带通信号取样定理
带通采样定理证明
带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在（0，H f ）的基带信号的采样问题。
作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。
射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。
这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D 难以实现的。
这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。
带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。
带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内，如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++ （2-1） 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数（0，1，2…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t 。
带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠[1]。
如图2.3所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波[1] ，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上，滤出所感兴趣的带通信号()n x t ，然后再进行采样，以防止信号混叠。
这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。
图2.3 带通信号采样式（2-1）用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式（2-2）表示：0214s n f f +=（2-2）式中，()02L H f f f =+，n 取能满足2s f B ≥（B 为频带宽度）的最大正 整数。
当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（2s f B =）,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=。
也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。
带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。
取样定理的证明及其应用
取样定理及其应用测控五班穆可汗学号：3013-202-136引言：取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示、这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号、可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁、为其互为转换提供了理论依据。
所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程、这样得到的离散信号称为取样信号fs(t) 、它是对信号进行数字处理的第一个环节。
一、定理证明：设的频谱为离散信号x(n)的频谱为，由连续信号傅立叶变换和序列傅立叶变换可知：在(1)式中令t=nT (T为时域取样周期,取样频率fs=1/T),可得：对(3)式作变量代换，令，可得：令对(4)整理可得，对比(2)式和(5)式可得上式给出了连续信号频谱与离散信号频谱的关系式从中可以看出，由连续信号的频谱可以通过以下两步得到离散信号的频谱：第一步，对连续信号的频谱进行换元、水平轴上的尺度展缩，信号的最高角频率由变化到；第二步，对频谱图以2π的整数倍为间隔进行平移，然后进行叠加，其幅值变为原来的1/T。
由以上过程可知，只要，即原连续信号的最高频率，则频谱平移叠加后不会发生频谱的混叠，可以无失真地换原出原连续信号，取样定理得证。
二、取样定理的应用：基于带通取样定理的高速数据采集系统的硬件电路设计数据采集是获得信息的一种基本手段。
随着信息科学技术的迅速发展，它已经成为信息领域中不可缺少的部分。
随着科技的不断进步，人们对数据采集系统的要求也越来越高，不仅要求取样的精度高，数据转换速度快，还要求具有抗干扰能力。
高速数据采集系统主要包括几个部分: 前端调理电路，高zzz速ADC，时钟电路，微处理器以及电源等组成。
文中提出一种以NiosⅡ为核心控制器，基于带通取样的高速数据采集系统，并设计了系统中各个部分的硬件电路。
1.信号前端处理电路运用带通取样定理进行数据采集时为了防止引起信号混叠，可以采用抗混叠滤波器来解决，即在取样前先进行滤波，得到想要的带通信号，再进行取样，所以在信号前端处理电路中要采用抗混叠滤波器进行滤波处理。
带通采样定理和低通采样定理
带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。
一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。
首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。
@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。
（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。
二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。
抽样定理
