2010-2-28 函数极限换元法
求函数极限的方法总结
求函数极限的方法总结考研高数求极限是考研数学的重要考点，下面将各种求函数极限的方法总结，欢迎阅读参考！求函数极限的方法总结：1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须*拆分后极限依然存在,e的x次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是x趋近而不是n趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，lnx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，lnx趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)e的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
二元函数求极限的积分换元法技巧总结
二元函数求极限的积分换元法技巧总结在数学中，求解函数的极限是非常重要的一个问题。
而对于二元函数的极限，可以通过积分换元法来进行求解。
积分换元法是一种常用的计算积分的方法，通过引入一个新的变量替代原来的变量，可以简化被积函数，使得积分计算更加便捷。
本文将总结二元函数求极限的积分换元法技巧。
一、二元函数求极限的基本概念在开始介绍积分换元法技巧之前，我们先回顾一下二元函数求极限的基本概念。
对于一个二元函数f(x, y)，当(x, y)趋于某一点(x0, y0)时，如果无论沿着任意方向接近(x0, y0)，函数f(x, y)都趋于某一确定的极限L，则称函数f(x, y)在点(x0, y0)处有极限，记为lim(f(x, y))=(x,y)→(x0, y0) L。
二、积分换元法的基本原理积分换元法的基本原理是通过引入一个新的变量来替代原来的变量，从而改变被积函数的形式，使得积分计算更加便捷。
具体而言，对于二元函数f(x, y)，我们可以将变量x和y分别表示为x=g(u,v)和y=h(u,v)，其中g和h是逆函数。
这样，通过变换后的积分，我们可以利用一元函数的积分性质来求解原始的二元函数极限。
三、积分换元法的技巧总结1. 首先，我们需要选取适当的变量替换，这取决于被积函数的复杂程度。
一般来说，我们可以选取与被积函数形式相似的新变量，或者尝试将函数进行分解，并对其中的一部分进行替换。
2. 接下来，我们需要确定变量替换后的边界条件。
根据变量替换前后的关系，我们可以得到新的边界条件，这对后续的积分计算非常重要。
3. 在进行变量替换后，我们可以利用一元函数的积分性质进行计算。
根据具体情况，我们可以选择使用定积分、不定积分、换元法等方法来求解。
4. 最后，我们需要将新变量的解进行反向的变量替换，得到最终的极限结果。
四、实例分析为了更好地理解积分换元法的技巧，我们来看一个具体的例子。
考虑求解二元函数f(x, y) = x^2 + y^2的极限。
二元函数求极限的积分换元法步骤
二元函数求极限的积分换元法步骤在数学分析中，对于二元函数求极限的过程中，有时会遇到需要进行积分换元的情况。
积分换元法是一种常用的求解积分的方法，可以简化复杂的积分表达式，使之更易求解。
本文将介绍二元函数求极限时的积分换元法步骤，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
一、问题引入对于给定的二元函数 $f(x, y)$，我们希望求解其在点 $(a, b)$ 处的极限值。
为了方便起见，我们可以将问题转化为一个积分问题，并通过积分换元法来求解。
二、积分换元法的基本思想积分换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，使得被积函数在新的变量下表达更加简单。
常用的换元方法包括直接代换法和参数代换法。
三、步骤详解具体而言，二元函数求极限的积分换元法步骤如下：1. 根据问题给定的条件，确定需要求解的二元函数 $f(x, y)$，并确定积分的上下限。
2. 引入新的变量 $u$ 和 $v$，并建立变量间的变换关系，即 $x=g(u, v)$ 和 $y=h(u, v)$。
3. 计算函数 $f(g(u, v),h(u, v))$ 的偏导数 $f_x$ 和 $f_y$。
