调和函数
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
2.3调和函数
v 6 xydy 3xy2 g( x),
v 3 y2 g( x), x
又因为 v u 3 y2 3x2, x y
3 y2 g( x) 3 y2 3x2, (c 为任意常数)
故 g( x) 3x2dx x3 c, v( x, y) x3 3xy2 c,
二、解析函数与调和函数的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
反之,给定D内调和函数u(x,y), v(x,y)，分别以它 们为实部和虚部构成的复变函数 u(x,y)＋iv(x,y) 是否就是解析函数?
三、 共轭调和函数
设 u(x, y) 为区域D内给定的调和函数, 我 们把使u iv 在 D内构成解析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数.
例2 求 k 值, 使 u x2 ky2 为调和函数. 再求v, 使
f (z) u iv 为解析函数, 并求 f (i) 1的 f (z).
解 因为 u 2x, x
2u x 2
2,
u 2ky, y
2u y2
2k
,
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f (z) U(z) ux iuy 2x 2kyi
得一个解析函数 w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c).
这个函数可以化为 w f (z) i(z3 c).
方法二：不定积分法
解析函数 f (z) u iv 的导数 f (z) 仍为解析函数,
且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx
把 ux iuy用 z 表示： f (z) ux iuy U(z),
2x 2kyi 2x 2 yi 2z,
调和函数
调和函数harmonic function定义：在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。
调和函数-----数学物理方程如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数.满足拉普拉斯方程在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。
更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：拉普拉斯方程1拉普拉斯方程2形如上式右端的积分称作泊松积分。
设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。
这就是调和函数的最大、最小值原理。
由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即拉普拉斯方程，在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
二维调和函数与解析函数论有着密切联系。
在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。
用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。
调和函数
∆ ( au + bv ) = a∆u + b∆v
2．解析函数与调和函数的关系 定理： f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )是区域D内的解析函数
⇒ u与v是区域D内的调和函数 证明： f ( z )在D内解析 ⇒ u x = v y , v x = −u y
且u, v有任意阶连续偏导数
2 v 3 x ⇒ = + g ′( y ) ⇒ v ( x, y ) = 3 x y + g ( y ) y
2
3 2 ′ ⇒ g ( y ) = − y +C ⇒ g ( y ) = −3 y
⇒ v ( x, y ) = 3 x y − y + C 2 2 2 ′ 方法3：f ( z ) = u x − iu y = 3x − 3 y + 6ixy = 3z
2 3
⇒ f ( z ) = z + C1
3
= x − 3 xy + i (3 x y − y ) + C1
3 2 2 3
Re f ( z ) = x − 3xy ⇒ C1 = iC
3 2
⇒ f ( z ) = z + iC
3
即v是u的共轭调和函数
v ( x, y ) = ∫
x
( x, y )
( x0 , y 0 )
− u y dx + u x dy + C0
(x ,y )
0 0
(x,y)
(C0为任意常数)
y x0 y0
= ∫ − u y ( x, y0 )dx + ∫ u x ( x, y )dy + C0
(x,y )
调和函数极值原理
调和函数极值原理调和函数是指具有形式为f(x) = 1/x的函数，其中x不等于0。
在数学中，调和函数是一类特殊的函数，它们在很多领域都有重要的应用。
在本文中，我们将探讨调和函数的极值原理，以及如何利用这一原理解决实际问题。
首先，我们来看一下调和函数的性质。
调和函数f(x) = 1/x在定义域内是单调递减的，并且当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于0。
这意味着调和函数在定义域内没有极大值或极小值，但它可能在一些特殊情况下取得极值。
接下来，我们将讨论调和函数的极值原理。
对于调和函数f(x) = 1/x，如果在某一区间[a, b]内存在极值，那么这个极值一定是在区间的端点处取得的。
换句话说，调和函数在有限区间内的极值只可能出现在区间的端点处。
为了更好地理解调和函数的极值原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
考虑函数f(x) = 1/x在区间[1, 2]上的极值情况。
根据极值原理，我们知道f(1) = 1和f(2) = 1/2，因此极小值为1/2，极大值为1。
这个例子验证了调和函数极值原理的有效性。
在实际问题中，调和函数的极值原理可以帮助我们解决一些优化和最值求解的问题。
例如，在工程领域中，我们经常需要考虑如何设计一个系统，使得某些性能指标达到最优。
通过利用调和函数的极值原理，我们可以更好地优化系统的设计，使得系统的性能达到最优状态。
此外，调和函数的极值原理也在数学分析和微积分中有重要的应用。
通过深入研究调和函数的极值原理，我们可以更好地理解函数的性质，从而为更复杂的函数求极值提供了重要的思路和方法。
综上所述，调和函数极值原理是指调和函数在有限区间内的极值只可能出现在区间的端点处。
这一原理在数学分析、工程优化等领域都有重要的应用价值，对于理解函数的性质和解决实际问题都具有重要意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解调和函数的极值原理，并在实际问题中应用这一原理，取得更好的效果。
关于调和函数
0
F
u f ( x ), x , 2 牛曼内问题 u 有解的必要条件是 n ( x )
dS 0.
