香农采样定理
香农奈奎斯特采样定理
香农奈奎斯特采样定理
香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist Sampling Theorem）是一项基本的信号处理原理，它规定了一个连续时间信号的采样频率应该至少是该信号中最高频率成分的两倍，以便在离散时间中完整地重构原始信号。
这个定理是由克劳德·香农（Claude Shannon）和哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪初提出的。
具体来说，香农-奈奎斯特采样定理表述如下：
如果一个连续时间信号的最高频率成分为f_max，那么为了在离散时间中准确地重建原始信号，采样频率f_s（采样率）必须满足：
f_s ≥ 2 * f_max
这意味着采样频率应至少是信号中最高频率的两倍。
如果采样频率不满足这个条件，就会出现所谓的"混叠"或"奈奎斯特折叠"，导致信号在离散时间中无法准确还原。
香农-奈奎斯特采样定理在数字信号处理、通信系统、音频处理、图像处理和各种数据采集应用中具有重要作用。
它强调了适当选择采样频率的重要性，以避免信息丢失和混叠问题，确保准确的信号重建。
因此，合理的采样频率选择是数字信号处理的基本原则之一。
简述采样定理的基本内容
简述采样定理的基本内容采样定理，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist theorem）或香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist sampling theorem），是在信号处理领域中至关重要的一条基本原理。
它对数字信号处理、通信系统以及采样率等方面具有重要的指导意义。
1. 采样定理的基本内容采样定理表明，如果要正确恢复连续时间信号的完整信息，就需要以至少两倍于信号最高频率的采样频率对信号进行采样。
采样频率应该大于等于信号最高频率的两倍，即Fs >= 2 * Fmax。
采样定理的原理基于奈奎斯特频率，奈奎斯特频率是指信号频谱中的最高频率成分。
如果采样频率小于奈奎斯特频率的两倍，那么采样信号中将出现混叠现象，即频谱中的不同频率成分相互干扰，导致原信号无法准确恢复。
2. 采样定理的应用采样定理在多个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：音频处理：在音频信号的数字化处理中，采样定理保证了通过合适的采样率可以准确还原原始音频信号，同时避免了音频信号的混叠现象。
这就是为什么音频 CD 的采样率是44.1kHz，超过人类可听到的最高频率20kHz的两倍。
通信系统：在数字通信系统中，为了正确传输模拟信号，信号需要经过模数转换（采样）和数模转换两个过程。
采样定理确保了在采样时不会丢失信号的信息，同时在接收端通过恢复出原始信号。
这对于保证通信质量和准确传输数据来说非常关键。
图像处理：在数字图像采集中，采样定理用于设置合适的采样率，以避免图片出现信息丢失和混叠现象。
在数字摄影中，也需要根据采样定理来选择适当的像素密度，以保证图像的质量和细节。
3. 采样定理的局限性和改进采样定理的一个重要前提是信号是带限的，即信号的频谱有一个上限，超过这个上限的频率成分可以被忽略。
然而，在实际应用中，许多信号并不是严格带限的，因此采样定理可能无法完全适用。
为了克服采样定理的局限性，一种常见的方法是使用过采样（oversampling）技术。
采样定理的意义和用途
采样定理的意义和用途1. 引言采样定理（Sampling Theorem）是信号处理中的重要概念，它指出了在进行信号采样时需要满足的一定条件。
这个定理的提出和发展对于数字信号处理领域具有深远的影响。
本文将详细介绍采样定理的意义和用途，并探讨其在实际应用中的重要性。
2. 采样定理的定义采样定理，又称为奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），由克努特·奈奎斯特（Harry Nyquist）和克努特·香农（Claude Shannon）分别在20世纪20年代和40年代提出。
根据采样定理，如果一个连续时间信号的带宽有限，并且其最高频率分量为f_max，那么为了完全恢复该信号，我们需要以大于2f_max的频率进行采样。
具体而言，在进行信号采样时，我们需要以至少2倍于信号最高频率分量f_max的频率进行取样。
3. 采样定理的意义3.1 允许从连续时间转换为离散时间采样定理的意义之一是允许我们将连续时间信号转换为离散时间信号。
在实际应用中，很多信号需要以数字形式进行处理和传输，而数字系统只能处理离散时间信号。
通过采样定理，我们可以将连续时间信号进行采样，得到等间隔的离散时间序列。
3.2 保证采样后的信号不失真另一个重要的意义是采样定理保证了采样后的信号不会失真。
在满足采样定理条件下，我们可以通过插值算法将离散时间序列重新还原为连续时间信号，从而实现对原始信号的完全恢复。
这对于许多应用来说至关重要，例如音频和视频压缩、通信系统等。
3.3 提供了对频谱分析的基础采样定理还提供了对信号频谱进行分析的基础。