4. 根据链式法则，计算偏导数 $\frac{{\partial u}}{{\partial x}}$、$\frac{{\partial u}}{{\partial y}}$、$\frac{{\partial v}}{{\partial x}}$、$\frac{{\partial v}}{{\partial y}}$。
5. 计算实变量积分的 Jacobi 行列式$J=\left\vert\begin{matrix}\frac{{\partial x}}{{\partial u}}&\frac{{\partial x}}{{\partial v}}\\\frac{{\partial y}}{{\partial u}}&\frac{{\partialy}}{{\partial v}}\end{matrix}\right\vert$。
二元函数求极限的积分换元法综述
二元函数求极限的积分换元法综述在高等数学中，求二元函数的极限是一个非常重要的概念。
对于一些复杂的函数，直接求解其极限可能会比较困难。
而积分换元法是一种常用的有效方法，可以简化二元函数极限的求解过程。
本文将对积分换元法在求解二元函数的极限中的应用进行综述。
一、积分换元法简介积分换元法是一种常用的积分求解技巧，它通过引入新的变量替代原变量，从而将原积分转化为更加简单的形式。
在二元函数求极限中，我们可以借鉴积分换元法的思想，将原二元函数转化为与之等价的更容易求解的函数形式。
二、二元函数求极限的积分换元法步骤1. 确定变量替换对于给定的二元函数，我们首先需要确定合适的变量替换。
通常情况下，我们选择将二元函数中的一个自变量表示为另一个自变量的函数形式。
2. 进行变量替换根据确定的变量替换，我们将原二元函数中的自变量进行对应的替换。
这样可以将原二元函数转化为只含有一个变量的函数。
3. 求解极限通过变量替换，我们得到了一个只含有一个变量的函数。
接下来，我们可以使用常规的一元函数求极限的方法，对这个函数进行求解。
4. 还原变量在求解极限后，我们需要将之前引入的新变量还原为原二元函数的自变量。
这样可以得到最终的极限结果。
三、实例分析以求解二元函数 f(x,y) = sin(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2) 在点 (0,0) 处的极限为例，综合使用积分换元法进行求解。
1. 确定变量替换我们可以将 x^2 + y^2 表示为 r^2，其中 r 表示点 (x, y) 到原点的距离。
2. 进行变量替换根据变量替换 r^2 = x^2 + y^2，我们将原二元函数中的自变量进行替换。
这样可以得到性质更简单的新的函数 f(r) = sin(r^2) / r^2。
3. 求解极限通过变量替换，我们将二元函数的极限转化为一元函数的极限。
对新函数 f(r) 使用一元函数求极限的方法，我们得到lim(r→0) f(r) = 1。
二元函数求极限的积分换元法注意事项
二元函数求极限的积分换元法注意事项在进行二元函数求极限的积分换元法时，需要注意以下几个事项：1. 理解积分换元法的基本原理：积分换元法是一种常用的求解定积分的方法，通过引入新的变量来替代原积分变量，从而简化积分的计算过程。
对于二元函数求极限的情况，我们需要将二元函数转化为一元函数，再利用积分的基本性质和方法进行求解。
2. 确定适当的积分变量替代：在进行积分换元法时，选择适当的积分变量替代是十分关键的。
一般情况下，我们会选择与问题相关的变量来替代积分变量。
例如，对于二元函数求极限的情况，我们可以选择一个新的变量，例如t，来替代其中一个自变量。
3. 进行变量替代和求导运算：确定了适当的积分变量替代后，我们需要进行变量替代和求导运算，将原积分中的自变量用新变量表示，并求出相应的微分元素。
这一步骤是积分换元法的关键步骤，要注意计算的准确性和步骤的合理性。
4. 转化为一元函数积分：经过变量替代和求导运算后，原二元函数的积分问题将转化为一元函数的积分问题。
我们可以将原二元函数中的另一个自变量视为常数进行处理，并利用积分的基本性质和方法进行求解。
5. 恢复积分变量和极限运算：在对一元函数进行积分求解后，我们需要恢复原积分变量，并再次进行极限运算，以得到最终的二元函数极限的结果。
这一步骤需要注意对积分常数的处理，并确保结果的准确性。
总之，对于二元函数求极限的积分换元法，我们需要理解原理，选择适当的变量替代，进行变量替代和求导运算，转化为一元函数积分，并恢复积分变量和极限运算。
在每个步骤中，都要注意计算的准确性和步骤的合理性。
通过正确地运用积分换元法，我们可以有效地求解二元函数的极限问题。
二元函数求极限的积分换元法思路拓展
