中考数学专题复习之多边形与平行四边形 练习题及答案
人教版九年级数学中考多边形与平行四边形专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考多边形与平行四边形专项练习基础达标一、选择题1.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍,那么这个多边形的边数是()A.8B.9C.10D.11360°,根据题意得:180°·(n-2)=3×360°解得n=8.故选A.2.(2018山东济宁)如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P=()A.50°B.55°C.60°D.65°在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°,又∵DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120°,∴在△CDP中,∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°.故选C.3.如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定．．．成立的是()A.BO=DOB.CD=ABC.∠BAD=∠BCDD.AC=BD,知BO=DO ,故选项A 正确;根据平行四边形的对边相等,知AB=CD ,故选项B 正确;根据平行四边形的对角相等,知∠BAD=∠BCD ,故选项C 正确;而选项D 中“AC=BD ”说明对角线相等,平行四边形没有这一性质,因此选项D 错误,故选D. 4.(2018浙江宁波)已知正多边形的一个外角等于40°,则这个正多边形的边数为( ) A.6 B.7C.8D.940°,且外角和为360°,则这个正多边形的边数是:360°÷40°=9.故选D .5.(2017山东青岛)如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥BC ,垂足为E ,AB=√3,AC=2,BD=4,则AE 的长为( )A.√32B.32C.√217 D.2√217,及AC=2,BD=4,得到AO=1,BO=2,再根据勾股定理的逆定理,由AB=√3得到△ABO 是直角三角形,∠BAO=90°,最后根据勾股定理可得BC=√AA 2+AA 2=√(√3)2+22=√7,因此,在直角三角形ABC 中,S △ABC =12AB ·AC=12BC ·AE ,即12√3×2=12√7·AE ,解得AE=2√217.故选D . 二、填空题6.(2018江苏南京)如图,五边形ABCDE 是正五边形.若l 1∥l 2,则∠1-∠2= °.7.(2017山东临沂)在▱ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O.若AB=4,BD=10,sin ∠BDC=35,则▱ABCD 的面积是 .OE ⊥CD 于点E ,由平行四边形的性质得出OA=OC ,OB=OD=12BD=5,CD=AB=4,由sin ∠BDC=35,证出AC ⊥CD ,OC=3,AC=2OC=6,得出▱ABCD 的面积=CD ·AC=24.三、解答题 8.(2018浙江杭州)已知:如图,E ,F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点,AE=CF. 求证:(1)△ADF ≌△CBE ; (2)EB ∥DF.∵AE=CF ,∴AE+EF=CF+FE ,即AF=CE.又ABCD 是平行四边形,∴AD=CB ,AD ∥B C. ∴∠DAF=∠BCE.在△ADF 与△CBE 中{AA =AA ,∠AAA =∠AAA ,AA =AA ,∴△ADF ≌△CBE (SAS).(2)∵△ADF ≌△CBE ,∴∠DFA=∠BEC. ∴DF ∥EB.能力提升一、选择题1.顺次连接任意一个四边形的四边中点所得的四边形一定是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形,EF ,GH 分别为△ABD ,△BCD 的中位线,所以EF ∥BD ,GH ∥BD ,且EF=GH=12BD ,则四边形EFGH 为平行四边形,故选A.2.(2018四川宜宾)在▱ABCD 中,若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点E ,则△AED 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠BAD+∠ADC=180°, ∵∠EAD=12∠BAD ,∠ADE=12∠ADC , ∴∠EAD+∠ADE =12(∠BAD+∠ADC )=90°, ∴∠E=90°,∴△ADE 是直角三角形.3.(2018广西玉林)在四边形ABCD 中:①AB ∥CD ;②AD ∥BC ;③AB=CD ;④AD=BC ,从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有 ( )A.3种B.4种C.5种D.6种,符合条件的有4种,分别是:①②、③④、①③、②④.故选B . 4.如图,过▱ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ,则图中的▱AEMG 的面积S 1与▱HCFM 的面积S 2的大小关系是( )A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.2S1=S2四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=CB,∴△ABD≌△CDB,∴S△ABD=S△CDB.又∵EF,GH分别平行两边,∴四边形EBHM,GMFD均为平行四边形,∴S△EBM=S△BHM,S△GMD=S△MFD,∴S△ABD-S△BEM-S△GMD=S△CDB-S△BHM-S△DMF,即S1=S2.故选C.5.(2018四川眉山)如图,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连接EF,BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4EF交BC的延长线于点G,取AB的中点H连接FH.∵CD=2AD,DF=FC,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF,∵CD∥AB,∴∠CFB=∠FBH,∴∠CBF=∠FBH,∴∠ABC=2∠ABF.故①正确;∵DE∥CG,∴∠D=∠FCG,∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,∴△DFE≌△CFG,∴FE=FG,∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBG=90°,∴BF=EF=FG,故②正确;∵S△DFE=S△CFG,∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF,故③正确;∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,∴CF=BH,∵CF∥BH,∴四边形BCFH是平行四边形,∵CF=BC,∴四边形BCFH是菱形,∴∠BFC=∠BFH,∵FE=FB,FH∥AD,BE⊥AD,∴FH⊥BE,∴∠BFH=∠EFH=∠DEF,∴∠EFC=3∠DEF,故④正确.故选D.二、填空题6.(2018山东聊城)如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是.360°或180°三、解答题7.(2017天津)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A(√3,0),点B(0,1),点O(0,0).P是边AB上的一点(点P不与点A,B重合),沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A'.图①图②(1)如图①,当点A'在第一象限,且满足A'B⊥OB时,求点A'的坐标;(2)如图②,当P为AB中点时,求A'B的长;(3)当∠BPA'=30°时,求点P的坐标(直接写出结果即可).∵点A(√3,0),点B(0,1),∴OA=√3,OB=1.根据题意,由折叠的性质可得△A'OP≌△AOP.∴OA'=OA=√3,由A'B⊥OB,得∠A'BO=90°.在Rt△A'OB中,A'B=√AA'2-AA2=√2,∴点A'的坐标为(√2,1).(2)在Rt△AOB中,OA=√3,OB=1,∴AB=√AA2+AA2=2∵点P为AB中点,∴AP=BP=1,OP=12AB=1.∴OP=OB=BP,∴△BOP是等边三角形∴∠BOP=∠BPO=60°,∴∠OPA=180°-∠BPO=120°.由(1)知,△A'OP≌△AOP,∴∠OPA'=∠OPA=120°,P'A=PA=1, ∴∠BPA'=60°,BP=PA'=1,∴△A'BP是等边三角形,∴A'B=A'P=1.(3)(3-√32,3-√32)或(2√3-32,√32).。
中考数学《多边形和平行四边形》专题含解析
