江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题(理)

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苏州市2018届高三期末数学调研测试 (word版含答案)

苏州市2018届高三调研测试数学Ⅰ试题 2018．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B = ▲ ． 2．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ▲ ． 3．若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ = ▲ ．4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ▲ ．5．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ．6．运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ．7．已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x = ▲ ．8．函数e ln y x x =-的值域为 ▲ ．9．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为 ▲ ．10．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ▲ ．11．已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲ ．12．在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P的个数为 ▲ ．13．已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ▲ ． 14．若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小；（第6题）（2）若a=4b=，求边c的大小．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）P A∥平面MDB；（2）PD⊥BC．（第16题）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ= ，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．（第18题）设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．20．（本小题满分16分）已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．苏州市2018届高三调研测试答案数学Ⅰ试题 2018．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B ={}0,1-． 2．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-=i 24-． 3．若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ =3π．4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = 14．5．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为π5． 6．运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是[]4,1-． 7．已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x =7-． 8．函数e ln y x x =-的值域为[)+∞,2．9．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为2．10．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是31． 11．已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是()2,1-．12．在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P的个数为2．13．已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为362-．14．若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）（第6题）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小；（2）若a =4b =，求边c 的大小．解：(1)因为1cos 2a C cb +=，所以B C C A sin sin 21cos sin =+()C A +=sin C A C A sin cos cos sin += 即C A C sin cos sin 21=，又因为π<<C 0 所以0sin ≠C ，所以21cos =A ，又因为π<<A 0所以3π=A ．(2) 因为A bc c b a cos 2222-+=，即c c 416152-+=所以0142=+-c c ，解得32±=c ．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）P A ∥平面MDB ；（2）PD ⊥BC ．证明：(1)连结AC 交BD 于点O ，连结OM ，则因为四边形ABCD 是矩形所以O 为AC 的中点，又M 为PC 的中点．所以PA OM //．又因为⊄PA 平面MDB ，而⊂OM 平面MDB 所以P A ∥平面MDB ．(2)因为平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD ⋂平面ABCD CD =，CD BC ⊥所以⊥BC 平面PCD ．又⊂PD 平面PCD ，所以PD ⊥BC ． 17．（本小题满分14分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？解：(1)由题意⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v v a v a v v y 425010002504110002()800≤<v ． (2)当16000≤<a 时，a a v a v y 1000422504250=⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=当且仅当vav 4=，即a v 2=时，取最小值．（第16题）当1600>a 时，()222425041250v a v v a y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 因为800≤<v ，所以0<'y ，所以y 在(]80,0上递减，所以当80=v 时，y 取最小值22520000a+．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ= ，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．解：(1)由题意知2=a ，且1414222=+ba e ．又224cb -=，2<c ．解得3=c ，所以12=b ．所以椭圆的方程为1422=+y x ． (2)设()()2211,,,y x C y x B ()10,2022<<<<y x ，又()0,2A ，则：()22,y x =，()11,2y x --=，()11,y x =．所以()()2211,,2y x y x =--=λλλλ，有⎩⎨⎧-=-=12122y y x x λλλ．又0OC OB ⋅=，所以02121=+y y x x ．所以()()021*******=-+-=+y y x x y y x x λλλ．即121212x y x =+，又442121=+y x ，解得21=x 或321=x ．又()0212>-=x x λ，所以21≠x ．又442222=+y x ．所以()44221221=+-y x λλλ，即()[]44221212=+-y x λ．所以()112121221484424x x y x -=-=+-=λ43=．（第18题）又由题意OC BA λ=知0>λ，所以23=λ． 19．（本小题满分16分）设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：设数列{ a n + f (n ) }的公比为q ，则：()()()n f a q n f a n n +=+++11．而()()()c n b n a n n a n f a n n ++++++-+=+++111421221c b bn a na an n n a n +++++++-+=214222 ()()()c b a n b a n a a n +++++-+++=142122()()qc qbn qan qa n f a q n n +++=+2．由等式恒成立得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+-=+==cb a qc b a qb a qa q 14212，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===0212c b a q ．故存在()n n n f 22-=，使数列{ a n + f (n ) }成公比为2的等比数列．又()221311=-+=+f a ，所以()n n n n f a 2221=⋅=+-．所以()n n n f a n n n 2222+-=-=．(2) 因为a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，可设Bn An a n +=2，则:()()()()B A n B A An n B n A a n ++++=+++=+211221．又a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1142222+-++=n n Bn An ()()142122+-++=n B n A ．由此得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=142212B A B B A A A ，解得⎩⎨⎧=-=21B A ．所以n n a n 22+-=，所以11=a ．所以当2≥n 时，()()[]1212221-+---+-=-=-n n n n a a b n n n n 23-=．当1=n 时，111==a b 满足上式．故n b n 23-=．20．（本小题满分16分）已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．解：(1)由a = 2，b = 1知()xe x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12，()+∞∈,0x 所以()()()22121121x e x x e x e x x f xx x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='．令()0='x f 得11-=x （舍），或21=x ．当21>x 时，()0>'x f ；当210<<x 时，()0<'x f ．所以当21=x 时，()x f 取极大值e 4，无极小值．(2) ①因为()()e x bf x a x=+．所以()x x e x b a e x b x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-='2()22x e b bx ax x -+=．令()b bx ax x g -+=2，[]2,1∈x ．因为a > 0，b > 0，所以其对称轴02<-=abx ，所以()x g 在[]2,1上递增．所以()()01min >=-+==a b b a g x g ，故()0>x g 在[]2,1上恒成立．所以()0>'x f ，即()f x 在区间[1，2]上是增函数． ②由题意知()f x 在区间[1，2]上是增函数，且(2)0f <．所以()()021<<f f ，2(2)e f --<，且，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．。