因为
V
(u 2 v v 2u )dV (u
S
v u v )dS n n
，则
设u在内是调和函数 且 取 v 1 ,
1 u(M 0 ) 2 4 a
Байду номын сангаас
ka
udS
4 极值原理
对不恒等于常数的调和 函数u( x , y, z ), 其在区域的任何 内点上的值都不可能达 到它在上的上界和下界 .
例如，稳定的温度场，热量由外面流入，经过物体内部 流出，达到动态平衡，因此当物体内部没有热源时，温 度分布不可能在内部有最高点或最低点．
u S n dS 0
于是
u ( x) n
dS 0.
函数
1 v( M 0 ) 4
是泊松方程
rM M d
0
F
v F
一个特解 .
3 平均值公式
调和函数在其定义域 内任一点的值等于它在 以该点为心且 包含于的球面上的平均值:
5 拉普拉斯方程解的唯一性问题 狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数 外也是唯一确定的。
1 u(M 0 ) 4
1 1 u S (u n ( r ) r n )dS
如果u在 S上有连续的一阶偏导数在区域内, u F , 则 ,
1 u(M 0 ) 4
1 1 1 u S (u n ( r ) r n )dS 4
rM M d
第三章 调和方程
方程
25.调和函数
v u 6 xy , 则 求u为实部的解析函数. 由 y x
v 6 xydy 3 xy 2 g ( x ),
v 3 y 2 g( x ). x
v u 3 y 2 3 x 2 , 所以 又因为 x y
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
w f ( z ) i ( z 3 C ),
其中C为任意实常数.
求u为实部的解析函数的另一方法.
u 6 xy , 因为 x
u 3 y 2 3 x 2 , 所以 y
u u 2 2 f (z) i 6 xy 3( y x )i . x y
由于解析函数的导数仍是解析函数, 因此u(x,y)和
v(x,y)存在各阶连续偏导数. 将
u v , x y
分别对x和y求导，则
u v y x
u v , 2 x x y
2
2
2u v . 2 y y x
当混合偏导数连续时，求导次序可以交换. 因此，
u u 2 0, 2 x y
2
即u(x,y)是调和函数. 同理可证v(x,y)也是调和函数.
如果任给区域 D内两个调和函数u(x,y)和v(x,y),
那么u(x, 2 f ( z ) x y 2 xyi . 考虑 f ( z ) x y 2 xyi 和 2 2
例1
3 2 证明 u( x, y ) y 3 x y 是全平面内
的调和函数，并求以它为实部的解析函数. 解 因为在全平面内
u 6 xy , x
u 2 6 y , x
2
2 u u 2 2 3 y 3x , 2 6 y, y y
调和函数满足的条件
调和函数满足的条件一、引言调和函数是数学中一类重要的函数，它在物理、工程和应用数学中有着广泛的应用。
调和函数的定义比较简洁：在某个区域内，调和函数等于它周围点的平均值。
本文将详细探讨调和函数满足的条件及其性质。
二、调和函数的定义调和函数一般用Φ表示，对于二维情况，调和函数Φ(x,y)的定义为：在某个区域内，Φ(x,y)在这个区域内的每一点(x,y)处的值等于它周围点的平均值。
对于三维情况，调和函数的定义可以类似地推广。
三、调和函数的性质调和函数具有以下一些重要的性质：1. 连续性调和函数在其定义区域内连续，这是调和函数的最基本性质之一。
通过定义可知，调和函数等于其周围点的平均值，因此在定义区域内任意点的小邻域内，函数值不会出现突变或跳跃。
2. 光滑性调和函数在其定义区域内光滑，也就是说，调和函数具有无穷阶导数。
这一性质是由于调和函数等于其周围点的平均值，因此通过对调和函数进行求导，可以得到更高阶的导数。
3. 极值性调和函数在其定义区域内不具有局部极值点，也就是说，调和函数在其定义区域内不会同时满足偏导数为零的条件。
这是因为，假设调和函数在某点处取得极值，根据调和函数的定义，其他点的平均值必然也等于这个极值，从而使得整个区域内的函数值处处相等，矛盾。
4. 平均值性调和函数在其定义区域内满足平均值性，即调和函数在任意区域内的平均值等于该区域边界上的函数值的平均值。
这是由调和函数的定义直接推导出来的，也是调和函数的一个重要性质。
四、调和函数的解析解在某些特殊情况下，可以求得调和函数的解析解。
常见的情况包括矩形区域和圆形区域内的调和函数。
1. 矩形区域内的调和函数在矩形区域内，调和函数的解析解可以表示为一个无穷级数的形式。
该级数是由正弦函数和余弦函数构成的，每个正弦函数或余弦函数与它们对应的系数构成级数项，系数是通过矩形区域的边界条件来确定的。
2. 圆形区域内的调和函数在圆形区域内，调和函数的解析解可以表示为一个无穷级数的形式，该级数是由与圆形边界相切的圆周上的正弦函数和余弦函数构成的，每个正弦函数或余弦函数与它们对应的系数构成级数项，系数也是通过圆形区域的边界条件来确定的。
