1.3.1 全称量词与全称命题、1.3.2存在量词与特称命题
全称量词和存在量词
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述 例21设集合S＝四边形,px：内角和为360°. 试用不同的表述写出全称命题∀x∈S,px． 2设qx：x2＝x,试用不同的表达方法写出特 称命题∃x∈R,qx．
解1依题意可得以下几种不同的表述： 对所有的四边形x,x的内角和为360°； 对一切四边形x,x的内角和为360°； 每一个四边形x的内角和为360°； 任一个四边形x的内角和为360°； 凡是四边形x,它的内角和为360°.
有的正方形都是矩形的否定为至少存在一个正方形 不是矩形．其中,把全称量词所有的变为存在量词至 少存在一个．
2.特称命题的否定：
一般地,对于含一个量词的特称命题的否定,有下 面的结论：特称命题p：∃x0∈M,px0,它的否定綈p： ∀x∈M,¬px．特称命题的否定是全称命题．如：存 在一个实数x,使得x2＋x＋1≤0的否定为对所有实数 x,都有x2＋x＋1>0,其中,把存在量词存在一个变为 全称量词对所有的．
1.4全称量词 和存在量词
一、全称量词 和存在量词
新课讲解
1．全称量词和全称命题
1全称量词： 短语所有的、任意一个在逻辑中通常叫做全称 量词,并用符号∀表示．
2全称命题： ①定义：含有全称量词的命题,叫做全称命题． ②一般形式：全称命题对M中任意一个x,有px成立 可用符号简记为∀x∈M,px,读作对任意x属于M,有px成 立．其中M为给定的集合,px是一个关于x的命题．
解析：如x＝0时,x2＝0,满足x2≤0. 答案：B
3．下列命题是假命题的是( ) A．∀x∈R,3x>0 B．∀x∈N，x≥1 C．∃x∈Z，x<1 D．∃x∈Q， x∉Q
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 全称量词与全称命题 1.3.
2.特称命题 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分 的含义,这样的词叫作存在量词,含有存在量词的命题,叫作特称命 题. 【做一做2】 下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除 C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0 D.有一个m,使2-m与|m|-3异号 答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只 需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式 m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
【做一做 3】 给出下列命题:
①任意 x∈R, ������是无理数; ②任意������, ������∈R,若 xy≠0,则 x,y 中至少
有一个不为 0;③存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除.
其中真命题为
.(填序号)
解析:①是假命题,例如 4是有理数;②是假命题,若 xy≠0,则 x,y
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 利用全称命题、特称命题求参数范围
【例3】 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?并 说明理由. (2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 分析:可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)对任意x∈R恒成立和 存在一个实数x,使m>f(x)成立.
全称量词与存在量词 课件
2．存在量词 特称命题
(1)短语“ 存在一个 ”、“至少有一个”在逻辑中通常
叫做存在量词，用符号∃表示，含有存在量词的命题叫做
特称命题 ．
(2) 常 见 的 存 在 量 词 有 ： “ 存 在 一 个 ” “ 至 少 有 一
个”“有些”“有一个”“某个”“有的”．
(3)特称命题的形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，
[例2] 给出下列四个命题： ①∀x∈R，x2＋2>0； ②∀x∈N，x4≥1； ③∃x0∈Z，x<1； ④∃x0∈Q，x＝3. 其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填 上)．
[答案] ①③ [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①四个命题中有两个全称命题，两个特称命题； ②要求判断命题的真假．解答本题首先正确理解命题 的含义，再采用举反例等方法给予判断． [解析] ①由于∀x∈R，都有x2≥0， 因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． ②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立． 所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
(1)有一个实数α，tanα无意义； (2)任何一条直线都有斜率吗？ (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (4)圆内接四边形，其对角互补； (5)对数函数都是单调函数．
[分析] → 判断真假
判断含有量词类型 → 判断命题类型
[解析] (1)特称命题．α＝π2时，tanα 不存在，所 以，特称命题“有一个实数 α，tanα 无意义”是真命题．
③由于－1∈Z，当 x＝－1 时，x3<1 成立． 所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题． ④由于使 x2＝3 成立的数只有± 3，而它们都不是有理 数． 因此，没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题．
全称命题与特称命题
全称命题与特称命题1.全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可表示为“”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.2.存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。
含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示为“”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.3. 对含有一个量词的命题进行否定全称命题p ：，他的否定： 全称命题的否定是特称命题。
特称命题p ：，他的否定：特称命题的否定是全称命题。