通过将连续时间信号进行频谱分析，并观察其带宽和最高频率分量，我们可以确定合适的采样频率，并以此进行取样。
这有助于避免混叠现象（Aliasing）的发生，确保采样后得到的离散时间序列能够准确反映原始信号的频谱特性。
4. 采样定理的应用4.1 音频和视频处理在音频和视频处理领域，采样定理被广泛应用于信号的采样、压缩和重构。
香农采样定理
采样定理由于数字化和计算机技术的广泛应用，使传感与系统互连时必须考虑接口界面问题。
大多数传感器是用来获取连续的模拟信号的，这种信号是数字系统或计算机系统无法接收的输入。
因此，传感器系统设计中，除了硬件接口外，还要考虑软件接口问题。
这就是所谓采样定理。
传感器检测/监视系统大多是利用基于离散数字信号的连续采样硬件系统。
它们利用采得的离散数字信号再现传感器获得的连续模拟信号。
1．香农采样定理该采样定理表述为，如果信号中所包括的频率不高于，则可由一系列相隔1/（2）时间的抽样值所确定。
该定理的物理含义是，遵循香农采样定理对连续模拟信号进行周期性的离散采样，所采得的离散信号数列可以保持频率特性不变，即不发生混频（叠）现象。
图1表示了模拟信号A 的两类离散采样结果。
其中图a表示遵从香农采样定理对模拟信号A进行采样后，按采样系列值恢复得到的信号B与信号A相比不发生“混叠”现象，即两者的信号频率相等。
图b 表示不遵从香农采样定理采得的信号B′与信号A频率不一致，发生“混叠”现象。
图1 模拟信号A采样与“混叠”现象a）遵循采样定理，不发生“混叠”现象；b）不遵循采样定理，产生“混叠”现象为了便于应用，可以把香农采样定理表述为，离散采样的频率应大于或等于被采样信号包含的最高频率的两倍。
其数学表达形式可以为≥2（1）例如：对频率100kHz～1MHz的声发射信号进行采样时，其最高频率为=1MHz，故按采样定理，其采样频率应该是≥2=2×1MHz=2MHz。
由式（1）可知，采样的间隔（周期）T S应为1/T S≥2（2）或T S≤1/（2）（3）上例的采样周期是T S≤1/（2）=1/2×1MHz=0.5μs2．工程采样的考虑由于工程要求的不同，应用采样定理时有不同的考虑。
1）把香农采样定理作为近似准则使用，严格地讲，采样定理只适于窄带信号的采样。
所谓窄带信号指的是信号的频率分散在信号中心频率Ω。
附近一个较窄的频率范围内。
香农定理和奈奎斯特定理
香农定理和奈奎斯特定理引言信息理论是一门研究信息传输和处理的学科，它为我们理解和优化通信系统提供了基础。
在信息理论中，香农定理和奈奎斯特定理是两个非常重要的定理，它们分别揭示了信道容量的上限和采样定理。
本文将深入探讨这两个定理的原理和应用。
香农定理定义香农定理，也称为信息论的基石，由克劳德·香农于1948年提出。
它给出了在存在噪声的通信信道中传输信息的极限。
香农定理表明，在给定噪声水平的情况下，通过增加传输速率和使用更复杂的编码方案，可以无限接近信道的容量。
信息熵信息熵是香农定理的核心概念之一。
它衡量了信息的不确定性和随机性。
对于一个离散随机变量X，其信息熵H(X)定义为：H(X) = -Σ P(x)log2P(x)其中，P(x)是X取值为x的概率。
信道容量信道容量是指在给定的信道条件下，能够传输的最大信息速率。
根据香农定理，信道容量C可以通过下式计算：C = B log2(1 + S/N)其中，B是信道带宽，S是信号的信噪比，N是噪声的功率谱密度。
应用香农定理对通信系统的设计和优化具有重要意义。
通过理解信道容量的上限，我们可以选择合适的调制方案、编码方案和信道编码率，以最大限度地提高通信系统的性能。
奈奎斯特定理定义奈奎斯特定理，也称为奈奎斯特-香农采样定理，由哈里·奈奎斯特于1928年提出。
它给出了采样定理的一个重要结果，即信号在采样时需要满足一定的采样定理，以便在恢复过程中不产生信息丢失。
采样定理奈奎斯特定理指出，对于一个带宽为B的信号，为了完全恢复原始信号，需要以不低于2B的采样率进行采样。
也就是说，采样频率应该是信号带宽的两倍以上。
奈奎斯特频率奈奎斯特频率是指信号带宽的一半，也是信号采样频率的上限。
如果采样频率低于奈奎斯特频率，会导致采样失真，无法准确恢复原始信号。
应用奈奎斯特定理在信号处理和通信系统中具有广泛的应用。
在数字音频和视频领域，采样定理被广泛应用于音频和视频信号的数字化和压缩。
时域取样定理
时域取样定理时域取样定理，也称为奈奎斯特定理或奈奎斯特-香农采样定理，是一项关于信号处理的基本原理。
它指出，为了准确地重构一个连续时间信号，我们需要对该信号进行一定的采样，使得采样频率至少是信号中最高频率的两倍。
这个定理的应用非常广泛，涉及到音频、视频、通信等领域。
时域取样定理的核心思想是，通过对连续时间信号进行采样，可以将其转化为离散时间信号。
在离散时间下，信号的值只在特定的时间点上存在，而在这些时间点之间的值则通过插值的方式来估计。
通过采样和插值，我们可以将连续时间信号转化为数字信号，从而方便地进行数字信号处理。
为了更好地理解时域取样定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个连续时间信号，频率范围为0 Hz到10 Hz。
