取样定理的证明及其应用
抽样定理的理论证明与实际应用
抽样定理的理论证明与实际应用抽样定理是统计学中的一项基本原理，它告诉我们，通过从总体中随机抽取足够数量的样本，可以准确地估计总体的特征。
抽样定理的理论证明和实际应用至关重要，对于统计学的发展和各个领域的科学研究具有重要意义。
抽样定理最著名的形式是中心极限定理。
中心极限定理是指在总体分布满足一定条件下，样本均值的分布会接近于正态分布。
中心极限定理为抽样统计的有效性提供了理论基础。
其证明涉及了大数定律、独立同分布等统计学中的重要概念。
具体证明过程较为复杂且较为数学化，这里不展开讨论。
1.民意调查：通过从人群中随机抽取一部分个体进行调查，可以得出较为准确的人群意见或观点分布。
抽样定理的应用使得从有限的样本中可以较好地推断出总体的特征，保证了调查结果的可靠性。
2.质量控制：在生产过程中，通过对抽样产品的检验，可以判断整个产品批次的质量情况，然后采取相应的措施进行调整和改进。
抽样定理的应用使得通过有限的样本可以估计整体产品质量，降低了成本和时间。
3.医学研究：在临床实验和流行病学研究中，通过对患者或人群的抽样调查，可以得出对于特定病情或病群的结果和结论。
抽样定理的应用使得通过对有限的样本的研究，可以反映出总体患者的特征和情况，提供医学决策依据。
4.经济指标估计：通过对抽样企业或家庭的调查，可以估计整个国家或地区的经济指标，如GDP、失业率等。
抽样定理的应用使得通过有限的样本可以较好地估计总体的经济情况，提供经济决策的基础。
总的来说，抽样定理的理论证明和实际应用都非常重要。
理论证明为统计学提供了坚实的基础，使得我们可以对抽样统计的结果进行合理的解释和推导。
实际应用则使得抽样定理给各个领域的科学研究，数据分析和决策等提供了强有力的工具。
抽样定理的理论证明和实际应用的不断深化和发展，对于统计学和信息科学的进步具有重要意义。
时域取样定理的原理及应用
时域取样定理的原理及应用1. 简介时域取样定理（也称为奈奎斯特定理）是数字信号处理中的重要原理之一。
它规定了进行模拟信号（连续时间信号）到数字信号（离散时间信号）转换时，采样频率至少要是被采样信号最高频率的两倍。
2. 原理时域取样定理的原理可以通过以下三个方面进行解释：2.1 采样频率选择根据时域取样定理，采样频率应当是信号最高频率的两倍。
这是因为信号的频谱范围是有限的，最高频率表示信号中的最高频率成分。
采样频率低于最高频率的两倍会出现混叠现象，即采样信号中的高频成分被误认为是低频成分。
因此，为了避免混叠现象，采样频率应当是最高频率的两倍。
2.2 采样定理解释假设模拟信号的频谱范围是从0Hz到最高频率fm，按照取样频率fs对模拟信号进行等间隔采样，那么采样后的频谱范围为-fs/2到fs/2。
根据奈奎斯特定理，采样频率fs应当大于2fm，这样采样信号中没有因混叠而破坏的高频成分。
2.3 采样频率与重建一旦满足采样频率大于信号最高频率的两倍，我们就可以通过插值或者滤波来重建原始信号。
重建后的信号与原始信号相近，但会存在一定的误差。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的采样频率，以平衡重建信号的质量和资源消耗。
3. 应用时域取样定理广泛应用于各个领域，特别是在数字信号处理和通信系统中。
以下是一些常见的应用场景：3.1 音频信号处理时域取样定理在音频处理领域得到了广泛运用。
例如，在音频编码中，采样频率需要满足奈奎斯特定理的要求，以确保编码后的音频信号质量符合人耳的感知要求。
3.2 数据通信在数据通信领域，时域取样定理被用于数字调制技术中。
通过将模拟信号进行采样和量化，可以将模拟信号转换为数字信号，并通过数据通信系统进行传输和重建。
3.3 雷达信号处理在雷达信号处理领域，时域取样定理用于对雷达回波信号进行采样与重建。
通过采样后的数字信号可以实现目标检测和跟踪等功能。
3.4 图像处理时域取样定理在图像处理中也有广泛应用。
取样定理的证明及其应用
取样定理及其应用测控五班穆可汗学号：3013-202-136引言：取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示、这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号、可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁、为其互为转换提供了理论依据。
所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程、这样得到的离散信号称为取样信号fs(t) 、它是对信号进行数字处理的第一个环节。
