浅谈高等数学中数列极限的几种求法
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。
设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。
极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。
要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。
二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
2.XXX（L'Hospital）法则。
它的使用有严格的使用前提。
首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。
洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通分之后，就能变成（1）中的形式了。
即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。
数列极限求解的几种常用方法
求极限的13种方法
求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。
1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。
这通常适用于简单的多项式函数。
2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。
3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。
4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。
这适用于涉及导数的函数。
5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。
6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。
7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。
8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。
该法则涉及对分子分母同时求导的操作。
9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。
10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。
11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。
12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。
13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。
这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。
在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。
求数列极限的十五种解法
1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
数列求极限的方法总结
数列求极限的方法总结数列求极限的方法总结数列求极限的方法有那些？极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
极限分为一般极限，还有个数列极限，下面是为大家总结的数列求极限的方法总结。
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。
首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的.形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母看上去复杂，处理很简单！5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
求数列极限的方法总结及例题
求数列极限的方法总结及例题以《求数列极限的方法总结及例题》为标题，写一篇3000字的中文文章一、什么是数列极限数列极限是数学中非常重要的概念，它是指当数列中的每一项都确定时，其值是无限值，而它表示的数字则不会变化。
数列极限是描述数字趋势的一种抽象思想，它可以帮助我们理解许多数学问题。
然而，要求出数列极限的思路并不是十分简单，需要我们熟悉一些基本的数学知识和求极限的方法来推导出最终的结果。
二、常用的求极限的方法1.t极限定义法。
在求极限的过程中，极限定义法是最基本也是最强有力的一种方法，它可以使用限定条件将极限运算表达式化简，这样最终可以得出一个易于理解的极限表达式。
2.t化为无穷积分法。
将极限表达式进行拆分变形，将复杂的极限表达式化为无穷积分的形式，利用积分的性质来求解极限。
3.t求解解微分方程求解极限。
这种求极限的方法由求解解微分方程的极限问题引出，其本质是求解极限问题时将表达式进行拆分化简，将复杂的极限表达式化为微分方程来求解极限。
4.t比较定理。
具有相同极限值的函数可以用比较定理来求极限，其本质是利用比较定理来求出未知项的极限值。
三、例题例1：已知数列{an}为正数序列，且满足liman= 0，求lim(1/an)解：用极限定义法求解，lim(1/an)=lim(1/liman)=1/0，根据定义，1/0不存在，即数列的极限不存在。
例2：已知数列{an}为正数序列，求lim(1/an+1/bn)解：用比较定理求解，lim(1/an+1/bn)=lim(1/an)+lim(1/bn)根据定义， lim(1/an)=lim(1/bn)=0，所以lim(1/an+1/bn)=0+0=0。
四、总结从上面的分析中可以发现，要求数列极限的法子有很多，只需要熟悉基本思路，就可以把数列极限问题解决出来。
其中极限定义法是最基本也是最强有力的一种方法，它可以将极限运算表达式简化；而化为无穷积分法可以将复杂的极限表达式化为无穷积分的形式；求解解微分方程求解极限方法则是求解极限问题时将表达式进行拆分；比较定理则是利用比较定理来求出未知项的极限值。
数列极限的几种求法
数列极限的几种求法一、定义法:数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε∀>0 ∃N>0使当n>N 时,都有a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞→lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。
故可从最原始的定义出发计算数列极限。
例1、 用ε-N 方法求 nn n 1lim +∞→解：令 n n 1+=t+1 则 t>0∴ n+1=nt )1(+2)1(2)1(122t n n t n n nt -≥+-++≥ΛΛ ∴ 12)1(4)1()1(211-≤-≤-+≤=-+n n n n n n n t n n ∴ε∀>0 取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有 ε<-≤-+1211n n n∴n n n 1lim +∞→=1二、单调有界法： 首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。
由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。
以下证明a 就是{n a }的极限。
事实上，ε∀>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，这就证得 a a n n =∞→lim 。
同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。
例2、证明数列ΛΛΛ,222,22,2+++ 收敛，并求其极限。
证：222Λ++=n a ，易见数列{n a }是递增的。
现用数学归纳法来证明{n a }有上界。
显然 221<=a 。
假设2<n a ,则有22221=+<+=+n n a a ，从而对一切n 有2<n a ,∑=∞→n k n k n 141lim ε即{n a }有上界。
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX 趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
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现实世界中有许许多多的量是以离散的方式进行变化的,其各种现象可以表现为某些数学模型以差分方程的形式而出现.差分算法是数值计算中的重 要方法之一,是处理数学问题中有关离散性内容的重要工具之一,更是沟通离散与连续之间的一座桥梁.通过它可以把离散性变量所确定的某些数学模型或 差分方程按照连续性变量的方法来进行处理. 本文采用不同于数学归纳法(必须预知其结果),又区别于幂级数法、逐项微分法、逐项积分法等数学分析方 法(需要掌握足够多的数学分析知识)的一种初等数学方法,在建立了必要的级数求和的公式与法则的基础上,用差分算法来求数项级数的部分和(无穷多项 的求和问题归结为求相应的部分和数列的极限问题),从而力求探索出一条除了用上述种种方法之外的求解这类问题的简便新途径.
