北师大版七年级数学下册1.7 平方差公式 教案
北师大版数学七年级下册《平方差公式的认识》教案
北师大版数学七年级下册《平方差公式的认识》教案一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册的教学内容，本节课是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
平方差公式是代数中的一个重要公式，它不仅有助于解决一些实际问题，而且是学习更高阶数学的基础。
二. 学情分析学生在六、七年级时已经学习了有理数的乘法和完全平方公式，对于代数式的运算和公式的应用已经有了一定的基础。
但是，对于平方差公式的推导和理解可能还存在一定的困难，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方差公式的推导过程和应用。
2.过程与方法：培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导和应用。
2.难点：平方差公式的灵活运用和推导过程的理解。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“一块长方形的地毯，长是10米，宽是8米，如果将地毯对折，那么对折后的地毯面积是多少？”让学生思考并讨论，引发学生对平方差公式的兴趣。
2.呈现（15分钟）通过PPT展示平方差公式的推导过程，引导学生理解和记忆平方差公式的推导过程。
3.操练（20分钟）让学生通过PPT上的练习题进行自主学习和练习，教师进行个别辅导，帮助学生掌握平方差公式的应用。
4.巩固（15分钟）通过小组合作学习，让学生解决一些实际问题，巩固平方差公式的应用。
例如，让学生计算一个长方形对折后的面积，或者计算一个正方形旋转后的面积等。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：平方差公式还可以用于解决哪些问题？让学生自由发挥，提出一些应用实例，拓展学生的思维。
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.1《平方差公式》
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.1《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的第二章第三节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
平方差公式是代数中的一个重要公式，它不仅涉及到平方差公式的推导，还涉及到平方差公式的应用，以及在此基础上进一步推导出完全平方公式的过程。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，具备了一定的代数运算能力。
但是，对于平方差公式的推导过程，以及如何灵活运用平方差公式解决实际问题，对学生来说还是有一定的挑战性的。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生积极参与，突破重难点。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平方差公式的推导过程，理解平方差公式的含义，能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的合作意识，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程，以及平方差公式的应用。
2.难点：平方差公式的灵活运用，以及在此基础上推导出完全平方公式。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究，发现规律。
2.运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
3.通过实例讲解，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括平方差公式的推导过程、应用实例等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生复习有理数的乘法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）呈现平方差公式的推导过程，引导学生观察、分析，发现其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些平方差公式的练习题，巩固所学知识。
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是初中学历阶段非常重要的一个公式，它不仅在数学计算中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解、有理数运算等概念有一定的了解。
但学生在学习新知识时，往往还依赖于死记硬背，对于公式的推导和证明过程缺乏理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生主动探索，理解平方差公式的推导过程，提高学生的逻辑思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程，理解并熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过合作交流、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和运用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及理解公式背后的数学思想。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、探究学习法等，引导学生主动探索，提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：笔记本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
例如，一块正方形的土地，如果每边减少3米，新的土地面积是多少？让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）引导学生列出正方形土地面积的计算公式，然后展示平方差公式的推导过程。
通过示例，让学生理解平方差公式的含义，并学会如何运用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些关于平方差公式的练习题，巩固所学知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生掌握平方差公式的运用。
