调和函数
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
调和函数
本章主要内容
有向曲线
复积分
积分存在的 条件及计算
积分的性质
Cauchy积分定理
Cauchy 积分公式
高阶导数 公式
复合 闭路 定理
原函数 的概念
积分公式 及计算
15
轭调和函数.
5
现在提出如下问题：
已知 u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在 u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
§3-4 调和函数
1. 调和函数的概念 2. 解析函数与调和函数的关系
1
1. 调和函数的概念
定义 如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数，并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y2
0
则称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、 静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.
2
2. 解析函数与调和函数的关系
定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数. 证明 设 w f (z) u( x, y) iv( x, y) 为区域 D 内的一个解析函数，则
u v , u v . x y y x
根据解析函数的导数仍是解析函数, 因此
u( x, y) 与 v( x, y) 具有任意阶的连续偏导数,
这个函数可以化为
w f (z) i(z3 c).
8
注：已知解析函数的实部求虚部，至多相 差一个常数。
复分析中的调和函数性质研究
复分析中的调和函数性质研究复分析是数学中的一个分支领域，研究复平面上的函数及其性质。
其中一个重要的研究方向就是调和函数的性质。
调和函数是复分析中的一类特殊函数，具有多种有趣的性质和应用。
本文将对调和函数的性质进行研究和探讨。
一、调和函数的定义和基本性质调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即Δu=0。
其中Δ是拉普拉斯算子，对于复平面上的函数u(x,y)，可以表示为Δu=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0。
调和函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
调和函数具有很多基本性质，如调和函数的实部和虚部也是调和函数、调和函数的导数仍为调和函数等。
这些性质使得调和函数的研究具有很好的可行性和普适性。
二、调和函数的积分表示公式调和函数可以通过积分来表示，即u(x,y)=Re[f(z)]，其中f(z)是复平面上的解析函数。
根据调和函数的积分表示公式，可以进一步研究调和函数的性质。
例如，可以利用 Cauchy-Riemann 方程推导出调和函数的光滑性和调和函数在边界上的取值等。
三、调和函数的奇点调和函数可能存在奇点，即在某些点上函数值无定义或无限大。
奇点的分类包括孤立奇点、极点和本性奇点等。
对于调和函数的奇点，可以通过研究奇点周围的性质和特征，进一步了解调和函数的行为和性质。
奇点的位置和类型对调和函数的性质有重要影响。
四、调和函数的边界性质调和函数在边界上的取值以及边界的性质是调和函数研究的一个重要方面。
根据调和函数的边界性质，可以研究边界上的调和函数的极值性质、最大模原理等。
调和函数在边界上的取值可以通过边界上的基本解得到，例如圆盘上的基本解是调和函数1/2πlog(1/|z|)。
这使得我们可以通过边界上的调和函数值来推断内部的调和函数性质。
五、调和函数的应用调和函数有广泛的实际应用，例如在物理学中的电势场、热传导中的温度分布、流体力学中的速度势场等。
调和函数的性质和应用在科学和工程中起到了重要的作用。
调和函数
调和函数harmonic function定义：在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。
调和函数-----数学物理方程如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数.满足拉普拉斯方程在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。
更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：拉普拉斯方程1拉普拉斯方程2形如上式右端的积分称作泊松积分。
设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。
这就是调和函数的最大、最小值原理。
由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即拉普拉斯方程，在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
二维调和函数与解析函数论有着密切联系。
在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。
用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。