多边形和平行四边形一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=度，□ABCD的周长为cm．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为cm．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为．二、选择题4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB 6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．多边形和平行四边形参考答案与试题解析一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=50度，□ABCD的周长为24cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B∵∠B=50°∴∠D=50°②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD∵AB=5cm，BC=7cm∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=24cm．故答案为50、24．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为8cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=8cm．【解答】解：∵□ABCD的周长是28 cm∴AB+AD=14cm∵△ABC的周长是22cm∴AC=22﹣（AB+AC）=8cm故答案为8．【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为2．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F∵在□ABCD，EF∥AB∴AB=EF，AF=BE∵∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE∴AB=BE=EF=AF∴ABEF为菱形∴EC=AD﹣AB=2．故答案为：2．【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2，﹣3）．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是C【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．故选C．【点评】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【考点】平行四边形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的是平行四变形的性质，平行四边形两组对边分别平行且相等，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上判断B是正确的．7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．【解答】解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴====4S△EFB；故S△AFDB、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．C、由∠AEC=∠DCE可知正确．D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．故选：A．【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．∴∠ADE=∠CBF=60°．∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．∴∠ADE=∠CBF．∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．∴∠AED=∠CFB．又∵AD=BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．又∵∠DAB=∠BCD，∴∠EAF=∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．（2）推理类同于（1）．【解答】证明：（1）延长FP交DC于点G，∵AB∥CD，AC∥FG，∴四边形AFGC是平行四边形，∴AC=FG（平行四边形的对边相等），∵EG∥AC，∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；又∵OA=OC，∴PE=PG，∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；（2）若点P在BD延长线上，AC=PF﹣PE．如下图所示若点P在DB延长线上，AC=PE﹣PF．如下图所示．．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程﹣公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG 即可；（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．（2）解法1：在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，∴AC=5．∵CF=CB=3，∴AF=2．在Rt△AEF中，设EF=x，则AE=4﹣x．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4﹣x）2=22+x2．解得x=，即线段EF长为cm．解法2：∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，∴．∴，解得，即线段EF长为cm．【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB 上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．【解答】解：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）=；∴S△APE（2）①当0≤t＜6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=+t．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+；②当6≤t＜8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4﹣，QF=t，BP=t﹣6，CP=10﹣t，PG=（10﹣t），而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=﹣t2+10t﹣34，③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20﹣2t，QF=（20﹣2t），CP=10﹣t，PG=（10﹣t）．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（14分）故S关于t的函数关系式为；②（附加题）当0≤t＜6时，S的最大值为，（1分）当6≤t＜8时，S的最大值为6，（舍去），（2分）当8≤t≤10时，S的最大值为6，（3分）所以当t=8时，S有最大值为6．（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分）【点评】此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是S1×S3=S2×S4或．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；（2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②S1×S3=S2×S4或等．【解答】解：（1）比如：（2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2，则=，=，∴S1×S3=S2×S4或等．【点评】此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，则只需要在其中一条对角线上找到和对角线的交点不重合的点即可；（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则可作对角线BD的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点即为所求作；（3）只需说明PD=PB即可．根据已知的条件可以根据AAS证明△DCF≌△BCE，则∠CDB=∠CBD，进而得到∠PDB=∠PBD，证明结论即可；（4）根据上述确定准等距点的方法：即作其中一条对角线的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点．所以分析讨论的时候，主要是根据两条对角线的位置关系进行分析讨论．【解答】解：（1）如图2，点P即为所画点；（1分）（2）如图3，点P即为所作点（作法不唯一）；（2分）（3）连接DB．在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC，∴点P是四边形ABCD的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．（7分）【点评】关键是熟悉菱形的性质，能够根据线段垂直平分线的性质的逆定理进行分析作图，能够根据找准等距点的方和四边形中两条对角线的位置关系判断准等距点的个数．14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC 垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．【解答】解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．。
