梯形的性质与判定知识梳理
七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定鲁教版知识精讲
七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定某某教育版【本讲教育信息】一. 教学内容：梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定二. 学习重难点：运用梯形和等腰梯形的特征解决有关梯形的问题三. 知识要点讲解：同学们，前面我们研究了特殊的四边形——--平行四边形以及特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形。
今天我们研究另外一类特殊的四边形——梯形。
1、梯形的意义：①定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
②有关概念：平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰，夹在两底之间的垂线段叫做高。
注：较长的底叫做下底、较短的底叫做上底。
2、等腰梯形：定义：两腰相等的梯形叫做直角梯形。
探究：如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD，过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线，将等腰梯形ABCD沿直线EF对折。
你发现了什么？我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下特征等腰梯形的性质：①等腰梯形同一底边上的两个内角相等；②等腰梯形的两条对角线相等；③两腰相等；④是轴对称图形。
3、直角梯形——一条腰与底垂直的梯形叫做直角梯形。
4、梯形的研究方法：思考：你能应用梯形的研究方法得到等腰梯形的性质吗？探究：如图、四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，将腰AB平移到DE的位置。
（1）DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形？（2）图中有哪些相等的线段、相等的角？证明：∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∠B=∠DEC，∴AB=DE ∵AB=CD，∴DE=CD ∴∠C=∠DEC，∴∠B=∠C注：利用全等三角形也可以证明等腰梯形的对角线相等，不妨试一试！做一做：在一个三角形中怎样画一条线段，可得到一个梯形？自己画一画.如图所示，在三角形中画一条线段得到一个梯形，并说明在不同情况下得到的分别是什么？由上面可知：（3）（4）还可以得到等腰梯形. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形吗？探究：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，腰BA、CD的延长线相交于点E，则梯形ABCD是等腰梯形吗？证明：∵∠B=∠C ∴EB=EC，又∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠C=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED∴EB－EA=EC－ED，即：AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形思考：利用平移的方法你能证明两底角相等的梯形是等腰梯形吗？分析：将腰AB平移到DE，则四边形ABED是平行四边形，AB∥DE，∠B=∠DEC ∵∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∵AB=DE，∴AB=CD∴四边形ABCD是等腰梯形。
梯形与重心
梯形与重心知识点一：梯形要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。
知识点二：等腰梯形要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。
知识点三：直角梯形要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
知识点四：等腰梯形的性质要点诠释： 1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。
2.等腰梯形的对角线相等。
知识点五：等腰梯形的判定要点诠释： 1.梯形的定义。
2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
知识点六：四边形的分类要点诠释：知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心要点诠释：1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。
2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
三、规律方法指导知识点回顾：2 •梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究,类型一：梯形中的辅助线1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于Jr ,它的两底分别是L■一，和「Ed，求它的腰长思路点拨：已知：如图，在梯形 ABC ［中，』応一 ,?'1 / C - . r':■ . -….求：AB 的长.解析：过点A 作/I C I 1' D 交BC 于E,•••四边形ABCD 是等腰梯形， AB=CD∙∙∙ AD// BC又∙∙∙ m∙四边形AECD 是平行四边形•∙，■ -I ：-：：-' ..J-V ：-* _：■∙厶一二••• ― -HN',∙二二】是等边三角形.又•••丄J —’w ∙二丄 / √L ∙ 一 二-总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时， 无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；举一反三：【变式1】（平移对角线）已知梯形 ABCe 的面积是32,两底与高的和为 一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为【答案】梯形 ABCD 中, AD// BC, BD ⊥ BC.由题得：x+y+z=16 ,仗+ "二322设 AD=X BC=y DB=z,（熟记梯形面积公式）解得 χ+y=8 , z=8,过D 作DE// AC 交BC 的延长线于∙四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） E.16,如果其中B∙∙∙ DE=AC AD=CE (将“上底+下底”转化到一条线段上)在Rt △ DBE 中，∠ DBE=90 , BE=BC+CE=x+y=8 BD=8根据勾股定理得[]τ —“I ■ ' - ■,∙∙∙ AC=DE.