第6讲 解析函数与调和函数
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调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
调和函数
14
本章主要内容
有向曲线
复积分
积分存在的 条件及计算
积分的性质
Cauchy积分定理
Cauchy 积分公式
高阶导数 公式
复合 闭路 定理
原函数 的概念
积分公式 及计算
15
轭调和函数.
5
现在提出如下问题：
已知 u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在 u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
§3-4 调和函数
1. 调和函数的概念 2. 解析函数与调和函数的关系
1
1. 调和函数的概念
定义 如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数，并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y2
0
则称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、 静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.
2
2. 解析函数与调和函数的关系
定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数. 证明 设 w f (z) u( x, y) iv( x, y) 为区域 D 内的一个解析函数，则
u v , u v . x y y x
根据解析函数的导数仍是解析函数, 因此
u( x, y) 与 v( x, y) 具有任意阶的连续偏导数,
这个函数可以化为
w f (z) i(z3 c).
8
注：已知解析函数的实部求虚部，至多相 差一个常数。
本章主要内容
有向曲线
复积分
积分存在的 条件及计算
积分的性质
Cauchy积分定理
Cauchy 积分公式
高阶导数 公式
复合 闭路 定理
原函数 的概念
积分公式 及计算
15
轭调和函数.
5
现在提出如下问题：
已知 u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在 u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
§3-4 调和函数
1. 调和函数的概念 2. 解析函数与调和函数的关系
1
1. 调和函数的概念
定义 如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数，并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y2
0
则称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、 静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.
2
2. 解析函数与调和函数的关系
定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数. 证明 设 w f (z) u( x, y) iv( x, y) 为区域 D 内的一个解析函数，则
u v , u v . x y y x
根据解析函数的导数仍是解析函数, 因此
u( x, y) 与 v( x, y) 具有任意阶的连续偏导数,
这个函数可以化为
w f (z) i(z3 c).
8
注：已知解析函数的实部求虚部，至多相 差一个常数。
高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件
共轭调和函数
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u v x y C—R方程成立 v u y x
f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
在D内解析
注： 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
[例1]
得：
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
故 g ( x ) 3 x dx x c ,
2
3
(c 为任意常数)
因此
v(x,y)=x3–3xy2+c
从而得到一个解析函数
w=y3–3x2y+i(x3–3xy2+c)
[例1]
偏积分法也可以是下列形式：
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
4、不定积分法
[例3] 用不定积分法求解[例1]中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 3 x 2 y.
[解] f ( z ) U ( z ) ux iuy
3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
[例1]
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 6 xy, （2） 因为 y x
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 2 2 3 y 3 x , 又因为 x y
2、共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
调和函数
∆ ( au + bv ) = a∆u + b∆v
2．解析函数与调和函数的关系 定理： f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )是区域D内的解析函数
⇒ u与v是区域D内的调和函数 证明： f ( z )在D内解析 ⇒ u x = v y , v x = −u y
且u, v有任意阶连续偏导数
2 v 3 x ⇒ = + g ′( y ) ⇒ v ( x, y ) = 3 x y + g ( y ) y
2
3 2 ′ ⇒ g ( y ) = − y +C ⇒ g ( y ) = −3 y
⇒ v ( x, y ) = 3 x y − y + C 2 2 2 ′ 方法3：f ( z ) = u x − iu y = 3x − 3 y + 6ixy = 3z
2 3
⇒ f ( z ) = z + C1
3
= x − 3 xy + i (3 x y − y ) + C1
3 2 2 3
Re f ( z ) = x − 3xy ⇒ C1 = iC
3 2
⇒ f ( z ) = z + iC
3
即v是u的共轭调和函数
v ( x, y ) = ∫
x
( x, y )
( x0 , y 0 )
− u y dx + u x dy + C0
(x ,y )
0 0
(x,y)
(C0为任意常数)
y x0 y0
= ∫ − u y ( x, y0 )dx + ∫ u x ( x, y )dy + C0
(x,y )
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
§3.7 解析函数与调和函数的关系
0,0
( x, y )
u u dx dy C y x
0,0
x 0
2 x 1 dx 2 ydy C
y 0
2 x 1 dx 2 ydy C
x2 2 x y 2 C
f z u iv 2 x 1 y x 2 2 x y 2 C i
例2（P103 30题（3））
已知f(z)=u+iv解析，u=2(x-1)y，f(2)=-i,求f(z). 方法1 不定积分法
u u 2 y, 2 x 1 x y u u f z i 2 y 2 x 1 i x y
2i x iy 2i 2iz 2i
得证！
注：解析函数中u与v不独立即是一对矛盾，已知u 求v， 或已知v求u均可.