高三数学-2018年苏州市高三教学调研测试数学精品

2018年苏州市高三教学调研测试数学一、选择题：1、集合{|2},{|1}A x x B x x =>=<，则A B =A 、AB 、BC 、{|12}x x <<D 、Φ 2、在ABC ∆中，若cos cos sin sin 0A B A B ->，则这个三角形一定是A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、以上都有可能3、在等比数列{}n a 中，已知32a =，5a m =，，则m =A 、4±B 、5C 、4-D 、4 4、由函数2log y x =的图象经过下列哪种平移可以得到函数2log (1)3y x =--的图象 A 、向左平移1个单位，向下平移3个单位 B 、向左平移1个单位，向上平移3个单位C 、向右平移1个单位，向下平移3个单位D 、向右平移1个单位，向上平移3个单位5、某学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试2次，那么其中恰好有1次获得通过的概率是 A 、12 B 、13 C 、14 D 、346、给出以下三个命题：（1）垂直于同一条直线的两个平面平行（2）与有个平面等距离的两点的连线一定平行于这个平面（3）“一个平面内有无数条直线与另一个平面平行”是“两个平面平行”的充分不必要条件其中正确的命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个7、当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的 A 、最小值是14 B 、最大值是14C 、最小值是4D 、最大值是48、已知点I 为ABC ∆内任意一点，若(2)()0IA IB IC IA IB +--=，则下列结论一定成立的是A 、AB BC CA == B 、AB BC = C 、AB CA =D 、BC CA =9、以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是A、1(0,)2 B、1(,1)2 C、1(,1)2 D、1(0,)210、已知函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，则x 的取值范围是 A 、1(,10)10B 、(0,10)C 、(10,)+∞D 、1(0,)(10,)10+∞ 二、填空题：11、30(1)x +的展开式中，系数最大的项是第______项 12、曲线3123y x =-+在1x =-处的切线的倾斜角是_______ 13、5个人分4张足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法共有____种 14、已知空间三个平面,,αβγ两两垂直，直线l 与平面,αβ所成的角都是30，则直线l 与平面γ 所成角的余弦值是_________15、若直线20x y --=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为_____16、已知向量(,sin )a cosx x = ，(cos ,sin )b y y = ，若76y x π=+，则向量a 与()a b + 的夹角等于__________ 三、解答题：17、已知点(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C x x ，x R ∈（1）若||||AC BC =，且[0,2)x π∈，求x 的值（2）设函数()f x AC BC =⋅，求()f x 的最大值，并求使()f x 取得最大值时x 的值18、如图，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD，PD =，设点E 是棱PB 上的动点（不含端点），过点,,A D E 的平面交棱PC 于点F（1）求证：//BC EF（2）求二面角A PB D --的大小（结果用反三角函数值表示）（3）试确定点E 的位置，使PC ⊥平面ADFE ，试说明理由BCDEFP19、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点(0,1)B ，且点(,0)A a (0)a ≠是x 轴上动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使AP DA = （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）点Q 是直线1y =-上的一个动点，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ，求证：QM QN ⊥20、某企业投入81万元经销某产品，经销时间共6个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润1, 120,()1, 2160,10x x N f x x x x N ≤≤∈⎧⎪=⎨≤≤∈⎪⎩（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率()x g x x =第个月的利润第个月前的资金总和，例如：(3)(3)81(1)(2)f g f f =++（1）求(10)g（2）求第x 个月的当月利润率()g x（3）该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率21、已知函数2()log ((0,3))3xf x x x x=+∈- （1）求证：()(3)f x f x +-为定值（2）记21*11()(1)()22n nn i iS n f n N -==+∈∑，求()S n （3）若函数()f x 的图象与直线1,2x x ==以及x 轴所围成的封闭图形的面积为S ，试探究()S n 与S 的大小关系参考答案1、D2、B3、D4、C5、A6、B7、C8、D9、C 10、A11、16； 12、34π； 13、120； 14、2； 15、0或4； 16、512π 17、(cos 3,sin )AC x x =- ，(cos ,sin 3)BC x x =-，||AC ==，||BC ==||||AC BC = ，得cos sin x x =，又[0,2)x π∈，4x π∴=或54x π=()(cos 3)cos sin (sin 3)13(cos sin )1)4f x AC BC x x x x x x x π=⋅=-+-=-+=-+当3242x k πππ+=+，即524x k ππ=+()k Z ∈时，max ()1f x =+18、（1）//,//BC AD BC ADFE BC ADFE ⊄∴ 面，面，又A D F E P B C E F= 面面，//BC EF ∴（2）连结AC ，交BD 于点O ，AC BD ⊥ ，又PD A B C D ⊥面，面PBD ⊥面ABCDAC PBD ⊥ 面，AH PB ∴⊥，AHO ∴∠是二面角A PB D --的平面角，不妨设1AD =则PD ，2PA =，AO =，AH =，Rt AHO ∆中，sin AO AHO AH ∠==∴ 二面角A PB D --的大小为（3）假设棱PB 上存在点E ，由题意得PC AD ⊥，要使PC ADFE ⊥面，只要PC DF ⊥即可当PC DF⊥时，R t∆中，2CD C F P C=⋅，111,2,,23CF CD PC CF FP ==∴==//BC EF ，13BE EP ∴=时，PC ADFE ⊥面19、（1）设动点(,)P x y ，1AB k a=-，AP AB ⊥ ，AP k a ∴=，∴直线AP 的方程为()y a x a =-AP DA =，2x a ∴=，∴点P 的轨迹C 的方程是24(0)x y y =≠（2）设221212(,1),(,),(,)44x x Q t M x N x -，24x y = ，1'2y x ∴=。