-，■ -7-,?.【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC AB// CD ∠ D=90°, AEI BC.求证：CD=CE【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB,可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的.证明：如图，连结AC,过C作CF⊥AB于F.在厶CFB和厶AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）ZCFB=ZAEB = 90°^ZB=ZBAB = BC•••△CFB^△AEB (AAS•CF=AEτ∠D=90°, CF⊥AB 且AB// CD,•AFCD是矩形•AD=CF•AD=AE在Rt △ ADC和Rt △ AEC 中,AD=AEAC = AC•Rt △ ADC^ Rt △ AEC ( HL)•CD=CE【变式3】（延长两腰）如图，在梯形亠匸•中，一’】」，—「■ ——1 '「，=、-■为一二、一 \的中点。
【数学课件】等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
延长梯形的两交于一点，得到两个三 角形。如果是等腰梯形，则得到分别以梯 形两底为底的等腰三角形。
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
梯形的性质与判定 PPT课件 人教版
F
∴DF=CF=2 ∴BC=3 又 BF=AD=1 ， 45º C 3 在Rt△BEC中，求得BE= 2 2
Байду номын сангаас
解法二：作DF⊥BC， 连结BD
典型例 题
A
B
1 S BC DF BCD 2 1 CD BE BCD D S 2 E BC×DF=CD×BE DF=2，BC=3， C CD= 2 2 F
典型例 题
D E
C
H A
B
3. 梯形的中位线 例7.在直角梯形ABCD中，AD//BC, ∠A=90°，AB=5,中位线EF=6,则梯形 ABCD的面积=_______ 30
B E A C
典型例 题
1 S （上底 下底） 高 梯形 2 F 中位线 高
D
及时反 馈
1.在梯形ABCD中,AD//BC,中位线EF=35cm, 下底BC=45cm,则上底AD=____cm. 25 2.顺次连结等腰梯形各边中点所得的 四边形是（ D ） A.四边形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明最新版
2
C
E
知识拓展：用下面方法证明等腰梯形的判定定理
⑴如图，分别延长梯形ABCD的腰BA、CD设它 们相交于点E.通过证明Δ EAD 和Δ EBC是
等腰三角形，来证明定理
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C
求证：AB=CD 证明：∵∠B=∠C ∴EB=EC
又∵ AD∥BC ∴∠1=∠B, ∠2=∠C
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
2020年寒假八年级数学课程第八讲 梯形
第八讲梯形第一部分知识梳理一、梯形的性质和判定1．梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______；两腰______的梯形叫做等腰梯形．2．等腰梯形的性质：等腰梯形中______的两个角相等，两腰______，两对角线______，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______就是它的对称轴．3．等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是等腰梯形．第二部分例题与解题思路方法归纳类型一梯形的面积【例题1】如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A，B重合），连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（）A、逐渐增大B、逐渐减小C、始终不变D、先增大后变小〖选题意图〗考查等边三角形的性质和梯形的面积公式．〖解题思路〗易得此四边形为直角梯形，AB的长度一定，那么直角梯形的高为AB的长度的一半，上下底的和也一定，所以面积不变．〖参考答案〗解：当点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动时，设两个等边三角形的边长分别为a，b，根据等边三角形的性质，等边△ACD和△BCE的高DM和EN的和不会改变，即DM+EN=MC+CN=AC+CB=AB，而且MN的长度也不会改变，即MN=AC+CB=AB．∴四边形DMNE 面积= AB 2， ∴面积不会改变．故选C ．【课堂训练题】1．某校研究性学习小组在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图，若v 是关于t 的函数，图象为折线O ﹣A ﹣B ﹣C ，其中A （t 1，350），B （t 2，350），C （，0），四边形OABC 的面积为70，则t 2﹣t 1=（ ）A ．B ．C ．D ．〖参考答案〗解：根据题意得， （AB+）×350=70，解之得，AB= ；读图可知，t 2﹣t 1=AB=．故选B ． 2．如图为菱形ABCD 与正方形EFGH 的重迭情形，其中E 在CD 上，AD 与GH 相交于I点，且AD ∥HE ．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10﹣2D ．10+2〖参考答案〗解：四边形ABCD 为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°，又AD ∥HE ⇒∠DEH=180°﹣120°=60°，作DM ⊥HE 于M 点，则△DEM 为30°﹣60°﹣90°的三角形，又DE=4⇒EM=2，DM=2 ，且四边形EFGH 为正方形⇒∠H=∠I=90°，即四边形IDMH 为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3，梯形HEDI 面积=（ ）=8 ． 故选B ．类型二梯形的中位线相关【例题2】如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于（）A．6 B．8C．4 D．4〖选题意图〗解决此题的关键是确定点M的位置．如果在直线的同侧有两个点，要在直线上找一点到两个点的距离之和最短，方法是找其中一个点关于直线的对称点，连接该点和另一个点，与直线的交点即为到两个点的距离之和最小的点的位置．〖解题思路〗此题关键是确定M的位置，将EM、MN转化到一条直线上，就可求出其和最小值．