奇偶函数的运算法则
2021-8-5 函数奇偶性、周期性+指数函数性
一、函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 奇函数设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数 设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且g (－x )＝g (x )，则这个函数叫做偶函数关于y 轴对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. [微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0).(3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0). 4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称.知识梳理函数奇偶性、周期性+指数函数考点一 判断函数的奇偶性【典例1-1】下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．()ln xf x x=B ．32()f x x x =+C ．()||f x x x =- D ．)()lgf x x =-【典例1-2】已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()f x x =-；若0.250.3a -=，0.25log 0.3b =，0.3log 2.5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【跟踪训练】【跟踪训练1】偶函数()f x 满足11()()22f x f x -=+，且在7,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()log 1f x x =-，则1(2)f --=（ ） A ．2log 72-B ．1C ．2log 32-D ．2log 71-【跟踪训练2】设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ） A ．(),1-∞-B ．()1,+-∞C ．(),2-∞-D ．()2,+-∞【跟踪训练3】设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（ ）A ．11(,)(,)22-∞-+∞B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-经典例题剖析规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.考点二 函数的周期性及其应用【典例2-1】已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（ ）． A ．2021B ．1C ．0D ．1-【典例2-2】已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【跟踪训练】【跟踪训练1】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【跟踪训练2】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()(1)f x f x =-，则(2018)(2019)(2020)f f f ++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【跟踪训练3】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-．当12x ≤≤时，()()2log 7f x x =+，则()2021f =（ ） A ．3B ．3-C ．5-D ．5规律方法1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.考点三 函数性质的综合运用【典例3-1】已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（ ）A ．()()sin x xf x e e -=+ B ．()()sin x xf x e e -=- C ．()()cos x xf x e e -=-D ．()()cos x xf x e e -=+【典例3-2】函数()2cos x x xf x-=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【跟踪训练】【跟踪训练1】已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【跟踪训练2】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5规律方法周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.[方法技巧]1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用.[易错防范]1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.1．给定函数2()2,()4,f x x g x x =+=-对于,x R ∀∈用()M x 表示(),()f x g x 中的较小者，记为{}()min (),()M x f x g x =，则()M x 的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．3D ．42．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．﹣13．已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0,f x f x x '+>则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,04π⎛⎤- ⎥⎝⎦4．已知定义在（0，+∞）上的函数满足()()()()2ln 1xe xf x x f x x x x'+-=+-，则下列不等式一定正确的是（ ）A ．()1412f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．()()421f ef <C ．()()4293ef f >D ．()3116222ef f ⎛⎫< ⎪⎝⎭5．我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的大致图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()ln cos ||f x x x =-B ．()ln sin ||f x x x =-C ．()ln cos ||f x x x =+D ．()ln sin ||f x x x =+强化练习6．我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数()2x x x f x e e-=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于函数y ＝f （x ），其定义域为D ，如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调函数；②当f （x ）的定义域为[m ，n ]时，值域也是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]是函数f （x ）的“K 区间”.若函数f （x ）＝a （a ＞0）存在“K 区间”，则a 的取值范围为（ ）A ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．（14，1] 8．已知实数a ，b ，c 满足ln b a e c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b >>9．已知实数x ，y ，z 满足ln y x e x ye =且1ln z x e ze x=，若1y >，则（ ） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y z x >>D ．y x z >>10．若函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()()(),0,sin cos x f x x f x x π∈-<'恒成立，则（ ）A 5364f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5364f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 5364f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5364f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、指数与指数函数1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)a >1 0<a <1R [微点提醒]1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.知识梳理考点一 指数幂的运算【例1-1】 化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0).