2018届高考第三次诊断性考试数学试题(理)及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试**5月调研测试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}()|,,2A x x a B =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．2a ≥ B ．2a > C ．2a ≤ D ．2a <2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足21iz z =+，则z =（） A ．2155i -- B ．2155i + C ．2i + D ．2i - 3.设命题:,2ln 2x p x Q x ∃∈-<，则p ⌝为（）A ．,2ln 2x x Q x ∃∈-≥B ．,2ln 2x x Q x ∀∈-<C ．,2ln 2x x Q x ∀∈-≥D ．,2ln 2x x Q x ∀∈-= 4. 已知随机变量()22,XN σ，若()()1121P X a P X a ≤-+≤+=，则实数a =（）A ． 0B ．1 C. 2 D ．45.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中,A B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为（） A ．12 B ． 24 C. 36 D ．486. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M N 、两点，与抛物线的准线交于P Q 、两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（）A．．．37. 已知实数,x y 满足不等式组20x y x a x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的2倍，则a =（） A ．34 B ．56 C. 65 D ．438. 《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.根据该问题设计程序框图如下，若输入103,97a b ==，则输出n 的值是（）A ． 8B ． 9 C. 12 D ．169.一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为32π，则侧视图中的x 的值为（）A ． 6B ． 4 C. 3 D ．210. 已知圆O 的方程为221x y +=，过第一象限内的点(),P a b 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若8PO PA =，则a b +的最大值为（）A ．3B ．．611. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径的圆M 与双曲线C 相交于,A B 两点，其中O 为坐标原点，若1AF 与圆M 相切，则双曲线C 的离心率为（）A B D12. 已知函数()32413327f x x x x =+++，等差数列{}n a 满足：()()()129911f a f a f a +++=，则下列可以作为{}n a 的通项公式的是（） A ．173n - B ．2333n - C. 452n- D ．49n - 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.函数()22cos sin cos 1f x x x x =+-的最大值是．14.已知0a >，且102a x ⎛ ⎝的展开式中常数项为5，则a = ．15.在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB '∆，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE = ．16.已知点I 为ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===，若A I x A B y A C =+，则x y += ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，A 为锐角，且()224sin 5cos sin cos 2422A A A A ππ⎛⎫⎫--=+ ⎪⎪⎝⎭⎭.（1）求A ；（2）若1,AC ABC =∆BC 边上的高.18. 从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在0.30.5的概率为110. （1）求,a b 的值；（2）若某大学A 专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考A 专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对A 专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学A 专业的调查，记抽到的学生中视力在1.1 1.3的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19.如图，三棱柱111ABCA B C 中，011111,,60AC B A AB AA BAA ⊥=∠=. （1）求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若平面BAC ⊥平面11ABB A ，且AB CB =，求二面角11A CC B --的正弦值.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点与抛物线2y =的焦点重合.（1）求椭圆的C 的方程；（2）设点P 为圆22:2x y Γ+=上任意一点，过P 作圆Γ的切线与椭圆C 交于,A B 两点，证明：以AB 为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标. 21.已知函数()()1ln f x x a x a R x=+-∈. （1）若直线1y x =+与曲线()y f x =相切，求a 的值；（2）若关于x 的不等式()2f x e≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，曲线C 的极坐标方程为2sin8cos ρθθ=.（1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1M ，直线l 与曲线C 交于不同的两点,P Q ，求MP MQ +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a x =-+.（1）当3a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}|2x x ≤-，求实数a 的值.试卷答案一、选择题1-6: DACCBA 7-12: BBCBCA 二、填空题13 15. 278 16. 23三、解答题17.解：（1）)1sin 4sin 1sin sin 223A AA A A π+=+⇒=⇒=；（2）1sin 42S bc A c ==⇒=，由余弦定理有：2222cos 13a b c bc A a =+-=⇒=由面积公式有：1213S ah h =⇒=. 18.解：（1）0.20.10.50100b b a ⨯=⇒=⇒=；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，概率为：()()321553338810300,15656C C C P P C C ξξ======， ()()12353333881512,35656C C C P P C C ξξ======，所以其分布列如下：则()568E ξ==. 19.解：（1）设AB 中点为D ，连接1,CD DA ，又设2AB =，则11,12AD AA ==，又因为11cos 2BAA ∠=，所以1AB DA⊥，又因为11111,CA A B CA DA⊥，所以11A B ⊥面1CDA ，所以11A B CD ⊥，又因为CD 为中线，所以ABC ∆为等腰三角形；（2）设以AB 中点D 为原点，分别以1,,DA DA DC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()(()(110,0,0,,,1,0,0,D A C B C --，故()()(110,3,3,1,3,0,1,0,CA CC CB =-=-=-，设面11ACC 的法向量()1111,,n x y z =，则有()1111103,1,10n x =⇒=-=⎪⎩，同理得：面1BCC的法向量()23,1,1n =-，设所求二面角为θ，则12123cos 5n n n n θ==，故4sin 5θ=.20.解：（1）由题意有：221263c e x y a c ⎧==⎪⇒+=⎨⎪=⎩；（2）由对称性，猜测该定点为()0,0O ，设该切线方程为y kx b =+，则有2222d b k ==⇒=+，联立方程有：()22222214260163y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，()()()222212121212211366021OA OB x x y y k x x kb x x b b k k =+=++++=--=+，所以OA OB ⊥，即原点以在AB 为直径的圆上.21.解：（1）()20220111111a x ax f x x a x x x a x --'=--==⇒=-⇒-=，则有：()00000001ln 1ln 10f x x a x x x x x =+-=+⇒-+=，令()()1ln 1101h x x x h x x x'=-+⇒=-=⇒=，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又因为()10h =，所以011x a =⇒=-；（2）令()12ln l x x a x x e=+--，则原命题等价于()0l x ≥恒成立，又()221x ax l x x --'=，设2000110,x ax a x x --==-，则()l x 在()00,x 上单减，在()0,x +∞上单增，故只需()()00000001120,ln l x l x x x x x x e⎛⎫≥=+--- ⎪⎝⎭，令()()21121ln 1ln m x x x x m x x x x e x ⎛⎫⎛⎫'=+---⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()m x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()10m m e e ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即11,a e e e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 22.解：（1）22cos sin 11,sin 8cos 8x y y x ρθρθρθθ+=⇒+==⇒=；（2）考虑直线方程1x y +=，则其参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线方程有：2211810222t ⎛⎫-=⨯⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭，则有12MP MQ t t +=+=23.解：（1）()33,3323,3x x f x x x x x -≥⎧=-+=⎨+<⎩结合函数图像有：[)0,x ∈+∞；（2）由题意知()202f a -=⇒=或6a =-，经检验，两种情况均符合题意，所以2a =或6a =-.。

江苏省苏州市2018届高三期中调研数学试卷(含答案)

2
42
高点之间的距离为．
2
（1）求 a,b 的值；
（2）求 f (x) 在[0, ] 上的最大值和最小值．
4
16．(本题满分 14 分)
在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，已知 sin B sin C m sin A(m R) ，且
a2 4bc 0 ．（1）当 a 2, m 5 时，求 b,c 的值；