〖参考答案〗解：作N点关于AC的对称点N’，连接N’E交AC于M∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，∴∠ACB=∠DCA，∵点N关于AC对称点N′在CD上，CN=CN′=2又∵DC=4∴EN’为等腰梯形的中线∴EN′=（AD+BC）=6，∴EM+MN最小值为：EN′=6故选A【课堂训练题】1．如图所示，DE是△ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若BC=8，则FG等于（）A．2cm B．3cmC．4cm D．6cm〖参考答案〗解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×8=4；∵FG为梯形BCED的中位线，∴FG=（DE+BC）=（4+8）=6．故选D．2．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF 与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（）A．B．C．D．〖参考答案〗解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W，∵EF是梯形的中位线，∴EF∥CD∥AB，DW=WQ，∴AM=CM，BN=DN．∴EM=CD，NF=CD．∴EM=NF，∵AB=3CD，设CD=x，∴AB=3x，EF=2x，∴MN=EF﹣（EM+FN）=x，∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=（EM+FN）QW=x•QW，S梯形ABFE=（EF+AB）×WQ=QW，S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW，S梯形FECD=（EF+CD）×DW=xQW，∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW，图中阴影部分的面积=x•QW+xQW=xQW，∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=．故选：C．类型三角度的相关问题【例题3】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，求证：AC是∠DAB的平分线．〖选题意图〗本题考查了梯形的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质，难度较小，是一道不错的证明题．〖解题思路〗利用梯形的一组对边平行可以得到内错角相等，然后利用等边对等角得到两个角相等，从而得到两个角相等，证得结论．〖参考答案〗解：∵AB ∥CD ，∴∠CAB=∠DCA ．∵AD=DC ，∴∠DAC=∠DCA ．∴∠DAC=∠CAB ，即AC 是∠DAB 的角平分线．【课堂训练题】1．在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，BD ⊥AD .求∠DBC 和∠C 的大小.〖参考答案〗如图1，梯形ABCD 中，因为DC ∥AB ，∠A ＝60°，所以∠ADC ＝120°，又因为BD ⊥AD ，所以∠ADB ＝90°，即∠ABD ＝30°，而AD ＝BC ，所以∠ABC ＝60°，∠C ＝∠ADC ＝120°，所以∠DBC ＝30°.2．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF=AD ，MF=MA ．（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB ；（2）求证：∠MPB=90°﹣∠FCM ．〖参考答案〗证明：（1）连接MD ，∵点E 是DC 的中点，ME ⊥DC ，∴MD=MC ，A D C B又∵AD=CF，MF=MA，∴△AMD≌△FMC，∴∠MAD=∠MFC=120°，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠MAB=30°，在Rt△AMB中，∠MAB=30°，∴BM=AM，即AM=2BM；（2）∵△AMD≌△FMC，∴∠ADM=∠FCM，∵AD∥BC，∴∠ADM=∠CMD∴∠CMD=∠FCM，∵MD=MC，ME⊥DC，∴∠DME=∠CME=∠CMD，∴∠CME=∠FCM，在Rt△MBP中，∠MPB=90°﹣∠CME=90°﹣∠FCM．类型四求线段的长的问题【例题4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M．（1）求证：△AMD≌△BME；（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长．〖选题意图〗本题考查了全等三角形的判断及三角形中位线定理的应用，熟记其性质、定理是证明、解答的基础．〖解题思路〗（1）找出全等的条件：BE=AD ，∠A=∠ABE ，∠E=∠ADE ，即可证明；（2）首先证得MN 是三角形的中位线，根据MN= （BE+BC ），又BE=2，即可求得． 〖参考答案〗证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠A=MBE ，∠ADM=∠E ，在△AMD 和△BME 中，，∴△AMD ≌△BME ；（2）∵△AMD ≌△BME ，∴MD=ME ，ND=NC ，∴MN= EC ，∴EC=2MN=2×5=10，∴BC=EC ﹣EB=10﹣2=8．【课堂训练题】1．如图，已知梯形ABCD ，上底AD ＝12，下底BC ＝28，EF ∥AB 分别交AD 、BC 于点E 、F ，且将梯形分成面积相等的两部分.试求BF 的长.〖参考答案〗设BF ＝x ，则FC ＝28－x.又设AD 与BC 间的距离为h ，即梯形和平行四边形ABFE 的BF 边上的高为h.在梯形ABCD 中，因为AD ∥BC ，EF ∥AB ，所以四边形ABFE 是平行四边形，所以AE ＝BF ＝x ，DE ＝12－x.因为平行四边形ABFE 的面积＝BE×h ，梯形EFCD 的面积＝12(DE+FC)×h ， 所以x×h ＝12[(12－x)+(28－x)]×h ，解得x ＝10， 答 BF 的长为10.2．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ．（1）求证：AD=AE ； D A FB C E（2）若AD=8，DC=4，求AB 的长．〖参考答案〗解：（1）连接AC ，∵AB ∥CD ，∴∠ACD=∠BAC ，∵AB=BC ，∴∠ACB=∠BAC ，∴∠ACD=∠ACB ，∵AD ⊥DC ，AE ⊥BC ，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC ，∴， ∴△ADC ≌△AEC ，（AAS ）∴AD=AE ；（2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC ，设AB=x ，则BE=x ﹣4，AE=8，在Rt △ABE 中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x ﹣4）2=x 2，解得：x=10，∴AB=10． 