巧用矩阵特征值证明矩阵不等式
关于M-矩阵最小特征值的几个不等式
证 明 因为
伉一ｍ ｌ ｎ｛
ｉ ≤ｎ Ｉ ≤０ ｃ — ｍ ｉ ｎ
，
ｔ Ｉ■
，
ｆ ． ＝ — ｍ ｉ ｎ ｛
＝ａ— ｍｉ ｎ
．
、 ｊ
●，‘
≤
．
、
【
ｒ● ●Ｊ
ｏ
（
、
ｍ ｉ ｎ １ ￣
≤
、ｌ●●●●●●●
，Ｊ ●●●●』
） ，称 若 ，ｃ是非奇异
的 逆矩阵 Ｃ ＝ （ ｛ ｊ ） ∈ 露 ≥０ ， 分裂为 Ｃ 一＝ ｃ ． 一 ＿ １ ， Ｅ ｃ ． １ ＝ ｄ ｉ ａ ｇ （
矩阵 ，Ｆ ｉ ｅ ｄ ｌ ｅ ｒ Ｍ证明了Ａｏ Ｃ 也是非奇异 的
， 、 １ ／ 、 １
， …，
ｌ ｌ ／ ｉ ｌ ／
引理 ２ 【 ２ Ｊ设 Ａ 是不 可约
６ ｃ — ｍａ ｘ｛
矩 阵 。则
， ・≤ ≤ ， ｚ
｝ ≤ ｇ ≤ 一 ｍ ｉ ｎ ｛
，
１ ≤ｆ ≤， ２ ｝ ，
其 中 ａ ＝ ｍ ｉ ｎ ｉ ￣ Ｎ ａ ｉ ， ＝ （ ６
２ 主 要 结 果
１ 预 备 知 识
记Ｃ 一 ｎ Ｘ ｎ ） 表示 ｎ × ｎ阶复 （ 实） 矩阵集 ，Ｎ －｛ １ ， ２ ， …， ） 表示 自然数集。
设 Ａ＝ （ 口 ， ） Ｅ Ｒ ， １ ） 若 ≥０ ， 则称 Ａ为非负 矩阵 （ ≥０ ） ；２ ） 若ａ ≤０ ， ｉ ≠Ｊ ， 则称 为ｚ矩阵；
令ｑ （ Ａ ） ＝ ｍ ｉ ｎ ｛ Ｒ ｅ （ ２ ） ， ： ∈ ） ）， 盯 ） 是 ｚ矩阵 Ａ的特征值的集合。
关于矩阵特征重数的一个不等式
关于矩阵特征重数的一个不等式
矩阵特征重数是一种复杂但重要的概念，在线性代数和数学统计学中，其了解和操作有助于解决复杂的任务。
矩阵特征重数可以理解为多维数据集中每个元素的影响程度。
矩阵特征重数被广泛地应用于各种领域，比如机器学习、信号处理和计算机视觉，表征的意义相对传统的特征，特别是具有高维特征的数据，更具有揭示意义。
根据矩阵特征重数的定义，通常我们会得到一个不等式，即矩阵的特征重数的和等于矩阵的阶数。
矩阵的特征重数也叫特征值，它等于矩阵与它自身的乘积的Trace （即矩阵的对角线元素之和）。
对任意 n阶矩阵A，有 A*At = Trace(A)，其中At表示A的转置矩阵，Trace（A）代表矩阵A的特征重数之和。
另外，正定矩阵的特征重数即其特征值都大于0。
因此，如果我们假设矩阵A是正定矩阵，我们就可以得出一个不等式：Trace(A)>0 。
因此，如果特征重数的绝对值和大于矩阵的阶数的话，就必须存在特征值的绝对值大于0。
总而言之，关于矩阵特征重数的一个不等式可以总结为：如果矩阵A是正定矩阵，则有 Trace(A) > 0，并且特征重数的绝对值之和大于矩阵的阶数n。
schur不等式 矩阵证明
schur不等式矩阵证明Schur不等式是著名的非凸无约束优化问题的一类经典算法，是比较有名的一种矩阵不等式。
Schur不等式本身就是常见的矩阵不等式，又称Schur-Hadamard不等式，换句话说就是某类矩阵相乘，每个元素的乘积大于或等于每个矩阵中各元素的乘积之和。
它可以说是一类矩阵不等式，用通俗的话来说就是联合不等式，要求满足所有元素的乘积能够大于等于所有元素之间的乘积之和，这是Schur不等式的基本形式。