▲．
12．设 △ABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ，D 为 AB 的中点，若 b a cos C c sin A 且
CD 2 ，则 △ABC 面积的最大值是 ▲ ．
13．已知函数
f
(x)

sin(x

)
，若对任意的实数
[
5
,
] ，都存在唯一的实数

[0, m]
，使
6
62
f ( ) f ( ) 0 ，则实数 m 的最小值是 ▲ ．
14 ．已知函数
f
(
x)

ln x, x
2x

1,
x
0 ≤
0
，
若
直
线
y ax
与
y f (x) 交于三个不同的点
A(m, f (m)), B(n, f (n)),
已知矩阵
A

1 2
2 1
，
ur

4 2
，求
ur A49
的值．
C．(极坐标与参数方程)
（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系中，直线

高考最新-2018届苏州市高三教学调研测试数学(附答案) 精品

2018届苏州市高三教学调研测试（数学）2018．9一、选择题1、设全集{01234}U =，，，，，集合{1,2,3}A =，集合{2,3,4}B =，则U AB =ðA 、{1}B 、{01}，C 、{0123}，，，D 、{01234}，，，， 2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3(1)n n S a =-，则1a 等于A 、12-B 、12C 、32-D 、323、,a b R ∈，a b >，0ab >是11a b<成立的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数与方差的变化情况为A 、平均数和方差都不变B 、平均数不变，方差改变C 、平均数改变，方差不变D 、平均数和方差都改变 5、函数21()cos (0)3f x x ωω=->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则ω等于 A 、2 B 、1 C 、12 D 、146、已知l m n 、、是直线，αβγ、、是平面，给出下列命题：（1）若//m l ，且m α⊥，则l α⊥；（2）若//m l ，且//m α，则//l α （3）若l αβ=，m βγ=，n γα=，则////l m n （4）若m αβ=，l βγ=，且//αβ，则//m l其中两个真命题的是A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（1）（4）D 、（2）（4） 7、直线y kx =与圆22(4)4x y -+=相切，则直线的倾斜角为A 、6π，6π- B 、6π，56π C 、3π，3π- D 、3π，23π-8、在ABC ∆中，,,a b c 分别为三内角,,A B C 所对的边，若2B A =，则:2b a 的取值范围是A 、(2,2)-B 、(0,2)C 、(1,1)-D 、(0,1) 9、已知函数()21xf x =+的反函数为1()fx -，则1()0f x -<的解集为A 、(,2)-∞B 、(1,2)C 、(2,)+∞D 、(,1)-∞10、若动点P 的横坐标为x 、纵坐标为y 使lg lg ||lgy xy x -、、成等差数列，则点P 的轨A 、B 、C 、D 、11、若点O 为ABC ∆的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC ∆的内角C 等于A 、45B 、60C 、90D 、12012、某校高三8个班级的师生为庆祝第二十一个教师节，每个班学生准备了一个节目，已排成节目单。

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苏州市2018届高三调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

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1. 复数()212i +的共轭复数是 ▲ . 2. 若双曲线()22221,0x y a b a b-=>的离心率为2，则b a = ▲ .3. 样本数据11,8,9,10,7的方差是 ▲ .4. 函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示，则ϕ= ▲ .5. 已知集合{}2,5A =,在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边恰好构成三角形”的概率是 ▲ .6. 6．设,E F 分别是Rt ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知3,6AB AC ==,则AE AF ⋅=▲ .7. 7.设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,m n m n αα⊥⊥⊄则n ∥α；②若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥；③若,m n ⊥m ∥α，n ∥β，则αβ⊥；④若,,n m αβα⊂⊂与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直.其中，所有真命题的序号是 ▲ . 8. 已知11tan ,tan 73αβ==，且(),0,αβπ∈,则2αβ+= ▲ . 9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的S = ▲ . 10. 已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为 ▲ .11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ,满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ m （π取3.14，精确到1m ）.12. 已知数列{}n a 满足()*115132,37n n n a a a n N a +-==∈-,则数列{}n a 的前100项的和为 ▲ . 13. 已知ABC △的三边长,,a b c 满足23,23b c a c a b +≤+≤，则b a 的取值范围为 ▲ . 14. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为 ▲ .二、解答题：本大题共六小题，共计90分.15.（本小题满分14分）在ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()()3a b c b c a bc +++-=.⑴求A ;⑵若90,4B C c -=︒=，求b .（结果用根式表示）16. （本小题满分14分）正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB A A =,D 为1C C 的中点，O 为1A B 与1AB 的交点. ⑴求证：1AB ⊥平面1A BD ;⑵若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面1A BD .有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距()d m 正比于车速()/v km h 的平方与车身长()l m 的积，且车距不得小于一个车身长l （假设所有车身长均为l ）.而当车速为()60/km h 时，车距为1.44个车身长.⑴求通过隧道的最低车速；⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？18. （本小题满分16分）如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点.⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知()*121111n n n N S S S n ++⋅⋅⋅+=∈+. ⑴求1S ,2S 及n S ； ⑵设1,2n a n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭若对一切*n N ∈均有21116,63n k k b m m m =⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭∑，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分16分）设函数()()ln ln 0,0f x x a x a a =->>且为常数. ⑴当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明；⑵当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立；⑶若0k <，且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数.数学II （加试题）21.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点()1,0F 的距离与定直线l ：1x =-的距离相等. ⑴求动点P 的轨迹E 的方程;⑵过点F 作倾斜角为45︒的直线m 交轨迹E 于点,A B ，求AOB △的面积.22. （本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X .⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；⑵求X 的分布列及X 的数学期望.23. （本小题满分10分）如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，11A E CF ==. ⑴求两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值； ⑵求直线1AC 与平面1BED F 所成角的正弦值.24．（本小题满分10分）设()1n f n n +=，()()*1,ng n n n N =+∈． ⑴当1,2,3,4n =时，比较()f n 与()g n 的大小． ⑵根据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．。

