高中数列专题常见求和方法总结
高考数学 数列求和的8种常用方法(最全)
一
1.等差数列求和公式：
Sn(a1an)nan(n1)d
n212
特别地，当前n项的个数为奇数时，S2k1(2k1)ak1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公
式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：
（1）q1，Snna1；
a11qn
（2）q1，Sn
1q
，特别要注意对公比的讨论；
c
项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于
，其中a
an
n
n1
是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是
anfn1fn.常见裂项公式：
（1）1
11，1
1(1
1)；1
1(1
)（an的公差为d）；
n(n1)
nn1
n(nk)
knnk
anan1
dan
2n2n1
………………………②（设制错位）
①－②得，(11)S
2n
22
222
22
2324
2
2n
2n2n1
（错位相减）
21
2n
∴Sn
4n2
2n1
2n12n1
四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解
与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通
2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89
∴S＝44.5
例4函数fxx，求
1x
f1f2
2012
2011
2
高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结
高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。
1、倒序相加法：实质为等差数列求和。
例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。
错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。
前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=， 即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==， 故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ． （Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3， 所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。
高中数学数列求和的七种方法
高中数学数列求和的七种方法
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差×等比)、公式法、迭加法。
下面是小编给大家带来的数列求和的七种方法，希望能够帮助到大家!
高中数学数列求和的七种方法
1、倒序相加法
倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。
2、分组求和法
分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。
3、错位相减法
错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
4、裂项相消法
裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
5、乘公比错项相减(等差×等比)
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。
6、公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
7、迭加法
主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或
等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。
高中数列求和方法大汇总
高中数列求和方法大汇总1利用公式法进行数列求和等差、等比数列的求和，直接运用前 n 项和公式或运用等差、等比数列的性质，此部分是基础，也是重点．利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法．(1) 等差数列求和公式：n S =2)(1n a a n +=d n n na 2)1(1-+(2)等比数列求和公式：n S =()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠--=--=111)1()1(111q q qa a qq a q na n n(3)n S =∑=nk k 12=()12)1(61++n n n(4)n S =∑=nk k 13=()2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n例1 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足:2322a a + = 2524a a +,7S = 7,求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ．解 设公差为d ，依题意有：2522a a -=2324a a -由性质得:()343a a d +- = ()34a a d +因为0≠d ，所以34a a += 0，即0521=+d a ， 又由7S = 7得：726771=⨯+d a 解得： 51-=a ，2=d所以{}n a 的通项公式为：72-=n a n 故所求的前n 项和为：n S =()[]nn n n 627252-=⋅-+-评注 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。
