函数的单调性
函数的单调性一、 函数单调性的的判断方法除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：1.直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：(1)正比例函数(0)y kx k =≠：○1当0k >时，函数y kx =在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx =在定义域R 上是减函数.(2)反比例函数(0)k y k x =≠： ○1当0k >时，函数k y x=的单调递减区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间；○2当0k <时，函数k y x=的单调递增区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间.(3)一次函数(0)y kx b k =+≠：○1当0k >时，函数y kx b =+在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx b =+在定义域R 上是减函数.（4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠：○1当0a >时，函数2y ax bx c =++的图像开口向上，单调递减区间是(,]2b a -∞-，单调递增区间是[,)2b a-+∞；○2当0a <时，函数2y ax bx c =++的图像开口向下，单调递增区间是(,]2b a -∞-，单调递减区间是[,)2b a-+∞. 注意：3()y f x x ==在定义域R 上是增函数，其图像如右图：2.图像法画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.3.运算性质法（1）函数()()f x af x 与，当0a >时有相同的单调性，当0a <时有相反的单调性；如函数()f x x =与3()3f x x -=-的单调性相反，函数()f x x =与3()3f x x =的单调性相同；（2）当函数()f x 恒为正（或恒为负）时()f x 与1()f x 有相反的单调性，如：函数1()0f x x =->((,0))x ∈-∞是递增函数，则111()x f x x==--在区间(,0)-∞是递减函数；（3）若()0f x ≥，则()f x与如：函数2()234f x x x =++，在定义域R 上，()0f x >，且()f x 是3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数，所以函数=3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数；（4）若()f x ，()g x 的单调性相同，则()()f x g x +的单调性与()f x ，()g x 的单调性相同.如211()x F x x x x -+==-+，令1(),()f x x g x x=-=，即 ()()()F x f x g x =+，因为函数()f x 在R 上单调递减，()g x 的单调递减区间是(,0),(0,-∞+∞），所以函数211()x F x x x x-+==-+的单调递减区间是 (,0),-∞(0,+∞）； (5) 若()f x ，()g x 的单调性相反，则()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.因为()g x -与()f x 的单调性相同，所以()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.实例1 已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 对任意,(0,)x y ∈+∞，恒有()()()f xy f x f y =+，且当01x <<时()0f x >，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性. 解 设,(0,),0x x h h +∈+∞>，则()()()[()]x f x h f x f x h f x h x h+-=+-⋅++ ()[()()]()x x f x h f f x h f x h x h =+-++=-++.01,()0,()0x x x f f x h x h x h<<∴>∴-<+++，()()0f x h f x ∴+-<，所以函数 ()f x 在(0,)+∞上的单调递减.二、 复合函数单调性的判定方法求复合函数(())y f g x =的单调性的步骤：（1） 求出函数的定义域；（2） 明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）:(),()y f u u g x ==;（3） 确定简单函数的单调性；（4） 若这两个函数同增或同减（单调性相同），则(())y f g x =为增函数；若这两个函数一增一减（单调性相异）则(())y f g x =为减函数简记为“同增异减”.实例2 求函数()f x =解：由解析式得2340x x +-≥，即函数的定义域为{|41}x x x ≤-≥或.令234t x x =+-，则y =y t =是增函数，而234t x x =+-在(,4]-∞上是减函数，在[1,)+∞上是增函数，∴函数()f x =[1,)+∞，递减区间为(,4]-∞.三、 单调性的应用1. 用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数()y f x =在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值12,x x 且 12x x <，则12()()f x f x <.减函数也有类似的性质.示例3 已知函数()y f x =在[0,)+∞上是减函数，试比较3()4f 与2(1)f a a -+的大小.解：221331()244a a a -+=-+≥，34∴与21a a -+都在区间[0,)+∞内.又()y f x =在区间[0,)+∞上是减函数，23()(1).4f f a a ∴≥-+ 注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.