【例1-2】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)12.规律方法1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二 指数函数的图象及应用【例2-1】若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.【例2-2】(1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【例2-3】若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________.经典例题剖析考点三 指数函数的性质及应用【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______. (2)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________.【例3－3】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.规律方法1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.[方法技巧]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论.4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.5.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.1.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <02．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b3．(2019·镇江模拟)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b 4．函数y ＝21e x －的图象大致是( )5．若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)强化练习6．(多选)下列函数中值域不为正实数集的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1D ．y ＝3|x |7．(2020·徐州质检)若函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则m ＋n ＝________. 答案 78．若函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 9．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．11．求函数f (x )＝－4x －2x ＋1＋3的定义域、值域．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．13．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x >2时，f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b ＝f (0.91.1)，c ＝f (2)的大小关系是________．(按由大到小排列)14．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．15．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是______________．16．(2019·连云港模拟)已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．。
专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上；②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <；③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有) ()(f x f x --=，那么函数()f x 就叫做奇函数关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称．(2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称．(3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称．(4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称．4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 为增函数，1()f x 为减函数；④若()0f x >且()f x 为减函数，1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()(01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）．A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y =）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()(2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数；2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e ex xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-.（1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =+；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值．4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ．5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,x m m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（）A ．24y x x =-B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -=B ．3y x =C ．ln y x=D ．y x=例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 7b f =，()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a<<D ． a c b<<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln 3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）．A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x=--C ．3y x x=--D ．3=-+y x x例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x=B ．()22g x x x=+C ．()3g x x x=-D ．()()x xg x e e-=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ).（4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,+∞上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a +=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330x xa a a f x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为()A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+.(1)求()1f 和()1f -的值；(2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =++（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113e sin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数()()22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+=（2）max min ()()2f x f x M +=题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln 3e e f f f <<-B ．()()()3e ln 3ef f f -<<C ．()()()3e e ln 3f f f <-<D ．