2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案

2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B =．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为．4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ．8.设nS 是等差数列{}na 的前n 项和，若242aa +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23aba b+=，则ab 的最小值是．10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ． 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．17.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>经过点1(3,)2，3(1,)2，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值. 19.已知函数32()f x x ax bx c=+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.①求实数a 的值； ②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域. 20.已知nS 是数列{}na 的前n 项和，13a=，且123n n S a +=-*()n N ∈.（1）求数列{}na 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知ja λ，6i a ，kaμ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}nb 前n 项和是nT ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132nn n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n nTa=的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =；（2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点(22,)4P π，圆心为直线sin()33πρθ-=-C 的极坐标方程.D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}nAn =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，na ）满足(1,2,,)ia i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合nA 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A=，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合nA 的所有错位排列的个数为nD .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示nD ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()nDn N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. 32y x =±4. 635. 3166. 2543 8. 8 9. 261311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以2sin()4a b a πα⋅=++2sin cos 4παα=+cos sin4πα+4242552=+⨯3232522+⨯=.（2）因为//a b 2sin()14a πα+=，即2α(sin coscos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AAAC A=，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，16AA =2AC =，1AN =，63CD =，所以132AA ANAC CD ==又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BNA N N=，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN . 17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210kk --=，解得112k=综上可得，直线1l 的斜率为1218.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以3OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即33sin sin()6παπα=--3sin()6παπα=--5sin()6πα=-，53sincos 6παα=5cos sin 6πα-13cos 22αα=+，所以3cos αα=，因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以3tan 3α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即33sin(())2ππαθ=---，所以3sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而3sin )sin θαcos cos αθ=3sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tan 3sin αθ=-，记()3sin f θθ=-，213sin '()(3sin )f θθθ-=-(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，3sin 3θ=，存在唯一0(0,)2πθ∈使得03sin 3θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时3sin 3θ=. 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为33.19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x xx c=-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln xx c x-+≥恒成立，即3ln 2c x x x≥-+.令3()ln 2x x xxϕ=-+，则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增，令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减，∴当1x =时，max[()](1)1x ϕϕ==.∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c=+-+，2'()323f x xax =+-.由题意，2'()3230f x xax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0. ②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞. 当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x xx =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x=-=，得1x =.x(0,1)1(1,)+∞'()f x - 0+ ()f x极小值∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.故函数()y h x =的值域为[0,)+∞. 20.解：（1）由123nn S a +=-*()n N ∈得1223n n Sa ++=-，两式作差得1212n n n aa a +++=-，即213n n aa ++=*()n N ∈. 13a =，21239aS =+=，所以13n n aa +=*()n N ∈，0na≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}na 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n na=*()n N ∈；（2）由题意26jk ia a a λϕ+=⋅，即33263jk iλμ+=⋅⋅，所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j iλλ-≥≥，399k iμμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132nn n a ba b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得， 11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n bn +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21nbn =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113Ta=；当2n =时2249Ta=；当3n =时3313Ta=；下面证明：对任意正整数3n >都有13n nTa<，11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)nn n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nTT aa ++-<，所以当3n ≥时，n nT a递减，所以对任意正整数3n >都有3313n nTT aa <=；综上可得，满足等式13n nTa=的正整数n 的值为1和3.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =.因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠，于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =，所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CDCB CA =⋅=⨯=，所以3CD =B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）由1151BA X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()33πρθ-=-0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0). 因为圆C 的半径PC 22(22)22222cos24π=+-⨯⨯⨯=，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x ，y 都是正数，所以223130x yxy ++≥>，223130y xyx ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得20x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>=53t=⨯15=，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为155.（2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PAλλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)nx y z =，则2200DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，由题意得21221()cos ,3n n -=<>1212n nn n ⋅=2225(1)5(1)(22)()λλλλ-=-+-+-，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=，因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D=，32D =， 49D =，（2）12(1)()nn n Dn D D --=-+，理由如下：对nA 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，na ），若1(1)a k k =≠，分以下两类：若1ka=，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1ka≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，nD 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数，又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有nD 均为偶数.下面用数学归纳法证明2nD （其中*n N ∈）为奇数.当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2kD 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k Dk D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2kD 是奇数，所以212k kDD ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2nD 为奇数.。