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一Ｊｒ，ｏ一． “１ｉ， 西ｔ铲，ｉ１西
最后可得到：
Ｅ：～—Ｌ
２ ｎ项积的极限问题
１ ｎ项和的极限问题
此类重要露型之一，正是建立在微分与积分 的基础上求极限的重要思维方式。常用方法有： （１）特殊级数求和法；（２）利用幂级数求和法；（３） 利用定积分求极限；（４）利用夹逼定理等方法。 例１：
妇‘者＋士ｎ－＋２”。＋东）
又噼』≯地ｔ』≯据ｅ
５用归结原理解决数列极限问题 例７：
Ｅ＝ｌｉｍ√ｉ（ｉ—１）
ｏ舰、，ｉ（订一１）＝ｌｉｒａ兰｝（詈）
原式蚀÷Ｌｈ≠Ｉ．咖—々Ｌｋ咖蒉． 却
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任何一个知识点都不是孤立的，对数列的极 限求解，与其他知识点紧密地联系，不同的思维 方式，看问题的角度不同，结论也会有差异，当然 也存在其他许多方法，有待深入研究和探讨。但 只要抓住本质。正确理鳃基本概念和原理。通过 大量训练，就会找出适合自己的理解方式。提高 解题水平。
第２１卷第５期
Ｖ０１．２ｌ Ｎｏ．５
池州学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｚｈｏｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ
２００７年１０月
ｏＣｔ一２００７
浅谈高等数学中数列极限的几种求法
花中东 （铜陵职业技术学院。安徽铜陵２４４０００）
【摘要］韵数列的极限是高等教学的重要内容，也是理解数的有限与无限的基础。本文通过对数列极限的求解，将此知
Ｉ责任编辑：潘杨友】
（上接第１２２页）质的提高，是高校校园文化活动 建设的一个重要的着力点。高校校园文化活动必 须能够以社会发展需要为前提，以大学生的综合 能力培养为核心．只有这样，才能真正发挥校园 文化的作用。
参考文献： 【１】章礼云．新时期大学生德育工作的几点思考珊．弛州师专
学报。２００ｔ（４）． １２８
嘶｛×，∑－，七１－ａ｛－）
＝ｆ。ｉ霄Ｉ出一嘶Ｉ≥｛
例２：
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设原式＝Ｅ则由题意得，显然
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此类题型的解法有： （１）分子，分母同乘以一个因子，使之出现
连锁反应；（２）分通项，分解因式使之成为两个 因子乘积形式．在整个相乘过程中间项相消，从 而化简为易求极限；（３）利用夹逼定理；（４）利 用对数恒等式化为ｎ项和的形式（再利用射微积 分性质）。 例３：
万方数据
【２】田建国，用科学发展观思考高校发展战略【Ｎ】冲国教育报，
２００６．－６２—１３．
【３侧建佳．论新形势下高校学生工作的理念刨新册湖南商学 院学抿２００２Ｃ９）．
【４】张忠勇．为学生一生的发展做准备叽．中国教育报，
２００５－１０－２５
【５侗而风关于高校校园文化建设的若干思考Ｕ】．福建政法 管理干部学院学报．１９９９（１）．
2006,36(8)
托布利兹(Toeplite)定理是数学分析中证明和计算数列极奶的有效工具.将托布利兹(Toeplite)定理推广到函数情形,为证明和计算一类函数的极限 提供了一种方法.实例表明利用托布利兹(Toeplite)定理的推广证明和计算某类函数的极限和某些数列的极限,比用传统的数学分析方法更简便.
