初一数学平方差公式1
(完整版)[初一数学]乘法公式
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乘法公式一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2要注意等式的特点：（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）．A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2）C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2）解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．例２运用平方差公式计算：（１）（x2－y）（－y－x2）；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．解：（１）（x2－y）（－y－x2）＝（－y ＋x2）（－y－x2）＝(－y)2－（x2）2＝y2－x4；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）＝（a2－32）（a 2＋9）＝（a2－9）（a2＋9）＝a4－81 ．例３计算：（１）54.52－45.52；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．解：（１）54.52－45.52＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)＝100×9＝900 ；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)=(2x2+1)2-(3x)2=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1二、完全平方公式：(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2．二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：（１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a －b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）2＝（－3a）2－2×（－3a）×5 ＋ 5 2＝9a2 ＋ 30a ＋ 25（２）（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2＝（a－b）2 ＋ 2（a－b）c + c2＝a 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2＝a 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ．例２利用完全平方公式进行速算.(1)1012 (2)992解: (1)1012分析:将1012变形为(100+1)2原式可=(100+1)2利用完全平方公式来速算. =1002+2×100×1+12=10201解: (2)992分析:将992变形为(100-1)2原式可=(100-1)2利用完全平方公式来速算. =1002-2×100×1+12=9801例３计算：（１）992－98×100 ；（２）49×51－2 499 ．解：（１）992－98×100＝（100－１）2－98×100＝1002－２×100＋１－9800＝10000 －200－9800＋１＝１；（２）49×51－2499＝（50－1）（50＋１）－2499＝2500－1－2499＝０．例４已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a ＋b)2－4ab．解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10所以a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82 － 2× 10＝ 44(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82 － 4× 10＝ 24 ．三：练习1．利用乘法公式进行计算：(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2 (3)(x-2y+1)(x+2y-1)(4) (2x+3y)2(2x-3y)2 (5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2(6) (x2+x+1)(x2-x+1)解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)=(x4-1)(x4+1)=x8-1.(2)解法1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25)=9x2+12x+4-9x2+30x-25=42x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)] =(6x-3)×7=42x-21.(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2-(2y-1)2=x2-(4y2-4y+1)=x2-4y2+4y-1(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]2=(-x+5)2=x2-10x+25(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x]=(x2+1)2-x2=(x4+2x2+1) -x2=x4+x2+12．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2；(2) a2+b2；解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×3=13(2) a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19.在线测试选择题1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A、(x+1)(1+x)B、( a+b)(b- a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-83．(- x+2y)(- x-2y)的计算结果是（）A、x2-4y2B、4y2- x2C、x2+4y2D、- x2-4y24．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。
初中数学 什么是平方差公式
初中数学什么是平方差公式
平方差公式是初中数学中一个重要的公式，用于计算两个数的平方差。
它的一般形式可以表示为：
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
其中，a和b是任意实数。
平方差公式的推导可以通过展开左边的乘积来得到。
具体步骤如下：
1. 将(a + b)(a - b)展开：
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
= a^2 - ab + ab - b^2
= a^2 - b^2
在这个过程中，我们可以看到中间的两项-ab和ab相互抵消，最终得到了平方差公式的形式。
平方差公式的应用非常广泛，可以帮助我们简化复杂的计算，解决各种数学问题。
一些常见的应用包括：
1. 因式分解：
平方差公式可以用于因式分解，特别是当我们需要将一个差的平方进行因式分解时，可以直接应用平方差公式得到因式分解形式。
2. 简化计算：
平方差公式可以帮助我们简化各种数学计算。
例如，当需要计算一个数的平方与另一个数的平方之差时，可以直接应用平方差公式，避免繁琐的计算步骤。
3. 解方程：
平方差公式可以用于解一些特殊的方程。
例如，当我们需要解一个二次方程时，可以通过平方差公式将其转化为两个一次方程，从而求得方程的解。
总之，平方差公式是初中数学中一个重要的工具，可以帮助我们简化计算，解决各种数学问题。
通过掌握平方差公式，我们可以更好地理解和运用数学知识。
初一到初三数学重点公式
初一到初三数学重点公式初中生学习数学应该熟练掌握基本公式，下面总结了初中数学公式，希望能够帮助大家学习数学。
因式分解常用公式1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。
3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。
4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。
6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。
7、三项完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。
8、三项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。
三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|图形面积公式直棱柱侧面积：S=c*h斜棱柱侧面积：S=c'*h正棱锥侧面积：S=1/2c*h'正棱台侧面积：S=1/2(c+c')h'圆台侧面积：S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积：S=4pi*r2圆柱侧面积：S=c*h=2pi*h圆锥侧面积：S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式：l=a*r.a是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式：s=1/2*l*r锥体体积公式：V=1/3*S*H圆锥体体积公式：V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积：V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式：V=s*h；圆柱体V=pi*r2h。
初中七年级数学平方差公式
●内容全解
1.平方差公式
（1）公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(2)特征：
①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积.
