中学数学方法论2005年下半年
数学方法论——精选推荐
数学方法论1所谓数学思想是对数学知识的本质认识是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点2 什么叫数学方法是指从数学角度提出问题，解决问题的过程中采用的各种方式，手段，途径等3 怎样区分数学思想与数学方法强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法4 数学方法的特点具有过程性和层次性的特点5 数学知识数学方法数学思想是数学知识体系的三个层次6 数学教育的三大功能科学技术功能思维功能社会文化功能7 数学思想方法对学生有什么作用数学思想方法的学习和领悟会使学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，它能帮助学生形成有序的知识链，为学生构建良好的认知结构起到十分重要的基础作用8数学思想方法教学的特点隐喻性活动性主观性差异性9，什么是化归思想方法从方法论的角度看，化归是使原问题归结为我们所熟悉的或简单的.熔岩的问题，从认识论的角度看，化归思想方法是用一种联系，发展，运动变化的观点来认识问题，通过对原问题的转换，使之成为另一问题加以认识。
它们的科学概括就是数学解决问题的基本思想方法-化归10，数学语言分为哪几种？图形语言，文字语言，符号语言。
11，什么是归纳推理方法归纳是指由一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法。
12，什么是类比推理方法类比是在两个或两类事物间进行对比，找出若干相同或相似点后，猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并作出某种判断的推理方法。
13.什么叫联想联想是由某种概念或结果而引起其他相关概念或结果的思维形式。
14，什么叫解析法将平面几何问题转化为解析几何问题的化归方法就是通常所谓的解析法15，什么叫数学抽象1 内容上的特殊性—数学抽象仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切2 方法上的特殊性==数学抽象是一种构造性活动，是借助定义和推理进行的逻辑建构3 程度上的特殊性—数学抽象的程度远远超过自然科学中的一般抽象16，什么叫迁移所谓迁移，是指一种学习对另一种学习的影响，这种影响既包括积极的促进作用，也包括消极的干扰作用。
2005年高考数学最后一讲
0 ，其中x∈R的解集为＿＿＿＿。
对任意实数x、y定义运算x*yaxbycxy，其中a、b、c为常数， 等号右边的运算是通常意义的加、乘运算，现已知1*23，2*34， 且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*mx，则m____。
下面是对某一个计算机程序的一个文字说明 S1 输入实数x; 1 x S2 如果x≥2,那么就将 ( 2 ) 赋予y,否则就将 S3 输出y. 若输入值x= ,则输出值y=
5
3
a b c 在△ ABC 中，若 cos A cos B cos C
（A）直角三角形. （C）钝角三角形.
9
9
，则△ABC 是 （B）等边三角形. （D）等腰直角三角形.
选择题的解法与策略
考 题 预
测
一、直接法：直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、 法则等知识,通过推理运算,得出结论,选择正确答案. 二、特例法：用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件， 得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确判断。
2i j
i j
C
i 2j
i j
（t表示时间，s表示位移）则瞬时速度为0的时刻是 A 0秒、2秒或4秒 B 0秒、2秒或16秒 C 2秒、8秒或16秒 D 0秒、4秒或8秒 从6人中选4人参加数学、物理、化学、英语比赛， 每人只能参加其中一项，甲、乙两人都不能参加英语比赛， 则不同的参赛方案的种数工有 A 96 B 180 C 240 D 288
2005年高考数学最后一讲
应 试 策 略
一、准备阶段
1. 集中精神，适度紧张 2. 通览全卷, 稳步启动
二、答题阶段
1. 先易后难,先熟后生,先简后繁 2.审题要慢,答题要快 3.确保中下题目,力求一次成功 4.确保“准确”,力求“快速”
数学的思维特征
明创造的。但这里要明白三点：
１． 数 学 不 是 创 造 ， 但 离 开 了 创 造 就 没 有 了
数学；
２． 数 学 不 是 创 造 ， 但 离 开 了 数 学 创 造 难 以
实现；
３． 数学不是创造， 但数学是培养创造型人才的
最重要领域。
上述１是很明显的。因为数学的总格式是根据
已知条件（ 已知的自然现象） 去逻辑地认识发现自
至于３也很明显， 因为创造型人才必须首先是 思维型人才， 而培养思维的最佳领地自然非数学莫 属了。