例2 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{}n a 的公比q ；（2）若331=-a a ，求n S ． 解 （1）依题意有()()2111112q a q a a q a a a ++=++ 由于01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21-=q（2）由已知可得:321211=⎪⎭⎫⎝⎛--a a故: 41=a从而n S =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯nn 211382112114 评注 在数列求和中，以下三个性质经常用到：（1）在等差数列中，若()*,,,N q p n m qp n m ∈+=+，则有：q p n m a a a a +=+；（2）在等差数列中，若A S n =,B S S n n =-2,C S S n n =-23,则有： A 、B 、C 成等差数列；（3）在等比数列中，若A S n =,B S S n n =-2,C S S n n =-23,则有：A 、B 、C 成等比数列．2裂项相消法顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，使拆裂后的项相互之间出现一些互为相反数的部分，求和时这些互为相反数的部分就能互相抵消，从而达到求和的目的．例3 求数列311⨯，531⨯，751⨯，531⨯，…()()12121+-n n ，…的前n 项和． 解 因为：n a =()()12121+-n n =⎪⎭⎫⎝⎛+--12112121n n所求的和：．nS =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛---++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211211213217151513131121n n n n =21⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n =12+n n例4 求和：n S =3211⨯⨯+4321⨯⨯+++⨯⨯ 5431()()211+⨯+⨯n n n解 因为()()211+⨯+⨯k k k =21()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+21111k k k k所以： nS =21()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯21111431321321211n n n n =21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-21121n n = 462322+++n n nn评注 观察相消项的规律是求和的关键，要搞清楚哪些项是合并了，哪些项未合并，并且这类裂项分解往往要对数列的通项进行较大幅度的变形，有的是隔项相消，技巧要求较高．3错位相减法这种方法是把原数列的钱n 项和乘以一个因数作为辅助数列，然后把它与原数列相减而得到一个关于n s 的关系式，接着解这个关系式，进而求的n s 的值．能用错位相减法求和的数列通常是项数相同的一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的相减前在原求和等式的两边同乘以等比数列的公比，两式相减后能组成一个新的等比数列，以便用等比数列求和公式求和．例5 求和：n S =21+43+n n 21285-++ ． 解 因为：n S = 21+43+n n 21285-++ (1)所以：21n S = 41+83+1212165+-++n n (2)由（1）—（2），得：21n S = 21+1212221628242+--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n =21+12122116181412+--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯n n n 再利用等比数列的求和公式得：21n S = 21+11212211211412+----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯n n n= 112122123+----n n n故：n S = nn 2323+-评注 （1）相减后各项的符号；（2）中间成等比数列部分的项数；（3）最后n S 的表达式 ．例6 设0≠a ，求数列a 、23a 、35a 、47a 、… 、()n a n 12-、… 的前n 项和．解 若1=a ，n S = ()127531-+++++n =()[]2121n n ⨯-+= 2n若1≠a ，n S = ()n a n a a a 125332-++++ (1)此时，该数列可以看作是等差数列1、3、5、7、… 、()12-n 与等比数列a 、2a 、3a 、… 、n a 的积构成的数列，且公比a q =．等式两边同乘以 a ，有：a n S = ()14321253+-++++n a n a a a ………………………（2） 由（1）—（2），得：()a -1n S = ()1432122222+--+++++n n a n a a a a a 所以：()a -1n S = ()()1432122+--+++++n n a n a a a a a= ()()11212112+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+n n a n a a a a化简整理得： n S =()()()221211212a a n a n a a n n --++-+++．评注 这个数列的每一项都含有a ，而a 等于1或不等于1对数列求和的方法有本质上的不同，所以解题是要讨论，切忌漏写．4数学归纳法．这种方法是求出{}n a 的前n 项之和，即先求出1S 、2S 、3S 的值，再通过观察发现规律，从而归纳、猜想得出n s ，并用数学归纳法加以证明．例7 已知数列{}n a 的各项为：()11+a a 、()()211++a a 、…、()()n a n a +-+11、…．其中a 是大于0的常数，记数列{}n a 的前n 项之和是n S ，计算1S 、2S 、3S 的值，由此推算出n S 的公式，并用数学归纳法加以证明． 解 1S = 1a =()11+a a2S = 21a a +=()()()21111++++a a a a = ()22+a a3S = 32a S += ()()()32122++++a a a a = ()33+a a由此猜想： n S =()n a a n+用数学归纳法证明如下： 当1=n 时，命题显然成立； 设当k n =时，命题成立，即：k S = ()k a a k+当1+=k n 时，1+k S = 1++k k a S =()()()11+++++k a k a k a a k=()11+++k a a k这就证明了1+=k n 时，命题成立，从而命题对所有的自然数n 都成立． 例8 设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足：()n n na s +3 = n a 21+，求n S ． 解 因为：1S = 1a ，由()n n na s +3 = n a 21+ 得：()113s s + = 121s +所以：1S =41， 而：2a = 12S S -所以：()[]12223S S S -+ = ()1221S S -+, 得：2S =72 同理求得：3S = 103 由此猜想： n S =13+n n用数学归纳法证明如下： 当1=n 时，命题显然成立； 设当k n =时，命题成立，即：k S = 13+k k当1+=k n 时，由题设有：()[]1113++++k K a k S = 121++k a所以：1+k a = 1++k k a S 从而：1+k S =13311+-+k S k=1331131+-+++k S k k k 由此求得：1+k S =()1131+++k k这就证明了1+=k n 时，命题成立，从而命题对所有的自然数n 都成立．