数列极限的几种求法
求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。
求数列极限的方法
求数列极限的方法一、引言数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
在数学中，我们经常需要研究数列的性质，尤其是数列的极限。
数列的极限是指当数列中的数值逐渐接近一个固定的值时，这个固定值就是数列的极限。
本文将介绍几种常见的方法来求解数列的极限。
二、数列极限的定义数列的极限是指当数列的项无限接近某个固定的值时，这个固定的值就是数列的极限。
数列的极限可以是有限的实数，也可以是无穷大或无穷小。
三、数列极限的求解方法1. 递推法递推法是求解数列极限的一种常用方法。
当数列的每一项都可以通过前一项来递推得到时，我们可以通过递推关系式来求解数列的极限。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来求解数列的极限。
2. 收敛法收敛法是求解数列极限的另一种常用方法。
当数列的每一项都是有界的，并且数列的差值趋近于0时，我们可以通过数列的收敛性来求解数列的极限。
例如，对于数列an = 1/n，我们可以通过证明数列的收敛性来求解数列的极限。
3. 夹逼法夹逼法是求解数列极限的一种重要方法。
当数列的每一项都被夹在两个已知的数列之间，并且这两个数列的极限相等时，我们可以通过夹逼法来求解数列的极限。
例如，对于数列an = sqrt(n)/n，我们可以通过夹逼法来求解数列的极限。
4. 递归法递归法是求解数列极限的一种常见方法。
当数列的每一项都可以通过前几项来递归得到时，我们可以通过递归关系式来求解数列的极限。
例如，对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1，我们可以通过递归关系式来求解数列的极限。
四、案例分析现在，我们通过几个具体的数列来演示上述方法的应用。
1. 求解等差数列的极限考虑数列an = 2n + 3，首先我们可以使用递推法来求解数列的极限。
由递推关系式an = an-1 + 2，我们可以得到a2 = a1 + 2，a3 = a2 + 2，以此类推。
数列极限方法
数列极限方法一、引言数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了一个数列当项数趋于无穷时的行为。
理解数列极限的概念是深入理解数学分析和其他数学领域的基础。
本文将介绍几种常用的数列极限的求解方法。
二、数列极限的基本概念一个数列 {an} 的极限定义为：对于任意小的正数ε，都存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - L| < ε恒成立，其中 L 为常数。
我们记作 lim(n→∞) an = L。
三、求解数列极限的方法1.直接观察法：对于一些简单的数列，我们可以通过观察它们的规律来直接得出极限。
例如，对于数列 {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}，显然有 lim(n→∞) 1/n = 0。
2.夹逼法：对于一个数列 {an}，如果存在两个常数 M 和 m，使得 m ≤ an ≤M 对于所有的 n 都成立，那么 lim(n→∞) an = M（或 lim(n→∞) an = m）。
这是因为对于任意的ε > 0，存在一个 N，使得当 n > N 时，M - ε≤ an ≤M + ε。
由于 m ≤ an ≤ M，我们可以得到 |an - M| < ε，即 lim(n→∞) an = M。
3.收敛的级数法：如果一个级数Σan 收敛到 S，那么其部分和 Sn 必定趋近于S。
因此，对于任何的 n，我们有 lim(n→∞) Sn = S。
特别地，如果级数的每一项都非负（或都非正），且级数收敛，那么该数列必定有界且单调。
4.洛必达法则：洛必达法则是求解极限的一种有效方法，特别适用于0/0型和∞/∞型的极限问题。
如果 f 和 g 在某点 a 的某邻域内可导，且 g' (a)≠0，那么 lim(x→a) f'(x)/g'(x) = f'(a)/g'(a)。
在数列的情境下，这可以被应用于求和公式的展开。
5.斯特林公式：斯特林公式给出了一个非负整数 n 的正整数次幂的阶乘与 n!的近似比。
证明数列极限的方法
证明数列极限的方法
证明数列极限的方法有以下常用的几种：
1. ε-N方法：根据极限的定义，给定一个很小的正数ε，要证明数列{a_n}的极限为L，则需要找到一个正整数N，使得当n>N时，a_n - L <ε。