②右边：这两数的平方差.
（3）找a与b的简便方法
由于(a+b)(a-b)可看作(a+b)［a+(-b)］，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b 是互为相反数，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的项(b与-b)的平方.
因此，运用平方差公式进行运算,关键
．．是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反的项作为b.
如(3-m)(3+m)中，“3”与“3”相同，作为a,而“-m”与“m”相反，任选其一作为b,那么
(4)平方差公式中的a和b可以代表一个字母，一个数字或单项式.
注意：当a或b代表单项式时，进行平方时底数一定要打括号.
2.用拼图解释平方差公式
图1-4
左图阴影面积是a2-b2,而右图的阴影部分是长方形，长为(a+b),宽（a-b）,阴影面积为(a+b)(a-b),由于左右两图的阴影部分面积相同，所以a2-b2=(a+b)(a-b),再次验证了平方差公式.。
初中数学公式：平方差公式
初中数学公式：平方差公式表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式：1/（3-4倍根号2）化简：1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2；=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]利用平方差公式求解[解题过程]x^2-y^2=1991(x+y)(x-y)=1991因为1991可以分成1×1991，11×181所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85有时应注意加减的过程。
常见错误平方差公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难以掌握。
三角平方差公式三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式：(sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B)(cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B)这组公式是化积公式的一种，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。
注意事项1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3、公式中的a.b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
例题一，利用公式计算(1)103×97解：(100+3)×(100-3)=（100）^2-（3）^2=100×100-3×3=10000-9=9991(2)(5+6x)(5-6x) 解：5^2-（6x)^2 =25-36x^2。
初一数学平方差公式(1)课件
作业 作业
教材p87习题9.4 4 (5) (6) (7) (8) 5 (2)
用自己的语 言叙述上面 的公式
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等 的“项”和符号相反的“项”; 仅当把两个二 项式的积变成公式标准形式后，才能使用平 方差公式。
原形的两边, 做到不弄错符号、当第一(二)数是 乘积且被平方时 要注意添括号, 是运用平方差 公式进行多项式乘法的关键。
标题
标题
(1)
苏州工业园区 东沙湖学校 李明树
一块边长为a米的正方形实验田， 形成如图所示实验田 因需要将要在实验田一角挖一个边长为 b 米 a 的蓄水池。 用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较.
a
b
想一想
b
探索:
直接法
你发现了么?
a
总面积=
间接法
a2
－
b2
a b
总面积= ab(a -b)2 (a b)(a -b) 2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式
例1 用平方差公式计算: 例题解析 (1) (5x+y)(5x-y) (2) (m+2n)(2n-m)
注意 使用平方差公式与完全平方公式的使用一 样,先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b. 做题时要边念边写： 第一数 的平方, 减去 第二数 的平方.