北师大版数学七年级下册《平方差公式的认识》说课稿
北师大版数学七年级下册《平方差公式的认识》说课稿一. 教材分析北师大版数学七年级下册《平方差公式的认识》这一节的内容，主要让学生了解平方差公式的概念，并能运用平方差公式进行简单的计算。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅在代数计算中有着广泛的应用，而且为学生以后学习平方根、完全平方公式等知识奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了有理数的乘法、乘方等基础知识，但对平方差公式可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要结合学生的实际情况，从他们的已有知识出发，循序渐进地引导他们学习平方差公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的概念，能运用平方差公式进行简单的计算。
2.过程与方法目标：通过观察、探讨、归纳等方法，让学生自主发现平方差公式的规律，培养学生的探究能力和合作精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于挑战的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的概念及其应用。
2.教学难点：平方差公式的推导过程和灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，让学生在解决实际问题的过程中，自主发现平方差公式的规律。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合小组讨论、个人思考等形式，进行教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入平方差公式的学习。
2.自主探究：让学生分组讨论，观察、分析、归纳平方差公式的规律。
3.公式推导：引导学生从已有知识出发，推导出平方差公式。
4.例题讲解：运用平方差公式解决一些实际问题，让学生加深对公式的理解。
5.巩固练习：布置一些练习题，让学生独立完成，检验他们对平方差公式的掌握程度。
6.总结拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生发现平方差公式与其他数学知识之间的联系。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出平方差公式的核心内容。
北师大版七年级数学下册1.7 平方差公式 教案
1.7 平方差公式(一)教学目标：1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算； 3．了解平方差公式的几何背景。
教学重点：1．弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； 2．会用平方差公式进行运算。
教学难点：会用平方差公式进行运算 教学方法：探索讨论、归纳总结。
教学过程：一、发现特征、探索规律活动内容：我们已经学过了多项式的乘法，出示题目，看谁算得快：(1) (x+2)(x －2) (2) (1+3a)(1－3a) (3) (x+5y)(x －5y) (4) (－m+n)(－m －n)提出问题：你们能发现什么规律？ 在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算。
以后经常遇到(a+b)(a －b)这种乘法，所以把(a+b)(a －b)＝a 2－b 2作为公式，叫做乘法的平方差公式。
在此基础上，让学生用语言叙述公式，总结公式结构特征：(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。
(3) 公式中的 a 和b 可以代表数，也可以是代数式．二、运用知识，解决问题活动内容：（1）直接运用新知，解决第一层次问题。
例1计算：①(2x +3 ) (2x –3) ②(2 a +3b ) (2 a –3b) ③（– 1 + 2a ） (– 1 – 2a) （2）间接运用新知，解决第二层次问题。
例2计算：①(–2x +3 ) (3+2x) ②(3b+2a) (2 a –3 b) 例3计算：(－4a －1)(－4a+1)例4 计算：(1)(x ＋y －z)(x ＋y ＋z)； (2)(a －b ＋c)(a ＋b ＋c)．三、巩固练习、体验成功活动内容：1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算（1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+ （3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +-- 2、判断：（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （ ） （3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ） （4）()()22422y x y x y x -=+---（ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）3、计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22 （3）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 21312131 （4）()()x x 2525-+- （5）()()233222-+aa （6）()()33221221--+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x4、填空：（1）()()=-+y x y x 3232 （2）()()116142-=-aa（3）()949137122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ab（4）()()229432y x y x -=-+提高练习：1、求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x2、计算：（1）()()c b a c b a --+-（2）()()()()()42212122224++---+-x x x x x x3、若的值。
平方差公式说课稿
平方差公式说课稿七年级数学下册平方差公式说课稿(第一课时)XXX：XXX本节课我说课的内容是北师大版七年级数学下册第一章第五节《平方差公式》第一课时。