这种方法常用于证明数列的极限存在和确定极限值。
2. 递推关系法：对于一些特殊的数列，可以通过推导出其递推关系来证明其极限存在及极限值。
例如斐波那契数列和等比数列的极限。
3. 子数列法：如果数列{a_n}的极限存在，但不易直接求出或证明，则可以考虑提取一个子数列{a_{n_k}}，其中n_k是一个较大的整数序列，再证明该子数列的极限存在，并与原数列的极限相等。
4. Cauchy收敛准则：对于给定的数列{a_n}，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m,n>N时，a_m - a_n <ε，那么数列{a_n}的极限存在。
这种方法常用于证明数列的柯西收敛性。
以上为数列极限的常用证明方法，具体应根据数列的性质和问题的要求选择合适的方法进行证明。
求数列极限的若干方法
求数列极限的若干方法求解数列极限是数学分析中一个重要的问题，常用的方法有以下几种：1.直接求解最简单的方法是直接计算数列的通项公式，然后逐渐增加项数，观察数列的变化趋势，看是否有收敛或发散的特性。
如果数列趋向于一个确定的数，即极限存在，则该数即为极限值。
这种方法适用于简单数列，例如等差数列、等比数列等。
2.夹逼定理夹逼定理是数学分析中的一个基本定理，可以用来求解一些复杂数列的极限。
夹逼定理的基本思想是将待求极限数列夹在两个已知极限数列之间。
如果两个已知极限数列的极限相同，那么待求极限就是它们的共同极限。
夹逼定理适用于求解一些无法通过直接求解得到极限的数列，例如级数、递推数列等。
3.利用数列性质数列具有一些基本性质，例如收敛数列的任意子列也收敛，并且极限相同；发散数列的一些子列无极限等。
可以通过这些性质来判断数列的极限是否存在，或者通过子列的极限值来确定数列的极限。
4.数列分解对于一些复杂的数列，可以将其分解成多个部分，然后分别求解每个部分的极限。
通过对各个部分的极限进行分析，再根据极限的性质进行组合，可以得到整个数列的极限。
这种方法常用于数列具有递推关系或递归定义的情况。
5.数列收敛性的判别数列收敛有一系列的判别法则，例如柯西收敛准则、单调有界准则、无穷大准则等。
这些准则可以用来判断一个数列是否收敛，或者一部分的数列是否收敛。
6.使用极限性质根据极限的性质，例如极限的四则运算性质、极限的保号性等，可以推导出一些数列的极限值。
通过运用这些性质，可以简化数列极限的求解过程。
总结起来，求解数列极限的方法是多种多样的。
我们可以根据数列的特点和性质，选择适合的方法进行求解。
常用的方法包括直接求解、夹逼定理、数列性质、数列分解、数列收敛性的判别和使用极限性质等。
求数列极限的若干方法
求数列极限的若干方法求数列极限方法如下：1、用夹逼准则求解数列极限夹逼定理是数列极限中非常重要的一种方法, 也是容易出综合题的点, 夹逼定理的核心就是如何对数列进行合理的放缩, 这个点也是夹逼定理使用过程中的难点。
适用情形：夹逼定理一般使用在 n 项和式极限中, 函数不易于连续化。
夹逼定理的适用情形和用定积分的定义十分相似，需要注意区分，它们的区别是夹逼定理适用的情形是一个分子分母齐次的形式。
放缩基本公式:2.、用单调有界准则求极限定理: 单调有界数列必有极限.具体来说,若数列 {xn} 单调增加(减少)且有上(下) 界M(m) , 则 limn→∞xn 存在，且 limn→∞xn⩽M (或 limn→∞xn⩾m ). 定理同样适用于函数.这个定理是证明数列(或函数) 极限存在的唯一依据, 一般分为两个步骤, 第一步证明单调性, 第二步证明有界。
3、用数列定义求解数列极限主要运用数列的ε−N 定义: 对∀ε>0,∃N>0 , 使得当 n>N 时, 有 |an−a|<ε , 则称数列 {an} 收敛, 定数a 称为 {an} 的极限。
从定义上来看，我们的ε是可以任意小的正数, 那ε/2,3ε也可以任意小, 这一点大家要明确。
其次, 我们的 N 具有相应性, 一般地, N 随着ε的变小而增大, 也就是 N 依赖于ε0从几何意义上来讲, 当我的 n 逐渐趋近于无穷时, 我的数列总围绕着 a 在波动, 也就是对∀ε>0, 在我们的 U(a;ε) 领域内有无穷个数。
这样就得到了一个关于数列极限的一个等价定义: 对∀ε>0 , 若在 U(a;ε) 之外数列 an 至多有有限项，那么数列 an 必定收敛于 a 。
求数列极限的方法
求数列极限的方法要求解数列极限，我们首先需要了解数列的定义和性质。
数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列的极限是指当数列中的数字无限接近某个固定值时，该固定值就是数列的极限。