( x 2 y 5)( x 2 y 5) （ 3）
(1) (2) (3) (4)
(2 x 3)(4 x 9)(2 x 3)
2
( x y 1)( x y 1) (m-2n) (m 2n)
常用初一数学公式汇总
常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝＝na1+ n(n-1)d；（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）n ＝＋1；（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1q－1；（2）sn ＝（q 1）（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：am•an=ak•ai ；（5）am-an=(m-n)d（6）＝q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）根与系数的关系：x1+x2=- ，x1•x2=二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
数学完全平方差公式
数学完全平方差公式一、完全平方差公式的内容。
1. 公式表达式。
- 完全平方差公式为(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2。
2. 公式的推导。
- 我们可以根据乘法分配律来推导这个公式：- (a - b)^2=(a - b)(a - b)- 把(a - b)中的a和-b分别与另一个(a - b)相乘，得到a× a - a× b - b× a+ b×b。
- 整理后就是a^2 - 2ab + b^2。
二、完全平方差公式的特点。
1. 结构特点。
- 公式左边是一个二项式(a - b)的平方形式。
- 公式右边是一个三项式，第一项a^2是左边二项式中a的平方，第三项b^2是左边二项式中b的平方，中间项- 2ab是a与b乘积的2倍且符号为负。
2. 与完全平方和公式的对比。
- 完全平方和公式为(a + b)^2=a^2+2ab + b^2。
- 完全平方差公式与完全平方和公式的区别就在于中间项的符号，完全平方和公式中间项符号为正，完全平方差公式中间项符号为负。
三、完全平方差公式的应用。
1. 直接应用公式计算。
- 例如计算(3 - 2x)^2。
- 这里a = 3，b=2x，根据完全平方差公式(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2，可得： - (3 - 2x)^2 = 3^2-2×3×2x+(2x)^2=9 - 12x+4x^2。
2. 用于简便计算。
- 例如计算99^2，我们可以把99写成(100 - 1)。
- 那么99^2=(100 - 1)^2。
- 根据完全平方差公式，(100 - 1)^2 = 100^2-2×100×1 + 1^2=10000 - 200+1 = 9801。
3. 在因式分解中的应用。
- 反过来，a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2可以用于因式分解。
- 例如对x^2 - 6x + 9进行因式分解。
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平方差公式导学案
学习目标：
1、会推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征。
2、能够运用平方差公式进行整式乘法的运算。
学习重点：
理解平方差公式的结构特征，会运用公式进行运算。
学习难点：
平方差公式的灵活运用。
学习过程;
一、复习旧知，感知新知。
1、多项式与多项式相乘
2、根据多项式乘多项式的法则进行计算：
(1)、（x+2）（x-2）; (2)、（1+3a）(1-3a) ; (3)、（x+5y）（x-5y）;
二、小组合作，探究新知。
1、观察以上各式，它们的两个因式有什么特点？
2、它们的运算结果与两个因式之间又有什么关系？同伴之间相互说一说。
3、再举两个例子说明你的发现。
4、因此，（a+b）（a-b）= 这个公式叫做。
用文字语言叙述。
三、自主探究
例1：运用平方差公式计算
（1）()()2
3
2
3-
+x
x
（2）
()()b
a
a
b-
+2
2
（3）
()()y
x
y
x2
2-
-
+
-
四、展示自我，运用新知。
1、下列各式哪些可以运用平方差公式计算。
A、（a+b）（a-b）
B、（x+y）（-y+x）
C、（ab-3x）（-3x-ab）
D、（-m-n）（m+n）
2、运用公式进行计算。
（1）、（3x+2）（3x-2）（2）、（b+2a）（2a-b）
（3）、（-x+2y）（-x-2y）（4）、（-2m-n）（2m-n）
3、填空。
（1）、（3+2a）（3-2a）= （2）、（4a-1）（）=16a2-1 （3）、（2x+ ）（-3y）=4x2-9y2（4）、（）（x-1）=1-x2
4、
（1）（a-b）（a+b）（a2+b2）(2)（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（3x-2）
（3）()()b
a
a
b-
+2
2
（4）
()()y
x
y
x2
2-
-
+
-
五、达标测试
1、选择题
(1)下列各式，可以利用平方差公式计算的是（）
A （a-nb）（nb-a）B（-1-a）（a+1）
C （-m+n）（-m-n）D（ax+b）（a-bx）
(2)、（m2-n2）-（m+n）（m-n）等于（）
A -2n2
B 0
C 2m2D2m2-2n2
2、计算:
（1）（a+3b）（a-3b）（2）（3+2a）（-3+2a）
（3）498 ×502 （4）（3x+1）（3x-1）+5x(x+1)
七、课后选做
先化简，再求值
（2x-y）（y+2x）-（2y+x）（2y-x）,其中x=1, y=2。
教后记。