2.3调和函数
2-3节调和函数10
都是调和函数。 即 u、v 都是调和函数。
共轭调和函数： 共轭调和函数：
满足C R条件的两个调和函数 u( x , y ) 和v ( x , y )称为互为 共轭调和函数。 共轭调和函数。
解析函数与调和函数的 关系： 关系：
u v = 2 y + ′( x ) = y = 2 y x x
′( x ) = x
1 2 ( x) = x + C 2
1 2 1 2 v ( x , y ) = 2 xy + y x + C 2 2
从而得到 :
1 2 1 2 f ( z ) = x y + xy + i ( 2 xy + y x + C ) 2 2
u( x , y ) = ∫ y u v dy = ∫ dy = ∫ 2 dy 2 x +y y x
1 = ln( x 2 + y 2 ) + g ( x ) 2
由
x u x = 2 + g′( x ) = v = x x + y 2 y x 2 + y 2
知 g′( x ) = 0
所以 g ( x ) = C
例2 已知调和函数 u( x , y ) = x 2 y 2 + xy
求一个满足条件 f ( 0) = 0 的解析函数 f ( z ) = u + iv
u 解: = 2x + y x
由 C R 条件
u = 2 y + x y
v u = = 2x + y y x
于是
1 2 v = ∫ ( 2 x + y )dy = 2 xy + y + ( x ) 2
调和函数Liouville定理的推广
调和函数Liouville定理的推广调和函数Liouville 定理的推广Liouville 定理是非常重要的一个定理，它在物理学中，数学中都有着重要的位置，在研究复分析、哈密顿力学、数论、微分、代数中都有它的身影出现。
调和函数是指满足拉普拉斯方程且存在二阶连续偏导的实解析函数。
调和函数Liouville 定理：如果h 在2上是调和函数且在n上满足0h ≥，则h 就等价于一个（非负）常函数。
定理一：如果h 在n调和，P 是一个使hP 0≥且趋近于无穷的调和多项式，那么h 就等价于一个常数乘以P 。
定理二：如果f 在n上是m 阶多重调和的，并且0f ≥且f 趋近于无穷，那么f 是一个小于等于2m-2次的（非负）多项式。
定理三:如果h 在n 上调和，那么在任意点0x ∈n00202(,)()lim (,,)(,)lim(,,)p pmp mm n D h x M x h x v m n A x h x ρρμρρρρ→∞→∞==其中,(2)(,)(,)(2)(4)...(2)m p n m m n nv m n n n n n mμ=+==+++。
定理四：如果h 在n 上调和，m 是一个正整数，并且1lim (,0,)0m r M h r r +→∞=（特别是当()lim 0m r h x r →∞=时）则h 是一个低于m 次的多项式。
关键词：调和函数，Liouville 定理，推论，调和多项式第一章绪论1.1 概述Liouville 定理是非常重要的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫.刘维尔最先证明。
它在物理学中，数学中都有着重要的位置，在研究复分析、哈密顿力学、微分中都有它的身影出现。
在复分析中Liouville 定理对整函数（即在整个复数域上都是全纯函数）的值域进行了刻画，它的内容为任何有界的整函数都恒等于一个常数。
在物理学中，Liouville 定理是经典统计力学和哈密顿力学中的重要定理，该定理表明相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。
高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件
共轭调和函数
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u v x y C—R方程成立 v u y x
f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
在D内解析
注： 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
[例1]
得：
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
故 g ( x ) 3 x dx x c ,
2
3
(c 为任意常数)
因此
v(x,y)=x3–3xy2+c
从而得到一个解析函数
w=y3–3x2y+i(x3–3xy2+c)
[例1]
偏积分法也可以是下列形式：
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
4、不定积分法
[例3] 用不定积分法求解[例1]中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 3 x 2 y.
[解] f ( z ) U ( z ) ux iuy
3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
[例1]
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 6 xy, （2） 因为 y x
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 2 2 3 y 3 x , 又因为 x y
2、共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
2.3调和函数
v 6 xydy 3xy2 g( x),
v 3 y2 g( x), x
又因为 v u 3 y2 3x2, x y
3 y2 g( x) 3 y2 3x2, (c 为任意常数)
故 g( x) 3x2dx x3 c, v( x, y) x3 3xy2 c,
二、解析函数与调和函数的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
反之,给定D内调和函数u(x,y), v(x,y)，分别以它 们为实部和虚部构成的复变函数 u(x,y)＋iv(x,y) 是否就是解析函数?
三、 共轭调和函数
设 u(x, y) 为区域D内给定的调和函数, 我 们把使u iv 在 D内构成解析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数.