类型五 线段的和差问题【例题5】已知：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是中位线交AC 于P ，AC 平分∠BCD ，MP=12，PN=8，求：梯形ABCD 的周长．〖选题意图〗此题主要考查梯形、三角形中位线的性质和角平分线的定义，难度中等．〖解题思路〗由三角形中位线性质可求得上底为16，下底为24，再由角平分线和平行的性质，可求得腰长和上底相等，据此求解．〖参考答案〗解：∵AD∥BC，MN是中位线交AC于P，∴MP是△ABC的中位线，PN是△ACD的中位线，∠1=∠3，∵MP=12，PN=8，∴BC=2MP=24，AD=2PN=16，∵AC平分∠BCD，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AD=CD=16，∴AB=CD=16，∴梯形ABCD的周长为：16×3+24=72．【课堂训练题】1．如图所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．〖参考答案〗证明：连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，∴ADEF是平行四边形，∴对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，∴（AA1+EE1）=（FF1+DD1）=OO1，即AA1+EE1=FF1+DD1．2．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于E，∠AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值是否有变化？并说明理由．〖参考答案〗解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°﹣∠1﹣∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，如图则EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．类型六等腰梯形的判定【例题6】（2011•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．〖选题意图〗本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．〖解题思路〗（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．（2）先根据SAS证明△AND≌△BCN，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知，根据平行线分线段成比例，所以MN∥CD ∥AB，且MN≠AB，即四边形ABNM是等腰梯形．〖参考答案〗解：（1）选择①DM=CN；（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN∴△AND≌△BCN，∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，∴∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB∴四边形ABNM是等腰梯形．【课堂训练题】1．如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，对角线AC、BD相交于O点，AC=BD，∠ACB=∠DBC．（1）求证：四边形ABCD为等腰梯形．（2）若E为AB上一点，延长DC至F，使CF=BE，连接EF交BC于G，请判断G点是否为EF中点，并说明理由．〖参考答案〗证明：（1）∵∠ACB=∠DBC，∴OB=OC∵AC=BD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA∵∠DOC=∠OAD+∠ODA=∠OBC+∠OCB∴2∠OAD=2∠OCB，∴∠OAD=∠OCB∴AD∥BC∵AD＜BC∴四边形ABCD为梯形．在△ABC和△DCB中：AC=BD，∠ACB=∠DBC，CB=BC．∴△ABC≌△DCB∴AB=CD∴四边形ABCD为等腰梯形．（2）点G是EF中点理由：过E作EH∥CD交BC于H．∴∠EHB=∠DCB，∠EHG=∠GOF∵梯形ABCD为等腰梯形∴∠EBH=∠DCB，∴EB=EH∵EB=CF，∴EH=CF在△EHG和△FGC中：∠EHG=∠FCG∠EGH=∠FGCEH=CF∴△EHG≌△FGC∴EG=FG即G为EF中点．2．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的长．〖参考答案〗证明：（1）∵AE∥BD，∴∠E=∠BDC．∵DB平分∠ADC，∴∠ADC=2∠BDC．又∵∠C=2∠E，∴∠ADC=∠BCD．∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）由第（1）问，得∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，∴∠DBC=90°．∴DC=2BC=10．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．我们学习了四边形和一些特殊的四边形，如图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．2．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；（2）选择（1）中的一个结论加以证明．3．在▱ABCD中，AC是一条对角线，∠B=∠CAD，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．（1）求证：四边形ABED是等腰梯形；（2）若AB=AD=4，求梯形ABED的面积．4．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．过点D作DE ⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形．5．已知，如图，MN是▱ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证：AA′+CC′=BB′+DD′．B类试题：6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分别为AB、BC的中点．（1）求证：四边形AFCD是矩形；（2）求证：DE⊥EF．7．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF．（1）判断四边形AECD的形状（不证明）；（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明；（3）若CD=2，求四边形BCFE的面积．