专题17 多边形与平行四边形(共27题)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题17多边形与平行四边形（27题）一、单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，添加下列条件，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．AB ＝CDB ．AB ∥CDC ．∠A ＝∠CD ．BC ＝AD【答案】A 【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．【详解】解：A 、当BC ∥AD ，AB ＝CD 时，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；B 、当AB ∥CD ，BC ∥AD 时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；C 、当BC ∥AD ，∠A ＝∠C 时，可推出AB ∥DC ，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；D 、当BC ∥AD ，BC ＝AD 时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．2．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中，内角和等于360︒的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据n 边形内角和公式()2180n -⋅︒分别求解后，即可得到答案【详解】解：A ．三角形内角和是180︒，故选项不符合题意；B ．四边形内角和为()42180360-⨯︒=︒，故选项符合题意；C ．五边形内角和为()52180540-⨯︒=︒，故选项不符合题意；D ．六边形内角和为()62180720-⨯︒=︒，故选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了n 边形内角和，熟记n 边形内角和公式()2180n -⋅︒是解题的关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，若添加一个条件，使四边形ABCD 为平形四边形，则下列正确的是（）A ．AD BC=B ．ABD BDC ∠=∠C ．AB AD =D ．A C∠=∠【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ．根据AB CD ∥，AD BC =，不能判断四边形ABCD 为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；B ．∵AB CD ∥，∴ABD BDC ∠=∠，不能判断四边形ABCD 为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；C ．根据AB CD ∥，AB AD =，不能判断四边形ABCD 为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；D ．∵AB CD ∥，∴180ABC C ∠+∠=︒，∵A C∠=∠∴180ABC A ∠+∠=︒，∴AD BC∥∴四边形ABCD 为平形四边形，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时，若ABE 平移到DCF ，4a =，3h =，则ABE 的平移距离为（）A ．3B ．4C ．5D ．12【答案】B 【分析】根据平移的方向可得，ABE 平移到DCF ，则点A 与点D 重合，故ABE 的平移距离为AD 的长．【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时，将ABE 平移到DCF ，故平移后点A 与点D 重合，则ABE 的平移距离为4AD a ==，故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．5．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，ADC ∠的平分线与边AB 相交于点P ，E 是PD 中点，若4=AD ，6CD =，则EO 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得4AP AD ==，进而可得2BP =，再根据三角形的中位线解答即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，6CD =，∴AB CD ，6AB CD ==，DO BO =，∴CDP APD ∠=∠，∵PD 平分ADC ∠，∴ADP CDP ∠=∠，∴ADP APD ∠=∠，∴4AP AD ==，∴642BP AB AP =-=-=，∵E 是PD 中点，∴112OE BP ==；A ．AC BD=B ．【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】∵四边形ABCD A.AC BD =，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；B.OA OC =，故该选项正确，符合题意；A ．60︒B 【答案】D 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵180BAE ∠=︒∴180BAE COD ∠-∠=【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．二、填空题8．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和是________度．【答案】540【分析】根据n 边形内角和为()2180n -⨯︒求解即可．【详解】五边形的内角和是()52180540-⨯︒=︒．故答案为：540．【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n 边形内角和为()2180n -⨯︒是解题关键．9．（2023·新疆·统考中考真题）若正多边形的一个内角等于144︒，则这个正多边形的边数是______．【答案】10【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n 边形，根据题意得：()2180144n n -⨯︒÷=︒，解得：10n =．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键．10．（2023·上海·统考中考真题）如果一个正多边形的中心角是20︒，那么这个正多边形的边数为________．【答案】18【分析】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷进行计算即可得到答案．【详解】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷，则3602018n =÷=，故这个正多边形的边数为18，故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____．【答案】6【答案】14【分析】由平行四边形的性质推出似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，由题意得∴DF BC ∥，DE AC ∥∴ ∽ADF ABC ，BDE △∴13DF AD BC AB ==，DE AC =∵69AC BC ==，，∴3DF =，4DE =，∵四边形DECF 平行四边形，∴平行四边形DECF 纸片的周长是故答案为：14．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平行四边形点E ，则DE 的长为_____________【答案】2【分析】根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，则AEB CBE ∠=∠，再由角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，从而求得AEB ABE ∠=∠，则AE AB =，从而求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴AEB CBE ∠=∠，∵B ∠的平分线BE 交AD 于点E ，∴ABE CBE ∠=∠，∴AEB ABE ∠=∠，∴AE AB =，∵3AB =，5BC =，∴===53=2DE AD AE BC AB ---，故答案为：2．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC ，则∠BAC 的度数为_____．【答案】36°【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC 的度数．【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°∴5401085B ︒︒∠==，【答案】10【分析】由平行四边形的性质可得DC 可得()AAS DOF BOE ≌△△可得DF 【详解】解：∵ABCD 中，∴,DC AB DC AB =∥，∴,OFD OEB ODF EBO ∠=∠∠=∠，∵OD OB =，∴()AAS DOF BOE ≌△△，∴DF EB =，FC AE =17．（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．【答案】5【详解】设这个多边形是n 边形，由题意得，(n -2)×180°=540°，解之得，n =5．18．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．【答案】50【分析】证明70DBC C ∠=∠=︒，18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒，由AB CD ∥，可得40ABE BDC ∠=∠=︒，结合AE BD ⊥，可得904050BAE ∠=︒-︒=︒．【详解】解：∵BD CD =，70C ∠=︒，∴70DBC C ∠=∠=︒，18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒，∵ABCD Y ，∴AB CD ∥，∴40ABE BDC ∠=∠=︒，∵AE BD ⊥，∴904050BAE ∠=︒-︒=︒；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．19．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，展开后，再将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B '，折痕为AF ，则AFB '∠的大小为__________度．【答案】45【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为在AFB 'V 中，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵正五边形的每一个内角为将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=∵将纸片折叠，使边AB 落在线段∴11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=在AFB 'V 中，180AFB B '∠=︒-∠故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．