例2 求 k 值, 使 u x2 ky2 为调和函数. 再求v, 使
f (z) u iv 为解析函数, 并求 f (i) 1的 f (z).
解 因为 u 2x, x
2u x 2
2,
u 2ky, y
2u y2
2k
,
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f (z) U(z) ux iuy 2x 2kyi
得一个解析函数 w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c).
这个函数可以化为 w f (z) i(z3 c).
方法二：不定积分法
解析函数 f (z) u iv 的导数 f (z) 仍为解析函数,
且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx
把 ux iuy用 z 表示： f (z) ux iuy U(z),
2x 2kyi 2x 2 yi 2z,
调和函数和调和级数
调和函数和调和级数调和函数和调和级数是数学中用于研究连续变化的重要概念。
调和函数可以表示在不同位置上出现的不同振幅的连续变化，而调和级数能够把这些连续变化表示为一系列的有限数列。
本文将详细阐述这两个概念，包括它们的定义、几何意义以及在数学理论和应用中的作用。
首先，让我们来详细讨论调和函数。
它是指一种满足特殊条件的有限复数序列f= {f_n| n=1,2,3,…}，它能够产生一个调和函数F(x)，其中x∈R。
调和函数F(x)的表达式可以写成：F(x) =f_ncos(2πnx)，其中n∈N，x∈R。
它完全表达了复数序列中不同振幅的连续变化，因此它可以用来描述现实中某种连续变化的特征。
此外，调和级数也是研究连续变化的重要概念。
调和级数的定义是这样的：调和函数F(x)可以用一系列有限数列来表示，即F(x) =f_n，其中n∈N，x∈R。
它的几何意义是，把调和函数的值放大，可以得到一个单调递增的数列，即F(x) =f_n2。
调和级数把一个变化的连续函数表示为一系列有限数列，这样就可以更容易地对其进行分析和处理。
调和函数和调和级数在数学理论和应用中都有广泛的应用。
在理论方面，它们在分析函数行为和研究函数空间中发挥了重要作用。
它们能够明确地说明连续函数的行为，有助于提高函数的理解性。
此外，它们也在实际工程中有重要的应用，比如数字信号处理和数字图像处理中，它们被广泛用于提取信号特征、进行图像增强和模糊处理等。
综上所述，调和函数和调和级数是数学中用于研究连续变化的重要概念。
它们能够明确地说明连续函数的行为，有助于提高函数的理解性，同时也在实际工程中有广泛的应用。
希望通过本文的讨论，能帮助读者更好地理解调和函数和调和级数的相关知识。
调和函数和调和级数是数学中研究连续变化的重要概念。
调和函数是一种满足特殊条件的有限复数序列，能够产生一个能够完全表达不同振幅的连续变化的调和函数F(x)。
它能够用来描述现实中某种连续变化的特征。
调和函数的解析性定理
调和函数的解析性定理
调和函数是一类重要的数学函数，它与解析函数有着密切的关系。
调和函数的解析性定理可以帮助我们更好地理解调和函数的特性。
调和函数解析性定理是指：若圆柱体的斜边所指的平面内的每个点的函数值都大于等于0，那么这个函数即为调和函数。
这是由德尔多夫定理所推导而来的，德尔多夫定理又被称为满足离散组合规律的数学定理。
调和函数，如h(x)=x+1/x+1/x，由于它满足离散组合规律，称
之为调和函数。
它的解析性定理指的是，若圆柱体的斜边所指的平面内的每个点的值都大于等于0，那么这个函数即为调和函数。
对于任意一个离散组合来说，如果每个离散组合中的点的函数值都不小于0，那么我们就可以说满足此离散组合的所有点的函数值在指定的平面区域内均不小于0，则此函数为调和函数。
调和函数的解析性定理可以很好地帮助我们处理许多实际问题。
例如，用调和函数求解一元线性微分方程的解析性定理，指的是用调和函数定义的一元线性微分方程的解，其中任何函数值都必须大于等于0。
另一个实例是曼尼斯特定理，即满足特定条件的曲线，当非交叉节点数量大于4时，它必然是调和函数。
由于调和函数的解析性定理的存在，在处理接受离散组合规律的数学问题时，我们可以更好地把握它的规律和特性。
它为我们提供了一种更快捷、更有效的解决方法，可以减少算法的时间复杂度，提高处理的效率。
总之，调和函数的解析性定理是一个非常重要的数学定理，它对接受离散组合规律的数学问题有着非常大的帮助，可以让我们更好地处理调和函数。
调和函数满足的条件
调和函数满足的条件一、引言调和函数是数学中一类重要的函数，它在物理、工程和应用数学中有着广泛的应用。
调和函数的定义比较简洁：在某个区域内，调和函数等于它周围点的平均值。
本文将详细探讨调和函数满足的条件及其性质。
二、调和函数的定义调和函数一般用Φ表示，对于二维情况，调和函数Φ(x,y)的定义为：在某个区域内，Φ(x,y)在这个区域内的每一点(x,y)处的值等于它周围点的平均值。
对于三维情况，调和函数的定义可以类似地推广。
三、调和函数的性质调和函数具有以下一些重要的性质：1. 连续性调和函数在其定义区域内连续，这是调和函数的最基本性质之一。
通过定义可知，调和函数等于其周围点的平均值，因此在定义区域内任意点的小邻域内，函数值不会出现突变或跳跃。
2. 光滑性调和函数在其定义区域内光滑，也就是说，调和函数具有无穷阶导数。
这一性质是由于调和函数等于其周围点的平均值，因此通过对调和函数进行求导，可以得到更高阶的导数。
3. 极值性调和函数在其定义区域内不具有局部极值点，也就是说，调和函数在其定义区域内不会同时满足偏导数为零的条件。
这是因为，假设调和函数在某点处取得极值，根据调和函数的定义，其他点的平均值必然也等于这个极值，从而使得整个区域内的函数值处处相等，矛盾。