根据奈奎斯特定理，我们需要以至少20 Hz的采样率对该信号进行采样。
也就是说，我们需要每秒钟进行至少20次采样，才能够准确地重构出原始信号。
如果我们采样率过低，比如每秒钟只进行10次采样，那么就无法完整地捕捉到信号中的高频成分。
这会导致采样后的数字信号与原始信号存在差异，甚至无法正确地还原原始信号。
这种现象通常被称为混叠效应（aliasing）。
混叠效应会导致信息的丢失和失真。
为了避免混叠效应，我们需要确保采样频率高于信号中最高频率的两倍。
这样，我们就能够准确地捕捉到信号中所有的频率成分，并能够在数字信号处理的过程中进行准确的重建和分析。
时域取样定理的应用非常广泛。
在音频领域，CD音质的采样率为44.1 kHz，而DVD音质的采样率为48 kHz。
这些高采样率可以保证音频信号的高保真度。
在视频领域，常见的视频格式如MPEG、AVI等也都采用了高采样率，以确保视频信号的清晰度和流畅度。
除了音频和视频领域，时域取样定理在通信领域也具有重要的应用。
例如，在无线通信中，需要对模拟信号进行数字化处理，以便进行调制、解调、编码和解码等操作。
时域取样定理为这些数字信号处理的步骤提供了重要的理论基础。
简述采样定理的基本内容
采样定理的基本内容1. 什么是采样定理采样定理（Sampling Theorem）是数字信号处理中的一个基本理论，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）或香农定理（Shannon Theorem）。
它描述了如何在连续时间域中对信号进行采样，以便在离散时间域中能够完全还原原始信号。
2. 采样定理的基本原理采样定理的基本原理是：当一个信号的带宽不超过采样频率的一半时，我们可以通过对信号进行采样并以一定的频率进行重建，从而完整地恢复原始信号。
3. 采样定理的数学表达采样定理可以用数学方式表达如下： - 一个信号的最高频率为B，则采样频率Fs 应满足Fs > 2B，即采样频率必须是信号最高频率的2倍以上。
- 采样频率过低会导致混叠现象，也称为折叠现象（Aliasing），即原始信号的高频部分在采样后被混叠到低频部分。
- 采样频率过高不会引起混叠现象，但会浪费存储和计算资源。
4. 采样定理的应用采样定理在数字信号处理中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：4.1 通信系统在通信系统中，采样定理保证了信号的完整传输。
发送端将模拟信号进行采样，并通过数字信号处理技术将其转换为数字信号，然后通过传输介质传输到接收端。
接收端将数字信号还原为模拟信号，以便接收者能够恢复原始信息。
4.2 数字音频在数字音频领域，采样定理被广泛应用于音频录制和播放。
音频信号在录制过程中通过模拟转换器（ADC）进行采样，并以数字形式存储。
在播放过程中，数字音频通过数字转换器（DAC）转换为模拟信号，以便音箱或耳机能够播放出声音。
4.3 数字图像在数字图像处理中，采样定理被用于图像的采集和显示。
采样定理保证了图像的细节在数字化过程中不会丢失。
图像传感器将连续的光信号转换为数字图像，然后在显示器上以像素的形式显示出来。
4.4 数据压缩采样定理对数据压缩也有重要意义。
在信号的采样过程中，我们可以通过降低采样频率来减少数据量，从而实现信号的压缩。
采样定理
1 采样定理，又称取样定理，香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
2 采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示。
这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
3 所谓“取样”就是利用取样脉冲序列乘以连续时间信号，从中“抽取”一系列离散样本值的过程。
如果脉冲序列是周期冲激序列，则称为冲激取样；如果脉冲序列是矩形脉冲序列，则称为矩形脉冲取样。
取样的模型取样信号图4 1924年奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道的最高码元传输速率的公式:理想低通信道的最高码元传输速率W=2B Baud (其中W是理想)理想信道的极限信息速率（信道容量）C = B * log2 N ( bps )在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>=2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍。
从下图中取样信号的频谱可以看出，。
6 采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。
时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。
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香农采样定理采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样简介从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。