一.Schur不等式的定义Schur不等式又称Schur-Hadamard不等式，它指的是某类矩阵相乘，每个元素的乘积大于或等于每个矩阵中各元素的乘积之和，例如：若A, B为m×n矩阵，那么Schur不等式可以用下式表示：$$(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij})(\sum\limits_{i=1} ^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ij})\leq\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{ij}b_{ij})$$二.Schur不等式的证明证明Schur不等式的时候，我们可以首先用抽象的数学话来介绍，从数学的角度来解释这个不等式。
1.首先，Schur不等式本质上是一个定性的不等式，它的基本原理就是一组矩阵相乘，每个元素的乘积大于或等于每个矩阵中各元素的乘积之和，而这个不等式可以由另一种方式来证明，其公式为：$$det(A)det(B)\leq det(AB)$$2.其次，再来看Schur不等式的正式定义，及它的证明方法：若A,B 为m×n矩阵，那么我们可以用下式表示：$$(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij})(\sum\limits_{i=1} ^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ij})\leq\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{ij}b_{ij})$$其中a_ij和b_ij表示A或B的第i行第j列的元素，接下来我们要看它的证明：（1）由初等变换的定义，若A为任意矩阵，则它的行变换、列变换和元素的变换均不会影响A的行列式值。
四元数矩阵特征值的几个不等式
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ４ １２ ． Ａｐ ．， ０ ｒ ２ ０８
四元 数 矩 阵特 征值 的 几个 不 等 式
陈 湘赘
（ 盐城 工学 院 基础 教学 部 ， 苏 盐城 ２４０ ） 江 ２０３
摘
要 ： 究 四元数体 上矩 阵 的特征值 估 计 问题 ， 到 了四元数 方 阵特征 值 的估 计 定理 ， 研 得 在估 计 定
∑ｕｕ ＝∑Ｎ（ｉ Ｕ）＝１（ ，， ｎ ， ｊ ， ＝１２…，）
ｉ １ ＝ ｉ ｌ ＝
∑ ｕ ＝∑ Ｎ（ｉ ｕ ｕ）＝１（ ＝１２…，） ｊ ，ｉ ，， ｎ ，
由 四元数 矩 阵乘法 ， 我们 可 以由计 算得
（ Ａ）＝Ｔ （ Ａ ） ｒＵ Ｕ ．
定理 ２ 设 Ａ＝（ ∈Ｈ ， 果 Ａ （ ＝１２， ，） ４的任 意 一个特 征值 ， 么 ａ） 如 ｉ ， … ｎ 是 那
定义３ 设Ａ ∈
， 称∑口 为矩阵Ａ的迹， （）即Ｔ（）＝∑ 口 记为 Ａ ， ｒＡ
ｎ ｚＮ（ 一口 ） （ ＝１ ２ … ， ） ＝｛ Ｉ ｚ ≤尺 ｝ ｉ ， ， ｎ ．
引理 １。 Ｌｔ ｅ Ａ∈Ｑ 如果 Ａ是 Ａ＝（ ／ 的一个 特征 值 ， 么它 必定 位于下 列盖 尔球 中的一 个 ， ａ） ｊ 那
Ａ
其 中 ， ，Ａ …Ａ Ａ ， ， ∈Ｃ 因此 ．
（ Ａ ）＝∑Ａ Ｕ
由定 理 １ 我们 有 ，
（ ） ＝ Ｔ （ ） Ａ ｒ Ｕ ＡＵ ，
维普资讯
第 ４期
于是
陈湘 赞 ： 四元数 矩 阵特征 值 的几 个不 等式
其中Ｒ ＝∑ （ ． 口）
｛ 主
收稿 日期 ： ０ ８— １ ４ ２ ０ ０ —０ 作者 简介 ： 陈湘贽 （９ ２ ） 女 ， １７一 ， 江苏盐城人 ， 盐城工学院基础教学部讲师 ， 士 ， 硕 主要研究方向 ： 应用数学
矩阵不等式
如果A按行严格对角占优，则
(5.1.5)
且当ars=0(s>r)时，式(5.1.5)中等号成立。
证明：由于A按对角占优，所以det(A)0.
