描述。
而解析函数则在复平面上有很好的几何性质，比如保角映射等。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地理解数学和物理之间的联系，以及复平面上的几何性质。
调和函数和解析函数在实际问题中也有很多应用。
比如在工程领域中，我们常常需要研究电场、热场等问题，这些都可以通过调和函数来描述。
而在信号处理领域中，解析函数则有很多应用，比如在频域分析中可以通过解析函数来描述信号的频谱特性。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地解决实际问题，提高工程和技术的应用水平。
总的来说，调和函数和解析函数之间的关系是非常密切的，它们在数学、物理和工程等领域都有重要的应用。
通过深入研究两者之间的联系，我们可以更好地理解它们的性质和特点，从而更好地解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对调和函数和解析函数有更深入的了解，并且在实际问题中能够灵活运用这些概念，提高问题的解决效率和准确性。
§3.7 解析函数与调和函数的关系
0,0
( x, y )
u u dx dy C y x
0,0
x 0
2 x 1 dx 2 ydy C
y 0
2 x 1 dx 2 ydy C
x2 2 x y 2 C
f z u iv 2 x 1 y x 2 2 x y 2 C i
例2（P103 30题（3））
已知f(z)=u+iv解析，u=2(x-1)y，f(2)=-i,求f(z). 方法1 不定积分法
u u 2 y, 2 x 1 x y u u f z i 2 y 2 x 1 i x y
2i x iy 2i 2iz 2i
得证！
注：解析函数中u与v不独立即是一对矛盾，已知u 求v， 或已知v求u均可.
例1 已知f(z)=u+iv解析，v=2xy，求f(z).
方法1 线积分法 u u du dx dy x y
u
( x, y )
0,0
( x, y )
u u dx dy C x y
§3.7 解析函数与调和函数的关系 一、分析上解析函数是调和函数
若二元实函数u(x,y) 满足Laplace方程
2u 2u 2 0 2 x y
则称u(x,y) 是调和函数。 定理1 若 w f z u iv 是解析函数，则U和V均为调 和函数.
证明： f z 是解析函数
2 iz 2 zi C f z 2iz 2i dz
f 2 C i
f z iz 2 2 zi i
2.2 解析函数与调和函数的关系
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数 二、共轭调和函数 共轭调和函数 三、构造解析函数
1
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
一、调和函数
引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 无旋无源力场 设该力场为 F = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) } . (1) 无旋场 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 沿闭路做功为零 即做功与路径无关) 保守场或者梯度场或者有势场。 又称为保守场或者梯度场或者有势场 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 ϕ ( x , y , z ) , 使得
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数 解 (2) 求虚部 v( x, y )。 方法二： 方法二：全微分法
C1
( x, y)
C2
∂v ∂u ∂v ∂u 2 2 =− = 6xy , 由 = = 3x − 3 y , ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ dv = v ′x dx + v ′y dy = 6 xy dx + ( 3 x 2 − 3 y 2 )dy ,
∂ 2 u ∂ 2v , ⇒ = 2 ∂y∂x (?) ∂x
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 同理 2 ∂x ∂y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
二、共轭调和函数 共轭调和函数
定义 设函数 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 内的调和函数，
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数 二、共轭调和函数 共轭调和函数 三、构造解析函数
1
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
一、调和函数
引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 无旋无源力场 设该力场为 F = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) } . (1) 无旋场 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 沿闭路做功为零 即做功与路径无关) 保守场或者梯度场或者有势场。 又称为保守场或者梯度场或者有势场 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 ϕ ( x , y , z ) , 使得
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数 解 (2) 求虚部 v( x, y )。 方法二： 方法二：全微分法
C1
( x, y)
C2
∂v ∂u ∂v ∂u 2 2 =− = 6xy , 由 = = 3x − 3 y , ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ dv = v ′x dx + v ′y dy = 6 xy dx + ( 3 x 2 − 3 y 2 )dy ,
∂ 2 u ∂ 2v , ⇒ = 2 ∂y∂x (?) ∂x
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 同理 2 ∂x ∂y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
二、共轭调和函数 共轭调和函数
定义 设函数 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 内的调和函数，
解析函数与调和函数的关系
上的调和函数 u 及 v ，函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 E 上不一定解 析，要使 u iv解析，还需u,v ，满足 C R 条件。 2.共轭调和函数
定义 2：对于给定的调和函数 u(x, y) ，把使 u iv 构成解
析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数。 注：解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。但是，一
解析函数 f (z) 。 例 5：用不定积分法求例 2 中的 f (z) 。 例 6：已知 u v (x y)(x2 4xy y2 ) 2(x y) ，试
确定解析函数 f (z) u iv 。
般来说，解析函数的实部不是虚部的共轭调和函数。 3.如何求解析函数
问题：如给定实部（或虚部），如何选择虚部（或实部）， 使 f (z) u iv 解析？
1)偏积分法
------如果已知调和函数 u ，可利用条件，求它的共轭调
和函数 v ，以构成解析函数。
例 1：证明： u y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和
2.4解析函数与调和函数的关系
设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 E 上解析，由 C R 条件，
解析函数的高阶导数定理即得在 E 上有
2u x2
2u y 2
0及
2v x2
2v y 2
0
一、调和函数
定义 1：若二元实函数(x, y) 在区域 E 内具有连续的二
f (z) f (z)dz U(z)dz c ---适用于已知 u ，求 v 。 f (z) f (z)dz V (z)dz c ---适用于已知 v ，求 u 。
定义 2：对于给定的调和函数 u(x, y) ，把使 u iv 构成解
析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数。 注：解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。但是，一
解析函数 f (z) 。 例 5：用不定积分法求例 2 中的 f (z) 。 例 6：已知 u v (x y)(x2 4xy y2 ) 2(x y) ，试
确定解析函数 f (z) u iv 。
般来说，解析函数的实部不是虚部的共轭调和函数。 3.如何求解析函数
问题：如给定实部（或虚部），如何选择虚部（或实部）， 使 f (z) u iv 解析？
1)偏积分法
------如果已知调和函数 u ，可利用条件，求它的共轭调
和函数 v ，以构成解析函数。
例 1：证明： u y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和
2.4解析函数与调和函数的关系
设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 E 上解析，由 C R 条件，
解析函数的高阶导数定理即得在 E 上有
2u x2
2u y 2
0及
2v x2
2v y 2
0
一、调和函数
定义 1：若二元实函数(x, y) 在区域 E 内具有连续的二
f (z) f (z)dz U(z)dz c ---适用于已知 u ，求 v 。 f (z) f (z)dz V (z)dz c ---适用于已知 v ，求 u 。