练习题：1.命题“2,210x R x ∀∈+>”的否定是( )．A ．200,210x R x ∃∈+>B ．2,210x R x ∀∈+≤ C ．200,210x R x ∃∈+< D ．200,210x R x ∃∈+≤2.命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是( )A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+<3.命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是 （ ） A ．2,11x x ∀∈+<R B ．11,2≥+∈∀x R x C ．11,200<+∈∃x R x D ．11,200≥+∈∃x R x5.下列命题是真命题的是（ ） 1x ,Z x .D 1x ,N x .C 3x ,Q x .B 22x ,R x .A 30022002<∈∃≥∈∀=∈∃>+∈∀6.（逻辑）已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ） A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x p B ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC ．1sin ,:>∈∃⌝x R x pD ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p7.已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（ ） A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<08.命题“(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<”的否定是( ) A. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++< B. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++≥ C. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++≥ D. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++>9.命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（ ） A.042,2≥+-∈∀x x R x B.042,2>+-∈∀x x R x C.042,2>+-∈∃x xR x D.042,2>+-∉∃x x R x10.命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是 .11.已知命题0:p x R ∃∈，200220x x ++≤，则p ⌝为 （ ）A. 2000,220x R x x ∃∈++>B. 2000,220x R x x ∃∈++< C. 2000,220x R x x ∀∈++≤ D. 2000,220x R x x ∀∈++>12.命题“04,2>++∈∀x x R x ”的否定是13若命题p :x ∀∈R 22421ax x a x ,++≥-+是真命题,则实数a 的取值范围是 .14.若命题“x R ∀∈，210x ax ++≥”是真命题，则实数a 的取值范围为 .15.命题“2,20x R x x ∀∈++≤”的否定是__________ _______.16.命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为______________________________.17.若“,x R ∃∈使2220x ax -+<”是假命题，则实数a 的范围 ．18.若命题“2,10x R x ax ∃∈++<”是真命题，则实数a 的取值范围是_____________.。
第六讲 全称量词命题与存在量词命题-(解析版)
第六讲 全称量词命题与存在量词命题【学习目标】1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.【基础知识】1.全称量词和全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x ). 2.存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.(3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为∃x ∈M ，p (x ). 3.命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 4.全称量词命题的否定 命题的否定：改变量词，否定结论 全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∃x ∈M ，p ⌝ (x ). 全称量词命题的否定是存在量词命题. 5.存在量词命题的否定存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∀x ∈M ，p ⌝ (x ). 存在量词命题的否定是全称量词命题.4.常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个【考点剖析】考点一：全称量词命题与存在量词命题的识别例1．下列命题中（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；（4）对于任意x R∈，总有211 1x+．存在量词命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于（4），对于任意x R∈，总有211 1x+，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．所以存在量词命题的序号是（1），有1个．故选B．考点二：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2．下列命题为真命题的是()A ．0x R ∃∈，使200x <B ．x R ∀∈，有20xC ．x R ∀∈，有20x >D ．x R ∀∈，有20x <【答案】B【解析】因为x R ∈，所以20x ，所以x R ∀∈，有20x ， 故选B ．考点三：依据含量词命题的真假求参数取值范围例3．已知命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．[0，4] C ．[4，)+∞ D ．(0,4)【答案】D【解析】命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题， 即判别式△21(2)4404a =--⨯⨯<， 即△2(2)4a =-<，则222a -<-<，即04a <<， 故选D ．考点四：全称量词命题的否定例4．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．考点五：存在量词命题的否定例5．设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为( )A ．(0,)x ∀∈+∞，33x x <B ．(0,)x ∀∈+∞，33x x >C ．(0,)x ∀∈+∞，33x xD ．(0,)x ∃∈+∞，33x x【答案】C【解析】命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为：(0,)x ∀∈+∞，33x x ． 