示例4 已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，求x 的取值范围.解()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，∴可得不等式组111,1131,113,x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩即02,20,31.2x x x ⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪<⎪⎩解得102x ≤<，所以所求1[0,)2x ∈. 2. 用函数的单调性求最值在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：（1） 若()f x 在定义域[,]a b 是增函数，则当x a =时，()f x 取得最小值()f a 当x b =，()f x 取得最大值()f b 如图2.（2） 若()f x 在定义域[,]a b 是减函数，则当x a =时，()f x 取得最大值()f a ，当x b =，()f x 取得最小值()f b 如图3.（3）已知函数(),[,],y f x x a b a c b =∈<<，如果()f x 在[,]a c 上是单调递增（减）函数，在[,]c b 上是单调递减（增）函数，则()f x 在x c =时取得最大（小）值，在x a =或x b =时取得最小（大）值，如下图4,5.示例5 求函数32y x =--.解：令()32f x x =-，()g x =()()y f x g x =-.由题意得函数的定义域为(,2]-∞.()32f x x =-在(,2]-∞上递增，()g x =在(,2]-∞上递减，但()g x -=(,2]-∞上递增，∴32y x =-(,2]-∞上为递增函数，∴当2x =时，y 有最大值4.注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性.3.利用单调性求参数的取值举例应用：课本40页例34.解含“f ”的不等式根据函数()y f x =在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为增函数，若12()(),f x f x <则12x x <；若已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为减函数，若12()(),f x f x <则12x x >，就是增（减）函数定义的逆应用.示例6 已知函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，求实数x 的取值范围. 解：函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，2356x x ∴-<+，(3,)x ∴∈-+∞.函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数(())y f g x =的定义域，是函数()g x 的定义域中，使中间变量()u g x =属于函数()f u 的定义域全体.示例1 若函数()f x 的定义域为[1,4]，求函数(4)f x +的定义域. 解：函数()f x 的定义域为[1,4]，∴使得(4)f x +有意义的条件是144x ≤+≤,即30x -≤≤，则(4)f x +的定义域为[3,0]-.注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号内的取值范围相同”. 示例2 已知(3)f x +的定义域为[0,3]，求函数()f x 的定义域. 解题分析：函数(3)f x +和()f x 中的x 并不是同一个量，若设3u x =+，则(3)f x +变成()f u ，那么u 的取值范围才是函数()f x 的定义域，即“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.解：(3)f x +的定义域为[0,3]，03x ∴≤≤，则336x ∴≤+≤，所以 函数()f x 的定义域为[3,6].二、求函数值域的常用方法1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基本初等函数，形如ax b y cx d +=+（0c ≠且分式不可约）的值域为{|}a y y c≠. 示例3 求函数311x y x -=+的值域 解：函数311x y x -=+，∴331y ≠≠，∴311x y x -=+的值域为{|3}y y ≠.2.图像法：适用于能画出图像的函数.如225((,2])y x x x =--∈-∞的图像如右图所示，所以值域为[6,)-+∞.3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、有界性法）适用于解析式只含“一个”x 或通过变形能化成只出现“一个”x 的函数，如1||,y x =-由||0x ≥，则1||1x -≤，可得(,1]y ∈-∞；又如2211172()24y x x x ==-+-+，因为2177()244x -+≥，所以2140177()24x <≤-+，所以4(0,]7y ∈. 示例4求函数23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域 解：232(1)55()2111x x f x x x x -+-===-+++，由221x x -≤≤≠-且，得 11310x x -≤+≤+≠且.令1t x =+，则130t t -≤≤≠且.结合反比例函数5y t=-的图像可知，当 130t t -≤≤≠且，即[1,0)(0,3]t ∈-时，55553t t-≤--≥或. ∴5555131x x -≤--≥++或.515()2()27131f x f x x x =-≤=-≥++或. ∴23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域为1-][7,)3∞+∞（，. 4.换元法：适用于无理式中含自变量的函. 示例5求函数y x =+.