()()()3ln 3e ef f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f =则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x -=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x =≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i ii x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf x a +≤恒成立，则1a ≥-）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．xx类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()(xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n ng x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++ ．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数)(2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数)(3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数)(4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x xf x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33ex x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（）A ．2x y<B ．2x y>C ．x y>D ．x y<3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅+在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于()A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x-=+，则曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lg f x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,1对称B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________．14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ，③()1212xxf x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=．(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥；(3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+-②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.。
剖析函数yfx与yftx的奇偶性
剖析函数y=f(x)与y=f[t(x)]的奇偶性函数的奇偶性是高中数学的重要内容，它与函数的单调性，周期性一起构成研究函数性质的三把钥匙。
函数的奇偶性是教学过程中的一个难点，笔者现就教学过程中遇到的问题加以探讨。
教材中奇偶性的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)则称f(x)为这一定义域内的奇函数。
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)则称f(x)为这一定义域内的偶函数。
在函数的奇偶性定义中，若函数y=f（x）的定义域I是关于原点对称（即xÎI，则-xÎI）且f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）则函数叫偶（或奇）函数。
由此可知：函数的定义域关于原点对称是该函数为奇（或偶）函数的必要条件。
本文主要谈谈函数y=f（x）与函数y=f(kx+b)(k¹0)在奇偶性方面的不同表现形式。
例1：y=f(x)是单调递增的奇函数，它的定义域为[-1，1]，求已知函数1y.2y=f(x) 的定义域为[-1,1]解：Q1x-?\ -1£231-1£x+1£1f(23x-)³-f(x+1)y=f(x)是奇函数Q1\ 2£2x£4-2£x£0x-)³f(-x-1)f(23y=f(x)是单调递增函数Q1\ -2£x£23x-³-x-1\ -2£x £x £-2 或 x ³ 1\x Î{}2-故2y 的定义域为x Î{}2-此时2y =0\ 值域: 2y Î{}0点评：y=f(x)(x ÎR)为奇函数Þf(-x-1)=-f(x+1) (x ÎR)例2：若函数y=f(2x+1)为奇函数，则f(-2x+1)=___________若函数y=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=_____________解：由于对应法则后边不是x ，而换成了2x+1,学生无从下手，其实，此题是把自变量x 换成了2x+1后的函数，在运算后的自变量仍然是x ，f(2x+1)是奇函数实质上还是对x 而言的。
基本初等函数
基本初等函数一.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则二.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性三.函数的图像：1、幂函数（a为实数）定义域：指代一切实数（-∞，+∞），就是R值域：对于一切指数函数y=a^x来讲。
他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。
所以值域为（0,+∞)。
a=1是也可以，此时值域恒为1。
有界性：单调性：若a>0,函数在内单调增加；若a<0,函数在内单调减少。
奇偶性：（自己观察）每种函数的图像.2. 指数函数定义域：值域：有界性：单调性：若a>1 函数单调增加；若0<a<1 函数单调减少奇偶性：周期性：注意：图形过（0，1）点a^0=1直线y=0为函数图形的水平渐近线用的较多此函数的图形，性质很重要3.对数函数1、定义域：2、值域：有界性：单调性：a>1时，函数单调增加；0<a<1时，函数单调减少奇偶性：周期性：主要性质：与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，直线x=0为函数图形的铅直渐近线e=2.7182……，无理数经常用到以e为底的对数4.三角函数（图像很重要）①正弦函数：定义域：值域：[-1,1]有界性：[-1,1] 有界函数单调性：（-T/2,T/2）单调递增奇偶性：奇函数周期性：以为周期的周期函数；②余弦函数：定义域：值域：[-1,1]有界性：[-1,1] 有界函数单调性：奇偶性：偶函数周期性：③正切函数：定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：④余切函数：，定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：，5.反三角函数①反正弦函数：定义域：[-1,1]值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：②反余弦函数：定义域：[-1,1]值域：有界性：单调性：单调减少奇偶性：周期性：③反正切函数：---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：反余切函数---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调减少；奇偶性：周期性：以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。
高中数学(人教B版)函数的奇偶性(2)
课堂小结
二. 函数运算与奇偶性:
1
∵−1 ∈而1 ∉ ,
－1
O 1
P
∴ 是非奇非偶函数.
Q
－1
x
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
2
1
−
≥ 0, 得定义域 = −1,0 ⋃ 0,1 ,
解 (4)由
3− − 3 ≠ 0
∴∀ ∈, − ∈.
1 − 2
由定义域, =
=−
3− − 3
∴ − = −
∀ ∈ , − ∈, 且 − = , 则 为偶函数.
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) = + 1 − − 1 ;
(2) = 1;
2 − 1
3 =
− 1;
−1
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
本题小结 对于复合函数 ,
1. 和 都是奇函数时, 为奇函数;
2. 与 一个是偶函数,另一个是奇或偶函数时, 为偶函数.
例 6 已知对于任意, ∈, 有 + + − = 2 , 且 0 ≠ 0,
综上, ∀ ∈, 都有 − = − ,
∴ 为奇函数.
1x＝－2x＝ Nhomakorabea1
2
x
小结 用定义法 判断函数 奇偶性:
(1)看定义域 D 是否关于原点对称;
(2)看 − 与 的关系.
注: ①在定义域关于原点对称的前提下, 可先化简解析式再判断;
②分段函数, 分段讨论.