考虑方程组
因为A按行对角占优，因此A1也按行对角占优。
从而A1可逆。上述线性方程组有唯一解
x(1)=(2,…,n)T.
可以证明|k|=max {|2|,…,|n|} <1,
则|yHBy| .
定理5.2设ACn×n，则A的任一特征值 满足
| | ||A||
(5.1.3)
(5.1.4)
推论:Hermite矩阵的特征值都是实数;
反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数。
事实上，当A为Hermite矩阵时，由式（5.1.4）
知Im( )=0,即 为实数；
当A为反Hermite矩阵时，由式（5.1.3）知
4). |xTBy|=| |
而 (xTx)1/2(yTy)1/2
由此可以有||(1/2)
思考题：对于(1)式，利用定理特征值都是实数。
事实上，当A这实对称矩阵时，M=0.
由定理5.1可得Im( )=0,即 为实数。
引理1设BCn×n,列向量yCn满足||y||2=1,
易证明||x||1||y||/((||x||2)2+(||y||2)2) /2.
(显然，不妨假设(||x||2)2+(||y||2)2=1,
设||y||=t=cos(),则y必为tej的形式（为什么？），
从而极值转化为求解如下最大值问题：
max||x||1,满足约束(||x||2)2=1t2
这样有均值不等式||x||1 ||x||2= (1t2)1/2,
矩阵在不等式证明中的妙用
（ 湖南工业大学 师院校 区 数学 与计算机科学系，湖南 株洲 ４ ２ ０ １０ ７）
摘 要 ：矩 阵是 一种重要 的数 学方法 ，在数 学领域 有其独特 的作用 。根据 正定 实对称矩 阵的一个重要 不等
式及 均值 不等式在 矩阵方 面的一 个重要性 质 ，对 国际数 学竞 赛和 不 同书刊 中有 关不等 式进行探 讨 。通 过对 比 ，
贝 Ｇ ａ，２… ， ≤Ａ口， ２…， ｎ， （１ ， ａ） （ｌ ， ａ） ａ ａ
当且仅 当 ａ＝ ２ …＝ １ ＝ ａ 时等号成立。 均值不 等式 的推广 ：设 ｎ ｋ阶非 负实数矩阵 ，各 ×
设 Ａ，曰为 ，阶正定矩阵 ， ， ＞ ｌ ０，则
＋ ｌｌ ｈ ＋ Ｂ ， ￣ ＝ Ａ ｌ ［ Ｂ Ｉ ａ ：
１ 预 备 知 识
１ １ 矩 阵不 等式 ．
（ｌ ， ） 口， …， ：
， 。 ａｎ
，
方 献亚在 １ ８ 年第 ３期 《 ９５ 数学通报 ） ｌ Ｉ＂ ｌ 正定实对 称 矩阵的几个不 等式”一 文 中，用数学归 纳法证 明了
以下不等 式 ：
昙 ’
（ ３）
Ａｂｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｍ ａｒｘ ａ ｎｉ ｏ ｔｎ ａｈ ｍ ａ ｃ ｌ ａ ｓ ｐ ａ ｓａｕ ｉ ｕ ｌ ａｉ ｕ ｅｄ ｆｍａｈ ｍａ ｃ ． ｅｂ ｓｓ ｔ ， ｓａ ｉ ｍｐ ｒａ ｔ ｔｅ ｔ ａ ｎ ， ｌｙ ｎ ｑ ｅｒ ｅｉ ｖ ｒｏ ｓｆ ｌ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｏｎｔ ａ ｉ ｍ ｉ ｍｅ ｏ ｎ ｉ ｏ ｉ ｈ ｏ ｍ ｐ ｒａ ｔ ｎ ｑ ａｉ ｆ ｓｔｖ ｅ ｎ ｔ ｅ ｙ ｆａ ｉ ｏ ｔ ｅ ｕ ｌｔ ｏ ｉｉｅｄ ｆ ｉｅｒ ａ ｓ ｍｍ ｅ ｒ ａｒｃ ｓａ ｄａｋ ｙ ｆ ａｕ ｅｏ ｅ ｎ ｉ ｅ ｕ ｌｔ ｎｍ ａｒｘ， ｏ ｅ ｎ ｎ ｉ ｙ ｏ ｐ ｉ ｌ ｔｉ ｍ ｔ ｅ ｃ ｉ ｎ ｅ ｅ ｔｒ ｆｍ ａ ｎ ｑ ａｉ ｉ ｔｉ ．ｓ ｍ ｙ
矩阵特征值 范数不等式
矩阵特征值范数不等式哎呀，说起来我之前在大学学数学的时候，有一次和同学一起讨论矩阵特征值和范数不等式的问题，那场面真是“热火朝天”，可把我们给难住了。
不过现在回过头来看，这玩意儿还挺有意思的。
先来说说矩阵特征值吧。
矩阵特征值呢，简单来说就是一个矩阵经过某种特定的变换后，方向不变的向量所对应的那个数值。
它的形成就像是一场神秘的“数字配对游戏”。
比如说，一个矩阵就像一个有特定规则的“数字迷宫”，而特征值就是能帮我们找到在这个迷宫中走得顺畅的那些关键数字。
它的作用可不小。