解：函数的定义域是{|1}x x ≤.t =，则[0,)t ∈+∞，2+1x t =-， 22212(21)2(1)2y t t t t t ∴=-++=--++=--+，0t ≥，结合二次函数的图像2y ∴≤，∴原函数的值域为∞（-，2].注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量t 的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.5.判别式法：适用于形如22(,)ax bx c y a d dx ex f++=++不全为零且分式不可约的函数. 示例6 求函数2224723x x y x x +-=++的值域.解：由2224723x x y x x +-=++得2(2)2(2)370y x y x y -+-++=，当2y =时，方程无解；当2y ≠时，要使关于x 的方程有解，必须24(2)4(2)(37)0y y y ∆=---+≥， 解得9 2.2y -≤< ∴原函数的值域为92[-，2). 6.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出x 的解析式的函数.示例7 求函数2211x y x -=+的值域解：由2211x y x-=+得2(1)10y x y ++-=，当1y =-时，方程无解：当1y ≠-时，要使关于x 的方程有解，必须04(1)(1)0y y ∆=-+-≥，解得11y -≤≤.∴原函数的值域为[-1，1].示例7：求函数311x y x -=+的值域. 解：由311x y x -=+得1(1)31(3)103y y x x y x y x y ++=-⇒-++=⇒=--， 只要30,3y y -≠≠即，就有13y x y +=--.∴原函数的值域为{y |3}y ≠.。
函数单调性的概念)
目 录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 反例与特殊情况
01 函数单调性的定义
单调增函数
01
02
03
总结词
单调增函数是指函数在某 个区间内，随着自变量的 增加，函数值也单调增加 的函数。
详细描述
单调增函数的定义是，对 于任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$）， 如果函数$f(x)$满足 $f(x_1) leq f(x_2)$，则称 $f(x)$在区间$[x_1, x_2]$ 上单调增。
单调函数的连续性是其基本性质之一。在单调递增的函数中，如果函数在某一点的左侧 小于该点的值，那么在该点的右侧也必然小于该点的值，即函数值随着自变量的增大而 增大。同样地，在单调递减的函数中，函数值随着自变量的增大而减小。因此，单调函
数在其定义域内是连续的，不存在间断点。
单调函数的可导性
总结词
单调函数的可导性是指函数在单调区间 内是可导的，即函数的导数在单调区间 内存在且不为零。
数学表达
如果对于所有$x_1 < x_2$， 都有$f(x_1) geq f(x_2)$， 则称$f(x)$为减函数。
严格单调函数
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量，其函数值也不同的函 数。
详细描述
严格单调函数的定义是，对于任意两个不同的数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数 $f(x)$满足$f(x_1) < f(x_2)$或$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$[x_1, x_2]$上严格单调。
数学表达
数学函数的单调性
05
单调性的扩展知识
单调性与周期性
总结词
函数的单调性与周期性是两个相对独立的概念，但它 们之间也存在一定的联系。
详细描述
单调性是指函数在某一区间内的增减性，而周期性是指 函数按照一定的时间间隔重复出现的现象。虽然单调性 不直接决定函数的周期性，但它们在某些情况下会相互 影响。例如，一些周期函数可能在某些周期内表现出单 调性，而单调函数可能在不同的单调区间内具有不同的 周期。
总结词
单调性与函数值的大小关系是指，在单调递增的函数中 ，自变量x越大，函数值y也越大；在单调递减的函数中 ，自变量x越大，函数值y越小。
详细描述
单调性是描述函数值随自变量变化趋势的一种特性。对 于单调递增的函数，随着自变量x的增大，函数值y也相 应增大。这意味着在函数的整个定义域内，随着x的增加 ，y的值也持续增加。而对于单调递减的函数，随着x的 增大，y的值反而减小。这种单调性可以通过函数的导数 或微分进行判断。
单调性与不等式
总结词
单调性是解决不等式问题的关键因素之一，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。
详细描述
不等式是数学中一类重要的方程，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。例如，利用函数的单调递增 性质可以证明不等式，通过构造函数并在特定的区间内证明其单调递增，从而证明不等式的正确性。此外，利用 函数的单调性还可以求解一些不等式问题，例如求解一些函数的极值问题等。
要点二
详细描述
单调性的传递性是数学函数的一个重要性质。如果函数f在某 个区间I内单调增加，并且函数g在另一个区间J内也单调增加， 那么复合函数f○g（即f和g的复合函数）在f和g都有定义的区 间I∩J内也将单调增加。同样地，如果f和g都是单调减少的， 则f○g也将是单调减少的。
函数的单调性
单调性定义的几种变形形式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x(x2 ) x2
0
⇔f(x)在[a，b]上是增函数
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增
调性。
x
1
在(－1，＋∞)上的单
函数单调性的应用（二）求函数的最值与比较 函数值的大小
} ①x1<x2 D
②f(x)是增函数
f(x1)<f(x2)
例1：求函数f(x)=x2-2x+3在[1，4]上的值域。
例2：求函数f(x)=
2x 1 x2
在[1，4]上的最值。
例3：求函数f(x)= x 1 - 6 2x 的值域。
且满足f( )<f(a), 求a的取值范围.