抽样定理抽样的分类：（1） 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；（2） 用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理；（3） 抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又分为理想抽样和实际抽样。
低通型连续信号抽样定理抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。
低通型连续信号的抽样定理：一个频带限制在(0,)H f 赫内的时间连续信号()m t ，若以12H f 的间隔对他进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM 系统应无失真。
这一点与量化过程有本质区别。
量化是有失真的，只不过失真的大小可以控制。
低通型连续抽样定理证明设()m t 的频带为(0,)H f ，图中将时间连续信号()m t 和周期性冲激序列()T t δ相乘，用()s m t 表示此抽样函数，即()()()s T m t m t t δ=假设()m t 、()T t δ、()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω、()s M ω。
按照频域卷积定理，1()[()()]2s T M M ωωδωπ=因为 2()()T S n n T πδωδωω∞=-∞=-∑ 2S Tπω=所以， 1()[()*()]s s n M M n T ωωδωω∞=-∞=-∑由卷积关系，上式可写成1()()s s n M M n T ωωω∞=-∞=-∑ 上式表明，已抽样信号()s m t 的频谱()s M ω是无穷多个间隔为s ω的()M ω相迭加而成。
这表明()s M ω包含()M ω迭全部信息。
带通型抽样定理。
带通采样(欠采样)原理以及其在adc中下变频的应用
带通采样（Under-sampling）是指在采样过程中，采样频率低于信号的最大频率的奈奎斯特频率（Nyquist rate）。
带通采样主要用于对带通信号进行采样，其原理是通过对信号带宽的压缩，实现低采样率下的信号采集。
在ADC（模拟数字转换器）中，带通采样技术可以应用于下变频（down-converting）过程，以降低采样率和系统复杂度。
带通采样原理：1. 信号带宽：信号的带宽是指信号的最高频率与最低频率之差。
对于带通信号，其带宽通常远低于信号的最高频率。
2. 奈奎斯特定理：根据奈奎斯特定理，当采样频率大于等于信号最高频率的两倍时，可以通过采样得到原始信号的完整信息。
3. 带通采样：对于带通信号，可以采用带通采样方法，即将信号带宽压缩到较窄的范围内，从而降低采样率。
带通采样定理指出，当采样频率大于信号带宽的2倍时，可以实现信号的完整重建。
4. 欠采样：带通采样是一种欠采样（under-sampling）方法，采样频率低于奈奎斯特频率。
欠采样可能导致信号失真和混叠，但通过后续的信号处理和滤波，可以降低失真和混叠的影响。
在ADC中，带通采样技术可以应用于下变频过程：1. 带通采样与下变频：在ADC中，带通采样技术可以用于降低采样率，从而降低系统复杂度和成本。
通过将信号带宽压缩到较窄的范围内，可以在较低的采样率下实现信号的采集。
2. 下变频：下变频过程是指将信号从较高的频率转换到较低的频率。
在ADC中，带通采样可以应用于下变频过程，以降低采样率和系统复杂度。
3. 数字滤波：在下变频过程中，可能需要对信号进行数字滤波，以去除混叠和失真。
数字滤波器的设计需要考虑信号的带宽和采样率等因素。
带通采样（欠采样）原理及其在ADC中下变频的应用可以帮助降低采样率和系统复杂度，从而提高ADC的性能和效率。
在实际应用中，需要根据信号特性和系统需求，选择合适的带通采样方法和下变频策略。
带通采样是一种采样率低于奈奎斯特频率的采样方法，主要用于对带通信号进行采样。
通信原理-调制解调
×
1 2
(1 -
cos
2w0t
)
=
K3 A03 2
sinw0t
-
K 3 A03 4
[sin
3w0t
-
sinw0t]
=
3K3 A03 4
sinw0t
-
K3 A03 4
sin
3w0t
11
总得来说，对单音输入，输出为：
(即傅立叶级数展开形式）
定义全部谐波失真（THD）为：
THD(%) =
¥
åVn2
n=2 ´100 V1
t
27
频谱图m t
由频谱可以看出，AM信号的频谱由
载频分量
t
上A0 边m带t
下边带
三部分组成。
t
上边带载的波频谱结构与原调制
信号的频谱结构相同，下边 t 带是上边带的镜像。
sAM t
H
载频分量
c
上边带
t
下边带
M
H
SAM 载频分量
0
下边带
c
上边带
28
AM信号的特性
带宽：它是带有载波分量的双边带信号，带宽是基带信号带宽 fH 的 两倍： BAM 2 f H
代入上式，得到
h AM
=
< m2(t) > A02 + < m2(t) >
=
Am2 2 A02 +
Am2
当|m(t)|max = A0时（100％调制），调制效率最高，这时
ηmax ＝ 1/3
30
双边带调制（DSB）
时域表示式：无直流分量A0
sDSB (t) m(t) cosct
几种采样方法
带通采样编辑带通采样又叫IF采样、调和采样、下奈奎斯特采样和下采样等[1]。
实际中遇到的许多信号是带通型信号?这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为fH,下截止频率为fL, 这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率fH,可按照带通抽样定理确定抽样频率。
带通采样定理：设带通信号m(t),其频率限制在fL与fH之间，带宽为B=fH-fL，如果最小抽样速率fs=2fH/m,m是一个不超过fH/B的最大整数，那么m(t),可以完全由其抽样值确定。
降采样：2048HZ对信号来说是过采样了，事实上只要信号不混叠就好（满足尼奎斯特采样定理），所以可以对过采样的信号作抽取，即是所谓的“降采样”。
在现场中采样往往受具体条件的限止，或者不存在300HZ的采样率，或调试非常困难等等。