连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。
T称为采样间隔。
在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。
采样过程产生一系列的数字，称为样本。
样本代表了原来地信号。
每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹(hertz)。
信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续信号x(t)。
从采样定理中，我们可以得出以下结论：•如果已知信号的最高频率f H，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。
这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表示为f N•相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。
•以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。
在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5 kHz 的成分通常非常小，因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。
在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。
这通常是用一个低通滤波器来实现的。
混叠如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。
这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。
一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频率的波弦信号，但它的相位和振幅改变了以下两种措施可避免混叠的发生：1.提高采样频率，使之达到最高信号频率的两倍以上；2.引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数；该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器抗混叠滤波器可限制信号的带宽，使之满足采样定理的条件。
从理论上来说，这是可行的，但是在实际情况中是不可能做到的。
因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号，所以，采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。
不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小，以至可忽略不计。
减采样当一个信号被减采样时，必须满足采样定理以避免混叠。
为了满足采样定理的要求，信号在进行减采样操作前，必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。
这个用于避免混叠的低通滤波器，称为抗混叠滤波器。
[编辑]參考資料• E. T. Whittaker, "On the Functions Which are Represented by the Expansions of the Interpolation Theory," Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec. A, vol.35, pp.181-194, 1915•H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory," Trans.AIEE, vol. 47, pp. 617-644, Apr. 1928.•V. A. Kotelnikov, "On the carrying capacity of the ether and wire in telecommunications," Material for the First All-Union Conference on Questions of Communication, Izd. Red. Upr. Svyazi RKKA, Moscow, 1933 (Russian).• C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise", Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10-21, Jan. 1949.光学基础知识：摄影镜头调制传输函数MTF解读镜头是摄影师和摄影爱好者投资最高的设备之一，也是决定拍摄质量的最重要的因素。