20．（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为【答案】800︒/800度【分析】根据多边形的内角和公式【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为∴其余六个内角之和为(1807︒⨯-故答案为：800︒．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．三、解答题21．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 和BC 上，且DE BF =．求证：AF CE =．【答案】见解析【分析】平行四边形的性质得到,AD BC AD BC = ，进而推出AE CF =，得到四边形AECF 是平行四边形，即可得到AF EC =．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，∴,AD BC AD BC = ，BE DF =，AE CF ∴=，∴,AE CF AE CF=∥∴四边形AECF 是平行四边形，AF CE ∴=．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．22．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在ABC 中，点D 、E 分别为AB AC 、的中点，点H 在线段CE 上，连接BH ，点G 、F 分别为BH CH 、的中点．(1)求证：四边形DEFG 为平行四边形(2)32DG BH BD EF ⊥==，，，求线段BG 的长度．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由三角形中位线定理得到1,2DE BC DE BC =∥，1,2GF BC GF BC =∥，得到,GF DE GF DE =∥，即可证明四边形DEFG 为平行四边形；（2）由四边形DEFG 为平行四边形得到2DG EF ==，由DG BH ⊥得到90DGB ∠=︒，由勾股定理即可得(1)求证：四边形AECF是平行四边形．(2)若ABE的面积等于2，求【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得可证明四边形AECF是平行四边形；（2）根据等底等高的三角形面积相等可得11121222CFO CEF AEF S S S ===⨯= ．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，BE FD =，∴OB BE OD FD -=-，∴OE OF =，又 OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．（2）解： 2ABE S = ，BE EF =，∴2AEF ABE S S == ，四边形AECF 是平行四边形，∴11121222CFO CEF AEF S S S ===⨯= ．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．24．（2023·山东·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ；CF 平分BCD ∠，交AD 于点F ．求证：AE CF =．【答案】证明见解析【分析】由平行四边形的性质得B D ∠=∠，AB CD =，AD BC ∥，由平行线的性质和角平分线的性质得出BAE DCF ∠=∠，可证BAE DCF ≌△△，即可得出AE CF =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B D ∠=∠，AB CD =，BAD DCB ∠=∠，AD BC ∥，∵AE 平分BAD ∠，CF 平分BCD ∠，∴BAE DAE BCF DCF ∠=∠=∠=∠，在BAE 和DCF 中，已知：如图，四边形ABCD 求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD ∴DC AB ∥．∴ECO ∠=①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又EOC ∠=___________∴()COE AOF ASA ∆≅∆【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．26．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，点E ，F 在对角线AC 上，CBE ADF ∠=∠．求证：(1)AE CF =；(2)BE DF ∥．【答案】见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证ABE CDF ∠=∠，最后证明()ASA ABE CDF ≌△△即可求出答案．（2）根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出BEF EFD ∠=∠即可证明两直线平行．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 为平行四边形，AB CD ∴∥，AB CD =，ABC ADC ∠=∠，BAE FCD \Ð=Ð．CBE ADF ∠=∠Q ，ABC ADC ∠=∠，ABE CDF ∴∠=∠．()ASA ABE CDF ∴ ≌．AE CF ∴=．（2）证明：由（1）得()ASA ABE CDF ≌△△，AEB CFD ∴∠=∠．180AEB BEF ∠+∠=︒Q ，180CFD EFD ∠+∠=︒，BEF EFD ∴∠=∠．BE DF ∴∥．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．27．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点,O BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E F 、，且,AF CE BAC DCA =∠=∠．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】见详解【分析】先证明()≌ASA AEB CFD ，再证明,AB CD AB CD =∥，再由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】证明：BE AC ⊥ ，DF AC ⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒，,,,AF CE AE AF EF CF CE EF ==-=- ,AE CF ∴=又BAC DCA ∠=∠ ，(ASA)∴≌，AEB CFD∴=，AB CD∠=∠，∵BAC ACD∴∥，AB CD四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．。
中考数学总复习分层提分训练《多边形与平行四边形》含答案
多边形与平行四边形一级训练1．(2011年广东)正八边形的每个内角为()A．120°B．135°C．140°D．144°2．用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是() A．3 B．4 C．5 D．63．(2011年湖南邵阳)如图4－3－6，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是()A．AC⊥BD B．AB＝CD C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD图4－3－6 图4－3－7 图4－3－84．如图4－3－7，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为()A．3 B．6 C．12 D．245．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是()A．5 B．6 C．7 D．86．在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比值是()A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶17．(2012年广西南宁)如图4－3－8，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是()A．2 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cm C．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm 8．(2011年江苏泰州)在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有()A．1组B．2组C．3组D．4组9．(2011年四川广安)若凸n边形的内角和为1 260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是__________．10．在下列四组多边形地板砖中：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形. 将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是__________(填正确序号)．11．(2011年四川宜宾)如图4－3－9，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F 在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.图4－3－912．如图4－3－10，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF.请你猜想：BE 与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．图4－3－10二级训练13．(2009年广东茂名)如图4－3－11，杨伯家小院子的四棵小树E，F，G，H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是() A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形图4－3－11 图4－3－12 图4－3－13 14．(2011年浙江金华)如图4－3－12，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________．15．(2010年广东)如图4－3－13，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．三级训练16．如图4－3－14，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为()A. 100°B．110° C. 120° D. 130°图4－3－1417．(2012年山东威海)(1)如图4－3－15(1)□ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.求证：AE＝CF.(2)如图4－3－15(2)，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.求证：EI＝FG.图4－3－15参考答案1．B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D7.C8．C9.610．①②④解析：①正三角形内角为60°，正方形内角为90°，可以由3个正三角形和2个正方形可以密铺；②正六边形内角为120°，可由2个正三角形2个正六边形密铺；③正六边形和正方形无法密铺；④正八边形内角为135°，正方形内角为90°，2个正八边形和1个正方形可以密铺．故选D.11．证明：∵在平行四边形ABCD中，OA＝OC，又已知AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC.∴OF＝OE.同理，得OG＝OH.∴四边形EGFH是平行四边形．∴GF∥HE.12．解：猜想：BE∥DF，BE＝DF.证法一：如图D13.图D13∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，∠1＝∠2，又∵CE＝A F，∴△BCE≌DAF.∴BE＝DF，∠3＝∠4.∴BE∥DF.证法二：如图D14.图D14连接BD，交AC于点O，连接D E，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO.又∵AF＝CE，∴AE＝CF.∴EO＝FO.∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴BE 綊DF . 13．A14．2 3 提示：△EFD 的面积与△EHD 的面积相等． 15．证明：(1)∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BC . 又△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ， ∴∠AEF ＝30°.∴AE ＝2AF ，且AB ＝2AF .∴AF ＝CB . 而∠ACB ＝∠AFE ＝90°， ∴△AFE ≌△BCA .∴AC ＝EF .(2)由(1)知道AC ＝EF ，而△ACD 是等边三角形， ∴∠DAC ＝60°.∴EF ＝AC ＝AD ，且AD ⊥AB .而EF ⊥AB ， ∴EF ∥AD .∴四边形ADFE 是平行四边形． 16．C17．证明：(1)如图D15，∵四边形ABCD 是平行四边形，图D15∴AD ∥BC ，OA ＝OC . ∴∠1＝∠2.在△AOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，OA ＝OC ，∠3＝∠4，∴△AOE ≌△COF (ASA)． ∴AE ＝CF .(2)如图D16，∵四边形ABCD 是平行四边形，图D16∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D . 由(1)，得AE ＝CF .由折叠的性质，可得AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B . ∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D .又∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4.∵∠5＝∠3，∠4＝∠6， ∴∠5＝∠6.在△AIE 与△CGF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A 1＝∠C ，∠5＝∠6，A 1E ＝CF ，∴△AIE ≌△CGF (AAS)． ∴EI ＝FG .。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章 第一节 平行四边形与多边形 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章第一节平行四边形与多边形知识精练基础题1.(2023衡阳)如图，在四边形ABCD中，已知AD∥B C.添加下列条件不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是()第1题图A.AD＝BCB.AB∥DCC.AB＝DCD.∠A＝∠C2.(2023兰州)如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝()图①图②第2题图A.45°B.60°C.110°D.135°3.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶4，则其中较小的内角是()A.36°B.40°C.45°D.48°4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知△CDO的周长为15，AC＝7，BD＝11，则CD的长为()A.5B.6C.8D.9第4题图5.(2023自贡)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是()第5题图A.9B.10C.11D.126.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，点E为BC中点，连接AE，ED，则下列结论错误的是()A.AE＝CEB.AE平分∠BADS▱ABCDC.AE⊥EDD.S△AED＝12第6题图7.(2022乐山)如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为()第7题图D.2A.4B.3C.528.(2023扬州)如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为________．9.(2023株洲)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝________．第9题图10.(2023兰州)如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝________°.第10题图11.(2023凉山州)如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是________．第11题图12.(2023枣庄改编)如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为________．第12题图13.如图，在△ABC中，中线AF与中位线DE交于点O，连接DF，EF.(1)求证：四边形ADFE是平行四边形；(2)若AB＝8，AC＝6，AF＝5，求BC的长及四边形ADFE的面积．第13题图14.(2023株洲)如图所示，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE 上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点．(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；(2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．第14题图拔高题15.(2023山西改编)蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形，如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(－23，3)，(0，－3)，则点M的坐标为________．第15题图16.(2022毕节)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接P A，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为________．第16题图参考答案与解析1.C2.A【解析】∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8＝45°.3.A 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B ＝∠D ，∠B ＋∠C ＝180°.∵平行四边形中两内角度数比为1∶4，∴∠B ∶∠C ＝1∶4，∴∠C ＝4∠B ，∴∠B ＋4∠B ＝180°，解得∠B ＝36°.第3题解图4.B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC .∵AC ＝7，BD ＝11，∴OC ＋OD ＝12AC ＋12BD ＝12(AC ＋BD )＝9.