例 2 判断下列函数是否具有奇偶性:
函数的性质与运算函数的特性与运算法则全解析
函数的性质与运算函数的特性与运算法则全解析函数是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在函数的学习过程中，我们需要了解函数的性质以及函数的运算法则。
本文将全面解析函数的性质和运算函数的特性与运算法则，帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的性质函数是一种从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的映射关系。
函数的性质包括定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性等。
1. 定义域：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。
在定义域之外的自变量值，函数将没有意义或无法计算。
2. 值域：函数的值域是函数在定义域内所有可能的函数值的集合。
值域的确定需要考虑函数的性质和条件。
3. 对应关系：函数的定义可以通过函数关系式、图像、列表等方式表示。
函数中的每一个自变量值都与唯一一个函数值相对应。
4. 单调性：函数的单调性描述了函数值随自变量的变化规律。
如果函数随着自变量的增大而增大（或者随着自变量的减小而减小），则函数是递增（递减）的。
5. 奇偶性：奇函数在定义域内关于原点对称，即满足f(-x)=-f(x)；偶函数在定义域内关于y轴对称，即满足f(-x)=f(x)。
二、运算函数的特性在函数的运算中，我们会遇到多个函数的组合、求导、积分等操作。
了解运算函数的特性可以帮助我们更好地进行函数运算。
1. 复合函数：复合函数是由一个函数的输出作为另一个函数的输入得到的新函数。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则复合函数表示为(f og)(x)，即f(g(x))。
2. 反函数：如果一个函数f(x)满足f(g(x))=x，那么g(x)被称为f(x)的反函数。
反函数是函数关系的倒置，可以通过求解方程或图像的对称等方式确定。
3. 导数：函数的导数描述了函数在某一点的变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
导数有多种求法，包括通过定义式、基本导数法则、求导公式以及链式法则等。
4. 积分：积分是导数的逆运算，描述了函数曲线下面积。
高一数学必修一,函数的奇偶性题型归纳
函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。
➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。
③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。
④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。
1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。
➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。
➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。
1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。
函数必备【二级结论】和知识点
1函数知识必备1、函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （1）定义域： ①x 的取值范围；②基本初等函数的定义域：分式中分母不等于零即AB中0B ≠；偶次根式被开方式大于或等于00a ≥； 零指数幂0x 中{}|0x x ≠；对数中真数大于0即log a b 中0b >．正切函数tan y x =中ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．③抽象函数的定义域：定义域是x 的取值范围；括号里的范围是相同的． ④定义域取交集：若()f x ，()g x 的定义域分别为f D 、g D ，则()()()F x f x g x =±的定义域F f g D D D =I ．（2）值域：①y 的取值范围，分段函数中值域取并集； ②求值域的几种方法：1）直接法（利用基本初等函数的值域）；2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； 3）单调性法（判断函数的单调性）；4）分离常数（分式型函数，分子分母为一次函数形式）；（3）分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，分段函数是一个函数； ①注意分界点，画图时找到临界值； ②写分段函数时，定义域不重不漏； ③带解析式时，注意定义域满足的条件．2、函数的四性：单调性、奇偶性、对称性、周期性． （1）单调性：①定义：()()()1212,x x f x f x f x >>⇒单调递增； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−>⇒⎡⎤⎣⎦单调递增；()()()12120f x f x f x x x −>⇒−单调递增；（联想）()()0f x f x '>⇒单调递增．②定义：()()()1212,x x f x f x f x ><⇒单调递减； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−<⇒⎡⎤⎣⎦单调递减；()()()12120f x f x f x x x −<⇒−单调递减；（联想）()()0f x f x '<⇒单调递减．③在公共区间上：增+增为增；减+减为减；增-减为增；减-增为减． ④复合函数的增减性：“同增异减”．⑤特殊函数的增减性：()()()()f x f x ↑↓⇒−↓↑；()()())()0f x f x ↑↓⇒≥↑↓；()()()()()()()100f x f x f x f x ↑↓⇒↓↑><或．