例1 已知f(z)=u+iv解析，v=2xy，求f(z).
方法1 线积分法 u u du dx dy x y
u
( x, y )
0,0
( x, y )
u u dx dy C x y
§3.7 解析函数与调和函数的关系 一、分析上解析函数是调和函数
若二元实函数u(x,y) 满足Laplace方程
2u 2u 2 0 2 x y
则称u(x,y) 是调和函数。 定理1 若 w f z u iv 是解析函数，则U和V均为调 和函数.
证明： f z 是解析函数
2 iz 2 zi C f z 2iz 2i dz
f 2 C i
f z iz 2 2 zi i
解析函数与调和函数
2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上 调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis
2.2 解析函数与调和函数的关系
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数 二、共轭调和函数 共轭调和函数 三、构造解析函数
1
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
一、调和函数
引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 无旋无源力场 设该力场为 F = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) } . (1) 无旋场 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 沿闭路做功为零 即做功与路径无关) 保守场或者梯度场或者有势场。 又称为保守场或者梯度场或者有势场 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 ϕ ( x , y , z ) , 使得
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数 解 (2) 求虚部 v( x, y )。 方法二： 方法二：全微分法
C1
( x, y)
C2
∂v ∂u ∂v ∂u 2 2 =− = 6xy , 由 = = 3x − 3 y , ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ dv = v ′x dx + v ′y dy = 6 xy dx + ( 3 x 2 − 3 y 2 )dy ,
∂ 2 u ∂ 2v , ⇒ = 2 ∂y∂x (?) ∂x
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 同理 2 ∂x ∂y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
二、共轭调和函数 共轭调和函数
定义 设函数 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 内的调和函数，
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数 二、共轭调和函数 共轭调和函数 三、构造解析函数
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§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
一、调和函数
引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 无旋无源力场 设该力场为 F = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) } . (1) 无旋场 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 沿闭路做功为零 即做功与路径无关) 保守场或者梯度场或者有势场。 又称为保守场或者梯度场或者有势场 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 ϕ ( x , y , z ) , 使得
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§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数 解 (2) 求虚部 v( x, y )。 方法二： 方法二：全微分法
C1
( x, y)
C2
∂v ∂u ∂v ∂u 2 2 =− = 6xy , 由 = = 3x − 3 y , ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ dv = v ′x dx + v ′y dy = 6 xy dx + ( 3 x 2 − 3 y 2 )dy ,
∂ 2 u ∂ 2v , ⇒ = 2 ∂y∂x (?) ∂x
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 同理 2 ∂x ∂y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
二、共轭调和函数 共轭调和函数
定义 设函数 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 内的调和函数，
调和函数与解析函数
u v u v , x y y x
的两个调和函数 u, v 中，v 称为 u 在区域 D 内的 共轭调和函数.
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由解析函数高阶导数定理知，u 和 v 具有任 意阶连续偏导，故 v yx vxy ,
从而 同理
uxx u yy 0. vxx vyy 0.
因此 u 和 v 调和.
？
已知u， 能否找到 v， 使得 u iv 解析？
u+iv = f(z)
调和
解析 为 u 的共轭调和函数
•共轭调和函数 区域 D 内满足 C.-R.方程
§7 解析函数与调和函数的关系
问题1，解析函数的性质非常好，什么样的函数能构 成解析函数的实部和虚部
问题2. 解析函数的实部和虚部的二阶导数是什么关 系
问题3. 如何根据实部（虚部）求其满足的解析函数
1
•调和函数 若二元实函数 H(x, y) 在区域 D 内具 有二阶连续偏导，且满足 Laplace 方程
6
u(x, y)=y3-3x2y
解：）由 1 ux 6xy，u xx 6 y， u y 3 y 2 3x 2，u yy 6 y，
可得
(偏积分法)
u xx u yy 0.