在实际中，如果我们要研究一个系统的稳定性，比如一个物理系统或者经济模型，特征值就能告诉我们这个系统是不是稳定的。
就像一辆车，特征值能帮我们判断它行驶得稳不稳。
表现呢，比如在图像处理中，特征值可以帮助我们提取图像的关键信息，让图像变得更清晰或者更容易识别。
但是，它也不是完美无缺的。
优点是它能够简化复杂的矩阵运算，让我们更容易理解和处理一些问题。
但缺点就是，计算特征值有时候可不是一件轻松的事儿，特别是对于大型矩阵，那计算量能让人头疼。
再来说说范数不等式。
范数不等式就像是给矩阵穿上了一件“尺码合适的衣服”，让我们能更好地衡量和比较矩阵的大小和差异。
它的出现是为了给矩阵的度量提供一个更规范和统一的标准。
它的作用在于，能帮助我们在数学分析和证明中更精确地控制误差和估计范围。
比如说，在解决一些优化问题时，范数不等式就能帮我们找到最优解的范围。
实际表现就像在工程计算中，通过范数不等式来保证计算结果的精度和可靠性。
不过，它也有局限性。
有时候范数不等式的条件比较苛刻，不太容易满足，这可能会给实际应用带来一些麻烦。
这两个特征对于数学研究和实际应用的影响可大了。
在科学计算、机器学习等领域，如果能准确把握矩阵特征值和范数不等式，就能让计算更高效，结果更准确。
但要是理解有误或者用错了，那可能就会得出错误的结论。
说到安全性和潜在问题，在一些对精度要求极高的计算中，如果对矩阵特征值和范数不等式的理解和运用出现偏差，可能会导致整个系统的错误或者不稳定。
数学本科毕业论文《矩阵不等式的证明及其应用》
矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二 分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果 秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则 秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。
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海南师范大学本科生毕业论文本科生毕业论文独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
论文作者签名：日期：本科生毕业论文使用授权声明海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件和磁盘，允许毕业论文被查阅和借阅。
本人授权海南师范大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存、汇编毕业论文。
论文作者签名：日期：指导教师签名：日期：目录1.引言 (1)2.定义与符号 (1)3.利用特征值证明矩阵不等式 (2)3.1利用特征值估计矩阵和的特征值 (2)3.2利用特征值估计矩阵行列式 (3)3.3利用特征值估计Kronecker积的特征值 (5)3.4利用特征值估计矩阵的迹 (6)参考文献 (8)巧用矩阵特征值证明矩阵不等式（海南师范大学数学与统计学院，海口，571158)摘 要:矩阵特征值问题是矩阵论中很重要的一部分,具有很重要的理论和实际意义。
利用矩阵论中两个重要的基本概念特征值和特征向量证明矩阵不等式，在矩阵研究和应用中有着非常重要的作用。
为此，本文介绍了矩阵特征值在证明有关矩阵和的的特征值、矩阵行列式、Kronecker 积的特征值、矩阵的迹等不等式上的应用。
关键词:矩阵特征值;行列式; 迹;Kronecker 积Using matrix inequalities to prove matrix eigenvalueAuthor: LI Yanlan Tutor: lecturer Zhang Tai(School of Mathematics and and Statistics Hainan normal university, Haikou, 571158)Abstract: The matrix eigenvalue problem is a very important part of matrix