故选C ．考点六：根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数例6．已知命题:p x R ∃∈，使220ax x a ++，当a A ∈时，p 为假命题，求集合． 【解析】当a A ∈时，p 为假命题， 则当a A ∈时，x R ∀∈，使220ax x a ++<， 若0a =，不等式等价为0x <，不满足条件． 若0a ≠，要使不等式恒成立，则20440a a <⎧⎨=-<⎩，即011a a a <⎧⎨><-⎩或，则1a <-， 即(,1)A =-∞-．【真题演练】1．下列命题是全称量词命题的是( ) A ．有一个偶数是素数B ．至少存在一个奇数能被15整除C ．有些三角形是直角三角形D ．每个四边形的内角和都是360︒ 【答案】D【解析】A ，有一个，存在性量词，特称命题， B ，至少存在一个，存在性量词，特称命题， C ，有些，存在性量词，特称命题，D ，每个，全称量词，全称命题， 故选D ．2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A ．x R ∀∈，2210x x ++> B ．所有菱形的4条边都相等 C ．若2x 为偶数，则x N ∈ D ．π是无理数【答案】B【解析】对于:A x R ∀∈，2221(1)0x x x ++=+，故A 错误； 对于B ：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故B 正确； 对于C ：若2x 为偶数，则x N ∈或N -，故C 错误； 对于:D π是无理数不是全称命题，故D 错误． 故选B ．3．已知对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >，则m 的取值范围为( ) A ．3m B ．3m > C ．1m > D ．1m【答案】A【解析】对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >， 3m ∴，故选A ．4．下列命题含有全称量词的是( ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数C ．方程2250x x ++=有实数解D ．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】A ：某些函数图象不过原点，不是全部的意思，不是全称量词命题；B ：实数的平方为正数即是所有实数的平方根都为正数，是全称量词命题；C ：方程2250x x ++=有实数解，不是全称量词命题；D ：素数中只有一个偶数，不是全称量词命题；故选B ．5．有下列四个命题：①x R ∀∈10>；②x N ∀∈，20x >；③x N ∃∈，[3x ∈-，1)-；④x Q ∃∈，22x =．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，x R ∀∈10>，是真命题，2010>； 对于②，x N ∀∈，20x >，是假命题， 因为0x =时，x N ∈，20x =；对于③，x N ∃∈，[3x ∈-，1)-，是假命题， 由x N ∈知0x ，所以[3x ∉-，1)-； 对于④，x Q ∃∈，22x =，是假命题， 因为x Q ∀∈，22x ≠．所以真命题的序号是①，共1个． 故选A ．6．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．7．若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <B ．3a -，或3aC ．33aD ．a <a >【答案】C【解析】命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，即“x R ∀∈，23210x ax ++成立”是真命题， 故△24120a =-，解得33a ．故选C ．8．命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 ．【答案】x R ∀∈，210x x -+≠【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以x R ∃∈，210x x -+=的否定是：x R ∀∈，210x x -+≠． 故答案为：x R ∀∈，210x x -+≠．9．设命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=，命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠．若p ，q 都为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】若命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=为真命题， 则△44(3)0m =--，解得4m ；若命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠为真命题， 则△224(5)4(19)0m m =--+<，解得3(5m ∈，)+∞，又p ，q 都为真命题，∴实数m 的取值范围是33{|4}{|}(55m m m m >=，4]．【过关检测】1．命题“x N +∃∈使230x x m -+”的否定是( ) A ．x N +∃∈使230x x m -+< B ．不x N +∃∈使230x x m -+<C ．对x N +∀∈都有230x x m -+D ．对x N +∀∈都有230x x m -+<【答案】D【解析】命题“存在x N +∈，使230x x m ++”为特称命题， ∴命题的否定为：对任意x N +∈，使230x x m ++<，故选D ．2．下列语句是特称命题的是( ) A ．整数n 是2和7的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．若430x -=，则34x = D ．x M ∀∈，()p x 成立【答案】B【解析】命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词存在， 故B 是特此命题， 故选B ．3．设a 为常数，对任意x R ∈，210ax ax ++>，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0，4) C ．(0,)+∞ D ．(,4)-∞【答案】B【解析】①当0a =时，10>恒成立，即0a =时满足题意， ②当0a ≠时，由对任意x R ∈，210ax ax ++>，则有： 240a a a >⎧⎨-<⎩，解得：04a <<， 综合①②得：a 的取值范围是[0，4)，故选B ．4．命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>，则p ⌝是( )A ．0x R ∃∈，使70070x x +B ．0x R ∃∈，使70070x x +C ．x R ∀∈，使770x x +D ．x R ∀∈，使770x x +【答案】B【解析】根据题意，命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>， 这是全称命题，其否定为特称命题， 即0x R ∃∈，使70070x x +， 故选B ．5．若存在x 使2()1x a ->成立．