例5：已知函数f(x)＝
则不等式
f(a2－4)>f(3a)的解集为( ) A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)
函数的单调区间(一)求函数的单调区间
例1：求函数y＝x－|1－x|的单调增区间。
1 2x
例2：求函数y=
的单调增区间。
函数.
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减 函数．
单调性的有关结论：
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增 (减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，
3．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调 性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；
函数的单调性
4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性，主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况，简单的说当y 随x 的增大而增大时，就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数，对应的区间为其增区间；而当y 随x 的增大而减小时，我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数，对应的区间为其减区间。
A 、定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I 。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性，一般利用定义来证明，其基本步骤如下： （1）取值：设21,x x 为该区间内的任意两个值，并且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）下结论：根据函数的单调性的定义得出结论。
C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有：（1）定义法：即“取值——变形——定号——下结论”；（2）图像法：先作出函数的图像，在利用图像的形象直观判断函数的单调性；（但应注意极值点及其拐点） （3）复合法：)(x f y =增 增 减 减（4）导数法：求出函数导数后，在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间，令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间；4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明：1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。
函数的单调性知识点
函数单调性知识点总结一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D 上是增函数,且x 1＜x 2 , f(x 1) ＜f(x 2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D 上是增函数,且f(x 1) ＜f(x 2 ), x 1＜x 2 。
(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1 、x 2∈D,使x 1＜x 2 ; ②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
函数单调知识点归纳总结
函数单调知识点归纳总结一、函数单调性的定义1. 单调递增函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)<=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数。
2. 单调递减函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)>=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
二、函数单调性的性质1. 如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒大于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数；如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒小于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
2. 函数的单调性与导数的关系：若函数f(x)在定义域上的一阶导数大于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递增函数；若函数f(x)在定义域上的一阶导数小于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递减函数。
3. 在具有一阶导数的情况下，如果函数f(x)在定义域上导数恒大于0，则函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+\infty)；如果函数f(x)在定义域上导数恒小于0，则函数f(x)的单调递减区间为(-\infty,+\infty)。
4. 对于具有n阶导数的函数f(x)，通过求解导数的符号变化，可以得到函数f(x)在定义域上的单调性和拐点位置。
三、求解函数的单调区间1. 使用导数符号变化法求解函数的单调区间：首先求出函数f(x)的一阶导数，并求出导数的零点，然后将定义域分成几个子区间，然后再求解导数对应的区间上的符号，得到函数的单调性。
2. 使用导数的恒定性求解函数的单调区间：根据导数的恒定性可以快速求出函数的单调区间，比如函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间为单调递增函数。
四、与单调性相关的知识1. 函数的最值。
在函数的单调性的基础上，可以求解函数的最值，对于单调递增函数来说，函数在定义域上的最小值为f(x1)；对于单调递减函数来说，函数在定义域上的最大值为f(x2)。