调和函数
∆ ( au + bv ) = a∆u + b∆v
2．解析函数与调和函数的关系 定理： f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )是区域D内的解析函数
⇒ u与v是区域D内的调和函数 证明： f ( z )在D内解析 ⇒ u x = v y , v x = −u y
且u, v有任意阶连续偏导数
2 v 3 x ⇒ = + g ′( y ) ⇒ v ( x, y ) = 3 x y + g ( y ) y
2
3 2 ′ ⇒ g ( y ) = − y +C ⇒ g ( y ) = −3 y
⇒ v ( x, y ) = 3 x y − y + C 2 2 2 ′ 方法3：f ( z ) = u x − iu y = 3x − 3 y + 6ixy = 3z
2 3
⇒ f ( z ) = z + C1
3
= x − 3 xy + i (3 x y − y ) + C1
3 2 2 3
Re f ( z ) = x − 3xy ⇒ C1 = iC
3 2
⇒ f ( z ) = z + iC
3
即v是u的共轭调和函数
v ( x, y ) = ∫
x
( x, y )
( x0 , y 0 )
− u y dx + u x dy + C0
(x ,y )
0 0
(x,y)
(C0为任意常数)
y x0 y0
= ∫ − u y ( x, y0 )dx + ∫ u x ( x, y )dy + C0
(x,y )
调和函数极值原理
调和函数极值原理调和函数是指具有形式为f(x) = 1/x的函数，其中x不等于0。
在数学中，调和函数是一类特殊的函数，它们在很多领域都有重要的应用。
在本文中，我们将探讨调和函数的极值原理，以及如何利用这一原理解决实际问题。
首先，我们来看一下调和函数的性质。
调和函数f(x) = 1/x在定义域内是单调递减的，并且当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于0。
这意味着调和函数在定义域内没有极大值或极小值，但它可能在一些特殊情况下取得极值。
接下来，我们将讨论调和函数的极值原理。
对于调和函数f(x) = 1/x，如果在某一区间[a, b]内存在极值，那么这个极值一定是在区间的端点处取得的。
换句话说，调和函数在有限区间内的极值只可能出现在区间的端点处。
为了更好地理解调和函数的极值原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
考虑函数f(x) = 1/x在区间[1, 2]上的极值情况。
根据极值原理，我们知道f(1) = 1和f(2) = 1/2，因此极小值为1/2，极大值为1。
这个例子验证了调和函数极值原理的有效性。
在实际问题中，调和函数的极值原理可以帮助我们解决一些优化和最值求解的问题。
例如，在工程领域中，我们经常需要考虑如何设计一个系统，使得某些性能指标达到最优。
通过利用调和函数的极值原理，我们可以更好地优化系统的设计，使得系统的性能达到最优状态。
此外，调和函数的极值原理也在数学分析和微积分中有重要的应用。
通过深入研究调和函数的极值原理，我们可以更好地理解函数的性质，从而为更复杂的函数求极值提供了重要的思路和方法。
综上所述，调和函数极值原理是指调和函数在有限区间内的极值只可能出现在区间的端点处。
这一原理在数学分析、工程优化等领域都有重要的应用价值，对于理解函数的性质和解决实际问题都具有重要意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解调和函数的极值原理，并在实际问题中应用这一原理，取得更好的效果。
关于调和函数
0
F
u f ( x ), x , 2 牛曼内问题 u 有解的必要条件是 n ( x )
dS 0.
因为
V
(u 2 v v 2u )dV (u
S
v u v )dS n n
，则
设u在内是调和函数 且 取 v 1 ,
1 u(M 0 ) 2 4 a
Байду номын сангаас
ka
udS
4 极值原理
对不恒等于常数的调和 函数u( x , y, z ), 其在区域的任何 内点上的值都不可能达 到它在上的上界和下界 .
例如，稳定的温度场，热量由外面流入，经过物体内部 流出，达到动态平衡，因此当物体内部没有热源时，温 度分布不可能在内部有最高点或最低点．
u S n dS 0
于是
u ( x) n
dS 0.
函数
1 v( M 0 ) 4
是泊松方程
rM M d
0
F
v F
一个特解 .
3 平均值公式
调和函数在其定义域 内任一点的值等于它在 以该点为心且 包含于的球面上的平均值:
5 拉普拉斯方程解的唯一性问题 狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数 外也是唯一确定的。
1 u(M 0 ) 4
1 1 u S (u n ( r ) r n )dS
如果u在 S上有连续的一阶偏导数在区域内, u F , 则 ,
1 u(M 0 ) 4
1 1 1 u S (u n ( r ) r n )dS 4
rM M d
第三章 调和方程
方程
4.2调和函数的基本性质
数的连续性，必可找到此点在球面 SR 上的一个
邻域，在此邻域中也有 u(M ) u(M 1). 因此，即使
在球面 SR 的其余部分上满足 u(M ) u(M 1), 也有
u(M )dS u(M 1 )dS
SR
SR
性质 2
u(M 0 )
3 ( 极值原理 )
1 4 a2 udS.