4. 平均值性调和函数在其定义区域内满足平均值性，即调和函数在任意区域内的平均值等于该区域边界上的函数值的平均值。
这是由调和函数的定义直接推导出来的，也是调和函数的一个重要性质。
四、调和函数的解析解在某些特殊情况下，可以求得调和函数的解析解。
常见的情况包括矩形区域和圆形区域内的调和函数。
1. 矩形区域内的调和函数在矩形区域内，调和函数的解析解可以表示为一个无穷级数的形式。
该级数是由正弦函数和余弦函数构成的，每个正弦函数或余弦函数与它们对应的系数构成级数项，系数是通过矩形区域的边界条件来确定的。
2. 圆形区域内的调和函数在圆形区域内，调和函数的解析解可以表示为一个无穷级数的形式，该级数是由与圆形边界相切的圆周上的正弦函数和余弦函数构成的，每个正弦函数或余弦函数与它们对应的系数构成级数项，系数也是通过圆形区域的边界条件来确定的。
调和函数
性质
在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数 的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。
调和函数
数学术语
01 定义
03 性质 05 推广
目录
02 例子 04 06 “重调和”方程
调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一 阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在 和惟一性定理。
如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子 和偏导数算子是交换的。
在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可 以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。
调和函数研究的一个推广是黎曼流形上的调和形的研究，后者与上同调的研究有关。此外，可以定义调和的 向量值函数，或者两个黎曼流形间的调和映射。这些调和映射出现在最小表面理论中。比如说，一个从R上区间射 到一个黎曼流形的映射是调和的当且仅当它是一条短程线。
“重调和”方程
若u(x,y)足“重调和”方程
收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。
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定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数： u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足 u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1： f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数 u与v是区域D内的调和函数
v为u的共轭调和函数 .
解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另 一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数 u x, y x2 y2 xy ,
求一解析函数f(z)=u+iv
解：（法一） ux 2x y , uy 2 y x
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
f
z
x2
y2
xy
i
1 2
y2
2xy
1 2
x2
c
f (z) 1 (2 i)z2 ic, 这里c是任意实常数。 2
即为所求解析函数。
（法三）
f z ux ivx ux iuy 2x y i 2y x
2x i2y y ix 2 x iy i x iy
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy 是解析函数，
f z 2xy i x2 y2 不是解析函数。
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程，
则称v为u的共轭调和函数 .
定理2：函数f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内解析
证明： f (z)在D内解析 ux vy , vx uy , 且u, v有任意阶连续偏导数 uxx vxy , u yy vxy uxx uyy 0. 同样可得 vxx vyy 0.
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f (z) u iv
2 i z
f
z
1
i 2
z
2
c.
注意到u(x,y)不包含任意常数,所以c为纯虚数,即 c=ic1,这里c1是任意实数.
C R方程 f 0, f (z) u(x, y) iv(x, y)仅与z有关。 z
令z x i0,则f (z) f (x i0) f (x).
（法三）
f z ux ivx ux iuy 2x y i 2y x
令z x i0,则f (x) 2x ix.
f (x) x2 1 ix2 c. 2
f
z
1
i 2
z
2
c.
注意到u(x,y)不包 含任意常数,所以c 为纯虚数
由 C-R 方程 vy ux 2x y v 2x y dy
2xy 1 y2 c x
2
vx 2y c x,
由vx
uy
2y
c x
2y
x
c
x
1 2
x2
c
,
所以 v x, y 1 y2 2xy 1 x2 c . 于是