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注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第 1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）.本卷满分160 分，考试时间为120分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.参考公式：球的表面积公式 S=4 n 2，其中r 为球的半径一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上 .1已知i 为虚数单位，复数z 诗弓的模为 2. 已知集合 A 二｛1,2a ｝，B =｛ -1,1,4｝，且 A 5B ，则正整数 a 二 ▲23.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y =-8x 的焦点坐标为 ▲苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 ▲ .已知 4a =2，log a x=2a ，则正实数 *=▲_.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入 n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为▲.苏州市2018届高三调研测试数学试题2018. 14. 5.开始：'（第6题图）I0 < x < 3, 7.已知变量x , y 满足x y > 0, 则z=2x-3y 的最大值为▲x - y 3 < 0,已知等比数列｛ an ｝的前n 项和为S n ，且詈「罟，a「a2鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为 5,底面正方形的边长为 1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 _▲忽略不计，结果保留 n AB , CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角.CAD =45，则这两座建筑物 AB 和CD 的底部之间的距离BD 二 ▲ m .11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点A （2, -1）的圆C 和直线x y =1相切，且圆心在直线 y- _2x 上，则圆C 的标准方程为 ▲ .11 1 112.已知正实数a ， b ， c 满足 1， 1，则c的取值范围是▲a b a +b c13. 如图，△ ABC 为等腰三角形，• BAC=120，AB = AC =4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的BC一点，贝U PB PC 的取值范围是▲ .（第13题图）14 •已知直线y = a 分别与直线y =2x -2，曲线y =2e x - x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为▲.、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出1515，则33的值为 ▲9. 10.如图，两座建筑物（第10题图）（第 9题图）（容器壁的厚文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) =(. 3cosx sin x)2-2 3sin2x .(1)求函数f(x)的最小值，并写岀f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;(2)若x ■，匸，求函数f (x)的单调增区间.IL 2 216. (本小题满分14分)如图，在正方体ABCD -A1BQ1D1中，已知E, F, G,H 分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C 的中点.(1)求证：EF //平面ABHG ;(2)求证：平面ABHG丄平面CFED .17. (本小题满分14分)如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西B角(w n，21其中锐角：•的正切值为-)航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽2车到城市 C .已知船速为25km/h，车速为75km/h.(1 )试建立由A经P到C所用时间与二的函数解析式；(2)试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由.18. (本小题满分16分)北•.东2x 2 yxOy 中，椭圆C ：p 牙=1(a b . 0)的离心率为a b点P 到一个焦点的距离的最小值为3(、. 2 —1).(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0, —1)的动直线I 与椭圆C 交于A , B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由.19. (本小题满分16分)已知各项是正数的数列｛a n ｝的前n 项和为S n .a 2 +2(1 )若 S n= -----------------5迂N *, n 》2),且 a t =2 .3① 求数列｛a n ｝的通项公式；②若S n w ■・2n1对任意n N *恒成立，求实数■的取值范围；(2)数列｛a n ｝是公比为q (q >0, q -1)的等比数列，且｛a n ｝的前n 项积为10Tn •若存在正整数k ,对任意N *，使得卫3 为定值，求首项a 1的值.T kn20. (本小题满分16分)'32x x ,x ：： 0,已知函数f(x)二x、e x —ax, x > 0.(1 )当a =2时，求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f (-X )• f (x)二e* _3在区间(0,+ ：：)上有实数解，求实数 a 的取值范围;在平面直角坐标系，椭圆上动(3)若存在实数m,n [0,2],且|m-n| >1 ,使得f (m) = f (n),求证：1 w 旦w e . e —122018届高三调研测试数学n （附加题）2018. 1注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题•若学生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分•第22、23题为必答题•每小题10分，共40分•考试时间30分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效•作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选•其中两题.，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A .选修4 -1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD_AB 于点D，PE_AC 于点E，PF _ BC 于点F.B .选修4 - 2:矩阵与变换（本小题满分10分）C .选修4 - 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）求证：PF—PDPE.DBPFOCEAi x =1 t,在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数)，以原点0为』=t -3极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为亍=竺二，若直线Isin 日与曲线C 相交于A ，B 两点，求△ AOB 的面积. D .选修4 - 5:不等式选讲(本小题满分10分)已知 a , b , c € R , a 2 b 2c 2 =1，若 |x -1| |x 1|> (a -b • c)2 对一切实数 a , b ,c 恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分10分)如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE AB 二BP =2, AD=AE=1 , AE 丄 AB , 且 AE // BP . (1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值； (2)线段PD 上是否存在一点 N ,使得直线BN 与2平面PCD 所成角的正弦值等于 -?若存在，试确定5点N 的位置；若不存在，请说明理由.23. (本小题满分10分)在正整数集上定义函数 y = f( n)，满足f( n)[ f(n • 1) • 1] =2[2 - f (n • 1)]，且f(1)=2 .9(1) 求证：f (3) - f (2p101(2) -------------------------------------------------------- 是否存在实数a , b ,使f(n) = 1，对任意正整数n 恒成立，并证a(-3)n -b 2明你的结论.z CB苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案、填空题(共70 分)15.解(1) f (x) =( 3cosx sinx)2 -2 3sin 2x亠2 .3sin xcosx 亠sin? x -2 . 