评注 （1）运用数学归纳法的思想是“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；（2）运用数学归纳法的关键是“由当k n =时成立，如何过渡与转换为当1+=k n 时也成立.”5倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒叙），再把它与原数列相加，从而得到n 个()n a a +1．能用这个方法的数列的特点是：在一个数列中与首末两端“等距离”的两项之和（或“系数”之和），等于首末两项之和（等于首末两项“系数”之和）．例9 设数列{}n a 是等差数列，求证：nnn n n C a C a C a a 123121+++++ = ()1112-++n n a a ． 解 设S = nnn n n C a C a C a a 123121+++++ ……………………………（1） 将上式倒写，得：S = 11211a C a C a C a n n n n n n n ++++-+ 又因为：m n C = m n n C - ，所以：S = n nn n n n n n C a C a C a C a 112101++++-+ ………………………（2） 由（1）+（2），得：2S = ()()()()n nn n n n n n n C a a C a a C a a C a a 1121312011+++++++++-+ 因为：{}n a 是等差数列所以：11++n a a = n a a +2 = 13-+n a a = …所以：2S = ()()nnn n n n C C C C a a ++++++ 31011 = ()n n a a 211⋅++ 即： S = ()1112-+⋅+n n a a故：n nn n n C a C a C a a 123121+++++ = ()1112-++n n a a ． 评注 n nn n n C C C C ++++ 310 = n 2． 例10 已知函数()x f =241+x ，求： n S = ()()11210f n n f n f n f f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+ ． 解 可证当21x x + = 1时，()()21x f x f + =21因为： n S = ()()11210f n n f n f n f f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+ (1)将上式倒写，得：n S = ()()01211f n f n n f n n f f +⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ …………（2）由（1）+（2），得： 2S=()()[]()()[]01221110f f n n f n f n n f n f f f +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++ =()211212121212121个+++++++n =21+n 所以：n S = 41+n 例11 设221)(+=x x f ，利用本文中推导等差数列前n 项和公式的方法，求：()()()()6504)5(f f f f f +++++-+- 的值.解： ∵221)(+=x x f ，∴xxxx f 2222221)1(1⋅+=+=--=xx22221+⋅，∴22222211)1()(=+⋅+=-+xxx f x f ， 设 S = ()()()()6504)5(f f f f f +++++-+- …………………（1）将上式倒写，得：S = ()()()()5405)6(-+-+++++f f f f f ………………（2）由（1）+（2），得：S 2 = ()[]()()[]()()[]65546)5(f f f f f f +-+++-++- = 26∴S = ()()()()6504)5(f f f f f +++++-+- = 23.点评 使用“倒序相加法”求和的题型特征是“与首末两端距离相等的两项的和都相等”. 本题中，倒序相加后，对应项的和中自变量的和都等于1，故需探求()()x f x f -+1的值.6并项求和法将数列的相邻两项（或若干项）合并一项（或一组）得到一个新的、容易求和的数列，然后再求整个数列的前n 项和．例12 （1）求1002－992+982－972+…+22－12的值（2）求数列1，21，21，31，31，31，41，41，41，41…前100项的和解 （1）1002－992+982－972+…+22－12=（100+99）（100-99）+（98-97）（98-97）+…+(2+1)(2－1) = (100+99)+(98+97)+…+(2+1) =2)1100(100+⨯= 5050（2）根据21有2项，31有3项，41有4项，项数和1+2+3+…+14=105，则最后一项为141，且141有9项，100S = 1+(21+21)+(31+31+31)+(41+41+41+41)+…+(141+141+…+141) = 1+1+1+1+…+1+9×141= 131497拆项重组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但经细心观察，仔细分析之后发现：若将这数列中的每一项都两项之和，再重新组合，它就可以分成几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可，这种方法就称为拆项重组法．例13 求数列211、413、815、1617、……的前n 项和n S ．解 因为：211 = 211+． 413 = 413+815 = 815+ 1617 = 1617+ …… ()n n 2112- = ()n n 2112+-所以：n S = ()n n 21121617815413211-+++++= ()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-+++++n n 21161814121127531= 211211212-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+nn= nn 2112-+ 例14求和：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21814121814121341212211解 括号中式子的通向公式是： n a = n n 21814121+++++= 21121121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+n n= ()n n 211-+ 所以所求的和：n S = ()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+++++n n 218141211432=()[]21121121212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯++nn n= 1212322-++nn n ． 