8．如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0．（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由．C类试题：9．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）求证：点M在AB、CD边中点的连线上．课后自我检测试卷参考答案A类试题：1．解：③﹣﹣相邻两边垂直；④﹣﹣相邻两边相等；⑤﹣﹣相邻两边相等；⑥﹣﹣相邻两边垂直；⑦﹣﹣两腰相等；⑧﹣﹣一条腰垂直于底边．2．解：（1）矩形ABDE，矩形BCEF；或菱形BNEM；或直角梯形BDEM，AENB等．（2）选择ABDE是矩形．证明：∵ABCDEF是正六边形，∴∠AFE=∠FAB=120°，∴∠EAF=30°，∴∠EAB=∠FAB﹣∠FAE=90°．同理可证∠ABD=∠BDE=90°．∴四边形ABDE是矩形．选择四边形BNEM是菱形．证明：同理可证：∠FBC=∠ECB=90°，∠EAB=∠ABD=90°，∴BM∥NE，BN∥ME．∴四边形BNEM是平行四边形．∵BC=DE，∠CBD=∠DEN=30°，∠BNC=∠END，∴△BCN≌△EDN．∴BN=NE．∴四边形BNEM是菱形．选择四边形BCEM是直角梯形．证明：同理可证：BM∥CE，∠FBC=90°，又由BC与ME不平行，得四边形BCEM是直角梯形．3．（1）证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB．∵∠B=∠CAD，∴∠ACB=∠B．∴AB=AC．∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE．又∵BC=CE，∴△ABC≌△DCE（SAS）．∴AC=DE=AB．∵AD∥BE，∴为等腰梯形．（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=CE=4．∴△ABC为等边三角形．∴梯形高=三角形高=2．∴S=（4+8）×2×=12．4．证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，∵DC∥AB，∴∠BDC=∠ABD=30°，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，∵CF⊥BD，∴F为BD的中点，∵DE⊥AB，∴DF=BF=EF，由∠ABD=30°，得∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形．5．证明：连接AC，BD交于O，过O作OO′⊥MN垂足为O′根据平行四边形的性质知OO′同为梯形BB′D′D与梯形AA′C′C的中位线得AA′+CC′=BB′+DD′．B类试题：6．证明：（1）∵F为BC的中点，∴BF=CF=BC，∵BC=2AD，即AD=BC，∴AD=CF，∵AD∥BC，∴四边形AFCD是平行四边形，∵BC⊥CD，∴∠C=90°，∴▱AFCD是矩形；（2）∵四边形AFCD是矩形，∴∠AFB=∠FAD=90°，∵∠B=60°，∴∠BAF=30°，∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°，∵E是AB的中点，∴BE=AE=EF=AB，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF=60°，BE=BF=AE，∵AD=BF，∴AE=AD，∴∠AED=∠ADE=﹣=30°，∴∠DEF=180°﹣∠AED﹣∠BF=180°﹣30°﹣60°=90°．∴DE⊥EF．7．解：（1）平行四边形；（2）△BEF≌△FDC或（△AFB≌△EBC≌△EFC）证明：连接DE，∵AB=2CD，E为AB中点，∴DC=EB，又∵DC∥EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形BCDE为矩形，∴∠AED=90°，Rt△ABF中，∠A=60°，F为AD中点，∴AE=AD=AF=FD，∴△AEF为等边三角形，∴∠BEF=180°﹣60°=120°，而∠FDC=120°，在△BEF和△FDC中DC=BE，∠CDA=∠FEB=120°，DF=EF，∴△BEF≌△FDC（SAS）．（其他情况证明略）（3）若CD=2，则AD=4，DE=BC=2，∴S△ECF=S AECD=CD•DE=×2×2=2，S△CBE=BE•BC=×2×2=2，∴S四边形BCFE=S△ECF+S△EBC=2+2=4．8．解：（1）∵AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0，∴AD=3，BC=4．（2）AD∥BC，∵在△AEB中，∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，又∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠DAB+∠ABC=180°．∴AD∥BC．（3）能．如图，过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，∴AF=EF=FB，又∵EF∥AD∥BC，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=，∴AB=7．C类试题：9．（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD，∴四边形ABED是菱形．（2）解：△CDE是直角三角形．如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．10．（1）证明：如图，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，即（∠1+∠2）+（∠3+∠4）=180°，2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，而∠2+∠3+∠AMB=180°，∴∠AMB=90°，即AE⊥BF；（2）证明：如图，设AB、CD的中点分别为G、H，连接MG，∵M为Rt△ABM斜边AB的中点，∴MG=AG=GB，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠5，∴GM∥AD．∵AD∥BC，∴四边形ABCD是以AD、BC为底的梯形，又G、H分别为两腰AB、DC的中点，由梯形中位线定理可知，GH∥AD，而证得GM∥AD，根据平行公理可知，过点G与AD平行的直线只有一条，∴M点在GH上，即M点在AB、CD边中点的连线上．。
梯形的性质和判定