三 、数 学 是“猜 ”出 来 的 自坡利亚的“数学是猜出来的”名言一问世 ， 便 得到数学界一致赞同， 流为佳话， 广为引用。这是为 什么？ 正因它体现了数学研究的特征， 形象而恢谐 地 道 出 了 一 个 实 在 。那 么 要 问 ，“猜 ”与 理 解 、思 维 是 否矛盾？ 我们说不但不矛盾， 而且是统一的。所谓 “猜 ”就 是 在 一 定 条 件 下 作 出 非 严 格 的 逻 辑 式 推 断 ， 这 就 是 坡 利 亚 的 “合 情 推 理 ”、“ 不 严 格 的 思 想 方 法 ”， 或 爱 因 斯 坦 的“探 索 性 演 绎 法 ”， 或 徐 利 治 的 “观察、归纳法”。“猜”中含有逻辑思维因素， 而其中 不严格的万分正是灵感思维的“创造”结果， 所以说 猜中也含有灵感思维因素。 历史上被证明的猜测大都是正确的， 说明数学 的猜不是瞎猜， 是逻辑和灵感的产物。总之， 纯粹逻 辑思维结果不能叫猜， 纯粹灵感创造， 不依赖任何 条件者， 也不叫猜。猜既不是儿戏也不是迷信， 这里 的猜是逻辑思维与灵感思维的综合， 是一种思维现 象、思维方式。猜是一种能力体现， 功底愈深猜的能 力愈强， 否则只能是瞎猜。细究起来， 不仅数学家， 甚至所有科技人员都需要培养这种猜的能力， 因为 任何新事物在被我们发现或发明之初， 总是以一种 依稀雏形出现在脑子里， 即使对实验科学来讲也常 常 是 这 样 。即 对 于 最 初 的 灵 感 发 明 物 常 常 不 是 那 么 纯粹的， 总有猜测的成分。猜与现实间的差距就是 “证明（ 或叫证实） ”。猜想是科研人员的向导， 科研 人员主要的时间是在追逐猜想。 思维是数学的特征， 直觉思维更是学数学的必 备修养。
《中学数学方法论》课程教学实践探索
《 中学数学方法论》 课程 ． 作为高等院校培养基 础教育数学 学科师资 的一 门重要专业课程 ， 中学数 学方法 《 论 》 程教 学 内容和 教 学方式 应该 积极 变 革 ， 课 以顺 应 基 础 教育 的发 展 ． 国 际数 学 教 育 改 革趋 势 来 看 ， 少 就 不
国家 把掌握 数学 思想 方法 及运 用数 学思 想方法 解决 实 际 问题 的能 力作 为 中学 数 学教 育 的重 要 目标 之 一 ， 例
维普资讯
２０ ０８年 ３月 第 ２ 卷 第 ３ ９
韶关学 院学报 ・自然 科学
ｏ ｍａ ｆ ｈ ｏ ａ ｎ ｖ ｒ ｉ ｕ ｌ ａ ￣ ｎ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｏ Ｓ ｙ・Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ
Ｍａ ． ｏ０ ｒ２ ８
１ 确定人 才培 养 目标
有 学者认 为 《 中学数学 方法论 》 程 教学 要 达 到 以下 的 目的 ： 现两 个 转化 ， 课 实 即教 师 的 “ 教一 不 教 ” 学 及 生 “ 会—会 学 ”用 数学思 想及 方法 去整理 学过 的知 识 ， 学生 专业 知 识得 到 深化 ； 学 方法 的运用 能 力 得 学 ； 使 数
如， 美国把“ 学会数学 的思想方法” 作为培养“ 有数学素养” 社会成员的五项标志之一 ； 我国 ２０ 年颁布 的《 ０１ 全 日 制义务教育数学课程标准（ 实验稿） 明确提到要“ 》 进一步加强数学思想方法的渗透”］重视和加强 中学数 ｌ． 】 学思想方法的教学 ， 要求 中学数学教师具备较为系统的数学方法知识结构 以及运用数学方法解决实际问题 的能力 、 目前 ， 关于中学数学方法论教学实践 的论 文不多见 ， 本文结合教学实践 ， 中学数学方法论》 就《 课程 教学内容、 教学方式 、 作业设计等方面如何改革 ， 以适应新世纪人才培养 的需要进行探 索， 以求促进该课程 理论及 教学 的进 一步 交 流与发 展 ．
2004-2005学年度第二学期高二数学工作计划
高二数学教材分析“ 直线、平面、简单几何体”简介一、内容与要求（一）本章主要内容是立体几何的基础知识和解决立体几何问题的基本思想方法本章的具体知识点主要包括：平面及其基本性质，两条直线的位置关系，平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离，直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理，两个平面的位置关系，平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质，棱柱，棱锥，多面体和正多面体，球。
（二）本章在体系编排上分为两大节：第一大节是“空间直线和平面”，第二大节是“简单几何体”1．直线和平面是最基本的几何元素，空间直线和平面的位置关系是立体几何的基础知识。
学好这一部分内容，对于学生在已有的平面图形知识基础上，建立空间观念，使对图形的认识实现从平面图形到立体图形这一飞跃，是非常重要的。
第一大节包括6小节，依次按照平面、空间直线、直线和平面平行、直线和平面垂直、两平面平行、两平面垂直的顺序编排。
这6节之间密切联系，前面内容是后面内容的理论根据，后面内容既巩固了前面内容，又发展和推广了对前面内容的认识。
从而形成了一个关于空间直线和平面位置关系的概念、判定和性质的知识体系。
本大节无论在全章的知识系统中，还是在培养学生的辩证唯物主义观点、空间想象能力和逻辑思维能力方面，都具有重要的基础作用。
2．简单几何体，是指最基本、最常见的几何体．按照大纲的规定，本章中有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球。
这些内容依次排列，构成第二大节所含的4小节。
由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体（圆台、棱台）又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》（必修本）在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体（棱柱和棱锥）、一般多面体的有关概念、球。