a
(13)
用 反证法 . 假定函数 u在 某点 M 1 达到最大值，
u
给定的， 而
n 在边界
上的值就不知道， 由此 n在边界 上
的值就不能再任意给定了。
a
(13)
u( x, y, z)是区域 内的 调和函数 ，
它在 上连续，且 不为常数 ，则 它的最大值、
最小值只能在边界 上达到 ( 极值原理 ) 。
推论 ( 比较原理 ) 设 u, v都是区域 内的 调和函数 ，且在
上连续，若在 边界 上成立不等式 u v, 则在 内该不等式同样成立， 且只有在 u v 时，在
任取 一点 N , 在区域 中作连接 M 1, N 两点的
折线 l , 记折线 l 到区域 边界 的最小距离为 d.
由于点 N 的 任意性 ，就得到
整个区域 上满足
u(M ) u(M 1).
与题设矛盾。 则极值原理 得证。
d
K1
K2 M2
M3
l
M1
S2
S1
Kn
Mn N Sn
性质 2 性质 3
1 u(M 0 ) 4 a2 udS.
内等号才成立。
利用 极值原理 证明 狄利克雷问题
u( x, y, z) 0, ( x, y, z)
u | f ( x, y, z)
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下面证明对 内的所有点,都有 u M. 为此在内任取一点
P(x y z), 由于是区域, 所以可用完全位于 内的折线l 将点P0和
P 连结起来,设l 与边界 的最短距离为d ,于是函数 u 在以 P0
为心R
d 2
为半径的球
K
R
K1上,恒等于M ,
16
以 P0 为心 R为半径作球KR 使KR完全包含于内, 记 KR 的球面为 S R,可以证明,在S R上有
u M
事实上,若函数
u
在S
上某一点的值小于
R
M
,
则由连续性知,
在球面 SR 上必可找到此 点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有
u M , 于是在 SR 上成立不等式
1
内的调和函数, 且在 的边界 上连续, 如果在 上有不等式
dS
1 4
1 r
3 ud
定理证毕. 今后, 我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式.
定理 6.2 设函数u(x y)在有界区域 内二阶连续可微， 在
上连续且有连续的一阶偏导数，则当点P0(x0 y0)时有
1
u(P0 ) 2
(1.1)
其中 cos(n xi ) 表示曲面的外单位法向n与 x轴i 的方向余弦, dS
是 上的面积元素.
3
Green公式的推导：
设函数 u(x1 x2 xn ) 和v(x1 x2
偏导数. 在公式(1.1)中令
Pi
u
v xi
i
1 2
得到
xn )在内有连续的二阶
称函数
1
1
r (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2
为三维Laplace方程(1.6)的基本解
8
注 基本解在 (x y z) (x0 y0 z0)时关于(x y z)或(x0 y0 z0 )都是调和 函数 且无穷次可微.
其次, 考虑二维Laplace方程2u uxx uyy 0在极坐标变换
u
v n
v
u n
dS
我们把(1.5)称为第二Green公式.
(1.5)
1.2. 调和函数与基本解
定义 6.1 对于函数 u(x1 x2 xn ) ,如果它在n 维空间Rn 的有
界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在 内满足Laplace方程：
5
nu ux1x1 ux2x2
下它可化为
x y
x0 rcos y0 rsin
2u
1 r
r
(r
u ) r
1 r2
2u 2
0
(1.8)
二维Laplace方程的基本解
ln
1 r
定理 6.1 设函数 u(x y z)在有界区域 内二阶连续可微, 在
上连续且有连续的一阶偏导数, 则当点P0(x0 y0 z0) 时, 有
n
n v
i 1
xi
u
xi
dx1
dxn
n v
u
i 1
xi
cos(n xi )dS
(1.2)
(1.2)可改写成为
u nvd
n
uxi vxi d i 1
u
v n
dS
(1.3)
则称u在区域 内是调和函数.
uxnxn 0
(1.6)
如果nu 0( 0), 则称u在区域内是下调和(上调和)函数.