梯形【学习目标】1、会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定；2、掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题． 【重点、难点】1、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有关概念，并了解它们之间的关系；2、探索等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用它们进行有关的证明和计算；3、通过对梯形辅助线的探索，学会将未知问题转化为已知问题，培养化归意识． 【知识梳理】 一、相关概念定理 1．定义：四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.是梯形四边形ABCD BC AD CD AB ⇒⎭⎬⎫≠//2．等腰梯形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫≠=BDAC BCD ADC CBADAB ABCD BC AD BC AD CD AB 是等腰梯形四边形//3． 直角梯形是直角梯形四边形ABCD BC AD AB CB CD AB ⇒⎪⎭⎪⎬⎫≠⊥// . 4．平行线等分线段定理 1234l l l l A B B C C D ⎫⇒⎬==⎭∥∥∥11111A B B C C D ==.5．中位线定理⑴、三角形中位线定理ABC ∆中： 1122AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥，.⑵、梯形中位线定理 梯形ABCD 中： AB CD AM DM BN CN ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭∥()12MN AB CD MN AB CD =+∥∥，二、等腰梯形1. 等腰梯形的性质①、等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②、等腰梯形的两条对角线相等．③、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； 2. 等腰梯形的判定①、同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②、对角线相等的梯形是等腰梯形． C BAD底角腰底高BCAD CA B Dl 4l 3l 2l1D 1C 1B 1A 1DC B ABN CM A BN C AM DD C B A ABC D E F 我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.常见的辅助线添加方式如下：梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线． 【例题精讲】【板块一、特殊梯形的性质和判定】【例1】 (2006广安市中考)已知: 如图, 在梯形ABCD 中,AD BC ∥, AB CD =, E 是底边BC 的中点, 连接,AE DE . 求证:ADE ∆是等腰三角形.DE CAB【例2 】(希望杯试题)如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，AC 平分DAB ∠，且23AC =，则梯形ABCD 的周长等于________.【补充】(希望杯试题)如图，在直角ABC ∆中， 90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，2BC =，D 为AC 的中点，从D 作DE AC ⊥与CB 的延长线相交于E ，以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ，连接DF ，则DF 的长为_________.【例3】如图所示．四边形ABCF 中，//12AB DF AC DF FC AD ∠=∠=<，，，． （1）求证：ADCF 是等腰梯形；（2）若ADC ∆的周长为16厘米，3AF =厘米，3AC FC -=厘米，求四边形ADCF 的周长．F EDCBA【板块二 梯形的常见辅助线】 【1、过顶点向底边作垂线】【例4】如图，已知等腰梯形周长是20，AD BC ∥，AD BC <，120BAD ∠=︒，对角线AC 平分BCD ∠，求梯形ABCD 的面积.DCB A【例5】(2007年北大附中期末试题、2007年北京市中考题)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=︒，AE BD ⊥于E ，1AE =，求梯形ABCD 的高.EDC BA【补充】如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，对角线AC 与BD 相交于点O ，120BOC ∠=︒，2AD =，4BC =.求等腰梯形ABCD 的面积.DOC BA【例6】梯形的上底为a ，下底为b (b>a)，两个底角分别为45︒、60︒，求梯形的面积.ABCDDC A B A B CD 【补充】等腰梯形的下底等于对角线，而上底等于高，则上底与下底的比值为 .A BCD【例7】如图，已知梯形ABCD 中，DC AB ∥，BD AD =，AC AB =，90ADB ∠=︒， ⑴、求证：30CAB ∠=︒；⑵、若BD 和AC 交于E ，求证：BE BC =.ABCD E【补充】如图，梯形ABCD 中，AB CD AD DC BD a BC b ====∥，，，求AC 的长． DC BA【2、过顶点作一腰的平行线】【例8 】 (2007年北达资源期末考试)如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 平分BCD ∠，若50B ∠=︒，80C ∠=︒，2AD =，求BC 的长．ABCD【例9】(2006长沙中考)如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=，2AD =，8BC =，则此等腰梯形的周长为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22【例10】如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，8AB =，3AD =，6CD =，并且90B C ∠+∠=︒， 则该梯形的面积为_________．A B CDA B C D 【补充】(希望杯试题)在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，()12EF BC AD =-，则B C ∠+∠=_________.A BCDE F【补充】(全国联赛试题) 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，30B ∠=︒，60C ∠=︒，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，已知7BC =，3MN =，则EF =___________.N A BCDEF M【例11】（2008朝阳二模）在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3BC AD =． ⑴、如图甲，连接AC ，如果ADC ∆的面积为6，求梯形ABCD 的面积； ⑵、如图乙，E 是腰AB 上一点，连接CE ，设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且1223S S =，AEBE的值； ⑶、如图丙，如果AB CD =，CE AB ⊥于点E ，且3BE AE =，求B ∠的度数．