⑥“脱掉、脱掉（脱掉f ）”：（抽象函数的单调性）若()f x 为增函数，即函数值大的自变量也大，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向不变，也就是12x x >；若()f x 为减函数，即函数值大的自变量反而小，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向改变，也就是12x x <；31a >单调递增区间为()0,+∞幂函数y x α=0α<在()0,+∞上递减0α= 没有单调性 0α>在[)0,+∞上递增7）对勾函数：()0,0by ax a b x=+>>的单调性与极值点b a ±有关．8）绝对值函数：y a x k =−（0a ≠）1a>10<a<1y=log a xyx O 0<α<1α<0α>1α=1α=011y=x αOyx5（2）奇偶性：①前提：定义域关于原点对称（若区间(),a b 上是奇函数或者偶函数，则0a b +=；若定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数）； ②定义：奇函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=−，则()f x 为奇函数（()()0f x f x −+=）；2）图象关于原点对称；3）在对称区间内，单调性相同；4）若定义域内含有0，则()00f =． 偶函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=，则()f x 为偶函数（()()0f x f x −−=）； 2）图象关于y 轴对称；3）在对称区间内，单调性相反． 注意：利用定义判断函数奇偶性的步骤：③基本初等函数的奇偶性： 函数参数取值奇偶性 一次函数()0y kx b k =+≠0b = 奇函数 0b ≠非奇非偶函数 二次函数()20y ax bx c a =++≠0b = 偶函数 0b ≠ 非奇非偶函数 反比例函数()0ky k x=≠ − 奇函数 指数函数xy a =（0a >且1a ≠） −非奇非偶函数对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）−非奇非偶函数幂函数y x α= α为奇数 奇函数 α为偶数偶函数④结论：1）函数()0f x =即是奇函数也是偶函数； 2）偶函数有()()()()f x f x f x f x =−==−； 3）奇偶性的运算规律：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数； （4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数；（6）奇±偶=非奇非偶（即奇函数中不含偶函数的项，偶函数中不含奇函数的项）； 4）x 的奇数次幂是奇函数，x 的偶数次幂是偶函数；5）若()()f x g x c =+（()g x 为奇函数），则()()2f a f a c +−=． 6）常见奇、偶函数：奇函数：xxy a a −=−；)ln y x =；x x x xa a y a a −−−=+．偶函数：+x xy a a −=；2y x a x =+．（3）对称性：①关于点对称：（横坐标和定，纵坐标和定）()f x 关于点()0,0对称，可得()()0f x f x −+=；()f x 关于点(),a b 对称，可得()()2f x a f x a b −+++=；或者()()22,f x f x a b −++=L ；若()f x 满足()()22f x f x a b +−+=，则()f x 关于点(),a b 对称．②关于轴对称：（横坐标和定，纵坐相等）()f x 关于0x =（y 轴）对称，可得()()f x f x −=；()f x 关于x a =对称，可得()()f x a f x a −+=+；或者()()2,f x f x a −=+L ；若()f x 满足()()2f x f x a =−+，则()f x 关于x a =对称．（4）周期性：（横坐标差定，纵坐相等）①定义：存在非零常数T ，对于()f x 定义域内的任意一个x ，()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT (), 0k k ∈≠Z 也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．②周期性的重要结论：1）()()f a x f b x +=+，T b a =−；2）()()f a x f b x +=−+，2T b a =−，特别地，()()f a x f x +=−，2T a =，则()()()()2f x a f x a a f x a f x +=++=−+=⎡⎤⎣⎦．3）()()1f a x f x +=±，2T a =；则()()()()12f x a f x a a f x f x a +=++==⎡⎤⎣⎦+． 4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．75）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T −=⇒． 6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T −=⇒．7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T −=⇒．3、基本初等函数的图象：指、对、幂函数的特点． （1）指数函数： 指数运算：①正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅⋅L ；②负整数指数幂：1n n a a−=（0a ≠，*n ∈N ）；③零指数幂：01a =（0a ≠）；④正分数指数幂：mna =0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =)；⑤负分数指数幂：1m n m n a a −=(0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =）；⑥指数幂的运算性质：①r s r s a a a +=；②r r s sa a a−=；③()r r rab a b =；④()()s r r s a a =．指数函数图象与性质： ①定义域：R ； ②值域：()0,+∞；③过定点：()0,1，过点()1,a ；④单调性：01a <<时，指数函数为减函数；1a >时，指数函数为增函数；⑤渐近线：x 轴（图象上下平移时，渐近线也要一同平移；图象上下翻折时渐近线也要进行翻折）．