二元函数求极限的积分换元法思路拓展在数学中，求解二元函数的极限是一个重要的问题，它在微积分和数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将介绍一种常用的方法，即积分换元法，来求解二元函数的极限问题，并对其思路进行拓展。
一、积分换元法概述积分换元法是一种常见的求解积分的技巧，通过引入一个新的变量代替原变量，从而将原函数转化为一个更容易求解的形式。
对于二元函数求极限的问题，积分换元法同样适用。
二、基本思路求解二元函数的极限可以分为以下几个步骤：1. 将二元函数表示为积分形式，例如：lim[(x,y)→(a,b)] f(x,y) = lim[(x,y)→(a,b)] ∫[c,d] g(x,y) dx2. 进行积分换元，引入一个新的变量代替原变量，例如：令x = φ(u,v), y = ψ(u,v)，则 dx dy = |J| du dv，其中 |J| 为 Jacobian 行列式3. 将原二元函数转化为新变量的函数形式，即：f(φ(u,v), ψ(u,v)) = h(u,v)4. 将极限问题转化为对新函数的极限问题，即：lim[(x,y)→(a,b)] f(x,y) = lim[(u,v)→(α,β)] h(u,v)5. 在新变量下求解极限问题，常使用一元函数求极限的方法，如泰勒展开、洛必达规则等。
三、思路拓展在使用积分换元法求解二元函数极限时，还可以进行以下的思路拓展：1. 多次换元：如果一次换元后仍然难以求解极限，可以考虑进行多次换元，引入更多的新变量，从而将原函数转化为更简单的形式。
2. 函数分解：如果二元函数较为复杂，可以尝试将其分解为多个部分，然后针对每个部分分别进行积分换元，最后再将结果合并求解。
3. 极限的逼近：对于某些极限问题，可以利用极限的逼近性质进行简化。
例如，当 (x,y) 无穷靠近 (a,b) 时，可以将两点间的距离逼近为 0，从而简化极限的计算。
4. 引入参数：在某些情况下，引入参数可以帮助简化二元函数的表达形式。
二元函数求极限的积分换元法应用实例
二元函数求极限的积分换元法应用实例在数学领域中，积分换元法是一种常见且有效的方法，用于解决复杂的积分问题。
在本文中，我们将讨论二元函数求极限的积分换元法的应用实例。
在许多数学问题中，我们常常遇到需要求解二元函数的极限的情况。
而积分换元法可以将这类问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面通过一个实例来说明这个方法的应用。
假设我们要求解如下极限：\[lim_{x\to 0, y\to0} \frac{e^{xy}-1}{xy}\]这是一个涉及指数函数的二元极限问题，看起来比较复杂。
为了简化问题，我们可以尝试进行积分换元。
首先，我们可以设定新的变量：\[u = xy\]当我们对x和y进行积分换元时，我们可以使用链式法则：\[du = xdy + ydx\]接下来，我们将原始的二元函数改写为关于新变量u的函数：\[f(u) = \frac{e^u - 1}{u}\]现在，我们的问题转变为求解关于u的单变量极限。
对于这类问题，我们可以使用泰勒级数展开来逼近函数。
在这个例子中，我们可以利用泰勒级数展开来近似函数e^u和1/u。
\[e^u \approx 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + \cdots\]\[\frac{1}{u} \approx \frac{1}{u}\]通过将这些近似代入到原始函数中，我们得到：\[f(u) \approx \frac{(1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\cdots) - 1}{u}\]化简上述等式，我们可以得到：\[f(u) \approx 1 + \frac{u}{2} + \frac{u^2}{6} + \cdots\]现在，我们再将u替换回原来的变量xy。
得到我们的近似解：\[lim_{x\to 0, y\to0} \frac{e^{xy}-1}{xy} \approx lim_{u\to 0} (1 +\frac{xy}{2} + \frac{(xy)^2}{6} + \cdots)\]\[= 1\]通过积分换元法和泰勒级数展开，我们成功地将原始的复杂二元极限问题转化为一个更简单的一元极限问题，并得到了近似解为1。
二元函数求极限的积分换元法指南
二元函数求极限的积分换元法指南在微积分学中，求解二元函数的极限是一个重要的问题。
为了解决这个问题，数学家们提出了不同的方法和技巧。