根据新课标的理念以及材的目标要求，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教法分析，学法指导，教学程序及板书设计这五个方面来加以说明。
一、教材分析1.教材地位和作用“平方差公式”这一内容是在学生研究了多项式乘法的基础上，把具有特殊形式的多项式相乘的式子与其结果写成公式形式。
故属于数学再创造活动的结果。
它在整式乘法、因式分解、分式化简及其它代数式的变形中无处不在，起着十分重要的作用。
根据上述教材的地位和作用的分析，考虑到七年级学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标。
⑴知识与技能目标①经历探索平方差公式的过程；熟记平方差公式；②能说出平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行简单运算；（2）数学思想让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用，并在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维，从而提高学生灵活运用公式的能力。
（3）解决问题通过研究平方差公式，培养学生理解公式并用公式解题的能力。
（4）情感态度通过课前自主探究活动以及课堂上的多种形式的合作交流，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高研究热情。
3、教材重点难点：本课的教学重点：平方差公式的理解；1本课的教学难点：平方差公式结构特点及灵活应用;本课的教学关键：认清结构，找准a,b对应项;二、教法分析运用教学方法：以导学案引领学生的研究，其中导学案中首要包括：课前自主研究的指导、探讨、合作、点拔、评价、总结、进步我在以学生为主体的原则下，基于本节课的特点和我们学校正在试行的六环节导学案的教学模式，我采用“先学后教，即当堂训练”即先指导学生课前进行自主研究，再根据学生课前所学的效果来确定本节课要解决的问题的教学方法。
即：根据导学案的设计，开课时先由教师进行课前研究也就是预的检测，根据对预效果的检测，提出问题，让学生在小组内的进行合作交流，解决在这一环节中不能通过课前自主研究而完成的问题。
《平方差公式》
《平方差公式》一、教材依据“平方差公式”是北师大版《数学(七年级下册)》第一章第7节的教学内容。
二、设计思想(一)、指导思想:《新课标》明确指出:“经历知识的形成与应用的过程,将有利于学生更好的理解数学、应用数学,增强学好数学的信心”,因此本节课的教学设计力求体现《标准》的基本理念,以实现《标准》的课程目标为最高宗旨。
教学内容的设计以符合学生的认知特征和数学发展规律为主要依据,安排呈现数学学习内容:为学生有效地从事自主探索与合作交流的数学学习创造必要的条件;为有特殊数学学习需求的学生提供进一步学习的途径。
(二)、设计理念结合教材结构与内容的分析,考虑到学生已有的认知结构和心理特征。
为了体现以学生发展为本,遵循学生的认知规律,体现循序渐进与启发式的教学原则。
因此,在本课的课堂结构设计中,:我的“教”主要体现在——在引导学生的“学”方面则体现在我是紧紧围绕着这两条主线进行教学环节的设计和组织教学的。
并具体设计了以下教学流程:设计意图是:让学生从操作活动中发现公式的几何背景,同时也利用多项式的乘法,探索归纳出平方差公式,这样不仅能够理解、归纳平方差公式的特点,充分感受到数学演绎的过程和数形结合的思想,学会进行有条理的表达。
而且使教法、学法和谐统一,形成由感性到理性、由抽象到具体的认知过程,促进学生知识技能的发展。
1、教学方法:学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者和合作者,因此采用启发式和探究式相结合的教学方法。
一方面启发、引导学生积极地思考并对学生的思维进行调控,帮助学生优化思维过程;另一方面在整个数学过程中加强学法指导。
指导学生深刻思考,细心观察,养成认真思考、细心观察的好习惯。
2、教学手段:利用多媒体等教学手段帮助学生突破重难点,同时也提高了教学效率,节省时间,激发学生的学习兴趣。
3、学法分析有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆,教师应引导学生主动地从事观察、猜想、验证、推理等数学活动。
七年级数学下册 平方差公式教案第1课时 北师大版
平方差公式教学设计第（一）课时教学设计思想：本节内容分两课时讲授；首先通过练习让学生探索发现平方差公式，再从计算面积入手，要求学生找出不同的计算方法，通过交流，得出了两种方法，继而通过观察发现了面积的求法与乘法公式之间的吻合，总结规律，这样的课堂设计不仅能激发学生学习兴趣，同时也激活了学生的思维.一、教学目标(一)知识与技能1.熟记平方差公式.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力目标1.在探索平方差公式的过程中，发展符号感和推理能力.2.培养观察、归纳、概括等能力.(三)情感目标在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.二、教学重难点（一）教学重点平方差公式的推导和应用.（二）教学难点用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.三、教具准备幻灯片.四、教学方法探索与讲练相结合.五、教学安排两课时.六、教学过程Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律［师］做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？ ［生］可以.上述规律用符号表示为： (a+b)(a －b)=a 2－b 2①其中a,b 可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即 (a+b)(a －b)=a 2－ab+ab －b 2=a 2－b2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(a －b)=a 2－b 2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a －b)=a 2－b 2叫做平方差公式. ［师］大家同意吗？ ［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？ ［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x)B.(21a+b)(b －21a) C.(－a+b)(a －b) D.(x 2－y)(x+y 2) E.(－a －b)(a －b)F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)(2)利用平方差公式计算： (5+6x)(5－6x);(x －2y)(x+2y); (－m+n)(－m －n).