则a 的取值范围是( ) A ．(-∞．)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0．)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】A【解析】由2()1x a ->得12x a >+， 若存在x 使2()1x a ->成立， 则(a ∈-∞．)+∞，故选A ．6．若命题“[1x ∀∈，2]，22430x ax a -+”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．2(,1]3B ．2[,1)3C ．2[,1]3D ．2(,1)3【答案】C【解析】设22()43f x x ax a =-+，对[1x ∀∈，2]，22()430f x x ax a =-+是真命题， ∴22(1)1430(2)4830f a a f a a ⎧=-+⎨=-+⎩，∴113223a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴213a ． 故选C ．7．已知命题：“[1x ∃∈，2]，使220x x a ++”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3-，)+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[8-，)+∞ D ．(8,)-+∞【答案】C【解析】设2()2f x x x a =++， 要使[1x ∃∈，2]，使220x x a ++， 据二次函数的图象与性质得： 只要：f （2）0即可， 22220a ∴+⨯+，8a ∴-．故选C ．8．若“存在[1x ∈，2]，使0x a -”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,1)-∞【解析】由题转化为命题“[1x ∀∈，2]，0x a ->”为真命题，即a x <恒成立， 又y x =在[1，2]上单调递增，所以1min y =，故1a <． 故答案为：(,1)-∞．9．若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】2λ【解析】若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题， 则“(0,)x ∀∈+∞，21x x λ+”是真命题； 所以，(0,)x ∈+∞时，1x xλ+恒成立， 又1122x x x x+=，当且仅当1x =时取“=”； 所以实数λ的取值范围是2λ． 故答案为：2λ．10．已知命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”，命题q ：“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”．试问p 是q 什么条件？【解析】因为命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”所以△0<，440a +<，解得：(,1)a ∈-∞-因为命题:q x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<，所以△0>，即2(1)40a -->，解得(a ∈-∞，1)(3-⋃，)+∞ 所以，p 是q 充分不必要条件．。
全称量词与全称命题 存在量词与特称命题
高二年级数学组主备人汤红芳执教人课题全称量词与全称命题存在量词与特称命题课型新授课时间2012.课时教学目标知识与技能: 理解全称量词与存在量词的意义，能判断全称命题与存在命题的真假。
过程与方法: 通过实例分析掌握全称量词与存在量词的意义，能判断全称命题与存在命题的真假。
情感、态度与价值观: 转化思想的应用。
教学设想重点：理解全称量词与全称命题存在量词与特称命题难点：判断全称命题与存在命题的真假。
教法学法指导：引导探索法教学程序与策略个性化修改一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。
大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船分析:①张②头③条④匹⑤户⑥叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。
汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。
不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。
我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n×n；（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n，有s=n×n；分析:上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。
全称量词与存在性量词知识点总结
全称量词与存在性量词知识点总结
①全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；
②全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题
③全称命题的格式：“对M中任意一个x，有p（x）成立”的命题，记为？x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。
2、存在量词与特称命题：
①存在量词：短语“存在一个”，“至少有一个”在陈述中表示个别或者一部分的含义，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
②特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题；
③“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”的命题，记为？x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，使p（x0）成立”。
3、全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：，它的否命题4、特称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：，其否定命题高中数学全称量词与存在性量词知识点总结（二）全称量词与存在性量词
1、全称量词与全称命题：
①全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；
②全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题。
第02讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词(解析版)
第2讲充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
思维导图
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
2．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