一、定理证明：设的频谱为离散信号x(n)的频谱为，由连续信号傅立叶变换和序列傅立叶变换可知：在(1)式中令t=nT (T为时域取样周期,取样频率fs=1/T),可得：对(3)式作变量代换，令，可得：令对(4)整理可得，对比(2)式和(5)式可得上式给出了连续信号频谱与离散信号频谱的关系式从中可以看出，由连续信号的频谱可以通过以下两步得到离散信号的频谱：第一步，对连续信号的频谱进行换元、水平轴上的尺度展缩，信号的最高角频率由变化到；第二步，对频谱图以2π的整数倍为间隔进行平移，然后进行叠加，其幅值变为原来的1/T。
由以上过程可知，只要，即原连续信号的最高频率，则频谱平移叠加后不会发生频谱的混叠，可以无失真地换原出原连续信号，取样定理得证。
二、取样定理的应用：基于带通取样定理的高速数据采集系统的硬件电路设计数据采集是获得信息的一种基本手段。
随着信息科学技术的迅速发展，它已经成为信息领域中不可缺少的部分。
随着科技的不断进步，人们对数据采集系统的要求也越来越高，不仅要求取样的精度高，数据转换速度快，还要求具有抗干扰能力。
高速数据采集系统主要包括几个部分: 前端调理电路，高zzz速ADC，时钟电路，微处理器以及电源等组成。
文中提出一种以NiosⅡ为核心控制器，基于带通取样的高速数据采集系统，并设计了系统中各个部分的硬件电路。
1.信号前端处理电路运用带通取样定理进行数据采集时为了防止引起信号混叠，可以采用抗混叠滤波器来解决，即在取样前先进行滤波，得到想要的带通信号，再进行取样，所以在信号前端处理电路中要采用抗混叠滤波器进行滤波处理。
第4章_8取样定理
2、矩形脉冲取样 、
f (t)
(1)图示 图示
PTs (t )
1 t
fs(t)
0
t
-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts t (b) P(jω) ω 2πτ sSa(ωτ πτ/T ωτ/2) πτ ωτ 3ωs ω ω
-2Ts
-Ts 0 Ts 2Ts (c) Fs(jω) ω ωτ/2) τ/TsSa(ωτ ωτ 3ωs ω ω
或
fs > 2 fm
4)若接一 个理 想低 通滤波器， 增益 其 为Ts 截 止频 ωm < ωc < ωs ωm 率 滤 除高 频成分 即可重现 ， 原信 。 号
ωs
Fs (ω) 1 Ts
oωm ωs ω
ωs ωm
ωs ωm &g= δ T s ( t ) = 理论分析
∞ ∞
∞
∞
f (t ) = f s (t ) * h(t ) =
ωc h(t ) = Ts Sa (ωc t ) π ∞
n =∞
∑
ωc f (nTs )δ (t nTs ) * Ts Sa(ωct ) π
ωc = Ts π
取ω c =
n =∞
∑
2
∞
f (nTs ) Sa[ωc (t nTs )]
§4.8 取样定理
取样定理论述了在一定的条件下， 取样定理论述了在一定的条件下，一个连续时间 一定的条件下 信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（ 信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或 称样本值）表示。 称样本值）表示。这些样本值包含了该连续信号的全 部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。 部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。这就给连 续信号的数字化传输和处理提供了理论依据。 续信号的数字化传输和处理提供了理论依据。 下面我们就从信号的取样出发，讨论信号取 下面我们就从信号的取样出发， 样后时域和频域的变化？－从而分析应满足什么 ？－从而分析 样后时域和频域的变化？－从而分析应满足什么 取样条件才能从取样后的信号恢复原来的信号 才能从取样后的信号恢复原来的信号。 取样条件才能从取样后的信号恢复原来的信号。 怎样恢复原信号?在恢复原信号的过程中， 怎样恢复原信号 在恢复原信号的过程中，时 在恢复原信号的过程中 域和频域又发生了什么变化， 域和频域又发生了什么变化，恢复原信号的实质 是什么？－从而引出取样定理。 ？－从而引出取样定理 是什么？－从而引出取样定理。
3.7取样定理及其应用
3.7 连续信号的抽样定理 抽样定理的工程应用 许多实际工程信号不满足带限条件
h(t ) f (t )
抗混叠 滤波器
H ( jω ) 1 0
ω
f1 (t )
F ( jω ) 1 − ωm
F1 ( jω ) 1