因此，镜头的质量，历来受到极大的重视。
我们当然会很关心摄影镜头的测量方法。
摄影的最终产品是照片，所以，根据拍摄照片的质量来评价镜头质量，这是我们最先想到的，也是最基本的测试镜头的方法。
实拍照片评价镜头质量的优点是结果直截了当，根据效果判断，比较放心。
不过决定照片质量的客观因素很多，而一张照片的“好”与“坏”又需要人的主观判断，很难通过测量得出客观的定量结果。
大量的事实表明，影响拍摄质量最重要的因素是镜头的分辨率和反差。
反差大小可以通过仪器很容易测量，而分辨率就不那么容易了！现在我们经常采用拍摄标准分辨率板的方法测量镜头的分辨率。
将拍摄了标准分辨率板的底片放到显微镜下人工判读，看最高能够分辩多少线条密度。
分辨率的单位是线对/毫米(lp/mm)，一黑一白两条线算是一个线对，每毫米能够分辩出的线对数就是分辨率的数值。
由于这种方法还是要受到胶片分辨率的客观影响和人工判读的主观影响，所以并不是最准确最理想的方法。
现在，让我们从另一个角度出发，将镜头看作一个信息传递系统：被拍摄景物反射出来的光线是它的输入信息，而胶片上的成像就是它的输出信息。
一个优秀的镜头意味着它的输出的像忠实的再现了输入方景物的特性。
喜欢音响的朋友都知道，高保真放大器的输出，应当准确地再现输入信号(图1)。
当输入端输入频率变化而幅度不变的正弦信号时，输出正弦波信号幅度的变化反映了放大器的频幅特性。
频幅特性越平坦，放大器性能越好(图2)！图1 放大器准确再现输入信号图2 放大器的频幅特性类似的方法也可以用来描述镜头的特性。
由数学证明可知，任何周期性图形都可以分解成亮度按正弦变化的图形的叠加，而任何非周期图形又可以看作是周期图形片断的组合。
因此，研究镜头对正弦变化的图形的反映，就可以研究镜头的性能！亮度按正弦变化的周期图形叫做“正弦光栅”。
为了描述正弦光栅的线条密度，我们引入了“空间频率”的概念。
一般正弦波的频率指单位时间(每秒钟)正弦波的周期数，对应的，正弦光栅的空间频率就是单位长度(每毫米)的亮度按照图3 正弦光栅典型的正弦光栅如图3所示。
相邻的两个最大值的距离是正弦光栅的空间周期，单位是毫米。
空间周期的倒数就是空间频率(Spatial Frequency)，单位是线对/毫米(lp/mm，linepairs/mm)。
正弦光栅最亮处与最暗处的差别，反映了图形的反差(对比度)。
设最大亮度为Imax，最小亮度为Imin，我们用调制度(Modulation)表示反差的大小。
调制度M定义如下：M=(I max－I min)/(I max＋I min)很明显，调制度介于0和1之间。
调制度越大，意味着反差越大。
当最大亮度与最小亮度完全相等时，反差完全消失，这时的调制度等于0。
我们将正弦光栅置于镜头前方、在镜头成像处测量像的调制度，发现当光栅空间频率很低时，像的调制度几乎等于正弦光栅的调制度；随着空间频率的提高，像的调制度逐渐单调下降；空间频率高到一定程度，像的调制度逐渐降低到0、完全失去了反差！正弦信号通过镜头后，它的调制度的变化是正弦信号空间频率的函数，这个函数称为调制传递函数MTF(Modulation Transfer Function)。
对于原来调制度为M的正弦光栅，如果经过镜头到达像平面的像的调制度为M ’ ，则MTF函数值为：MTF值= M ’ / M可以看出，MTF值必定介于0和1之间，并且越接近1、镜头的性能越好！如果镜头的MTF值等于1，镜头输出的调制度完全反映了输入正弦光栅的反差；而如果输入的正弦光栅的调制度是1，则输出图像的调制度正好等于MTF 值！所以，MTF函数代表了镜头在一定空间频率下的反差。
MTF综合反映了镜头的反差和分辨率特性，MTF是用仪器测量的，因而可以完全排除胶片等客观因素的影响和人工判读的主观因素影响，是目前最为客观最为准确的镜头评价方法。
MTF值不但受镜头像差影响，还要受到空间频率、光圈和像场大小三个变量的影响，所以一般绘制二维的MTF曲线时都是固定空间频率、光圈和像场三个变量中的两个、剩余一个作为横坐标，并且以MTF值作为纵坐标。
镜头是以光轴为中心的中心对称结构，像场中心各个方向的MTF值是相同的。
但是受到镜头像散的影响，在偏离中心的位置，沿切线方向的线条与沿径向方向的线条的MTF值往往是不同的！我们将平行于直径的线条产生的MTF曲线称为弧矢曲线，标为S (sagittal)，而将平行于切线的线条产生的MTF曲线称为子午曲线，标为M(meridional)。
这样，我们绘制的MTF曲线一般有两条：S 曲线和M图4 子午方向和弧矢方向空间频率很低时，MTF值趋于一个接近于1的固定值。
这个值实际就是镜头对大面积色块的反差，反映了镜头固有的反差值。
随着空间频率增高，MTF 值逐渐下降，直到趋于0。
人眼对反差为0.05的影像尚能分辩，而当反差低于0.02时就完全不能察觉了。
所以一般选定MTF值为0.03时的空间频率作为镜头的目视分辨率。
这样，通过MTF曲线的绘制，镜头的反差和目视分辨率就都成为可测量的了！图5是MTF值随空间频率变化的情况，我们称之为“频幅曲线”。
图中，根据低频时的MTF值和MTF等于0.03时的空间频率，可以方便的得出镜头的反差和目视分辨率。