3．存在量词与特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
(2)特称命题：含有存在量词的命题．
(3)特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．
核心素养分析
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。
本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。
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§3全称量词与存在量词
3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．
1．全称量词与全称命题
命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题
命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是( )
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列是全称命题且是真命题的是( )
A．任意x∈R，x2>0
B．任意x∈Q，x2∈Q
C．存在x0∈Z，x20>1
D．任意x，y∈R，x2＋y2>0
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x20>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使1
x0
>2
5．下列全称命题中假命题的个数是( )
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对所有的x∈R，x>3；
③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数
A．0 B．1 C．2 D．3 6．下列命题中，真命题是( )
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．任意m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D ．任意m ∈R ，使函数2
二、填空题 7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号)
①存在x ∈R ，x 2＝0；
②有的菱形是正方形；
③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．
8．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．
9．下列命题中，真命题有__________．(填序号)
①不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0；
②对任意实数x ，均有x ＋1>x ；
③方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根；
④不等式x 2－x ＋1|x |＋1
<0的解集为∅. 三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0.
(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2.
(3)存在T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |.
(4)存在x 0∈R ，使x 20＋1<0.
11．已知对任意x >0，a <x ＋1x
恒成立，求a 的取值范围．
能力提升
12．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )
A ．存在x ∈R ，12a x 2－bx ≥12
ax 20－bx 0 B ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≤12
ax 20－bx 0 C ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≥12
ax 20－bx 0 D ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≤12
ax 20－bx 0
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写找到． 2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
§3 全称量词与存在量词
3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
知识梳理 1．整体或全部 全称量词
2．个别或一部分 存在量词
作业设计
1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]
2．D [“存在”是存在量词．]
3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．]
4．B 5.C
6．A [对于选项A ，存在m ∈R ，当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确．]
7．①②③
解析 对于命题①，当x ＝0时，x 2＝0；对于命题②，有一个角是直角的菱形是正方形；对于命
题③，整数1既不是合数，也不是素数．
8．(－2,2]
解析 当a ＝2时，显然符合条件；
当a ≠2时，有
⎩⎪⎨⎪⎧ a <2，Δ＝4a －22－4a －24<0，
⇒－2<a <2.
综上，a 的取值范围是(－2,2]．
9．①②④
解析 对于选项③，方程x 2－2x ＋3＝0没有实根，是假命题．
10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵a x >0 (a >0，a ≠1)恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，
但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．
(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0，
∴命题(4)是假命题．
11．解 由于对任意x >0，a <x ＋1x
恒成立， 只需a <⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x min 恒成立． ∵x >0，x ＋1x ≥2，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x min ＝2. ∴a <2.故a 的取值范围是(－∞，2)．
12．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a
，此时函数对应的图像开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a
，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12
ax 20－bx 0.]。