［生］(1)中只有B 、E 、F 能用平方差公式.因为B.(21a+b)(b －21a)利用加法交换律可得(21a+b)(b －21a)=(b+21a)(b －21a),表示b 与21a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a －b)(a －b),同样可利用加法交换律得(－a －b)(a －b)=(－b －a)(－b+a),表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)利用加法和乘法交换律得(c 2－d 2)(d 2+c 2)=(c 2+d 2)(c 2－d 2)，表示c 2与d 2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A 、C 、D 不能用平方差公式呢？［生］A 、C 、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式. ［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x 这两个数的和与差的形式；(x －2y)(x+2y)是x 与2y 这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m －n)是－m 与n 这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式. ［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x 2; (x －2y)(x+2y)=x 2－(2y)2=x 2－4y 2; (－m+n)(－m －n)=(－m)2－n 2=m 2－n 2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题. ［例2］利用平方差公式计算： (1)(－41x －y)(－41x+y); (2)(ab+8)(ab －8); (3)(m+n)(m －n)+3n 2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－41x －y)(－41x+y)——(－41x)与y 的和与差的积=(－41x)2－y 2——利用平方差公式得(－41x)与y 的平方差=161x 2－y 2——运算至最后结果 (2)(ab+8)(ab －8)——ab 与8的和与差的积 =(ab)2－82——利用平方差公式得ab 与8的平方差 =a 2b 2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m －n)+3n 2——据运算顺序先计算m 与n 的和与差的积 =(m 2－n 2)+3n 2——利用平方差公式 =m 2－n 2+3n 2——去括号=m2+2n2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.教师引导学生练习：参看课件——平方差公式（一）1.计算：(1)(a+2)(a－2);(2)(3a+2b)(3a－2b);(3)(－x+1)(－x－1);(4)(－4k+3)(－4k－3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)Ⅳ.课时小结［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.Ⅴ.课后作业课本P30，习题1.11，第1题.Ⅵ.活动与探究有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，……用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,为什么？经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即x i+y i=9(其中i=1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.［结果］由题意知x i+y i=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)=9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］=0所以，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.七、板书设计§1.7.1 平方差公式(一)解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4;(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2;(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2;(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.(a+b)(a－b)=a2－b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2.例1.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算)例2.(对公式中a、b含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数)随堂练习(熟悉平方差公式).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.7 平方差公式(一)
教学目标：1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算；
3．了解平方差公式的几何背景。
教学重点：1．弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；
2．会用平方差公式进行运算。
教学难点：会用平方差公式进行运算
教学方法：探索讨论、归纳总结。
教学过程：
一、发现特征、探索规律
活动内容：我们已经学过了多项式的乘法，出示题目，看谁算得快：
(1) (x+2)(x －2) (2) (1+3a)(1－3a) (3) (x+5y)(x －5y) (4) (－m+n)(－m －n)
提出问题：你们能发现什么规律？
在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算。
以后经常遇到(a+b)(a －b)这种乘法，所以把(a+b)(a －b)＝a 2－b 2作为公式，叫做乘法的平方差公式。