3sin 2x= cos2x - ■ 3sin2x 2 =2cos(2x )2 . 3■TT-TT当2x 2k 二•二，即x =k (k ・Z )时，f (x)取得最小值0.3 3此时，f (x)取得最小值时自变量 x 的取值集合为』xx=k^+上，k € Z 》.I3 J....................................................................... •分(注：结果不写集合形式扣 1分) (2)因为 f(x) =2cos(2x ) 2 ,3设 BH P]CF =P , △ BCH ◎△ CC 1F ，所以 HBC =”FCC 1, 因为/ HBC + Z PHC=90，所以 ZFCC 1 + / PHC=90 .11.3 2. 2 3. (-2,0)4.102 210. 1811. (x -1) (y 2) =2二、解答题(共90分)195.6. 487. -9 8.9.2443 In 2 12. (1-] 13. [-11,-9]14.322二 3cos3(1 cos2x) 1 -cos2x2 2i£：3sin 2x令〔2k 二 w 2x< ^;：>2^:(^= Z ), (3)解得 k 二 w x w k 二(k Z ),.....................................................................3 6又 x ・［一二 T ，令 k 「1, x -匸二，令 k=0 , x 二二，2 2 126」 13 2」口丿〕和徑兰］ .............IL 2, 6. IL 3,21分，其中写对一个区间给 2分)B 1C 1的中点，所以EFJi Ji•10分所以函数在的单调增区间是 2 2(注：如果写成两区间的并集，扣 16.证明：(1)因为E , F 是A 1D 1 ,在正方体 ABCD - A 1BQD 1中， (注：缺少 A 1B 1 / AB 扣1分)所以 EF // AB . .......................Ji Ji14分A 1B 1 // AB ,又EF 二平面ABHG , AB 平面 ABHG , (注：缺少 AB 二平面ABHG 不扣分) 所以EF //平面 ABHG ........................................ 6分(2)在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，CD —平面 BB 1C 1C , 又BH 平面BB 1C 1C ，所以BH — CD .①.........C 1H3分C11分所以.HPC =90，即 BH _CF •② ................由①②，又 DC "CF =C , DC , CF 平面 CFED , 所以BH —平面CFED • 又BH 平面ABHG ,所以平面 ABHG 丄平面 CFED •............................................................................. 14分（注：缺少BH 平面ABHG ，此三分段不给分）（注：AP , BP 写对一个给 2分）由A 至U P 所用的时间为右二塑 —25 si n 日50cos J100 -si n 日75所以由A 经P 到C 所用时间与9的函数关系为函数f （力的定义域为（:•，匸］，其中锐角:-的正切值为-2 2（2）由（1）, f （®=6：4日十朕（口£ ,3sin 日 32f G ） =6H，令 f （刃“，解得 COST -1 , •9si n 日311设 (0, —)，使 COS^o :312分所以，当v - -0时函数f （9）取得最小值，此时 BP=50cos 玉二经2胡7.68 km ,sin 日0 2 答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少. (14)（注：结果保留根号，不扣分）17•解（1）由题意，轮船航行的方位角为9,所以 N BAP = 90“一日,AB=50 ,贝U AP =•50cos(90 -力50BP = 50ta n(90 -^)=50sin(90 - ^) cos(90 - RPC =100 - BP =100 -50cos v2cos 3sin r由P 到C 所用的时间为t 2 f (力二t 1 t 2 二4 2cos v3 3sin 二 6 - 2cos 二 4一 3si nr 310分1分解得 c=3, a = 3.. 2，所以 b 2 =a 2 _c 2 =9,...............................................2 2所以椭圆C 的标准方程为 —•X=1. ..........................................................................18 9(2)当直线l 的斜率为0时，令y = _1，则x = 4 ,此时以AB 为直径的圆的方程为 X 2 (y • 1)=16 •...........................................当直线I 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 • y 2 =9 , ...........................『x 2 +(y +1) =16,联立解得x=0,y=3，即两圆过点T(0,3) •[x 2 +y 2 =9,猜想以AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3) • .........................................................对一般情况证明如下：设过点M(0,-1)的直线I 的方程为y=kx-1与椭圆C 交于A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),f y 二kx -1,22则 2 2 整理得(1 - 2k )x-4kx -16 =0 ,x 2y =18,所以 E +x 2=—, x 1x 21 +2k②-①得an -an 4(a2 -a 2)，即时记a +2当 n =2 时，由①知 a a 2 a 12，即 a ； -3a 2 T0 = 0 , 解得a 2 =5或a 2 ■ -2（舍）, 所以a 2 =3，即数列｛a .｝为等差数列，且首项印=3, 所以数列｛a .｝的通项公式为a .=3n -1.18.解(1)由题意一,故 a,a 2又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为 3(.. 2 一1)，所以a - c = 3'.空-3 ,2分 4分16 ~21 2k12分3分） (注果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给因为 TA TB 二区，％-3)化』2 -3) 7X 2 丫必 -3(% y 2)92= )^X 2(kjq-1)(kx 2 T) 一3(心-1 kx 2 一 1) 9 =(k"X 1X 2 -4k (X 1 X 2) 16-16(k 2 1) 16k 2 -16(1 2k 2)2 … 2 16- 1+2k 2 1 +2k 2所以TA_TB • 所以存在以AB 为直径的圆恒过定点1 2k 216 =0 , 19•解（1）①当 n > 2 时，由 S n S n 1 =T ,且定点 a ： 2 3，T 的坐标为(0,3) •16分(注：不验证a ? -a<i =3扣1分)S n3n 2 + n■ >扩2^对一切n N *恒成立,②由①知,2an=3n -1，所以"込口UJ ,记c -汇记 c n - _n 2 n，则 C n tWZ), n > 2 ,2n 12所以c n ③「忙4，n > 2 , n 2当n 4时,13C n <C n!，当 n =4 时，C 4，且 1615C3 :16 所以当n =3时, 2 3n 亠 n 15 代取得最大值一，2 16 15 所以实数•的取值范围为右；).• 11分(2)由题意，设 n 」 an 二 a 1q(q >0,q 式1), a 1 a^10Tn ，两边取常用对数,T n =lga i Iga 2 Hl Iga n • 令 b n =lga n =n Igq lg 印-lg q , 则数列｛0｝是以lga i 为首项，lgq 为公差的等差数列, 13分(k +1)nlga 十(k+1)n[(k+1)n_ 1]T T(k 1) nlga 1 lgq若上少为定值，令上少一I ,贝V T kn T kn kn lg a 1 如第一1)lg q 2 即{[( k 1)2 - 'k 2]lg q}n [(k 1) -」k](lg aL)lg q =0对 n N * 恒成立, q l7k +1)2 _“2 =0 因为q 〉0,q 右，问题等价于广l) k O ， i (k 1)-」k =0或a ； = q. 将-—=\、1 代入(k ■ 1) - "k =0 ,解得」=0或"=1. k因为k ・N *，所以J0/-1, 所以a ； =q ，又a n - 0,故耳=.q.16分由题意可得20.解(i )当 …时，e +2x, x > 0,322当 X ：：：0 时，f(x)二-x x ,则 f(x)=—3x 2x =「x(3x -2),2令 f (x) =0，解得 X = 0 或 X 丄(舍)，所以 x ：：：0时，f (x) ::： 0,3所以函数f(x)在区间(亠,0)上为减函数. ...................................... •分当 x > 0 时，f(x) =e x -2x , f (x) =e x —2 ,令 f (x) =0，解得 x = In2，当 0 ：：： x ：：： ln2 时，f (x) ：：：0，当 x In2 时，f(x) . 