评注 先研究通项，抓住特点，确定拆项方法，将数列通过拆项重组，转化为等差、等比或熟悉的数列，然后求和．8通项分析法对数列的通项不是很明确的数列，就应先对其通项求和或变形，进行分析，从而决定使用哪种方法求和．例15 已知数列{}n a 的通项n a = n n n n n +-++23412，求此数列的前n 项和． 解 因为： n a = n n n n n +-++23412= ()()nn n n n n n n +-+++22221= ()112+-+n n n n ．所以：n S = ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+113212*********n n n n=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯-+++++++++112113213212222n n n n = ()()()⎪⎭⎫⎝⎛+--++++111216121n n n n n n=()()111321++-++n n n n例16 已知数列{}n a 中，1a = 1，2a = 1+2+1，3a = 122212++++ 4a = 1222221232++++++，…，求数列{}n a 的前n 项和． 解 因为： n a = 122222212212+++++++++-- n n = ()()12222222123212++++++++++--- n n n= 212121211--+---n n = ()()12121-+--n n = 2231-⋅-n所以：n S = ()()()()22322322321312-⨯++-⨯+-⨯+-⨯-n ． = ()n n 22221312-++++⨯-= n n221213-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯ = 3223--⋅n n评注 数列的通项公式反映了一个数列的特点，充分研究数列的通项公式，常常对求和是十分有用的．9构造等式法这种方法是指构造一个含有未知数的等式，然后令这个未知数分别等于1、2、3、…、n ，于是得到n 个等式，接着将这n 等式相加，与数列和无关的项能小区，而剩下的就是所求数列的和或能组成等差数列或等比数列，进而求出所求的n S ．此法适用于求由自然数的幂构成的数列的前n 项和．例17 求数列21，22，23，…，2n 的前n 项和．解 因为：()31+m = 13323+++m m m 所以：()331m m -+ = 1332++m m 依次令m = 1、2、3、…、n ，得： 3312- = 113132+⨯+⨯， 3323- = 123232+⨯+⨯， 3334- = 133332+⨯+⨯， ……()331n n -+ = 1332++n n 将上面n 个等式相加得：()3311-+n = ()()n n n ++++++++++ 321332132222 由此解得：2222321n ++++ =()()6121++n n n评注 这个结论是前n 个自然数的平方和公式，它具有便于记忆的特征，又有一定的实用价值，应注意记忆及应用．10导数求和法通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维，由求导公式()'n x = 1-n nx ，可联想到它们是另外一个和式的导数．关键要抓住数列通项的结构特征．例18 求和：（1）n S = ()032112≠++++-x nx x x n ；（2）n S = ()*32132N n nC C C C nnn n n ∈++++ ．解 (1) 当1=x 时，n S = n ++++ 321 = ()121+n n ；当1≠x 时，nx x x x ++++ 32= xx x n --+11两边都是关于x 的函数，求导得：()'32n x x x x ++++ = '11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x n由此有 ：12321-++++n nxx x =()()21111x nx x n n n -++-+即：n S = 12321-++++n nxx x =()()21111x nx x n n n -++-+．（2）因为：()n x +1 = nn n n n x C x C x C ++++ 2211 两边都是关于x 的函数，所以：求导得：()11-+n x n = 1232132-++++n n n n n n x nC x C x C C令1=x ，得：12-⋅n n = n nn n n nC C C C ++++ 32132 即：n S = n nn n n nC C C C ++++ 32132 = 12-⋅n n ． 评注 本题的解题思路是建立在敏锐的洞察式子特征的基础上的，联想熟悉的函数关系式，并求导和赋值，又隐去了函数的表象，难度较高，技巧性强．同样的思路和方法可借下面一道题：变式 求()*32)1(3221N n nC n C C n nn n ∈-++⨯⨯+⨯⨯ 的值。
高中数学数列求和方法
高中数学数列求和方法数列是数学中常见的概念之一，它是由一系列有序的数所构成的集合。
数列求和是数列中的重要问题之一，可分为等差数列和等比数列求和两类。
一、等差数列求和1.表达式法对于等差数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差。
若已知数列的首项、末项和项数，则可以根据求和公式Sn=n(a1+an)/2来求和，其中Sn表示数列的和。
这种方法适用于已知数列的前n项求和。
2.规律法有些等差数列存在规律，可通过分组进行求和。
例如，对于等差数列1,4,7,…,97，可将其分解为(1+97)+(4+94)+(7+91)+…+(49+49)，共有25组，每组的和都是98、因此，该数列的和等于25×98=2450。
3.差分法等差数列的求和还可以利用差分法进行求解。
首先将数列的前n项依次相减得到一个新的数列，然后再对新数列进行求和，即可得到原数列的和。
例如，对于等差数列1,2,3,…,100的和，首先得到的差分数列为1,1,1,…,1，接着对差分数列进行求和，得到的和等于100。
二、等比数列求和1.通项公式法等比数列的通项公式为an=a1×q^(n-1)，其中a1表示首项，q表示公比。
已知数列的首项、末项和项数时，可以利用求和公式Sn=a1(q^n-1)/(q-1)来求和。
这种方法适用于已知数列的前n项求和。
2.等比中项法对于等比数列，若首项和第三项已知，则可以求出公比q=(第3项/首项)^(1/2)，从而求得数列的和。
这种方法适用于已知数列的首项和第三项求和。
3.分组求和法对于一些等比数列，可以通过合理的分组求和来得到数列的和。