在此基础上，让学生用语言叙述公式，总结公式结构特征：(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。
(3) 公式中的 a 和b 可以代表数，也可以是代数式．
二、运用知识，解决问题
活动内容：（1）直接运用新知，解决第一层次问题。
例1计算：①(2x +3 ) (2x –3) ②(2 a +3b ) (2 a –3b) ③（– 1 + 2a ） (– 1 – 2a)
（2）间接运用新知，解决第二层次问题。
例2计算：①(–2x +3 ) (3+2x) ②(3b+2a) (2 a –3 b)
例3计算：(－4a －1)(－4a+1)
例4 计算：(1)(x ＋y －z)(x ＋y ＋z)； (2)(a －b ＋c)(a ＋b ＋c)．
三、巩固练习、体验成功
活动内容：
1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算
（1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+
（3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +--
2、判断：
（1）()()2
2422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x （ ） （3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ） （4）()()22422y x y x y x -=+---（ ）
（5）()()6322
-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）
3、计算下列各式：
（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22
（3）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 21312131
（4）()()x x 2525-+- （5）()()233222-+a a （6）()()33221221--+-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x 4、填空：
（1）()()=-+y x y x 3232
（2）()()116142-=-a a
（3）()9491371
2
2-=⎪⎭⎫
⎝⎛
-b a ab
（4）()()229432y x y x -=-+
提高练习：
1、求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x
2、计算：（1）()()c b a c b a --+-
（2）()()()()()42212122224++---+-x x x x x x
3、若的值。
求y x y x y x ,,6,1222=+=-
五、归纳总结，形成知识网络
活动内容：
小结：1． 叙述公式
2．公式中的字母可以代表什么？（数字、单项式、多项式）
只要习题符合平方差公式的结构，都可应用其计算。
六、布置作业
教学反思
1.7 平方差公式(二) 教学目标：1．在进一步体会平方差公式的意义时，发展学生的符号感、推理能力和有条
理的表达能力。
2．通过拼图游戏，了解平方差公式的几何背景。
教学重点：公式的应用及推广
教学方法：引导探索研究发现法、主动探索研究发现法
教学过程：
一、复习回顾
活动内容：1．提问平方差公式的内容
2．判断正误：
(1)（a+5）(a －5)=52-a (2) (3x+2)(3x －2)=2
223-x
(3) (a －2b)(－a －2b)=224b a - (4) (100+2)(100－2)=222100-=9996 (5)(2a+b)(2a －b)=2
24b a -
提问：⑴两个二项式相乘，因式要具备什么特征时，积才会是二项式？
(当因式是两个数的和与这两个数的差相乘时，积是二项式。
)
⑵为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是二项式？而它们的积又有什么特征？ (这是因为具备这样特征的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。
而它们的积等于因式中这两个数的平方差。
) 二、拼图游戏，验证公式
活动内容：如左图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
1．请表示图中阴影（紫色）部分的面积。
2．小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
图1 a 2－b 2
图2 (a+b)(a －b) 3．比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗?
∴ a 2－b 2 = (a+b)(a －b) 4．(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；
(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异．
三、巩固深化，拓展思维
活动内容：例1 运用平方差公式计算
(1)( )( )( ) (2)( )( )( )
例2 运用平方差公式计算
（1）(200+1)(200－1) （2）102×98 （3）203×197 （4）7
6197120⨯ 四、感受问题，体验成功
活动内容：
1．计算：
222))(()1(b a b a b a a +-+ )32(2)52)(52)(2(--+-x x x x 2．填空：(1) a 2－4＝(a+2)( ) (2)25－ x 2＝(5－x)( ) (3)m 2－ n 2＝
( )( )
思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积？
(某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积)
3．判断
（1）(a+b)(－a －b)=a 2－b 2
(2) 计算： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a 21b 31b 31a 2
1 2
2a 41b 31a 21b 31a 21b 3
1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=原式 五、课堂小结
六、布置作业：习题1.12
教学反思
________
)1)(1(1
)1)(1(1
)1)(1(1
)1)(1(.41423322=++++--=+++--=++--=+--x x x x x x x x x x x x x x x x n n 根据前面的规律可得：
观察下列各式：。