中学数学方法论课本主要内容
绪论数学思想方法的对象和意义第一节中学数学思想方法的研究对象第二节学习中学数学思想方法的意义第三节中学数学思想方法的学习方法第一章数学的起源与发展第一节数学发展各个时期简析第二节中国数学的起源与发展第三节数学发展的动力第二章数学概观第一节数学的对象和特征第二节数学的地位第三节辩证唯物主义数学观第四节数学基础论及其简要评介第三章数学研究的一般方法第一节观察与实验第二节划分与比较第三节分析与综合第四节抽象与概括‘第五节特殊与一般第四章数学的逻辑方法第一节逻辑思维的基本形式第二节形式逻辑方法与辩证逻辑方法第三节逻辑推理规则第四节常用逻辑推理方法第五节数学证明与逻辑推理错误剖析第五章几种重要的数学方法第一节模型方法第二节化归方法第三节公理化方法第六章数学思维方法第一节思维及数学思维第二节数学逻辑思维方法第三节数学形象思维方法第四节创造性思维及其培养第七章数学思想方法的教学第一节数学思想方法教学的原理第二节符号化意识的培养第三节化归意识的培养第四节整体化意识的培养第五节帮助学生形成正确的数学观1、方法：就是人们处理某种事物的策略、思路、途径和步骤，解决不同学科的不同问题，需要用不同的方法。
2、方法论：研究各种方法共同规律和原则的学问3、数学方法论：狭义：解决数学问题的方法和手段，包括：数学概念的定义方法、数学的推理和证明方法、数学的计算和解决问题的思想方法等。
广义：还应包括对数学概念、数学理论的概念、数学理论的概念认识，包括对各种数学方法进行分类、整理和总结，从中寻找某些共同的规律，从而使我们能更好地学习数学和运用数学。
更广义：研究数学的发展规律，数学的思想、方法、原则，数学的发现、发明和创新的学科。
4、正确的数学观应该包含如下成分：数学的整体观；数学的价值观；数学的问题观；数学的审美观；数学教学和数学学习观。
第一章数学的起源与发展一、数学发展史1、数学萌芽时期（公元前600年以前）（1）数学的对象：社会生活的农业生产上的实际计算和测量的问题。
数学教育学学科建设三十年：回顾与反思
数学教育学学科建设三十年：回顾与反思吕世虎;曹春艳;叶蓓蓓【摘要】我国数学教育学学科建设始于对“中学数学教材教法”相关问题的探讨，经历了作为一门课程的“数学教育学”、作为系列课程的“数学教育学”及作为学科群的“数学教育学”和“数学教育学”的主题研究繁荣等几个发展阶段，初步形成了具有中国特色的数学教育学学科。
数学教育学是一门涉及数学、教育学、哲学、心理学、文化学、传播学、教育技术学、思维科学等有关内容的新兴交叉学科，在数学教育学的学科建设过程中，通过理论与实践两方面研究，形成了数学教育专门研究人员与一线教师组成的研究团队，发展、完善了有中国特色的数学教育学科体系。
今后，数学教育学学科建设仍需关注理论体系建构、研究团队建设、研究视角拓展等问题。
%Mathematics Pedagogy of China originated from the discussions on “teaching mathematics in middle schools” and has experienced a four- stage development , with each stage’s research theme focused respectively on mathematics pedagogy as a course ,as a series of courses , as a group of disciplines , and as the pedagogy of mathematics . It has developed into a subject with Chinese characteristics . Mathematics pedagogy is a new interdisciplinary field of mathematics , pedagogy , philosophy , psychology , culturology ,communication , educational technology , and the science of thinking . In the developmentof this discipline , research groups composed of both mathematics education researchers and frontline teachers have been formed through theoretical and practical studies , and the system of mathematics pedagogy with Chinese characteristics has been set up . In the future ,more efforts should be made in its theoretical system construction , the research group building , the research perspective expansion .【期刊名称】《当代教育与文化》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】5页(P55-59)【关键词】数学教育学;学科建设;体系建构;回顾;反思【作者】吕世虎;曹春艳;叶蓓蓓【作者单位】西北师范大学教育学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学教育学院，甘肃兰州 730070;广西师范大学教育学院，广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】G650;G420我国数学教育学学科的迅速发展始于新中国成立以后。
