地球物理勘探 1-5波动方程的解及地震波的特点解读

kx
）
将上式代入波的Navier方程
2
2U U ( ) grad F 2 t
整理简化，并令体力F=0，可得
2 A1 V 2 A1 0
A2 V 2 A2 0 A3 V 2 A3 0
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无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 第一组解：当 V V p ( 2 ) / 时，
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3.1
无限大、均匀各向同性介质中的平面波
一、沿任意方向传播的平面波
直接用位移向量所表示的波动方程式求解 2i k1 x k2 y k3 z Vt d U A exp Aei Acos i sin 式中：A为振幅，决定位移的大小，ψ 为波的相位. 2π f/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 k1 x k2 y k3 z Vt c 为传播项。 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。
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3.1
无限大、均匀各向同性介质中的平面波
若 k1x k2 y k3 z Vt c 为常数，t固定，该方程代表一个 以 k k1 , k2 , k3 为法向量的平面，波在每个这样的平面上 必然有相同的相位，即平面波是垂直于 k1 x k2 y k3 z 平面传播的。不同的t，有不同的波前面。平面波的波 前面是平行的。
2.2.1

胀缩点震源条件下的球面纵波
1、初始和边界条件
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a 0 或 相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力 位函数或者震源函数可以表示为
0 ( t ) ( t ) 0

k1, k2 , k3 是平面的法线方向数。有
2 2 k12 k2 k3 1
取负号时，表示随时间t的增加，波沿k方向前进，即延 迟一个时间。 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即 提前一个时间 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表 示沿任意方向传播的平面简谐波。
其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波，也称为剪 切波，通常简称为S波。S波有两个质点振动方向：沿Z轴振动的S波分 量为垂直偏振剪切波，称为SV波，沿Y轴振动的S波为水平偏振剪切波， 11 称为SH波。
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
下面进一步讨论在地震勘探的初始和边界条件下，胀缩力divF和旋 转力rotF的作用下，求解波函数，并分析其性质（以纵波为主）
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3 波动方程的解及地震波的特点
地震波的运动特点 惠更斯-夫列涅尔原理 射线积分理论-克希霍夫积分

费马原理和波的射线 时间场和视速度定理
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3 波动方程的解及地震波的特点
在均匀、各向同性、理想弹性介质中的弹性波方程为： 2U 2 U ( ) grad F 2 t 两边取分别散度和旋度，并且令
U A1 exp( vw0
i ( x V p t )) V
沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传播方向与位 移方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。 第二组解：当 V V / 时，
s
u0 v A2 exp[ i ( x Vs t )] V i w A3 exp[ ( x Vs t )] V
VP2 ( 2 ) / VS2 /
则可得纵波方程和横波方程
2 VP2 2 2 t
2 2 V 2 t
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3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍 规律。波动方程的求解通常是和定解问题 联系起来考虑。波动方程的解就是波函数。 在不同的情况下可以得到不同的解， 即波函数有不同的形式。
3 波动方程的解及地震波的特点
本章包括：

无限大、均匀各向同性介质中的平面波 无限大、均匀各向同性介质中的球面波 地震波的动力学特点 地震波的运动学特点
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3 波动方程的解及地震波的特点
P波—波动方程 S波—波动方程 SV波 SH波
无限大、均匀各向同 性介质中的平面波
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3 波动方程的解及地震波的特点
位移方程(P74)
胀缩点震源——球面纵波 震 胀缩力 物理含义
无限大、各向同性 介质中的球面波
源 性 旋转力
质
旋转点震源——球面横波
位移方程
物理含义
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3 波动方程的解及地震波的特点
球面纵波的传播特点 视波长λ 波剖面 视波数k 振动图（实际记录） 视周期T 视频率f 地震波的动力学特点 能量密度 能量和球面扩散 能流密度 球面扩散 地震波的谱分析（傅立叶变换 ） 应用 识别不同的地震波 识别岩性 关 系
边界条件：因已假设弹性介质的空间是无限的，其内不 存在任何弹性分界面，故无边界条件。

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球面纵波：在在均匀各向同性介质中激发点源，所产生 的胀缩力作用面具有球对称性，所产生的波前面是一个 球面，当研究任意一球半径r方向上的纵波的传播特点， 就可以代表其他方向的传播特点，称此为球面纵波。
t0 0 t t t t
（初始条件）
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波

当t<0时，整个空间位函数有：
( x , y , z , t ) x, y, z,t 0, 0 t

在t=0时，点震源开始作用，作用时间为Δ t；


t>△t时，点震源作用完毕。
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二、沿X轴方向传播的平面波（即
k1 1 , k 2 0 , k 3 0 2i U A ex p x Vt d 2i x Vt u A1 ex p 2i x Vt v A2 ex p 2i x Vt w A3 ex p