其中，积分换元法是一种常用且有效的方法。
本篇文章将为您介绍二元函数求极限的积分换元法指南，帮助您掌握这一技巧。
一、积分换元法简介积分换元法是一种基本的积分计算方法，通过引入新的变量来替代原积分中的变量，从而简化积分计算的过程。
对于一元函数的积分计算，我们可以通过变量代换来实现。
而当面对二元函数的积分计算时，积分换元法同样可以应用。
二、基本思想与步骤积分换元法的基本思想是将原积分中的变量替换为一个新的变量，使得被积函数在新的变量下更易于处理。
具体的步骤如下：1. 确定新的变量：根据被积函数的特点和形式，选择一个适当的新变量。
2. 建立变量之间的关系：通过建立原变量和新变量之间的关系式，将被积函数转化为只包含新变量的函数。
3. 计算微元变量：利用变量之间的关系式，计算出微元变量的值，并将其代入被积函数中。
4. 改变积分区域：由于变量的变换，积分区域也需要进行相应的变化。
5. 进行积分计算：将新的变量代入原积分式中，进行积分计算。
6. 化简与求解：根据具体的问题，进一步化简和求解出最终的结果。
三、实例演示接下来，通过一个实例来演示如何利用积分换元法求解二元函数的极限。
设有二元函数 f(x, y) = sin(x^2 + y^2)，我们要求解该函数在极限x→π/2，y→π/4 时的值。
1. 确定新的变量：我们选择 u = x^2 + y^2 作为新的变量。
2. 建立变量之间的关系：根据选定的新变量，我们可以将 x 和 y 表示为原变量的函数。
则有x = √(u - y^2)，y = √(u - x^2)。
3. 计算微元变量：由于新的变量 u 是关于 x 和 y 的函数，利用雅可比行列式可以计算出微元变量的值。
dx dy = |J| du dy，其中 J 为雅可比行列式。
通过计算得到|J| = 2√(u - x^2)√(u - y^2)。
利用变量替换法求解二元函数的极限
利用变量替换法求解二元函数的极限在数学中，极限是研究函数性质和计算各种数学问题的重要概念之一。
对于一元函数来说，我们可以使用常规的极限计算方法，如直接代入法或利用极限公式等。
然而，对于二元函数，我们需要采用不同的方法来求解其极限。
本文将介绍一种常用的方法——利用变量替换法，来求解二元函数的极限问题。
1. 基本概念在讨论变量替换法之前，我们先来回顾一下二元函数的极限的定义。
设有二元函数 f(x, y)，当 (x, y) 接近点 (a, b) 时，如果对任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当点 (x, y) 满足0<√((x-a)² + (y-b)²)<δ 时，都有 |f(x, y) -L|<ε 成立，那么称函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处极限为 L，记作lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) = L。
2. 变量替换法的基本思想变量替换法是一种常用的数学计算方法，用于处理二元函数极限问题。
其基本思想是通过引入新的变量来替代原有的变量，并且通过合适的变量代换，使得问题变得更容易求解。
这样，我们可以将原二元函数转化为一元函数，然后利用一元函数的极限计算方法求解。
3. 具体步骤下面，我们将介绍具体的变量替换法计算二元函数极限的步骤。
以二元函数 f(x, y) 的极限问题为例，求解极限lim_(x,y)→(a,b) f(x,y)。
步骤一：观察极限表达式，如果存在类似于 0/0 或∞/∞ 的形式，可以尝试进行变量分解。
例如，如果极限表达式为lim_(x,y)→(a,b) (g(x) - h(y))/(f(x) - f(y))，且在点 (a, b) 处 f(a) = f(b) = 0，那么我们可以将函数 f(x, y) 进行变量分解，得到 (g(x)/f(x) - h(y)/f(y))/(1 - f(y)/f(x))。
步骤二：根据问题的特点，选择合适的变量代换来简化表达式。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧在微积分中，函数的极限是一种重要的概念，能够给我们关于函数表现的重要见解。
如果我们想要计算函数的极限，我们需要掌握一些方法和技巧。
接下来，我将分享一些关于函数极限的方法和技巧。
1. 代入法代入法是计算函数极限最简单的方法之一。
这种方法的基本思想是通过把自变量x代入函数，计算出函数在这个特定点的值。