丙乙甲EDCBAEABC DDC BA【3、平移对角线】【例12】如图，等腰梯形ABCD 中， AC BC AD =+，则DBC ∠的度数是_________.【补充】如图，等腰梯形ABCD 的下底AB a =，两对角线相互垂直且长均为b .试求上底的长及梯形的面积，并讨论问题有解时a 与b 之间的关系.ED C B A M D C B A A BC DENA B C D M 【例13】如图所示，等腰梯形ABCD 的下底AB a =，两对角线相互垂直且长均为b .试求上底的长及梯形的面积，并讨论问题有解时a 与b 之间的关系．DCBA【例14】已知：如图，梯形ABCD 中，512AD BC AC BD AC BD ⊥==∥，，，.求：梯形ABCD 中位线的长.DBCA【板块三 与梯形腰的中点及中点相关的题型】【例15】如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，M 是DC 的中点，试比较AM 、BM 的大小.MDCBA【补充】(重庆市数学竞赛题) 如图，梯形ABCD 中，AB DC ∥，E 是AD 的中点. ⑴、当AB 、DC 、BC 满足什么关系时，BE CE ⊥？ ⑵、若BC AB DC =+，是否有BE CE ⊥？⑶、当BC AB DC =+时，ABE ∠、CBE ∠满足什么关系？⑷、若DCE BCE ∠=∠，AB 、DC 、BC 满足何种关系？【例16】(重庆市数学竞赛题) 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，DEC ∆的面积为S ，则四边形ABCD 的面积为_________.【补充】（上海市数学竞赛题）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，8BC =，M 是AB 的中点，若MD CD ⊥，则梯形的面积为_______.【例17】(河南省数学竞赛试题)如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，M 是BC 的中点，MN AD ⊥，垂足为N . 求证：梯形面积S MN AD =⋅.【例18】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD AB ⊥，E 是AD 上的点，BE CE =，90BEC ∠=︒，M 是BC 的中点.求证：ADM ∆是等腰直角三角形.ABCDE M【补充】（2009北京）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=︒，45C ∠=︒，1AD =，4BC =，E 为AB 中点，EF DC ∥交BC 于点F ， 求EF 的长．FE DCBA【课后作业】1、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD BD DC =⊥，，且BD 平分ABC ∠.若梯形ABCD 的周长为20cm ，求：梯形的中位线长.DCB A2、(浙江省中考题)梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BC DC =，30C ∠=︒，AD a =，则BC 的长为_________.DCBA3、在梯形ABCD 中，两底4AD =，8BC =，对角线AC BD ⊥，且6AC =，则DBC ∠=________. 【解析】 过点D 作AC 的平行线即可，30DBC ∠=︒.4、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，BD CD =，90BDC ∠=︒，3AD =，8BC =．求AB 的长．ODC BA5、如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90D ∠=︒，M 是BC 的中点，2BC CD =，50DAM ∠=︒，则AMC ∠=__________.ABCD M6、（2006北京）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，BE CD ⊥于点E ，1AD =，22CD =．求BE 的长．ED C BA。
中考数学专题二十二：梯形(含详细参考答案)
中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。
其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X 高【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形一般梯形特殊梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9．思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC 且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（）A．17B．18C．19D．201．考点：；．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A．25B．50C．25 D．思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC 于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC （已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE （等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3．2．3考点：．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．考点：；；．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE 于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。
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梯形和等腰梯形的判定与性质
一、 考什么（知识梳理） 考点一：梯形及特殊梯形的定义： 1、 梯形： 2、 等腰梯形： 3、 直角梯形： 考点二：
(1) 梯形的性质：
①两底平行 ②梯形的面积S=
1
2
(a+b)h （2）等腰梯形的性质
①、等腰梯形在同一底上的两个角 。
②、等腰梯形的对角线 。
③、等腰梯形的对角 。
考点二：等腰梯形的判定
1、两腰相等的 是等腰梯形。