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本章主要内容
有向曲线
复积分
积分存在的 条件及计算
积分的性质
Cauchy积分定理
Cauchy 积分公式
高阶导数 公式
复合 闭路 定理
原函数 的概念
积分公式 及计算
15
轭调和函数.
5
现在提出如下问题：
已知 u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在 u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
§3-4 调和函数
1. 调和函数的概念 2. 解析函数与调和函数的关系
1
1. 调和函数的概念
定义 如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数，并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y2
0
则称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、 静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.
2
2. 解析函数与调和函数的关系
定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数. 证明 设 w f (z) u( x, y) iv( x, y) 为区域 D 内的一个解析函数，则
u v , u v . x y y x
根据解析函数的导数仍是解析函数, 因此
u( x, y) 与 v( x, y) 具有任意阶的连续偏导数,
这个函数可以化为
w f (z) i(z3 c).
8
注：已知解析函数的实部求虚部，至多相 差一个常数。
9
例 2 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 1. 解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1,
3
u v , u v 分别关于x, y求导 x y y x
2u 2v , x2 yx
2u
2v
y 2
. xy
再由二阶导函数的连续性
2v 2v yx xy
得
2u x 2
2u y2
0,
因此 u( x, y) 是调和函数.
同理
2v 是调和函数.
4
反之， 任给区域 D内的两个调和函数u( x, y)、v( x, y),
v 6 xydy
3xy2 g( x),
g( x) 3x2dx x3 c,
(c 为任意常数)
v( x, y) x3 3xy2 c,
v 3 y2 g( x), x 又 v u 3 y2 3x2, x y
3 y2 g( x) 3 y2 3x2,
得解析函数 w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c).
x v e x (cos y y sin y x cos y) 1, y
由 u v ex (cos y ysin y xcos y) 1, x y
得 u [e x (cos y y sin y x cos y) 1]dx
10
u ex ( xcos y ysin y) x g( y), 由 v u , 得
u( x, y) iv( x, y) 在 D内是否为解析函数？ 例如：f (z) x2 y2 2xyi
答：不一定.
定义 设 u( x, y) 为区域 D内给定的调和函数, 我 们把使 u iv 在 D内构成解析函数的调和函数 v( x, y) 称为 u( x, y)的共轭调和函数.
推论：区域 D 内解析函数的虚部为实部的共
由 f (0) 1, 得 c 1, 所求解析函数为
f (z) zez (1 i)z 1.
12
注意：当 u(x, y)在 D内是v(x, y)的共轭调和函数 时，在D内u(x, y) 不一定是 v(x, y)的共轭调和函
数。
13
作业
P100
7. (6)—(10)
P103 30. (1)—(2).
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y),
g( y) 1, 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
11
f (z) u iv xexeiy iyexeiy x(1 i) iy(1 i) c zez (1 i)z c,
6
3. 计算实例
例 1 证明 u(x, y) y3 3x2 y 为全平面上的调和
函数，并求以其为实部的解析函数.
解 因为 u 6xy, x
2u x2 6 y,
u 3 y2 3x2 , y
2u y2 6 y,
于是
2u x 2
2u y2
0,
故 u( x, y) 为调和函数.
7
令 v u 6xy, y x