如果在x值趋近于某个数（通常是无穷大或无穷小）时，函数的值趋近于某个确定的数，那么我们可以说这个确定的数是函数在这个值处的极限。
例如，我们想要求函数f(x)=x^2-3x+2在x=2处的极限，我们可以代入x=2，计算出函数在这个点的值为f(2)=2，因此我们可以认为x=2时，函数的极限值为2。
2. 有理函数的极限有理函数是指最高次项为整数的分式函数。
对于有理函数，求函数极限的方法是分子分母同时除以最高次项，并且观察分式函数的分母是否含有因式，如果含有因式，就要进行约分。
如果分式函数的最高次项在分子和分母中的次数相同，那么函数的极限将等于最高次项在分子和分母中次数相同的项的系数之比。
例如，对于函数f(x)=(2x^3-x^2+3)/(x^3+2)，最高次项在分子和分母中的次数都是3，因此我们把分子和分母同时除以x^3，得到f(x)=(2-1/x+3/x^3)/(1+2/x^3)，此时我们可以得到极限为2/1=2。
对于三角函数的极限，实际上我们需要先把三角函数化为有理函数。
以下是常见的三角函数的有理函数表达式：sin x/x=1-cos^2 x/2!如果我们能够将三角函数化为有理函数的形式，那么我们就可以运用有理函数求极限的方法进行计算。
4. 换元法换元法是求函数极限的一种常见方法。
这种方法的基本思想是将函数的自变量用另一个变量来表示，从而更容易计算函数的极限。
通常情况下，我们选择一些特定的换元方式来将函数中的一些特别复杂的部分换成简单的部分。
例如，对于函数f(x)=sqrt(x^2+1)+x，我们可以选择x=tanθ，这样我们可以将函数化为f(x)=(secθ)+tanθ。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数极限的换元法函数极限的换元法是一种相当实用的方法. 正如积分换元法在积分计算中有着十分广泛的应用，函数极限的换元法在函数极限的计算中也有着十分广泛的应用. 运用函数极限的换元法，我们能够很快地求出许多复杂函数的极限. 下面就来介绍并证明函数极限换元法的有关定理.一、x 趋向于,,∞+∞-∞这个法则的内涵是很丰富的，它其实上包含18个具体的法则. 首先必须指出的是，000,,,,,t t t +-∞+∞-∞都是形式上的符号，我们必须把它们代入后再理解. 之所以这么做，是为了法则表示的简洁，从而应用起来更有效率. 法则1告诉我们的是，把K 任意取定一个符号，然后再把T 任意取定一个符号，所得到的命题是成立的. 也就是说，法则1告诉我们有18条法则是成立的. 下面的法则2和法则3会采用类似的记法.二、x 趋向于000,,x x x +-这类情形的换元法法则比较复杂. 我们有法则2和法则3. 需要指出的是，为了形式上的简洁和记忆的方便，我们说x 向于0x +是指x 从右边趋向于x 0，也就该法则中有三个特别定义的符号，即(K), UF (T )与R [K , g (t ), t 0]. 形式上，当K =x 0, 0x +, 0x -时，(K )=x 0. 规定UF (T )是一个集合，当T =t 0时UF (T )表示t 0的某一个去心领域；当T =0t +时UF (T )表示t 0的某一个去心右领域；当T =0t -时UF (T )表示t 0的某一个去心左领域；当T =∞时UF (T )表示∞的某个邻域；当T =+∞时UF (T )表示+∞的某个邻域；当T =-∞时UF (T )表示-∞的某个邻域. 规定R [K , g (t ), x 0]是一个命题公式. 当K =x 0时，表示命题g (t )≠x 0；当K =0x +时，表示命题g (t )>x 0；当K =0x -时，表示命题g (t )< x 0.法则2实际上也包含了18个具体的法则. 这些具体的法则在证明的时候将会一一列出来. 法则2中定义了3个计算机程序意义上的“函数”，这样做，可以把18个具体的法则用比较精炼的语言叙述出来，形式上简洁，记忆方便，运0不讨论了. 我们来分析一下三个法则的共同特点. 三个法则都要求所求极限存在，也就是说，这三个法则一般情况下是不能用来判断函数极限存在性的，而是用来在已经知道极限存在的情况下去计算函数极限的值. 其次，三个法则都是把计算0lim ()x x f x →转化为计算lim [()]t Tf g t →. 法则1和法则2总共包含36种具体情况，一般情况下，这两条法则就已经足够解决许多极限的计算问题.三、证明下面我们仅就T =t 0和T =∞的情况给出法则1和法则2的证明，法则3的证明比较容易，故从略.首先来证明T =t 0的情况.