例如，对于等比数列1,3,9,…,6561，可以发现这个数列可以分解为(1+3)+(3+9)+(9+27)+…+(2187+6561)，共有10组，每组的和为4、因此，该数列的和等于10×4=40。
三、求和公式的推导1.等差数列求和公式的推导我们将等差数列的前n项分别记作a1,a2,…,an。
高中数学解题方法系列：数列中求和问题的7种方法
高中数学解题方法系列：数列中求和问题的7种方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n nn 3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1]求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.[例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、错位相减法（等差乘等比）[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n xn x x x S [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n ∴1224-+-=n n n S 三、倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求证：nnn n n n n C n C C C 2)1()12(5321+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(5321++⋅⋅⋅+++=…………………………..①把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由mn nmn C C -=可得n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得nnn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴nn n S 2)1(⋅+=[例6]求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+=（2）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则[例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+-＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝1sin 1cos 2∴原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设S n ＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵)180cos(cosn n --=（找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例13]数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质qp n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质NM N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15]求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个（找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅＝)91010(8111n n --+数列练习一、选择题1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21 B.22 C.2 D.22.已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.3D.73.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A.18B.24C.60D.90.4设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于A．13B．35C．49D．635.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1,3a ＝0,则公差d ＝（A ）－2（B ）－12（C ）12（D ）26.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和A.90B.100C.145D.1907.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =（A）38（B）20（C）10（D）9.8.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A．2744n n+B．2533n n+C．2324n n+D．2n n+9.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A.90 B.100 C.145 D.190.二、填空题1设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =．2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1612T T 成等比数列．3.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .4.等比数列{n a }的公比0q >,已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =.数列练习参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a的公比为正数，所以q =,故2122a a q ===,选B 2.【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B。
数列求和各种方法总结归纳
数列求和各种方法总结归纳数列求和是数学中常见的问题之一，涉及到很多的方法和技巧。
下面我将对几种常见的数列求和方法进行总结归纳。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等差数列的和：1. 公式法：对于等差数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等差数列的和可以表示为：S = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
2.差分法：我们可以通过差分法来求等差数列的和。