又∵△CDO 的周长为15，∴CD ＝15－(OD ＋OC )＝6.5.D 【解析】由题意得，AB ＝BC ，∠ACB ＝15°，∴∠BAC ＝15°，∴这个正多边形的一个外角为∠ACB ＋∠BAC ＝30°，∴这个正多边形的边数为360°30°＝12.6.A 【解析】由题意可知，AD ＝BC ，∵E 为BC 的中点，AD ＝2AB ，∴AB ＝BE ，∴∠BAE ＝∠BEA .∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BEA ，∴∠BAE ＝∠DAE ，即AE 平分∠BAD ，故B 正确；∵AB ＝BE ＝CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CED ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∴DE 平分∠ADC ，∵AB ∥DC ，∴∠BAD ＋∠CDA ＝180°，∴∠EAD ＋∠EDA＝90°，∴AE ⊥ED ，故C 正确；∵△ADE 与平行四边形ABCD 同底等高，∴S △AED ＝12S ▱ABCD ，故D 正确；不能推出AE ＝CE ，∴错误的是A.7.B 【解析】在平行四边形ABCD 中，S △ABC ＝12S 平行四边形ABCD ，∵DE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴12AC ·BF ＝12AB ·DE ，∵AB ＝6，AC ＝8，DE ＝4，∴8BF ＝6×4，解得BF ＝3.8.6【解析】∵多边形的外角和是360°，多边形的每一个外角是60°，∴多边形的边数为360°÷60°＝6.9.2【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，DC ＝AB .∴∠DEA ＝∠EAB .∵∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，∴∠EAB ＝∠DAE ，∴∠DEA ＝∠DAE ，∴AD＝DE .∵AD ＝3，AB ＝5，∴EC ＝DC －DE ＝AB －AD ＝5－3＝2.10.50【解析】在△DBC 中，∵BD ＝CD ，∠C ＝70°，∴∠DBC ＝∠C ＝70°.又∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ＝70°，∠BAD ＝∠C ＝70°.又∵AE ⊥BD ，∴∠DAE ＝90°－∠ADB ＝90°－70°＝20°，∴∠BAE ＝∠BAD －∠DAE ＝50°.11.(4，2)【解析】∵▱ABCO 中，O (0，0)，A (3，0)，∴BC ＝OA ＝3，∵BC ∥AO ，∴点B 的纵坐标与点C 的纵坐标相等，∵C (1，2)，∴B (4，2).12.16°【解析】如解图，∵正六边形的一个外角的度数为360°6＝60°，∴正六边形的一个内角的度数为180°－60°＝120°，即∠FAB ＝120°，∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1＝44°，∴∠3＝∠1＝44°，∵AB ∥ED ，∴∠AGF ＝∠3＝44°，∴∠2＝180°－∠FAB －∠AGF ＝16°.第12题解图13.(1)证明：∵DE 是△ABC 的中位线，∴点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点．∵AF 是△ABC 的中线，∴点F 是BC 的中点，∴DF 和EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ，DF ∥AC ，∴四边形ADFE 是平行四边形；(2)∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，∴AD ＝BD ＝12AB ＝4，AE ＝CE ＝12AC ＝3.∵四边形ADFE 是平行四边形，∴EF ＝AD ＝4.∵AF ＝5，∴AE 2＋EF 2＝AF 2，∴△AEF 是直角三角形，∴EF⊥AC，∴EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF＝5.∵BF＝CF，∴BC＝2CF＝10.∵EF⊥AC，∴S四边形ADFE＝EF·AE＝12.14.(1)证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝12 BC.∵点G，F分别为BH，CH的中点．∴GF∥BC，GF＝12 BC，∴GF∥DE，GF＝DE.∴四边形DEFG为平行四边形；(2)解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2.∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°.∵BD＝3，∴BG＝BD2－DG2＝32－22＝5.15.(33，－2)【解析】由题意可得，P(－23，3)，Q(0，－3)，如解图，正六边形的顶点在坐标轴上，∴2∠CDO＝120°，即∠CDO＝60°.过点P作x轴，y轴的垂线分别交坐标轴于点A，B，设点C为正六边形落在x轴上的顶点，∴点C为AO的中点，又∵x P＝－23，∴AC＝OC＝3.∵OC＝3，∠CDO＝60°，∴OD＝1.又∵OB＝|y P|＝3，∴OD＝1，BD＝2，即正六边形的边长为2.由解图可得|y M|＝BD，|x M|＝3OC，且点M位于第四象限，∴M(33，－2).第15题解图16.125【解析】∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，∴AC ＝BC 2－AB 2＝52－32＝4.∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO ＝QO ，CO ＝AO ＝2，∵PQ 最短也就是PO 最短，∴过点O 作BC 的垂线OP ′，∵∠ACB ＝∠P ′CO ，∠CP ′O ＝∠CAB ＝90°，∴△CAB ∽△CP ′O ，∴CO BC ＝OP ′AB ，∴25＝OP ′3，∴OP ′＝65，∴PQ 的最小值为2OP ′＝125.第16题解图。
中考数学 真题精选 专题试卷 多边形与平行四边形(含答案解析) (含答案解析)
多边形与平行四边形一．选择题1.（，广东）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形答案：A.分析：平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。
60，则这个正多边形是2.（，湖北孝感）已知一个正多边形的每个外角等于A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形考点：多边形内角与外角．.分析：多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．解答：设所求正n边形边数为n，则60°•n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．故选B．点评：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．3．（•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．4．（•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．5．（•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可．解答：解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；D、∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，故选C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．（•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．7．（•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案为：C．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．（•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4考点：平行四边形的性质．分析：根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．解答：解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD﹣MC=3，故选：C．点评：本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．9．（•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．10．（•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．11．（•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．12．（•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．13．（•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．14．（•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．3考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ 面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．15．（•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．16．（•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．17．（•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．解答：解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．18．（•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．19．（•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．二．填空题1. （广东）正五边形的外角和等于（度）.【答案】360.【解析】n边形的外角和都等于360度。