单调性函数知识点总结
单调性函数知识点总结一、基本概念1. 单调性在数学中，函数的单调性是指函数的增减性质，即函数在定义域内的增减情况。
如果函数在其定义域内严格递增或者严格递减，那么我们就称这个函数是单调函数。
2. 单调递增和单调递减函数$f(x)$的定义域是一个区间$I$，如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递减的。
3. 严格单调递增和严格单调递减如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递减的。
4. 单调性与导数函数的单调性与导数之间有一定的关系。
如果函数在某个区间内单调递增，那么其在这个区间内的导数恒大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，那么其在这个区间内的导数恒小于等于零。
二、判断单调性的方法1. 导数法通过求函数的导数，然后分析导数的正负来判断函数的单调性。
当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。
例如，对于函数$f(x) = x^2$，求导可得$f'(x) = 2x$。
当$x>0$时，导数大于零，即函数单调递增；当$x<0$时，导数小于零，即函数单调递减。
2. 一阶导数和二阶导数法通过分析函数的一阶导数和二阶导数的正负性来判断函数的单调性。
当一阶导数恒大于零且二阶导数恒小于零时，函数单调递增；当一阶导数恒小于零且二阶导数恒大于零时，函数单调递减。
函数的单调性
函数的单调性，是指函数在其定义域内某一区间上的取值是递增或递减的性质。
不强调区间的情况下，所谓的单调函数是指，对于整个定义域而言，函数具有单调性。
单调性的判定方法主要有两种：定义法和导数法。
定义法利用的是函数的增减性，即如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，则称该函数在区间D上为增函数；如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，则称该函数在区间D上为减函数。
导数法则是利用函数的导数来判断其单调性，如果函数在某区间内的导数大于0，那么这个函数在这个区间就是单调递增的；如果函数在某区间内的导数小于0，那么这个函数在这个区间就是单调递减的。
函数单调性_最全版
六、 函数的单调性：㈠函数单调性的判定与证明：1、讨论函数f （x ）=12-x ax（a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性.解：设－1＜x 1＜x 2＜1，则f （x 1）－f （x 2）=1211-x ax －1222-x ax=)1)(1(222122121221--+--x x ax x ax ax x ax =)1)(1()1)((22212112--+-x x x x x x a .∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2+1＞0，（x 12－1）（x 22－1）＞0.又a ＞0，∴f （x 1）－f （x 2）＞0，函数f （x ）在（－1，1）上为减函数. 练习1：利用单调性的定义证明函数y=12++x x 在(-1,+∞)上是减函数. 证明:设x 1＞x 2＞-1, 则y 1-y 2=)1)(1(121221122211++-=++-++x x x x x x x x . ∵x 1＞x 2＞-1,x 2-x 1＜0,x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴)1)(1(2112++-x x x x ＜0,即y 1-y 2＜0,y 1＜y 2.∴y=12++x x 在(-1,+∞)上是减函数. ㈡求函数的单调区间 Ⅰ定义法： 1、求函数y =x +x1的单调区间. Ⅱ导数法：求下列函数的单调区间 1、 432()3861f x x x x =-++解：3222()12241212(21)12(1)f x x x x x x x x x '=-+=-+=- 当0x ≥时单调递增,0x <时单调递减. 2、1()1f x x x =+- 解:21()1(1)f x x -'=+-故2222(1)12()(1)(1)x x xf x x x ---'==-- 则[0,1)(1,2]x ∈⋃时单调递减;(,0][2,)x ∈-∞⋃+∞时单调递增3、()f x =解：21()2f x '=2== 当9[,3)(0,)2x ∈--⋃+∞时单调递增，[3,0]x ∈-时单调递减。
函数的单调性
概念辨析
1.函数y＝f(x)，x ∈[0，3]的图象如图所示． y
O
1
2
3
x
区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？
判断下列说法是否正确
1、如果对于区间（a，b）上存在 x 1 x 2 ，使得 f ( x 1 ) 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。
函数y＝f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于区间D内 的任意两个值x1，x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，
那么就说函数y=f(x)在区间D上是单调增函数，区间D称 y 为函数y=f(x)的单调增区间.
问题：
f(x1) f(x2)
如何定义单调减函数和单调减区间呢？
0
x1
x2
x
函数y＝f(x)的定义域为I，区间D I，如果对于区间D 内的任意两个值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说函数y=f(x)在区间D上是单调减函数， y 区间D称为函数y=f(x)的单调减区间.
f(x1) f(x2) x
2
0 x1
x
如果函数
y f (x )
在区间D上是增函数或减函数，那么
就说函数 y f ( x )
在这一区间具有（严格的）单调性，区
2
在 （ ０ ， ＋ ） 上 函 数 值 随 ｘ 的 增 大
在ｙ轴的右侧是上升的。
而增大。
对于（0，≦）上的任意x1，x2，当x1<x2时， f(x1)<f(x2)
问题：
设函数y＝f(x)的定义域为I，区间DI,在区间D上，y 随x的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？