2、在同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形。
3、两条对角线 的梯形是等腰梯形。
二、 怎么考（例题精讲）
例1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD 于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若BC=8，AD=2，则tan ∠ABE=__________。
例2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90,∠C=45,AD=1,BC=4, E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于F. 求EF 的长.
例3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8，3
4tan =∠CAD ，CA=CD
，
B F C
A D
图
2
E
图1
E 、
F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC=∠ACB ，设DE=x ，CF=y.
（1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式；
（3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值.
例4、如图4，在梯形ABCD 中．AD ∥BC ，AD=6．BC=I6。
E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动：点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发．沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．
当运动时间t =_______ 秒时。
以点P ，Q ．E ．D 为顶点的四边形是平行四边形．
例5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ． （1）求证：AD=AE （2）若AD=8，DC=4，求AB 的长
三、课堂练兵（课堂训练）
1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD 的面积为
2、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ， 点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 则下列结论一定正确的是（ ）. (A)∠HGF ＝∠GHE (B)∠GHE ＝∠HEF (C)∠HEF ＝∠EFG (D)∠HGF ＝∠HEF
3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C E 是∠BCD
的平分线，且CE ⊥AB ，E 为垂足，BE ＝2AE ，
若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积为______．
4、如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个
六边形的周长等于______．
第12题
B
G
A D
E
B F C
5．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ．若
P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______． 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90º，对角线AC 、BD 相交于点O ．下列条件中，不能．．判断对角线互相垂直的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．∠1＝∠3
C ．∠2＝∠3
D ．OB 2＋OC 2＝BC 2
6、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点. 已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ）
A.8
B.9
C.10
D.12
7．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝6，对角线AC 平分∠BAD ，点
E 在AB 上，且AE ＝2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋PB 的最小值是_ ．
8、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，对角线
AC 、BD 交于点O ，中位线EF 与AC 、BD 分别交于M 、N 两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的 A ．12
B ．13
C ．14
D ．4
7
9、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BDC 的平分线的交点E 恰在
AB 上．若AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，则AB 的长度
10、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，∠B ＝60º，
BC ＝2AD ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点． (1)求证：四边形AFCD 是矩形； (2)求证：DE ⊥EF ．
（第6题图）
A
B
第8题图
C D
11、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC 与BD相交于O，线段OA、OB的中点分别为点E、F．
(1)求证：△FOE≌△DOC；
(2)求sin∠OEF的值；
(3)若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，求AB CD
GH
的值．
12、直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．
（1）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
13、如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．
(1)求BC的长；
(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向点D运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．。