初三数学中考复习平行四边形与多边形专题综合训练题含答案
2019 初三数学中考复习平行四边形与多边形专题综合训练题1.在以下条件中，不可以判断四边形为平行四边形的是 ( A )A ．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行且相等C．两组对边分别平行D．对角线相互均分2．点 A，B，C 是平面内不在同一条直线上的三点，点 D 是平面内随意一点，若 A ，B，C，D 四点恰能组成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有(C)A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3．如图，已知 BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边， AD ⊥BC.将此三角形纸片沿AD 剪开成两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，能拼出( C ) A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在边 BC 上，假如点 F 是边 AD 上的点，那么△ CDF 与△ABE 不用然全等的条件是 ( C )A ．DF＝BE B．AF＝CE C．CF＝AE D．CF∥ AE5．在 ? ABCD 中， AD ＝8，AE 均分∠BAD 交 BC 于点 E， DF 均分∠ADC 交BC 于点 F，且 EF＝2，则 AB 的长为 ( D )A．3B．5C．2 或 3D．3 或 56．在 ? ABCD 中， AB ＝3，BC＝4，当 ? ABCD 的面积最大时，以下结论正确的有(B)①AC ＝5；②∠ A＋∠C＝ 180°；③AC⊥BD ；④AC ＝BD.A ．①②③B ．①②④C．②③④D．①③④7．依据以以下图的三个图所表示的规律，推断第n 个图中平行四边形的个数是( B )A ．3n B．3n(n＋1)C．6n D．6n(n＋1)8．如图，将? ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(C)A ．66°B．104°C．114°D．124°9．如图，在 ? ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是 AD 的中点，作 CE⊥AB ，垂足 E 在线段 AB 上，连接 EF，CF，则以下结论中必定建立的是 __①②④ __．1①∠ DCF＝2∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠ DFE＝3∠AEF. 10．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__9__．11．如图，在平行四边形 ABCD 中， AE⊥BC 于点 E，AF ⊥CD 于点 F，若 AE ＝4，AF ＝6，平行四边形 ABCD 的周长为 40，则平行四边形 ABCD 的面积为__48__．12．如图，在 ? ABCD 中，∠ D＝100°，∠ DAB 的均分线 AE 交 DC 于点 E，连接 BE.若 AE＝AB ，则∠EBC 的度数为 __30°__．13．如图，在 ? ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的均分线 AG 交 BC 于点 E，若 BF＝6，AB ＝5，则 AE 的长为 __8__．14．如图，过 ? ABCD 的对角线 BD 上一点 M 分别作平行四边形两边的平行线EF 和 GH，那么图中的 ? AEMG 的面积 S1和? HCFM 的面积 S2的大小关系是S1__＝__S2(填“>”“或<“”＝”)．15．如图， ? ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A，C 两点作 AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点 F，延伸 AE，CF 分别交 CD，AB 于点 M， N.(1)求证：四边形 CMAN 是平行四边形；(2)已知 DE＝4，FN＝3，求 BN 的长．解： (1)证明：易得 CM ∥AN ，AM ∥CN，四边形 CMAN 是平行四边形．(2)易证△DEM ≌△ BFN，∴DE＝BF＝4.在 Rt△BFN 中，利用勾股定理得BN＝5.16．如图， ? ABCD 中，BD⊥AD ，∠A＝45°，E，F 分别是 AB ，CD 上的点，且 BE＝DF，连接 EF 交 BD 于点 O.(1)求证： BO＝DO；(2)若 EF⊥AB ，延伸 EF 交 AD 的延伸线于点 G，当 FG＝1 时，求 AD 的长．解： (1)证明：易证△ODF≌△ OBE，∴ BO＝DO.(2)由△ODF≌△ OBE 得 OE＝OF.易得△GFD，△DFO，△ OEB 为等腰直角三角形，∴FO＝EO＝DF＝GF＝1，DG GF 2 1∴EF＝2.DG＝ 2.∵DF∥ AE，∴AD＝EF，∴AD＝2.∴AD ＝2 2.17．如图①，在△OAB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，OB＝8.以 OB 为边，在△ OAB 外作等边△OBC， D 是 OB 的中点．连接 AD 并延伸交 OC 于点 E.(1)求证：四边形 ABCE 是平行四边形；(2)如图②，将图①中的四边形 ABCO 折叠使点 C 与点 A 重合，折痕为 FG，求OG 的长．解： (1)证明，△ CBO 为等边三角形，∴∠ COB＝60°，∵∠ AOB ＝30°，∴∠COA ＝∠OAB ＝90°，∴ CE∥AB. ∴∠ OEA＝∠EAB ＝60°＝∠C，∴AE∥BC.∴四边形 ABCE 是平行四边形．(2)设 OG＝x，由折叠知 AG＝CG＝8－x，在 Rt△OAG 中，由勾股定理得 x2＋ (43)2＝(8－2)2，解得 x＝1，即 OG＝1.18．已知，在 ? ABCD 中， AE⊥BC，垂足为点 E，CE＝CD，点 F 为 CE 的中点，点 G 为 CD 上的一点，连接DF，EG，AG，∠ 1＝∠2.(1)若 CF＝2， AE＝3，求 BE 的长；1(2)求证：∠CEG＝2∠AGE.解： (1)BE＝7.(2)过点 G 作 GM ⊥AE 于点CD ，∴ CD＝ 2CG.∴G 为M. 易证△DCF≌△ ECG(AAS) ，∵CG＝FC，∵CE＝DC 的中点．∵MG∥EC∥AD ，∴ M 为 AE 的中1点．∴∠ CEG＝∠MGE ＝2∠AGE.。
中考数学总复习《45多边形与平行四边形》试题训练及解析.doc
第五节多边形与平行四边形基础训练1.（2017苏州中考）如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,贝iJZABE的度数为（B）A.30°B.36°C.54°D.72°“（第1题图）2.（湘西屮考）下列说法错误的是（D）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形2两组对边分别相等的四边形是平行四边形C 一组对边平行冃相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形3・（2015石家屮四十三屮模拟）如图，在口ABCD屮，延长AB到点E,使BE = AB,连接DE交BC于点F,则下列结论不一定成立的是（D）A. ZE=ZCDF B・ EF=DFC. AD = 2BFD. BE=2CF4.（2017 丽水中考）如图，在口ABCD 中，连接AC, ZABC= ZCAD=45° , AB =2,则BC的长是（C）A.y[2B. 2C. 2^2 D・ 45.（荷泽中考）在口ABCD中,AB = 3, BC=4,当口ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（B）①AC = 5；②ZA+ZC=180° ；③AC丄BD；④AC=BD.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④6・（孝感中考）在口ABCD中，AD = 8, AE平分ZBAD交BC于点E” DF平分ZADC 交BC于点F,且EF=2,则AB的长为（D）儿 3 B. 5C 2或3 〃・3或57.平行四边形ABCD与等边AAEF如图放置，如果ZB = 45° ,那么ZBAE 的大小是（A）A.75°B.70°C.65°D.60°8.（北京中考）如图是由射线AB, BC, CD, DE, EA组成的平面图形，则Z1 + Z2+Z3+Z4+Z5= 360°9・（江西中考）如图所示，在oABCD中，ZC = 40° ,过点D作AD的垂线，交AB于点E,交CB的延长线于点F,则ZBEF的度数为§0。
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四边形与多边形
第1课时多边形与平行四边形
A级基础题
1．(2011年广东)正八边形的每个内角为()
A．120°B．135°C．140°D．144°
2．(2012年湖南益阳)如图X4－3－1，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是()
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．梯形
图X4－3－1
图X4－3－2
图X4－3－3
3．(2012年四川广元)若以A(－0.5,0)，B(2,0)，C(0,1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．(2011年湖南郴州)如图X4－3－2，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC
5．(2012年江苏南京)如图X4－3－3，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________.