即将数列中相邻两项的差列示出来，并求和，这样就变成了一个等差数列求和的问题。
例如对于数列1,3,5,7,9，差分后得到的数列是2,2,2,2，再求和得到83.数学归纳法：我们可以通过数学归纳法来求等差数列的和。
首先假设等差数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
例如对于数列1,3,5,7,9，我们可以假设Sn=1+3+5+7+9，然后通过归纳可以得到Sn+1=1+3+5+7+9+11=Sn+a(n+1)，其中a(n+1)为数列的第n+1项，最终求得Sn=n^2二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项的比相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等比数列的和：1.公式法：对于等比数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等比数列的和可以表示为：S=a*(1-r^n)/(1-r)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
需要注意的是，当r小于1时，求和公式仍然成立。
当r等于1时，等比数列的和为a*n。
2.求导法：我们可以通过对等比数列求导来求和。
对等比数列进行求导得到的结果是一个等差数列，然后再对等差数列进行求和就可以求得等比数列的和。
3.数学归纳法：和等差数列一样，我们也可以通过数学归纳法来求等比数列的和。
首先假设等比数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
三、递推数列求和递推数列是指数列中每一项都是由前面一项或几项推出来的。
高中数列求和方法大全
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。
7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求和：①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x Sn x x x x x x nn 2)111()(242242++++++++= （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n)25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。
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专题：数列及其数列求和►重点、考点精读与点拨一、基本知识1．定义：(1) .数列：按一定次序排序的一列数(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列2． 通项公式与前n 项和公式}{n a 为等差数列：d n a a n )1(1-+= 2)(2)1(11n n a a n d n n na S +=-+= }{n b 为等比数列：)1(11≠=-q qb b n n qq a a q q a S n n n --=--=11)1(11（q )1≠3． 常用性质}{n a 为等差数列，则有（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，211-++=n n n a a a （n>1） （2） ),()(*N n m dm n a a m n ∈-+=（3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4） 若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5） 若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有：（6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=⇔为常数)⇔),(2R q p qnpn S n ∈+=（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列（8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数） （9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ，1+n na a S S ＝偶奇 若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，1-n n S S ＝偶奇 （10）⎩⎨⎧=≥-=-111)2(S a n S S a n n n}{n a 为等比数列，则有（1） 只有同号的两数才存在等比中项（2） ),(*N n m qa a mn m n ∈=-（3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ⋅=⋅，特殊的：若m+n=2r ,则有：2r n m a a a =⋅ （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ⋅，}{nnb a ，{n ca }为等比数列（0≠c ） （5） 等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为等比数列（6） )1,0()0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cqa n n n n二、在数列中常见问题：1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，n da n d s n )2(212-+=二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（==-++nn n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。
利用⎩⎨⎧<≥+001n n a a 确定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。
等差数列当首项a 1<0且公差d>0时（递增数列），前n 项和存在最小值。