指数函数知识拓展：①指数函数xy a =与1xx y a a −⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称；②判断底数大小：令1x =，与图象交点的纵坐标为底数；③比较大小：同底、同指、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解指数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．（2）对数函数： 对数运算：①对数定义：一般地，若ba N =，则log ab N =（0a >，且1a ≠），读作“以a 为底N 的对数”．②常见的对数符号：常用对数，把10log N 记为lg N ；自然对数，把e log N 记为ln N ，其中e 2.71828=L ． ③对数恒等式：1）log 10a =；2）log 1a a =；3）log a Na N =；4）log N a a N =；④对数的运算性质：1）()log log log a a a M N M N ⋅=+；2）log log log a a a M M N N =−；3）log log a a M M αα=；4）log log log a b a NN b=（换底公式）．⑤有用结论：1）1log log a b b a =；2）log log m n a a n b b m=．对数函数图象及性质： ①定义域：()0,+∞； ②值域：R ；③过定点：()1,0，过点(),1a ；④单调性：01a <<时，对数函数为减函数；1a >时，对数函数为增函数； ⑤渐近线：y 轴（图象左右平移时，渐近线也要一同平移）． 对数函数与指数函数的关系注：同底的对数函数与指数函数互为反函数，二者的图象关于y x =对称．对数函数知识拓展：①对数函数log a y x =与11log log log a aay x x x ==−=的图象关于x 轴对称； ②判断底数大小：令1y =，与图象交点的横坐标为底数；③比较大小：同底、同真、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解对数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．⑤求复合函数的单调性时，满足两点： 1）真数部分要大于0；2）根据复合函数的“同增异减”来求函数的单调区间．9（3）幂函数：①概念：形如()y x αα=∈R 的函数称为幂函数．②常见幂函数的图象将函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图象画在同一坐标系中，如下图所示：③幂函数的性质1）所有幂函数在()0, +∞上都有定义；2）0α>时，幂函数过原点，且在[)0,+∞上单调递增；0α<时，幂函数在()0, +∞上单调递减；3）设mnα=，m ∈Z ，*n ∈Z ，(),1m n =，当n 是偶数，则幂函数既不是奇函数也不是偶函数；当n 是奇数，则当m 为奇数时幂函数是奇函数，m 为偶数时幂函数是偶函数．4）当01α<<时，函数是上凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；当1α>时，函数是下凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． 5）幂函数的图象根据奇偶性进行补全即可．4、函数零点 （1）零点定义：①对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点；②零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标.即：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点； ③函数的零点与方程根的关系：函数()()()F x f x g x =−的零点就是方程()()f x g x =的根，即函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象交点的横坐标．④三个等价关系(三者相互转化)（2）零点存在性定理：①函数()f x 在区间[],a b 上是连续不断的； ②()()0f a f b <；③则函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即至少存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 就是方程()=0f x 的根（即是函数()f x 的零点）． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．③由函数()y f x =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出()f a ·()f b 0<，如图所示．所以()f a ·()f b 0<是()y f x =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．（3）零点唯一的条件：函数()f x 在区间(),a b 上连续不断，满足()()0f a f b <，且函数()f x 在区间(),a b 上单调，则函数()f x 有唯一零点．。
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奇偶函数的运算法则
奇偶函数是高等数学中的一种基本函数，主要应用在分析和几何几何图形的练习中。
它的形式由三种：上升的奇函数、下降的偶函数和有转折的奇偶函数。
由此，可以观察到奇偶函数的规律：
1.交换律：如果一个函数f（x）是奇函数，那么其对称轴f（-x）就是偶函数，反之亦然。
2.对称性：f（x）=f（-x），当函数f（x）满足这个性质时，称其为有转折的奇偶函数。
3.反函数：如果函数y=f（x）是偶函数，则函数x=f（y）是奇函数，反之亦然。
4.调和函数：调和函数具有定义域和值域，span>它的结构性也很重要，它的奇偶性由定义域确定：当定义域为（-1，1）时，调和函数是奇函数；当定义域为（0，1）时，调和函数是偶函数。
奇偶函数的应用非常广泛，如分析图形。
在图形分析中，判断函数是奇函数还是偶函数可以帮助我们更好地研究它们的性质。
如果函数的斜率的符号变换，那么它一定是偶函数，而如果函数的斜率保持符号不变，那么它则一定是奇函数。
此外，奇偶函数在传统的高等数学的分析中也非常重要，也用于积分和导数的研究。
除了这些，奇偶函数还可以用于电路理论的研究和振荡理论的研究等。
总之，奇偶函数在现代数学中有着重要的地位，它们具有明显的性质和运算法则，可以用来解决各种复杂的数学问题。