0 , 所以函数f(x)在区间(0,ln2)上为减函数，在区间(In2,；)上为增函数，且 f (0) =1>0................................................................................................... •分综上，函数f(x)的单调减区间为(-：：,0)和(0,1 n 2)，单调增区间为(I n2,；)............................................................................................................................ 5分(注：将单调减区间为 (-：：,0)和(0,ln2)写出(-：,ln2)的扣1分) (2)设 x • 0 ,则-X ：：： 0 ,所以 f (-x) • f (x) = x 3 • x 2 • e x —ax , 由题意，x 3 x 2 e x -ax =e x -3在区间(0,；)上有解，等价于 x 2 x 3在区间(0,；)上有解.x记 g(x) =x 2 x 3(x 0),则 g (x) =2x ・1 -2 -2-2xxx令g (x) =0，因为x • 0 ,所以2x 2 3x 3 0，故解得x =1 , 当 x^(0,1)时，g(x)c0，当 x^(1,亦)时，g(x)n0,所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,=)上单调递增，故函数g(x)在x =1处取得最小值 g(1) = 5. .................................................... 9分要使方程a =g(x)在区间(0,；)上有解，当且仅当a > g(x)min 二g(1)=5 ,综上，满足题意的实数 a 的取值范围为［5, ；). ............................ 10分 (3)由题意，f (x) =e x -a ,当a <0时，f (x)・0，此时函数f (x)在［0,；)上单调递增，由f (m) = f (n)，可得m = n ,与条件| m - n |> 1矛盾，所以a 0 . ........................ 11分令 f (x) =0，解得 x = lna ,x3 2x 3 x 2 -3 (x -1)(2x 2 3x 3)当x (0,ln a)时，f (x) ：：0,当x (l n a,；)时，f (x) 0 ,所以函数f (x)在(0,l n a)上单调递减，在(I na,；)上单调递增.若存在m, n可0,2］, f(m)=f( n)，则lna介于m, n之间， (12)不妨设 0 < m ：：： In a ::: n < 2,因为f(x)在(m,l n a)上单调递减，在(I na, n)上单调递增，且 f(m)=f( n), 所以当 m < x < n 时，f (x) < f (m) = f (n),由 0 < m ::: n < 2 , | m -n 1，可得 1 二［m, n ］，故 f (1)< f (m) = f (n), 又f (x)在(m,lna)上单调递减，且0匕m ：：： Ina ，所以f (m) < f (0).所以f ⑴w f (0)，同理f ⑴w f(2) . (14)e _a w 1即-；解得 e-1 w a w e 2 -e ,|e -a w e -2a,所以1 w 旦w e. (16)e —12018届高三调研测试数学附加题参考答案21A 选修4— 1几何证明选讲证明连PB , PC ,因为.PCF,. PBD 分别为同弧BP 上的圆周角和弦切角，所以.PCF =/PBD. ......................... 2 分因为 PD _BD , PF _ FC ,所以△ PDBPFC ，故匹二EB ................. 5分PF PC 同理， PBF =PCE , 又 PE _EC , PF _FB , PF所以△ PFB PEC ，故竺PEPD PF 2所以——=——，即PF =PD PE . (10)PF PE21B 选修4— 2矩阵与变换九 _1 -2解矩阵M 的特征多项式为f 仏)==丸2—2k —3 , .......................... 2分一2 九一1令f( ■) =0，解得'1 =3,匕二-1，解得所以 M 4 ：二 M 4(4 打 _3： 2) =4(M " J -3(M 4 2) =4(人4円)一3(财口PB PC属于入的一个特征向量为令：二m ： 1 • nd ,即了=¥ "，属于甩的一个特征向量为«2】1」 1 w 1n 1，所以 m n^7 1 <1m-n=7, 解得 m = 4, n - -3.卜(町擋］ 10分8分2) =4 汉34fl21C选修4—4坐标系与参数方程所以曲线C 的直角坐标方程是 \ =1 由直线I 的参数方程一'l y =t -3所以直线l 的普通方程为x _y -4 =0 ...........................................将直线I 的参数方程代入曲线 C 的普通方程y 2=2x ,得t 2 -8t • 7 = 0, 设A , B 两点对应的参数分别为 t 1, t 2, 所以 AB = .2 出—t 2 |= .2 馆 t 2)2 -4址2 二 2 . 82 -4 7 =6.2 , 因为原点到直线x —y —4=0的距离d= 2^2 ,42所以△ AOB 的面积是 AB d 二1(6 2) (2、一 2) =12 . ..................2 221D 选修4— 5不等式选讲解因为 a , b , c € R , a 2 b 2 c 2 =1,2 2 2 2由柯西不等式得(a-b ・c)< (a b c )(1 11^3, ...............因为|x-1| Tx ，1p (a -b c)2对一切实数a , b , c 恒成立，所以 | x -1| | x 1|> 3 . 3 当 x ：：： -1 时，-2x > 3，即 x < - 3 ； 2 当_K x <1时，2 > 3不成立； 3 当x ・1时，2x > 3，即x > 3；2综上，实数x 的取值范围为(亠一勻山？讼).，2 2，22. 解( 1)因为平面 ABCD 丄平面 ABEP ，平面 ABCD 门平面 ABEP 二AB , BP 丄AB , 所以BP 丄平面ABCD ，又AB 丄BC ,所以直线 BA , BP , BC 两两垂直，以B 为原点，分别以 BA , BP , BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 P ( 0, 2, 0), B ( 0,生 0), D (・2, 0, 因为BC 丄平面ABPE ，所以BC =(0,0,1)为平面 ABpE 的一个法向量， ..................... 2分 PD =(2, -2,1),CD =(2,0,0),设平面 PCD 的一个法向量为n =(x,y,z),2x =0,令y 日，则2x -2y z =0,解由曲线C 的极坐标方程是「= 2°°：，得p 2sin 2 (=2 pcos 0.sin 0y 2=2x. .......................................(t 为参数)，得x -y —4 = 0 ,10分10分n CD =0,则n PD =0,z =2 ,故 n二(0,1,2) ,...............................................4分设平面PCD 岂平面ABPE 所成的二面角为二，则a n BC 2 2^5 cos^| n | | BC | 1 755n显然0 '—,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值2(2)设线段PD上存在一点N ,使得直线BN与平面PCD所成角设詣= ?JD=(2 打—2 扎知(0 =(2 九,2—2九,九).•••—分由(1)知，平面PC巳的一个法向量为n二(0,1,2),BN n 2 2所以cos ：：BN, n i：| BN | |n| 亦J9九2—8厂+4 51即9 ' -8 '-1=0，解得，-1或(舍去).92 当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为 -.••…54- f (n) 23•解(1)因为f(n)[f(n 1) 1]=2[2-f(n 1)]，整理得f(n 1)=f (n) + 24 一2由f(1)=2，代入得f⑵二—2+2以下用数学归纳法证明1- 1成立.5 2 5①当n =1时，显然成立.②当n = k时，假设存在a 4 1 1,b ，使得f (k) 1成立, 5 5 _4(_3)」5(2)54-_-那么，当时，吐"恭」14 3 k 1 (一5)(一3)飞11 25 2 512(3)k 8养匕)律―J12/ 3、k 2 6/ 3、k 1 4/ 3k 1 () () () 5 2 5 5 2 5 5 2a的正弦值等于-510分丄f(3)=——=—2，1 5，22 5 27 1所以f (3) -f (2)= -----------5 2 (2)由f ⑴=2 , f (2)910 .1，可得a二-里,b二12 5 5存在实数，a —£b」，使f(n)二5 5即当4 1 1n =k J时，存在a二—,b=-，使得f (k -1) 1成立•5 5 4( _3)k + —~~5^~2"5由①，②可知，存在实数, 数n恒成立. ......... a=，b=［，使f (n)= _________ 1_______ +1对任意正整5 5吨―•10分。

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