3、遇到数列前n 项和S n 与通项a n 的关系的问题应利用⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n4、满足⎩⎨⎧+==+)(11n f a a aa n n 的数列，求通项用累加（消项）法，如：已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=a n +2n, 求a n ； 满足⎩⎨⎧==+)(11n f a a aa n n 的数列，求通项用累乘（消项）法，如：已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=1+n na n , 求a n ；三、数列求和的常用方法：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n 项和 等差数列：2)1(2)(11dn n na a a n S n n -+=+=； 等比数列：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n ；(2)分组求和：如：求1+1,41+a ,712+a ,…,2311-+-n a n ,…的前n 项和 可进行分组即：2374111111132-+++++++++-n aa a a n前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和（注：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+=12)13(12)13(a n n a nn S n ）(3)裂项法：如)2(1+=n n a n ，求S n ，常用的裂项111)1(1+-=+n n n n ，)211(21)2(1+-=+n n n n ；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n(4)错位相减法：其特点是c n =a n b n 其中{a n }是等差，{b n }是等比 如：求和S n =1+3x+5x 2+7x 3+……+(2n －1)xn －1注意讨论x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠-+++--==+1)1()1()12()12(1212x x x x n x n x n S n n n(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。
如求证：C n 0+3C n 1+5C n 2+… +(2n —1) C n n=(n+1)2n►名题归类例释错位相减法：例1 n n 2n164834221S +⋯⋯++++=求和 例2 求数例1，3a ，5a 2，7a 3，…(2n－1)a n-1，…(a≠1)的前n 项和．解：因 S n =1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n-1， (1) (1)×a 得aS n =a ＋3a 2＋5a 3＋…(2n－3)a n-1＋(2n －1)a n ，（2）两式相减得(1－a)S n =1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n-1－(2n －1)a n =2(1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a n-1)－(2n －1)a n -1=1)12(1)112-----⋅n n a n aa （ 所以:a a n a a S n n n -+----=11)12()1()1(22例3．已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．（Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列； （Ⅱ）数列{}nna 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）121nn n a a a +=+， ∴111111222n n n na a a a ++==+⋅，∴11111(1)2n na a +-=- 又123a =，∴11112a -=，∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+，∴2n n n nn a =+． 设23123222n T =+++…2n n+， ① 则23112222n T =++…1122n n n n+-++，② 由①-②得2111222n T =++ (111)11(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=--．又123+++ (1)2n n n ++=．∴数列{}n na 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==． 例4：已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+ a 2+ a 3=12，令b n = a n x n(x ∈R)，求数列{b n }的前n 项和公式。
裂项相消法：例1 求和：)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++ 解：)1(2211+=+⋯++=k k k a k ，])1n (n 1321211[2S n ++⋯+⋅+⋅=∴ 1211121113121211[2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n 例2：数列{a n }通项公式是11++=n n a n ，若前n 项的和为10，求项数。
例3：求和)12()12()2(534312222+⋅-++⋅+⋅=n n n S n 分部求和法：例1 已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++ 解：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则12(1)32322n n n a a n d n a =+-=-⇒=⋅-22423(222)2n na a a n ∴+++=+++-12(12)32322612n n n n +-=-=⋅--- 例2已知数列}a {n 的通项公式为⎩⎨⎧-=为偶数）（为奇数）（n 2n 5n 6a nn ，求其前n 项和Sn 例3：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n ；例4：22222)1()1()1(n n xx x x x x ++++++倒序相加法：例1 sin 21°+ sin 22°+ sin 23°+……+ sin 288°+ sin 289°的值例2 设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：nn n n n n C a C a C a S +++=+ 11001解：因为nn n n n n C a C a C a S +++=+ 11001 （1）0111n n n n n n n n C a C a C a S +++=--+ （2）（1）+（2）得01101102()()()nn n n n n n n S a a C a a C a a C +-∴=++++++0100()()()2nn n n n n n a a C C C a a =++++=+110()2n n n S a a -+∴=+⋅例3设221)(+=xx f ，利用课本推导等差数列的前n 项和公式的方法，可求得f(-5)+ f(-4)+…+ f(5)+ f(6)的值。