theory, they have considerably practical significance.The use of eigenvalue and eigenvector to prove matrix inequality play a very important role in the research of matrix. The paper introduces the matrix eigenvalue is used to prove that the inequality of matrix eigenvalues, matrix determinant, eigenvalues of Kronecker product and the matrix trace.Key words : matrix eigenvalue; determinant; trace; Kronecker product1.引言矩阵特征值问题是矩阵中举足轻重的一部分。
利用矩阵论中两个重要的基本概念特征值和特征向量来证明矩阵不等式是非常有用的方法，已有许多成果出现在一些国内外期刊文献中[4-8]。
本文主要总结了矩阵特征值在证明矩阵和的的特征值、矩阵行列式、Kronecker 积的特征值、矩阵的迹等问题上的应用，并系统归纳了许多相关内容，肯定了利用矩阵特征值在证明矩阵不等式中的优势。
2.定义、符号设n n C ⨯表示所有n 阶复方阵所成之集,n n R ⨯ 表示所有n 阶实方阵所成之集，. m n F ⨯以数域F 中的数为元素的m n ⨯阶矩阵集合，0A ≥表示A 为半正定矩阵。
定义1[1]设A 为n 阶方阵，若数和λ非零向量x 满足Ax x λ=则称λ为A 的特征值,x 为A 的对应于的特征向量.定义2[1]设ij A a =为n 阶方阵，记'*A A =;即取共轭同时又转置.若*A A =，则称A 为Hermite 阵. 定义3[2]设A 为n 阶Hermite 阵，若对于任意*,n x C x Ax o ∈≥，则称A 为半正定的，记为0A ≥.定义4[1] 设A 为Hermite 矩阵，下列命题是等价地：（1）A 是半正定的；（2）对于任何n 阶可逆矩阵P 都有*P AP 是半正定的；（3）A 的n 个特征值全是非负的；定义5[1]设A =()ij a ∈n n C ⨯.称它为对角线元素之和的A 的迹.记为trA.即1nii i trA a ==∑定义6[2]设A =()ij a 和()ij B b =分别为m n ⨯和p q ⨯矩阵，矩阵()ij C a B =是一个mp nq ⨯矩阵，称为A 与B 的Kronecker 乘积，记为C A B =⊗，即111212121212n n m m mn a B a B a B a B a B a B A B a B a B a B ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⊗= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ 定义7[3] 对n 级复矩阵A ，如满足''A A AA E ==,就叫做酉阵.它的行列式的绝对值等于1. 3.利用矩阵特征值证明矩阵不等式3.1利用矩阵特征值估计矩阵和的的特征值鉴于特征值的重要性,在很多期刊杂志上出现过研究特征值的各种不等式.而Rayleigh-Ritz 定理和Courant-Fischer 定理是比较重要的两个定理.他们通过Rayleigh-Ritz 商的各种极值来表征Hermite 阵的特征值,在应用上往往有这样的情况,我们感兴趣的是方阵A,但实际A 不能被精确观测到,我们只能观测A+B ，这种情况下,我们需要研究A+B 的特征值与A 和B 特征值之间的关系，下面的内容主要介绍如何利用矩阵特征值估计矩阵和的特征值.