0
ωm ω
− ωm
0
ωm
ω
3.7 连续信号的抽样定理 当频谱无限宽，最高频率 无法定，人为定后， 当频谱无限宽，最高频率fm无法定，人为定后，恢 复有误差； 复有误差；
π ∞ Tω = ∑ s m f ( nT s ) Sa [ω m ( t − nT s )] π n = −∞
n = −∞
当抽样间隔
1 Ts = 2 fm
时，上式可写为
f (t ) =
n = −∞
∑
∞
f ( nT s ) Sa ( ω m ( t − nT s ))
3.7 连续信号的抽样定理
ห้องสมุดไป่ตู้
f s (t )
F ( jω ) = Fs ( jω ) ⋅ H ( jω )
H(jω)为理想低通滤波器的频率特性： 为理想低通滤波器的频率特性： 为理想低通滤波器的频率特性
Ts H ( jω ) = 0
ω ≤ ωm ω > ωm
f (t ) = f s (t ) * h (t )
h(t ) = F [ H ( jω )]
Ts
t
− ωs
ωs F1 ( jω )
ωs
ω
ω s = 2ωm
0
ω
3.7 连续信号的抽样定理 2. f(t)的恢复 的恢复
由样值函数f 及其频谱 及其频谱F 图形可知， 由样值函数 s(t)及其频谱 s(jω)图形可知，样值函数 s(t)经过一 图形可知 样值函数f 经过一 个 截 止 频率 为ω 低通 滤波器 个截 止频 率 为 m 的 理想 低通滤 波器 ， 就可 从 Fs(jω) 中 取出 F(jω)，从时域来说，这样就恢复了连续时间信号f(t) ，从时域来说，这样就恢复了连续时间信号
抽样定理的理论证明与实际应用分析
信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用一、抽样和抽样定理数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。
“抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以ƒs (t )表示。
抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。
抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。
抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。
抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。
也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。
通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。
二、时域抽样定理的理论证明时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号ƒ(t),可唯一地由其在均匀间隔T s （T s<1/2ƒm ）上的样点值ƒs (t )=ƒ（nT s ）确定。
§3.7 取样定理
(2) 需解决的问题
时域抽样简图
信号经抽样进行离散化、数字化，是为了传输、 处理的方便，最终还是要还原为原来的信号。 由 fs(t)能否恢复 f(t)？即信号被抽样后是否携带 了原来信号的全部信息？ Fs( jω)与F( jω)的关系
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信号与系统 连续 信号
电子教案
(4) 冲激抽样信号频谱的混叠
取样信号
①ωs > 2ωm 不发生混叠 ωm 原信号最大
角频率； ωs 抽样角频率。
②ωs=2ωm
＞2
不发生混叠 ③ωs < 2ωm 发生混叠
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信号与系统
电子教案
(5) 冲激抽样的物理意义
抽样
取样信号
① 抽样信号 fs(t) 的频谱Fs( jω) 是原信号频谱 F ( jω) 的周期性重复，每隔ωs 重复出现一次。
信号与系统
电子教案
例1：一连续信号频谱如下图示，若对此信号进行理想抽样 抽样时间间隔 Ts ，试画出抽样后信号的频谱图。 0.25 s 解： 信号经过理想抽样后频谱的表达式为
1 Fs ( j ) Ts
n
F j( n )
s
抽样周期 Ts 0.25 s ， s
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信号与系统