如果是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点P(x1 x2 xn)
趋于无穷远时,函数u 一致趋于零.即对于任意小的正数 ,存在正数
A,使当点P与坐标原点的距离r A 时, 总有
R
我们把调和函数的这一性质称为平均值定理, 公式(1.15)
15
称为平均值公式, 即调和函数在球心处的值等于它在球面上的
平均值. 注1 对区域 内的下调和(上调和)函数u, 我们有
u(P0
)
1 4 R2
R
udS
u(
P0
)
1 4 R2
R
udS
(1.17)
udS 1
MdS M
4 R2 SR
4 R2 SR
但由平均值公式(1.15),有
1
4 R2 SR udS u(P0) M
这就发生了矛盾. 所以在球面 SR 上,必须有 u M
17
同理可证, 在任一以P0 为心, ( R)为半径的球面S上, 也有
u M . 因此,在整个球 K R 上,有
证 利用基本积分公式(1.9)即得.
类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到
u(P0 )
1
2
ln
1 r
u n
u
n(Biblioteka n1) r dl
(1.14)
其中是平面上有界区域 的边界.
性质 6.3 (平均值定理) 设 u(x y z)是区域 内的调和函数,
有界连通区域, n 是曲面的外单位法向. 若函数Pi (x1 x2 xn )
(i 1 2 n) 在闭区域 上连续, 在内有一阶的连续偏
导数, 则
n i 1
Pi xi
dx1
dxn
n
Picos(n xi )dS , i 1
P0(x0 y0 z0) 是 内的任一点以, P0为心 R为半径作球 KR只要球 KR 连同其边界 R 包含在 内,则有公式
1
u(P0 ) 4 R2
udS
R
(1.15)
14
证 将公式(1.13)应用于球面 R 上,得到
u(P0
)
1 4
R
1 r
u n
9
u(P0 )
1 4
1 r
u n
u
n
(1) r
dS
1 4
3u d r
(1.9)
其中 r (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 n是边界曲面的外单位法向, dS是曲面
上的面积单元,d 是体积单元.
证 以P0为中心 为半径作球K 使 K 表示该球的球面,
u(x y z) M
这和函数 u 在 上不恒等于常数的假设相矛盾. 因此 u不能
在 的内部取得它的最大值.
对于最小值的情形, 由 u 的最小值就是 u 的最大值, 而 u
也是调和函数,从而推得函数 u 也不能在 的内部取得它的最小值. 定理证毕.
推论 6.1 (调和函数的比较原理) 设 u 和 v 都是有界区域
x0 y0
rsin cos rsin sin
z z0 rcos .
则(1.6)(取n 3)可化为
3u
1 r2
r
(r2
u ) r
1 r 2sin
(sin
u
)
1 r 2 sin 2
2u 2
0
(1.7)
由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以 r为自变量的
u n
dS
0.
(1.12)
证 利用第二Green公式,在(1.5)中取 v 1 ,取 u为所给的调和
函数, 就可得到(1.12).由此性质可得出, Laplace方程的第二边
值问题
3u 0 (x y z)
u n
.
有解的必要条件是函数 满足
( u n
)
.
因为u
及
un在上连续，所以
u n
关于
一致有界,
且当
0时,有
, u u(P0 )
u n
0 ‚
K
11
于是由上式即得
u(P0 )
1 4
1 r
u n
u
n
(
1 r
)
4
若将(1.3)中的u和v互相对换,又得
vnud
n
vxi uxi d i1
v u dS n
我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式.
(1.4)
若将(1.3)与(1.4)相减,则得
(u
nvv
nu)d
常微分方程
1 r2
r
(r 2
u ) r
0
7
其通解可写为
u
c1 r
c2
这里c1
, c2是任意常数.
所以函数 u
1 r
是一个球对称特解,
从而推得
1
1
r (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2
在任一不包含点 P0(x0 y0 z0)的区域内是调和的, 它在点 P0 处有奇性.
dS 0.
性质 6.2 设 u(x y z)是有界区域 内的调和函数,且在闭区域 上有连续的一阶偏导数,则在 内的任一点P0(x0 y0 z0) 处有