6．(2011年山东德州)如图X4－3－4，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为________．
图X4－3－4
图X4－3－5
图X4－3－6
7．(2012年湖南怀化)如图X4－3－5，在□ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝____________________________________.
8．(2011年山东临沂)如图X4－3－6，□ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为________．
9．(2012年四川德阳)已知一个多边形的内角和是外角和的3
2，则这个多边形的边数是
________．
10．(2012年湖南郴州)如图X4－3－7，已知：点P是□ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交DC于点F.求证：AE＝CF.
图X4－3－7
11．(2012年福建南平)如图X4－3－8，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E，F 分别在边BC，AD上，连接AE，CF.请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并予以证明．
备选条件：AE＝CF，BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
我选择添加的条件是：__________.
图X4－3－8
(注意：请根据所选择的条件在图中画出符合要求的示意图，并加以证明)．
12．(2012年江苏泰州)如图X4－3－9，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于
点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图X4－3－9
B级中等题
13．(2011年重庆潼南)如图X4－3－10，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF 经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF; ③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是()
图X4－3－10
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
14．(2012年辽宁沈阳)如图X4－3－11，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
图X4－3－11
C级拔尖题
15．(2012年山东威海)(1)如图X4－3－12(1)，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.
求证：AE＝CF.
(2)如图X4－3－12(2)，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.
求证：EI＝FG.
(1)
(2)
图X4－3－12
选做题
16．如图X4－3－13，已知四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：△MEF∽△MBA；
(2)若AF，BE分别为∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.
图X4－3－13
多边形与平行四边形
1．B 2.A 3.C 4.C 5.300° 6.3 7.4 8.6 9.5 10．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .∴∠P AE ＝∠PCF .
∵点P 是□ABCD 的对角线AC 的中点， ∴P A ＝PC .
在△P AE 和△PCE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧
∠P AE ＝∠PCF ，P A ＝PC ，∠APE ＝∠CPF ，
∴△P AE ≌△PCE (ASA)．∴AE ＝CF .
11．解：添加的条件是BE ＝DF .证明如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC . ∵BE ＝DF ，∴AF ＝CE ， 即AF ＝CE ，AF ∥CE .
∴四边形AECF 是平行四边形． 12．证明：∵AE ⊥AD ，CF ⊥BC ， ∴∠EAD ＝∠FCB ＝90°. ∵AD ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠FBC ，
在Rt △AED 和Rt △CFB 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧
∠EAD ＝∠FCB ，∠ADE ＝∠FBC ，AE ＝CF ，
∴Rt △AED ≌Rt △CFB .∴AD ＝BC .
又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 13．B
14．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＝∠BCD .∴∠EAM ＝∠FCN . 又∵AD ∥BC ，∴∠E ＝∠F . 在△AEM 与△CFN 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧
∠EAM ＝∠FCN ，AE ＝CF ，∠E ＝∠F ，
∴△AEM ≌△CFN .
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD . 又由(1)，得AM ＝CN ， ∴BM ∥DN ，BM ＝DN .
∴四边形BMDN 是平行四边形．
15．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，OA ＝OC .∴∠1＝∠2. 在△AOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧
∠1＝∠2，OA ＝OC ，∠3＝∠4，
∴△AOE ≌△COF (ASA)．∴AE ＝CF . (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D . 由(1)，得AE ＝CF ，
由折叠的性质，得AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B ， ∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D ， 又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6. 在△A 1IE 与△CGF 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧
∠A 1＝∠C ，∠5＝∠6，A 1E ＝CF ，
∴△A 1IE ≌△CGF (AAS)．∴EI ＝FG . 16．证明：(1)在□ABCD 中，CD ∥AB ， ∴∠MEF ＝∠MBA ，∠MFE ＝∠MAB . ∴△MEF ∽△MBA .
(2)∵在□ABCD 中，CD ∥AB ， ∴∠DF A ＝∠F AB .
又∵AF 是∠DAB 的平分线，
∴∠DAF ＝∠F AB .∴∠DAF ＝∠DF A .∴AD ＝DF . 同理，得EC ＝BC .
∵在□ABCD 中，AD ＝BC ，∴DF ＝EC .。