引理3.1[1]（Rayleigh-Ritz ）设A 为n ×n Hermite 阵,则*1*0max x x Ax x xλ≠= **0min n x x Ax x xλ≠= 引理3.2[1]（Courant-Fischer ）设A 为n ×n Hermite 阵, 1...n λλ≥≥为其中特征值,为1,...,n ϕϕ对应的标准正交化特征向量，设B n k ⨯为矩阵，则（1） **1*00m i n m a x k B x B x x Ax x x λ+≠== 且当1(,...,)k B ϕϕ=时上式达到1k λ+（2） ***00max min n k x B B x x Ax x x λ-≠== 且当1(,...,)n k n B ϕϕ-+=时上式达到n k λ-定理3.3[1] 设A 和B 皆为n ×n Hermite 阵,则1()()()()(),1,...,i n i i A B A B A B i n λλλλλ+≤+≤+=证明：因为**********00()min max x x x Ax x Bx x A B x x Ax x Bx x x x x x x x x x x≠≠++≤≤+ 应用Rayleigh-Ritz 定理，我们有***1***()()()n x Ax x A B x x Ax B B x x x x x xλλ++≤≤+ 再应用Courant-Fischer 定理,即得.证毕3.2利用矩阵特征值估计矩阵行列式矩阵特征值不等式问题是矩阵理论和方法中的一个重要课题,将矩阵本身的特征值与其行列式联系起来的不等式不论是在讨论解方程组的某些迭代法收敛迭代速度方面，还是在使用直接法得出误差界方面，都有很大的作用.设A 和B 皆为半正定Hermite 阵引理3.7[1] 设A 为n 阶Hermite 阵,X 为向量1n ⨯，那么存在酉阵U ，使得酉变换*y U x =把二次型*x Ax 化为平方和**2211||||n n x Ax y y y y λλ=Λ=+⋅⋅⋅+其中1(,,).n diag λλΛ=⋅⋅⋅引理3.8[1] 设A 为n 阶Hermite 阵，则0A ≥当且仅当A 的所有主子式为非负.引理3.9[1] 设A 为n 阶Hermite 阵，则0A >当且仅当的所有主子式为正数. 定理3.10[1]设Hermite 阵0,0A B ≥≥,则det()det det A B A B +≥+等号成立00det()0A B A B ⇔==+=或或证明：根据引理3.7存在酉阵P ，使PBP *=Λ,其中11(,,),0n n diag λλλλΛ=⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅≥≥为B 的特征值，因为det()det()A B PAP *+=+Λ，det det A PAP *= (3.10.1)det det 0B PAP *=Λ≥且,故不失普遍性，我们可假设B =Λ将det()A +Λ展开，得：111det()det nn i i i j ij i i i j n i A A d d λλλλ=≤<≤=+Λ=+++⋅⋅⋅+∑∑∏ (3.10.2) 其中1k i i d d 表示从A 中剔除第1,...,k i i 行和列之后剩下的方阵的行列式，因为 0A ≥，故所有的1...0k i i d ≥（引理3.8）又因1det ni i B λ==∏，从（2）式中，我们得到det()det det A A +Λ≥+Λ (3.10.3)于是定理得证.现在证明等号成立的充要条件，充分性是显然的，以下必要性分两种情况来考虑.（1）若det 0B ≠，此时每个0i λ≠，从（3.10.2）式知，在（3.10.3）式中等号成立，必有1...0k i i d =，对一切1,,k i i ⋅⋅⋅，特别当k=n-1时，11...n i i d -，就是A 的对角元，这就证明了A 的所有对角元为零，但0A ≥，故A=0（2）若d e t 0B =≠且B 0，此时至少有一个0i λ≠，因所有1...0k i i d ≥，但从（3.10.2）式知，至少有一个1...0k i i d d =，因0A ≥，根据引理3.9，A 不可能正定的.于是det 0A =，因为我们假设了det()det det A B A B +=+，所以det()0A B +=。
证毕。
3.3、利用特征值估计Kronecker 积的特征值在矩阵的普通乘法中，方阵A 、B 的特征值与它们的乘积（AB ）的特征值之间是没有相应的乘法关系的，在Kronecker 积中，下面定理将证明相应的乘法关系成立。