电子教案
(4) 抽样的物理意义
抽样 频谱周期性重复
抽样
ns Fs ( j ) Sa( )F [ j ( ns )] Ts n 2
抽样是无限重复复制原信号频谱的过程，抽样 信号频谱重复间隔为抽样频率fs ，其频谱所占的频 带几乎是无限宽，但抽样信号脉冲幅度以Sa函数的 2π 1 规律变化。
3.7取样定理及其应用
2 s 2f s (t ) Ts
由于 p(t) 是周期信号，可知 p(t) 的傅立叶变换为：
P( j ) 2
n
F ( n )
n s
1.矩形脉冲的取样
其中：
1 Fn Ts
Ts 2 Ts 2
p(t )e
jn s t
n s dt Sa( ) Ts 2
n
n
f (nT ) (t nT )
s s
n
(t nT )
s
F[ j ( n )]
s
冲激信号的取样示意图
f (t )
FT
0
1
p( ) s
F ( )
时 域 抽 样
P (t ) (1)
0
T (t )
n
(t nT )
Tsm f (nTs ) Sa[m (t nTs )] n
n
当抽样间隔
1 Ts 2 fm
时，上式可写为
f (t )
n
f (nT )Sa(
s
m
(t nTs ))
信号的恢复
f s (t )
Fs ( j )
0
h(t )
Ts
取样信号
• 问题：
1)取样后离散信号的频谱是什么样的？ 它与未被取样的连续信号的频谱有什 么关系？
2)连续信号被取样后，是否保留了原信 号的所有信息？即在什么条件下，可 以从取样的信号还原成原始信号？
取样信号 连续
取样 还原(有条件) 离散
自然取样 (矩形取样)
时域 理想取样 (冲激取样)
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取样定理及其应用
测控五班穆可汗
学号：3013-202-136
引言：
取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示、这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号、可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁、为其互为转换提供了理论依据。
所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程、这样得到的离散信号称为取样信号fs(t) 、它是对信号进行数字处理的第一个环节。
一、定理证明：
设的频谱为离散信号x(n)的频谱为，由连续信号傅立叶变换和序列傅立叶变换可知：
在(1)式中令t=nT (T为时域取样周期,取样频率fs=1/T),可得：
对(3)式作变量代换，令，可得：
令对(4)整理可得，
对比(2)式和(5)式可得
上式给出了连续信号频谱与离散信号频谱的关系式从中可以看出，由连续信号的频谱可以通过以下两步得到离散信号的频谱：第一步，对连续信号的频谱进行换元、水平轴上的尺度展缩，信号的最高角频率由变化到；第二步，对频谱图以2π的整数倍为间隔进行平移，然后进行叠加，其幅值变为原来的1/T。
由以上过程可知，只要，即原连续信号的最高频率，则频谱平移叠加后不会发生频谱的混叠，可以无失真地换原出原连续信号，取样定理得证。
二、取样定理的应用：基于带通取样定理的高速数据采集系统的硬件电路设计
数据采集是获得信息的一种基本手段。
随着信息科学技术的迅速发展，它已经成为信息领域中不可缺少的部分。
随着科技的不断进步，人们对数据采集系统的要求也越来越高，不仅要求取样的精度高，数据转换速度快，还要求具有抗干扰能力。
高速数据采集系统主要包括几个部分: 前端调理电路，高zzz速ADC，时钟电路，微处理器以及电源等组成。
文中提出一种以NiosⅡ为核心控制器，基于带通取样的高速数据采集系统，并设计了系统中各个部分的硬件电路。
1.信号前端处理电路
运用带通取样定理进行数据采集时为了防止引起信号混叠，可以采用抗混叠滤波器来解决，即在取样前先进行滤波，得到想要的带通信号，再进行取样，所以在信号前端处理电路中要采用抗混叠滤波器进行滤波处理。
一般情况下，抗混叠滤波器是低通滤波器。
最简单就是一阶RC 低通滤波器。
如果在一级RC 低通滤波器电路的输出端再加1 个电压跟随器，使之与负载很好的隔离开，就构成了1 个简单的一阶有源低通滤波器。
系统采用的是四阶巴特沃斯低通滤波电路，其电路图如下图所示。
2. 高速ADC 采样电路
ADC 选用一款高速A/D 转换芯片ADC08D1000。
该芯片是具有双通道结构，低功耗，高速8 位A/D 转换芯片，单通道的最高取样率达到1. 3 Gsps，在500 MHz 信号输入的情况下实际有效位数是7. 4 位。