若R>>1，则Rfs/2就远大于音频信号的最高频率fm，这使得量化噪声大部分分布在音频频带之外的高频区域，而分布在音频频带之内的量化噪声就会相应的减少，于是，通过低通滤波器滤掉fm以上的噪声分量，就可以提高系统的信噪比。
原采样频率为2048HZ，这时信号允许的最高频率是1024HZ（满足尼奎斯特采样定理），但当通过滤波器后使信号的最高频率为16HZ，这时采样频率就可以用到32HZ（满足尼奎斯特采样定理，最低为32HZ，比32HZ高都可以）。
从2048HZ降到32HZ，便是每隔64个样本取1个样本。
这种把采样频率降下来，就是降采样downsample）。
这样做的好处是减少数据样点，也就是减少运算时间，在实时处理时常采用的方法。
过采样：过采样定义：就是用高于nyquist频率进行采样，好处是可以提高信噪比，缺点是处理数据量大。
过采样是使用远大于奈奎斯特采样频率的频率对输入信号进行采样。
设数字音频系统原来的采样频率为fs，通常为44.1kHz或48kHz。
若将采样频率提高到R×fs，R称为过采样比率，并且R>1。
11-2 带通模拟信号的抽样定理
( 2) 当2 B ≤ f L < 3 B时 （ , 0, f L）的区间可以容纳两个 边带 的区间可以容纳两个边带
− fs
-3 正 -2正 1负
Xs ( f )
-1正 2负
fs
3负
2 fs
−fH
− fL
0
2 fs − fL
fL
fH
3 fs − fH
f
2 fs − fL ≤ fL ; 即 fs ≤ fL 2 3 fs − f H ≥ f H ; 即 fs ≥ f H 3
【例】某中频带通信号的中心频率为110MHz，信号带宽为 B=6MHz，对此信号进行带通抽样，在恢复信号时使用理想 带通滤波器。试计算能无失真恢复信号的最低抽样频率 该带通信号的上截止频率： 下截止频率：
f H = 113M H z
f L = 107 M H z
N=⎢ 取 m = N = 17 ⎣107 / 6 ⎥ ⎦ = 17 ⎣ fL / B⎥ ⎦=⎢ 2 × 113 2 × 107 ≤ fS ≤ ⇒ 最低抽样频率为12.56MHz。 17 + 1 17
( − f H + mf s , − f L + mf s )
( − f H + ( m + 1) f s , − f L + ( m + 1) f s )
9
带通模拟信号的抽样定理
C. 带通抽样的抽样频率范围
2 fH 2 fL ≤ fS ≤ m +1 m
D. 如果要求各边带之间等间隔，则 f L − ( mfs − f L ) = [( m + 1) fs − f H ] − f H E. 边带之间等间隔的抽样频率 2( f L + f H ) fs = 2m + 1
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带通信号取样定理
一个连续带通信号受限于[]H L f f ,，其信号带宽为L H f f B -=，且有
kB mB f H += （1）
其中，()[]k f f f m L H H
--=，k 为不超过()L H H f f f -的最大正整数，由此可
知，必有10<≤m 。
则最低不失真取样频率min s f 为
()⎪⎭⎫
⎝
⎛+=+==k m B k kB mB k f f H s 1222min （2）
证明：
取样不失真的基本要求是样值序列的频谱各个谱块不重叠。
这样就可以采用带通滤波器恢复原来的带通信号。
可见从频域分析，证明直观、清晰。
以下，分两步来证明。
（1）先证明当0=m 时的情况。
由公式（1）和（2），有
kB f H =
B f s 2min = （3）
分析一个带通信号()t x ，其频谱为()f X ，如图1所示。
s
f -s
f 2-s f 5.2-s f 3-s
f 4-s
f s f 2s f 5.2s
f 3s
f 4()
f X f
L f H
f L
f -H f -I II s
s s s s s s s
f
s
f -s f 2-s f 3-s f 4-s f s f 2s f 3s
f 4f
()
f X s s
f 2-s f 20
f
s f 5.2-s
f 5.2()
f H s
f 2-s f 5.2-s f 2s
f 5.2()
f X 0
f
I
II
（a ）
（b ）
（c ）
（d ）
（e ）
图1 带通信号kB f H =时的频谱图
其中图（a ）表示()t x 的带通信号频谱，其特点是最高频率H f 为带宽的整数倍k ，这里5=k ，图（b ）表示采用()t s T δ对带通信号()t x 取样，而取样频率
()L H s f f B f -==22，其中()t s T δ的频谱为()f s f δ。
图（c ）表示
()()()f f X f X s f s δ*=，其中实线表示频谱I ，虚线部分表示频谱II ，由图可见，在这种情况下恰好使得()f X s 中的I 、II 频谱不重叠。
图（d ）表示一个理想带通滤波器特性。
图（e ）表示经过理想带通滤波器后恢复的原始连续带通信号()t x 的
频谱()()f X f X
=ˆ。
由图可见，若B f s 2<，则在()f X s 中的I 、II 频谱势必重叠，因而产生混叠现象。
这说明带通信号的取样频率B f s 2=是最低取样频率。
若B f s 2>，在理论上看是不必要的，但在实际上由于理想带通滤波器是不可能实现的，因此必须要留有一定的富余频带。
（2）再分析0≠m 的一般情况，这时，可适当降低最低频率L L f f <'，显然
它使信号带宽相应适当增大，L H L H f f B f f B -=>'-='，并使它们仍满足公式（3）：B k f H '=。
再由公式（1）
B k f mB kB H '==+
可求得
⎪⎭⎫
⎝
⎛+='k m B B 1 （4）
由于H f 与B '满足整倍数关系，则可利用公式（3）的结论，将公式（4）代入（3）中，得
⎪⎭⎫
⎝
⎛+='=k m B B f s 122min （5）
定理得证。
带通信号抽样经典推导！
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