(1)若lim ()x f x →∞存在，0lim ()t t g t →=∞，那么有0lim ()lim [()]x t t f x f g t →∞→=.证明 设lim ()x f x A →∞=，那么对∀ε>0, 总是∃M >0, 对∀x ∈(;)U M ∞，有|f (x )-A |<ε. 由于0lim ()t t g t →=∞，所以对于上面的M >0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|g (t )|>M ，即g (t )∈(;)U M ∞，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0lim [()]lim ()x t t f g t A f x →∞→==.(2)若lim ()x f x →+∞存在，0lim ()t t g t →=+∞，那么有0lim ()lim [()]x t t f x f g t →+∞→=.证明 设lim ()x f x A →+∞=，那么对∀ε>0, 总是∃M >0, 对∀x ∈(;)U M +∞，有|f (x )-A |<ε. 由于0lim ()t t g t →=+∞，所以对于上面的M >0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有g (t )>M ，即g (t )∈(;)U M +∞，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0lim [()]lim ()x t t f g t A f x →+∞→==.(3)若lim ()x f x →-∞存在，0lim ()t t g t →=-∞，那么有0lim ()lim [()]x t t f x f g t →-∞→=.证明 设lim ()x f x A →-∞=，那么对∀ε>0, 总是∃M >0, 对∀x ∈(;)U M -∞，有|f (x )-A |<ε. 由于0lim ()t t g t →=-∞，所以对于上面的M >0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有g (t )<-M ，即g (t )∈(;)U M -∞，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0lim [()]lim ()x t t f g t A f x →-∞→==.(4)若0lim ()x x f x →存在，00lim ()t t g t x →=，∃δ>0, 对∀t ∈0(;)o U t δ有g (t )≠ x 0，那么有0lim ()lim [()]x x t t f x f g t →→=.证明 设0lim ()x x f x A →=，那么对∀ε>0, 总是∃δ1>0, 对∀x ∈01(;)o U x δ，有|f (x )-A |<ε. 由于“00lim ()t t g t x →=，∃δ2, 对∀t ∈02(;)o U t δ有g (t )≠x 0”，所以对于上面的δ1>0，总是∃δ，0<δ<δ2，对∀t ∈0(;)o U t δ，有0<|g (t )-x 0|<δ1，即g (t )∈01(;)o U x δ，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0lim [()]lim ()x x t t f g t A f x →→==.(5)若0lim ()x x f x +→存在，00lim ()t t g t x →=，∃δ>0, 对∀t ∈0(;)o U t δ有g (t )> x 0，那么有0lim ()lim [()]t t x x f x f g t +→→=.证明 设0lim ()x x f x A +→=，那么对∀ε>0, 总是∃δ1>0, 对∀x ∈01(;)oU x δ+，有 |f (x )-A |<ε. 由于“00lim ()t t g t x →=，∃δ2, 对∀t ∈02(;)o U t δ有g (t )>x 0”，所以对于上面的δ1>0，总是∃δ，0<δ<δ2，对∀t ∈0(;)o U t δ，有0<g (t )-x 0<δ1，即g (t )∈01(;)oU x δ+，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0lim [()]lim ()t t x x f g t A f x +→→==. (6)若0lim ()x x f x -→存在，00lim ()t t g t x →=，∃δ>0, 对∀t ∈0(;)o U t δ有g (t )< x 0，那么有0lim ()lim [()]t t x x f x f g t -→→=. 