该芯片采用1. 9 V 供电，满负荷工作的时候功耗为1. 6 W 左右。
芯片内部集成了1 ∶ 2 的DMUX( Demultiplexer)能够将ADC 采集到的数据暂时缓存一个周期，然后和下一个周期取样的数据一起输出，所以这样数据输出的传输速率就会减小一半，形成4 路500 Mbps 的8 位并行数据输出。
它还可以进行双边沿取样( DES) ，增益调节，自校正等。
由于ADC 的取样信号输入为差分方式，所以在信号进入ADC08D1000 前，要将信号经过差分放大器( AD8132) 将其转换为差分信号，这时需要保持ADC 的共模输出电压Vcom 和差分放大器AD8132 的共模输出电压一致。
其电路图如下图所示。
3.高速ADC 采样电路
A/D 转换器的精度越高，输入频率越高，则时钟抖动限制的信噪比将占主要因素。
A/D 转换器的信噪比和模拟输入频率时钟信号的时序准确性可以直接影响ADC 的动态特性，为减少这种影响，ADC 的时钟必须具有非常低的时序抖动或者相位噪声。
所以高质量的时钟源是保证ADC 系统精度的关键。
在器件的选择上尤其要关注芯片引入的抖动，根据抖动和ADC信噪比的关系:
式中: σT为总抖动; σclk为取样时钟的抖动; σaperture为ADC 的孔径抖动; fin 为输入信号频率。
取样时钟的抖动和信噪比的关系可以由下式导出:
当ADC08D1000 工作在取样频率1 GHz，输入信号为允许最高频率时，若要达到44 dB 的SNR 设计指标，就要求此时的时钟抖动小于15 ps．所以在器件选取的电路的设计上，必须严格分析器件的抖动，以保证整个时钟路劲引入的总抖动小于15ps．系统采用ICS8430 － 61 专用时钟芯片产生时钟信号。
ICS8430 － 61 专用时钟芯片是把锁相环，VCO，环路
滤波等电路集中在1 个芯片上，通过简单的数字控制信号就可以产生各种不同频率的时钟信号。
它的外围只需要1 个晶振，输出频率范围为20 ～ 500 MHz，时钟抖动过得最大值为6 ps．EP3C40 是CycloneⅢ系列中一款低成本的FPGA．它内部有4 个锁相环， 39600 个逻辑单元，1134 Kbit 的存储器， 126 个乘法器， 20 个全局时钟网络。
FPGA 外围电路设计主要是配置电路的设计。
根据系统调试和下载的需要，系统选择的配置方式是AS 和JTAG 两种方式。
AS 方式是由目标FPGA 来输出控制和同步信号给串行配置芯片，在配置芯片收到命令后，就把配置数据发送到FPGA，完成配置过程。
根据对系统设计使用的逻辑资源进行估计后，选择EPCS16 作为系统的串行配置芯片。
绝大多数的FPGA 都支持由JTAG 口进行配置。
4.电源模块电路设计
高速数据采集系统中使用的电压时5V，但是系统中各种芯片所需要的电压都不相同，所以需要做电压变换。
直流电压变换的方法有两种: 一种是用线性稳压电源( LDO) 来降压; 一种是利用DC－DC开关电源来变换直流电压。
由于开关电源的效率相对比较高，而且效率不随输入电压的升高而降低，电源通常不需要散热器，体积较小，因此系统中采用DC －DC 开关电源来转换直流电压。
B 传输模块电路设计
USB 接口是一种重要的计算机外设接口，它支持热拔插和即插即用，使用很方便。
USB2.0 的数据传输速率高达480Mbps，可以实现计算机与多个外设设备的简单，高速互联。
选用EZ － USB FX2 系列的自能USB 芯片CY7C68013。
它内部包括1 个增强型8051 处理器，1 个串行接口引擎( SIE) ，1 个USB 收发器， 8.5 片上RAM，4KB FIFO 存储器和1 个通用可编程接口( GPIF) ［5］。
CY7C68013 与FPGA 的连接如下图所示。
6.小结：
文中介绍了取样定理证明，并在此基础上将带通取样运用在高速数据采集系统，使用带通取样定理技术时可采用比传统技术低得多的取样率，这意味着数据采集性能的提高及功耗和成本的降低。
同时还介绍了高速数据采集系统的硬件电路设计方案，为了获得高质量的时钟信号，还对ADC 芯片的抖动和信噪比做了详细的探讨。
参考文献:
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［4］李朋勃，张洪平．基于FPGA 和USB2． 0 的高速数据采集系统．单片机与嵌入式系统应用， 2009( 9) : 32 － 35．
［5］谭安菊，龚彬． USB2． 0 控制器CY7C68013 与FPGA 接口的Verilog HDL实现．电子工程师，2007，33( 7) : 52 － 55．。