求数列极限的方法有很多，下面我将介绍几种常见的方法。
1. 通过数列的定义求极限。
要求解数列的极限，可以通过对数列的定义进行推导。
数列的定义是指按照一定规律排列的一系列数的集合。
根据定义，我们可以通过逐渐增加数列的项数，观察数列的变化趋势，推测数列的极限。
例如，对于递归数列an = n^2，我们逐渐增加n的值，可以观察到当n趋近于无穷大时，an也趋近于无穷大。
因此，可以猜测该数列的极限是正无穷大。
2. 使用极限运算法则求极限。
极限运算法则是指通过对数列中的各个项进行特定的运算，从而得到数列的极限。
常见的极限运算法则有加法法则、乘法法则和除法法则等。
例如，对于数列an = 1/n，可以将每一项分子分母都乘以n，得到新的数列bn = 1。
由于bn的每一项都是常数1，因此bn的极限是1。
根据极限的乘法法则，我们可以得到原数列an的极限也是1。
3. 利用数列的收敛性求极限。
数列中的一部分项可能已经足够接近极限值，我们可以利用数列的收敛性来求解数列的极限。
数列的收敛性是指当数列中的项逐渐增加时，数列的极限趋于一个固定值。
例如，对于递归数列an = 1/n，随着n的增大，an逐渐接近于0。
因此，我们可以推测该数列的极限是0。
4. 利用夹逼定理求极限。
夹逼定理是利用数列的中间项来确定数列的极限。
夹逼定理是指当一个数列在某一项之后受到两个趋于同一极限的数列夹逼时，该数列的极限也趋于相同的极限。
夹逼定理常用于求解复杂的数列极限。
例如，对于递归数列an = (n^2 +1)/(n^2 + n + 1)，我们可以证明该数列的极限是1。
首先，我们可以通过将分子和分母都除以n^2，得到新的数列bn = (1 + 1/n^2)/(1 + 1/n + 1/n^2)。
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限是指当数列中的项无限接近某个特定值时，该特定值就是该数列的极限。
数列的极限可以通过一些运算法则来求解，这些运算法则包括以下几个方面。
1. 线性运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么对于任意
实数c，数列{can}的极限为cA，数列{an+bn}的极限为A+B，数列{an-bn}的极限
为A-B。
2. 乘法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{anbn}的极限为AB。
3. 除法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，且B不等于0，那么数列{an/bn}的极限为A/B。
4. 幂运算法则：如果数列{an}的极限为A，且m是一个正整数，那么数列{an^m}的极限为A^m。
5. 复合函数运算法则：如果函数f(x)在x=A处连续，并且数列{an}的极限为A，那么数列{f(an)}的极限为f(A)。
6. 夹逼准则：如果数列{an}，{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}的极限都为A，那么数列{bn}的极限也为A。
7. 极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么该极限是唯一的。
这些运算法则可以帮助我们计算数列的极限，使得我们能够更加方便地求解数列的极限问题。
但需要注意的是，这些运算法则只适用于满足一定条件的数列，例如乘法运算法则中要求乘积数列的每一项都存在，除法运算法则中要求除数数列的每一项都不为0等。
在应用运算法则时，我们需要仔细分析数列的性质，确保运算的合理性。
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数列极限的几种求法
一、定义法:
数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε∀>0 ∃N>0使当n>N 时,都有
a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞
→lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。
故可从最原始的定义出发计算数列极限。
例1、 用ε-N 方法求 n
n n 1lim +∞→
解：令 n n 1+=t+1 则 t>0
∴ n+1=n
t )1(+2)1(2)1(12
2t n n t n n nt -≥+-++≥ ∴ 1