中学数学方法论共66页文档
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
中学数学方法论
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
《数学方法论》
《数学方法论》教学大纲数学方法论是关于数学研究的基本方法，是数学研究的基本策略。
数学思想方法是数学教育的重要依据。
通过中学数学思想方法概论的学习，让学生理解观察、实验、类比、归纳、联想、分析、综合、抽象、概括等基本的研究方法，把握数学的逻辑方法、思维方法、模型方法等。
通过这些内容的学习无疑有益于学生数学教育素养的提高。
一、课时总数： 108学时，其中自学52学时，面授56学时。
二、课程内容：第一章数学的起源与发展第一节数学发展各个时期简析第二节中国数学的起源与发展第三节数学发展的动力本章内容要求学生了解数学史的分期,初步掌握数学发展的规律,把握中国数学发展的线索,通过了解九章算术认识中国数学的历史,正确认识数学与世界的关系,正确认识数学。
把握数学发展的动力。
P．60练习题1—15第二章数学概观第一节数学的对象和特征第二节数学的地位第三节辩证唯物主义数学观第四节数学基础论及其简要评价通过本章学习，要求学生了解关于数学的特征的主要观点，把握数学的三大特征，认识数学在科学、自然科学、人类文化中的地位和作用。
形成辩证唯物主义的数学观，能运用辩证唯物观去把握数学、理解数学，了解数学悖论形成的原因，了解逻辑主义、直觉主义、形成主义等数学三大学派的主要观点，并能指出其不足。
P．108 练习题1～11，13，14，15，17第三章数学研究的一般方法第一节观察与实验第二节划分与比较第三节分析与综合第四节抽象与概括第五节特殊与一般通过本章学习,认识观察与实验、划分与比较、分析与综合、抽象与概括、特殊与一般在数学研究中的重要作用，要求学生掌握观察与实验的一般规律,了解概念划分的原则，理解划分的标准，掌握划分的方法；能灵活运用分析与综合方法去解决各种问题，理解抽象与概括的涵义，学会抽象与概括数学概念、原理等；掌握特殊化与一般化解决问题的策略。
P．144 练习题 3～5，6～8， 9，10第四章数学中的逻辑方法第一节逻辑思维的基本形式第二节形式逻辑方法与辩证逻辑方法第三节逻辑推理规则第四节常用的逻辑推理方法第五节数学证明与逻辑推理错误剖析通过本章学习，让学生理解概念、判断和推理是逻辑思维的基本形式，理解概念的内涵与外延的涵义以及概念间的各种关系；认识判断与推理的各种形式，了解形式逻辑与辩证逻辑的关系；掌握命题基本形式以及逻辑等价的涵义，灵活运用逻辑推理规则，掌握正确的逻辑推理方法，理解数学证明的意义，避免逻辑推理中的错误。
2005年数学二试题分析、详解和评注
以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则π=x dy= dx π- .【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xxx x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例2.15】（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。
这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限xx f a x )(lim∞→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】（3）=--⎰1221)2(x xxdx4π. 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt tt tt =.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t ttd【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.130【例4.54】（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为x x xy y x ln 222=+'，即 x x y x ln ][22='，两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln ， 再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=43 . 【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim)()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ =)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k xx x x x ，得.43=k 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.38【例1.62~63】（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。