利用C.-R.方程
从而u 调和. 2 ）由 v y u x 6 xy 可得
2
利用C.-R.方程 的另一等式
u v u v , x y y x
的两个实值函数 u, v 中，v 称为 u 在区域 D 内的 共轭调和函数.
注 区域 D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数.
5
例1 验证 u(x, y)=y3-3x2y 是调和函数，并求以 u(x, y) 为实部的解析函数 f(z). 例2 已知一调和函数 v e x sin y, 求一解析函数 f(z)=u iv, 使 f(0)=1. 例3 已知一调和函数 v e x ( y cos y x sin y ) x y, 求一解析函数 f(z)= u iv, 使 f(0)=0.
解析函数与调和函数的定义与性质
解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。
解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。
本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。
一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。
解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。
即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2. 解析函数的复共轭也是解析函数。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。
3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。
调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。
即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。
2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。
即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。
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40 三角函数和双曲函数在其定义域内解析，反三角 函数和反双曲函数要具体讨论。
9
§2.5 调和函数
调和函数：设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有 连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方 程： xx ( x, y ) hyy ( x, y ) 0 ，则称h(x,y)其为D内的 h 调和函数。
从而f(z) c1 ic2 c.
其中c1 , c2为实常数，c为复常数）证毕
7
3、初等函数的解析性
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
故 u (2 - 2y)dx 2 x(1 y) g ( y)
u - 2xdy 2 xy h( x)
2 x(1 y) g ( y) 2 xy h( x)
即 2 x g ( y) h( x)
g ( y) c
故 f(z) u iv 2x - 2xy c i( x 2 - y 2 2y) iz 2 2 z c(c为实数）
u u( x , y )，v v ( x , y )是D内的调和函数。
共轭调和函数
设函数u(x,y)、v(x,y)均是D内的调和函数，而且它 们满足柯西—黎曼方程，则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和 函数。 u v u v C R方程 x y y x 上面定理说明：
2 2
2 y 0
(x,y ) ( x,0)
6 xydy c
3 2
3x dx 6 xydy c x - 3xy c
0
故 f(z) u iv y3 - 3x 2 y i( x 3 - 3xy 2 c)
19
例 2.24 已知f(z)的虚部为 求解析函数f(z)=u+iv，且f(0)=0.
u x 6xy, u y 3 y 2 - 3x 2
故 v
(x,y ) ( 0, 0 )
(x,y ) ( 0, 0 ) (x,0)
- u y dx u x dy c
(3x 2 - 3y 2 )dx 6 xydy c
( 0, 0 )
x
(3x - 3y )dx
重点！
§2.4 解析函数
1、定义：
如果函数f(z)不仅在 z 0处可导，而且在 z 0的某 个邻域内任意点可导，则称f(z)在 z 0 处解析.
