数列极限的解法(15种)Word版

1.定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a .记作：lim n n a a →∞=.否则称{}n a 为发散数列.例1.求证1lim 1,nn a →∞=其中0a >.证：当1a =时，结论显然成立.当1a >时，记11na α=-，则0α>，由()1111(1)nna n n ααα=+≥+=+-得111na a n --≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11n a ε-<即1lim 1,nn a →∞=当1111101,1,lim 1,lim 1lim n n n n nn a b b b a ab→∞→∞→∞<<=>=∴==时，令则由上易知综上，1lim 1,nn a →∞=0a >例2.求7lim!nn n →∞解：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤=-7777717177100,,0!6!6!!6!n n N n N n n n n εε⎡⎤∴-≤∴∀>∃=>-≤⎢⎥⎣⎦则当时，有<ε 7lim 0!nn n →∞∴= 2.利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0,ε∀>∃正整数N ，使得当,n m N>时，有n m a a ε-<.例3.证明：数列1sin (1,2,3,)2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列. 证11111sin(1)sin 111112()122222212n mn m m n m n m m m n x x m-+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛.例4.（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件 11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1,2,)n =⋅⋅⋅ 则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛 证：令1112210,n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-那么{}n y 单调递增，由已知知{}n y 有界，故{}n y 收敛，从而0,ε∀>∃正整数N ，使得当n m N >>时，有 n m y y ε-<此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-< 由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛.注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a 只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性. 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极[]1限.例5.证明数列n x =n 个根式,a>0,n=1,2,⋅⋅⋅）极限存在，并求lim n n x →∞.证：由假设知n x = ⋅⋅⋅（1） 用数学归纳法易证：1,n n x x k N +>∈ ⋅⋅⋅ ()2此即证{}n x 单调递增. 用数学归纳法可证1n n x x +>，事实上， 10n x +<<<1=由（1）（2）证得{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对（1）式两边取极限得 l =解得12l =和12l =（舍去）∴1lim 2n n x →∞=. 4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n>N 时，有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.例6.求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭ 解：记2221212n n x n n n n n n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭，则2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++22(1)(1)2(2)2(1)nn n n n x n n n n ++∴≤≤+++ 22(1)1(1)limlim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++ 由迫敛性得22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭=12. 注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.5．利用定积分的定义计算极限 黎曼积分定义：设为()f x 定义在[],a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[],a b 的任意分割T,以及在其上任意选取的点集{}i ξ,[]1,i i i x x ξ-∈只要T<δ，就有()1nii i f x J ξε=-<∑，则称函数()f x 在[],a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[],a b 上的定积分，记作()ba J f x dx =⎰.例7.()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦解：原式=n n ==11121lim 111exp lim ln 1nnn n i n i n n n n n →∞→∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭∑=()()()10expln 1exp 2ln 21x dx +=-⎰例8.求2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎝⎭ 解：因为222sin sin sin sin sin sin sin sin sin 111112n n n n n n n n n n n nn n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++又2sinsinsin 12limlim sin sin sin 11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤⎛⎫=⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦=02sinsinsin12lim sin 1n n n n n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰ 同理2sin sin sin 2lim 1n n n n n n n ππππ→∞++⋅⋅⋅+=+由迫敛性得2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎝⎭=2π.注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。

6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：()0lim x x f x A →=⇔对任何()0n x x n →→∞，有()lim n n f x A →∞=例9. 求11lim 1n n e n→∞-解：11lim 1n n e n →∞-=()10'lim010n x n e e e x n→∞-==- =1例10.计算211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭解：一方面，()211111nne n n n n ⎛⎫⎛⎫+-<+→→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭另一方面， 2221112221111111n nn nn n n n n n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+≥+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由归结原则（取2,2,3,1n n x n n ==⋅⋅⋅-） 2221122111lim 11lim 1n n xn n n x n n e n n x ---→∞→∞--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由迫敛性得211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=e注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决.。