高中数列专题常见求和方法总结

专题：数列及其数列求和

?重点、考点精读与点拨

一、基本知识

1．定义：

(1) .数列：按一定次序排序的一列数

(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列

(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，则这个数列叫做等比数列

2．通项公式与前n 项和公式

}{n a 为等差数列：

d n a a n )1(1-+= 2

)(2)1(11n n a a n d n n na S +=-+

= }{n b 为等比数列：

)1(1

1≠=-q q

b b n n q

q a a q q a S n n n --=--=11)1(11（q )1≠

3．常用性质

}{n a 为等差数列，则有

（1）从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，2

1-++=n n n a a a （n>1）（2） ),()(*N n m d

m n a a m n ∈-+=

（3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4）若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5）若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有：

（6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2

R q p qn

pn S n ∈+=

（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列

（8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数）（9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ，

1+n n

a a S S ＝

偶

奇若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，

-n n S S ＝偶

奇（10）??

?=≥-=-11

1)2

(S a n S S a n n n

}{n a 为等比数列，则有

（1）只有同号的两数才存在等比中项

（2） ),(*N n m q

a a m

n m n ∈=-

（3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ?=?，特殊的：若m+n=2r ,则有：2

r n m a a a =? （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ?，}{

b a ，{n ca }为等比数列（0≠

c ）（5）等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为

等比数列

（6） )1,0()

0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq

a n n n n

二、在数列中常见问题：

1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，

n d

a n d s n )2

(212-+=

二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（

==-++n

n n n a a a a 1

1 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。利用???<≥+001

n n a a 确

定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。等差数列当首项a 1<0且公差d>0时（递增数列），前n 项和存在最小值。

3、遇到数列前n 项和S n 与通项a n 的关系的问题应利用??

?≥-==-2

11n S S n S a n n n

4、满足??

?+==+)(1

1n f a a a

a n n 的数列，求通项用累加（消项）法，

如：已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=a n +2n

, 求a n ；满足??

?==+)

(11n f a a a

a n n 的数列，求通项用累乘（消项）法，

如：已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=1

+n n

a n , 求a n ；

三、数列求和的常用方法：

(1)公式法：必须记住几个常见数列前n 项和等差数列：2

)1(2)(11d

n n na a a n S n n -+=+=

；等比数列：??

??≠--==11)1(111q q q a q na S n n ；

(2)分组求和：如：求1+1,

41+a ,712+a ,…,231

1-+-n a n ,…的前n 项和可进行分组即：237411

1111132-+++++++++-n a

a a a n

前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和

（注：???

????≠-=+=12)13(12

)13(a n n a n

n S n ）

(3)裂项法：如)2(1+=

n n a n ，求S n ，常用的裂项1

1)1(1+-=+n n n n ，

)211(21)2(1+-=+n n n n ；])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

(4)错位相减法：其特点是c n =a n b n 其中{a n }是等差，{b n }是等比如：求和S n =1+3x+5x 2

+7x 3

+……+(2n －1)x

n －1

注意讨论x ，

??≠-+++--==+1)1()1()12()12(12

12x x x x n x n x n S n n n

(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：C n 0

+3C n 1

+5C n 2

+… +(2n —1) C n n

=(n+1)2n

?名题归类例释

错位相减法：

例1 n n 2

164834221S +??++++=

求和例2 求数例1，3a ，5a 2

，7a 3

，…(2n－1)a n-1

，…(a≠1)的前n 项和．

解：因 S n =1＋3a ＋5a 2

＋7a 3

＋…＋(2n －1)a n-1

， (1) (1)×a 得

aS n =a ＋3a 2＋5a 3＋…(2n－3)a n-1＋(2n －1)a n ，（2）

两式相减得

(1－a)S n =1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n-1－(2n －1)a n =2(1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a n-1)－(2n －1)a n -1

=1)12(1)

112

-----?n n a n a

a （所以:a a n a a S n n n -+----=11

)12()

1()1(22

例3．已知数列{}n a 的首项12

a =

，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．

（Ⅰ）证明：数列1

{

1}n

a -是等比数列；（Ⅱ）数列{

a 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）

121

n n a a a +=

+， ∴

111

111222n n n n

a a a a ++==+?，

∴

1111

1(1)2n n

a a +-=- 又12

a =

，∴11112a -=，

∴数列1{

1}n a -是以12为首项，1

为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1111111222n n n a -+-=?=，即1112

n n a =+，∴2n n n n

n a =+．设23123222n T =

+++…2n n

+， ① 则23112222n T =++…1122n n n n

+-++，② 由①-②得

2111222n T =++ (111)

11(1)

1122112222212

n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=--．又123+++ (1)

n n n ++=．

∴数列{}n n

a 的前n 项和 22(1)4222222

n n n n n n n n n S +++++=-+

==．例4：已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+ a 2+ a 3=12，令b n = a n x n

(x ∈R)，

求数列{b n }的前n 项和公式。裂项相消法：

例1 求和：)(,3211

4321132112111*N n n

∈+++++++++++++++ 解：)1(2

211+=+?++=

k k k a k ，

])

1n (n 1321211[

2S n ++?+?+?=∴ 121112111

3121211[2+=

? ??+-=??? ??+-

+?+??

??-+??? ?

?-=n n n n n 例2：数列{a n }通项公式是1

1++=

n n a n ，若前n 项的和为10，求项数。

例3：求和)

12()12()2(5343122

22+?-++?+?=n n n S n 分部求和法：

例1 已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++ 解：首先由31452

91010110=?=??+

=d d

a S 则12(1)32322n n n a a n d n a =+-=-?=?-

2423(222)2n n

a a a n ∴+++=+++-12(12)

2322612

n n n n +-=-=?--- 例2已知数列}a {n 的通项公式为??

?-=为偶数）

（为奇数）（

n 2n 5n 6a n

n ，求其前n 项和Sn 例3：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n ；

例4：22222)1()1()1(n n x

x x x x x ++++++

倒序相加法：

例1 sin 21°+ sin 22°+ sin 23°+……+ sin 288°+ sin 2

89°的值

例2 设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：

n n n n n C a C a C a S +++=+ 11001

解：因为n

n n n n n C a C a C a S +++=+ 11001 （1）

0111n n n n n n n n C a C a C a S +++=--+ （2）

（1）+（2）得

101102()()()n

n n n n n n n S a a C a a C a a C +-∴=++++

00()()()2n

n n n n n n a a C C C a a =+++

+=+

110()2n n n S a a -+∴=+?

例3设2

21)(+=

x f ，利用课本推导等差数列的前n 项和公式的方法，可求得

f(-5)+ f(-4)+…+ f(5)+ f(6)的值。