如果函数在区域D内任意点解析，则称f(z)在区 域D内解析。 若f(z)在 z 0不解析，则称该点为f(z)的奇点。
1
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
16
方法二
定理4-6 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，(x0,y0) 为D内任意取定的点，则存在由
v( x, y ) ((xx ,,yy) ) u y dx u x dy c
0 0
确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv是D内的解析函数。
公式不用强记！可如下推出：
记u x v y
f(z) 在整个复平面上处处不解析。
3) f(z) zRe(z) (x iy)x x ixy
2
记 u x v xy u v u v 则 2x, x , 0, y x y y x
2
仅在原点满足柯西 黎曼方程 f(z) 在整个复平面上处处不解析。
8
10 指数函数ez在整个复平面上解析。 20 对数函数Lnz的主值及各分支函数在除去原点和负 实轴外处处解析。
30 幂函数 z :
1)为正整数和零时， 在整个复平面解析。 z 2）为负整数时，在除原点外整个复平面解析。 z
3）为既约分数、无理数、复数时，在除去原点和 z 负实轴外的复平面解析。
例 设u ( x, y ) x y , v( x, y ) 2 xy
2 2
u , v是调和函数吗？v为u的共轭调和函数吗？ u为v的共轭调和函数吗？
注：一般地，若v为u在D内的共轭调和函数， 则-u为v在D内的共轭调和函数， u是-v的共轭调 和函数
12
现在研究反过来的问题： u, v是任意选取的在 若
解： 1) f ( z ) x 2 y 2 i 2 xy, 则u x 2 y 2 , v 2 xy
u x 2 x v y , u y 2 y vx且显然可微
f(z) z 2在整个复平面上处处可导，
f(z) z 2在整个复平面上处处解析
2) f ( z ) x 2 y 2 i0, 则u x 2 x, v y 0, u y 2 y, vx 0
1 2 1 2 v(x,y)= 2 x 2 y
解： v x x, v y y
故 u
(x,y ) ( 0, 0 ) (x,0)
( 0, 0 )
v y dx vx dy c
ydx
0
(x,y ) ( x , 0)
(x,y ) ( 0, 0 )
ydx xdy c
y
20
四、本章总结
本章重点学习了复变函数的连续、可导、解析函数、 调和函数的概念，给出了各自的充要条件。 要求：会判断函数的连续性、可导性、解析函数和调 和函数。
它们之间的关系：
未必 未必 必然 连续函数 可导函数 解析 调和函数 必然 必然 未必
f(z) z 在整个复平面上除z 个复平面上处处不解析
3
2
问题
如何判断函数的解析性呢？
2、函数解析的充要条件
定理2.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D 内解析的充要条件是：u,v在D内可微，且满足柯 西—黎曼方程。
记忆
D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 . 即, f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在D内解析 在D内v ( x , y )必为u u( x , y )的共轭调和函数 .
11
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则f(z)在D内解析
在D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数 f(z)=v(x,y)-iu(x,y)在区域D内亦解析 f(z)=-v(x,y)+iu(x,y)在区域D内亦解析
类似地， 然后两端积分得，
u( x , y )
( x, y)
( x 0 , y0 )
v y dx v x dy c
( )
18
例 2.23 已知调和函数u(x,y)= y 3 3 x 2 y 求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。
解： u y 3 - 3x 2 y
(在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是 一个整体概念)
注： 1） f(z)在某点解析，也就是指f(z)在包含该点 的某邻域内解析。 2）f(z)在闭区域 D 上解析，也就是指f(z)在包 含 D 的某邻域内解析。
2
例 讨论函数的解析性 z 2 的解析性 1）f(x)= 2 2）f(x)= z 的解析性
6
例2.20 证明若函数f(z)在某区域内任意点均解析且导 数为零，则该函数在此区域上为常数。
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f / ( z ) u x ivx v y iu y 0 u x u y 0, vx v y 0
知 : u( x, y) c1 , v( x, y) c2
f(z) 在整个复平面上处处解析。
2） f(z) z x - iy
u v 则 1 1 x y
记 u x v y
f(z) 在整个复平面上处处不解析。
5
而 f(z) z x iy
u v u v 则 1 , 0 且显然处处连续 x y y x
已知：u( x , y ), 求其共轭调和函数( x , y ) : v v v C R方程 由dv dx dy u y dx u x dy x y 然后两端积分。
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v v C R方程 v v 由du dx dy dx dy x y y x
g(x) c
v x -shxcosy g(x) u y -shxcosy
故 f(z) u iv shxsiny - i(chxcosy c)
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2） v x 2 - y 2 2y
v x 2x -u y , v y 2 - 2y u x
例2.19 讨论下列函数的解析性 1）f(z)=2x(1-y)+i(x2-y2+2y) 2) f(z)= z 3) f(z)=zRe(z)=(x+iy)x
u x v x
u y v y
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解：1) 记 u 2x(1 - y) v x 2 - y 2 2y
u v u v 则 2(1 - y) , 2x x y y x u u v v 又 、 、 、 在整个复平面上连续 x y x y
五、作业：
2.4.7 a . d 2.5.5 2.4.9 b 2.5.9 d 2.4.13. c f 2.5.10 d i
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