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形如里ｍ Ｊ．‘（ｘ）ｄｘ的求解方法主要有：
（Ｉ）利用不等式缩法对Ｊ．￡（蚺估值。
（２）利用积分中值定理。 例５：
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万方数据
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两边取－ｒ·∞时的极限。得：
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３通项为积分形式的极限问题
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于是』：譬岖‘等哒ｆ：÷出 得÷号去ｓ Ｉ等蜒ｆ：÷峰｛峙 得一寺＋÷＋去！告峰等姆。丢＋｛
【责任编辑：束仁龙】
浅谈高等数学中数列极限的几种求法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
花中东 铜陵职业技术学院,安徽,铜陵,244000
池州师专学报 JOURNAL OF CHIZHOU TEACHERS COLLEGE 2007，21(5) 0次
参考文献(3条) 1.同济大学数学教研室 高等数学 1996 2.徐建平 高等数学 2004 3.施光燕 应用数学 2005
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2.期刊论文 翟秀娜.张文治.ZHAI Xiu-na.ZHANG Wen-zhi 托布利兹(Toeplite)定理的推广 -数学的实践与认识
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利用上解和下解的性质,即上下解方法研究一阶常微分方程终值问题解的存在性及唯一性.上解和下解对于微分方程而言是比较容易求得,本文利用它 的性质,并加入所需满足的条件,即可判断出方程解是否存在、是否唯一,文中进行了严格的证明.在证明的过程中,利用迭代的方法可以得到函数列,通过 求函数列的极限可以进一步得到方程的解析解.
…；０ ．．．ｕｍ ｆ’目ｎ，地，ｏ
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故原式ｉ磐Ｊ。ｓｉｎ’＇ｘ，ｄａ＝Ｏ
４利用Ｔａｙｌｏｒ定理简化后求极限
例６：
Ｅ＝ｌｉ。上ｌ‘哗出
”‘“’÷４ｔ‘
参考文献：
【１１１同济大学数学教研室．高等数学眦４版北京：高等教育
出版社，１９９６． 【２】徐建平．高等数学【Ｍ】ｊＥ京：清华大学出版社．２００４． 【３】施光燕应用数学删】．大连：大连理工大学出版社，２００５．
识点与其他知识点的结合过程，我出其基本概念和原理问的相互联系，从而更深入地理解所遇问题。
［关键词ｌ数列的极限；微分；积分；幂级数；夹逼定理
【ｑａｌｉｔ分类号ｌ Ｇ６４２ 【文献标识码】Ａ
【文章编号】１６７４－１１０２（２００７）０５—０１２７－０２
数列极限是高等数学的重要内容，是理解数 的有限性与无限性的基础，也是正确理解微分与 积分的前提。所以它是学习高等数学首要掌握的 内容。关于数列极限的基本概念等问题，教材中 已有阐述，这里主要介绍在学习中所遇到几种不 同类型的极限问题及其求解方法。
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＠等２丽ｋ－１×器
又＠点丽ｋ－１＝而２而
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例４：令Ｅ：占掰［（１＋乓×１＋芝）（１＋芝）…（“《）】÷
原式取对数得：
救辖耳期：２００７－０．５－２９ 作者畸舟：花中东（１９６８一）．男，安蕞无为凡．搦陵职业学院基础郝讲师．研究方向为基础应用杠擘。