2)1(4)1()1(211-≤-≤-+≤=-+n n n n n n n t n n ∴ε∀>0 取 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有 ε<-≤-+12
11n n n
∴
n n n 1lim +∞→=1
二、单调有界法： 首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：
在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。
由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。
以下证明a 就是{n a }的极限。
事实上，ε∀>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有
εε+<<-a a a n ，
这就证得 a a n n =∞
→lim 。
同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。
例2、证明数列
,222,22,2+++
收敛，并求其极限。
证：222 ++=
n a ，易见数列{n a }是递增的。
现用数学归纳法来证明{n a }有上界。
显然 221<=a 。
假设2<n a ,则有22221=+<+=+n n a a ，从而对一切n 有2<n a ,
∑=∞→n k n k n 14
1lim ε即{n a }有上界。
由单调有界定理，数列{n a }有极限，记为a 。
由于
n n a a +=+221 ，
对上式两边取极限得 a a +=22，即有
（a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2 由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有 2222lim
=++∞→ n
三、运用两边夹法： 迫敛法：（两边夹法）设收敛数列{n a }，}{n b 都以a 为极限，数列}{n c 满足：存在正数0N 当0
N n >时有n n n c b a ≤≤ （1） 则数列}{n c 收敛且a c n n =∞
→lim 证：0>∀ε 由a b a n n n n ==∞
→∞→lim lim 分别存在正数1N 与2N 使得 当1N n >时有n a a <-ε （2）
当2N n >时有ε+<a b n （3）
取 },,m ax {210N N N N = 则当N n >时不等式（1），（2），（3）同时成立即有 εε+<≤<-a b a a n n
从而有 ε<-a c n
即证所得结果。
例3、求21
)!(lim n
n n ∞→
解： ≤1n n n n n n n 11
122)()!(=≤ （1）
n
n n 1lim ∞
→ =1 由（1）式及两边夹法则 2
1)!(lim n n n ∞→=1 。
四、先求和再求极限：
例4、求极限 解: )13)(12)(1(30
1214-+++=
∑=n n n n n k n k
五、先用放缩法再求极限：
例5、求极限 )332211(lim 2222n n n n n n n n n n n ++++++++++++∞→ 解：记 n
n n n n n n n n n x n +++++++++++=2222332211 则n
n n n x n n n n +++++≥≥+++++2221121 )
(2)1()1(2)1(22n n n n n x n n n n n +++≥≥+++∴ 又)2(2)1(lim 21)1(2)1(lim
22n n n n n n n n n n ++==+++∞→∞→ 由两边夹法则 )332211(lim 2222n n n n n n n n n n n ++++++++++++∞→ =2
1 六、用施笃兹公式：
首先我们介绍并证明施笃兹公式：
施笃兹公式（stolz ）：设数列{n y }单调递增趋向于∞+，A y y x x n n n n n =--++∞→11lim （1）（可以为无穷）则A y x n
n n =∞→lim
例6、设a x n n =∞→lim n
x x x n n +++= 21ξ 求：n n ξ∞
→lim 解：由施笃兹公式
n
x x x n n n n +++=∞→∞→ 21lim lim ξ ⎪⎩⎪⎨⎧<∞+=>=∑=∞→时当时当时当555
1501lim 14αααεn
k n k n
a x n n x x x x x x n n n n n ==--+++-+++=∞→-∞→lim )1()()(lim 12121。