证明 设0lim ()x x f x A -→=，那么对∀ε>0, 总是∃δ1>0, 对∀x ∈01(;)oU x δ-，有 |f (x )-A |<ε. 由于“00lim ()t t g t x →=，∃δ2, 对∀t ∈02(;)o U t δ有g (t )<x 0”，所以对于上面的δ1>0，总是∃δ，0<δ<δ2，对∀t ∈0(;)o U t δ，有-δ1<g (t )-x 0<0，即g (t )∈01(;)oU x δ-，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0lim [()]lim ()t t x x f g t A f x -→→==. 上面对T =t 0的情况给出了证明，当T 为00,t t +-时，证法完全类似，只需要把t 0换成其它的形式，并且把U o (t 0)换成相应的区间，然后逐字逐句重复.然后来证明T =∞的情况.(1)若lim ()x f x →∞存在，lim ()t g t →∞=∞，那么有lim ()lim [()]x t f x f g t →∞→∞=.证明 设lim ()x f x A →∞=，那么对∀ε>0, 总是∃M >0, 对∀x ∈(;)U M ∞，有|f (x )-A |<ε. 由于lim ()t g t →∞=∞，所以对于上面的M >0，总是∃N >0，对∀t ∈(;)U N ∞，有|g (t )|>M ，即g (t )∈(;)U M ∞，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃N >0，对∀t ∈(;)U N ∞，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 lim [()]lim ()t x f g t A f x →∞→∞==.(2)若lim ()x f x →+∞存在，lim ()t g t →∞=+∞，那么有lim ()lim [()]x t f x f g t →+∞→∞=.证明 设lim ()x f x A →+∞=，那么对∀ε>0, 总是∃M >0, 对∀x ∈(;)U M +∞，有|f (x )-A |<ε. 由于lim ()t g t →∞=+∞，所以对于上面的M >0，总是∃N >0，对∀t ∈(;)U N ∞，有g (t )>M ，即g (t )∈(;)U M +∞，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃N >0，对∀t ∈(;)U N ∞，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 lim [()]lim ()t x f g t A f x →∞→+∞==.(3)若lim ()x f x →-∞存在，lim ()t g t →∞=-∞，那么有lim ()lim [()]x t f x f g t →-∞→∞=.证明 设lim ()x f x A →-∞=，那么对∀ε>0, 总是∃M >0, 对∀x ∈(;)U M -∞，有|f (x )-A |<ε. 由于lim ()t g t →∞=-∞，所以对于上面的M >0，总是∃N >0，对∀t ∈(;)U N ∞，有g (t )<-M ，即g (t )∈(;)U M -∞，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃N >0，对∀t ∈(;)U N ∞，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是lim [()]lim ()t x f g t A f x →∞→-∞==.(4)若0lim ()x x f x →存在，0lim ()t g t x →∞=，∃N >0, 对∀t ∈(;)U N ∞有g (t )≠ x 0，那么有0lim ()lim [()]x x t f x f g t →→∞=.证明 设0lim ()x x f x A →=，那么对∀ε>0, 总是∃δ1>0, 对∀x ∈01(;)o U x δ，有|f (x )-A |<ε. 由于“0lim ()t g t x →∞=，∃N 2, 对∀t ∈2(;)U N ∞有g (t )≠x 0”，所以对于上面的δ1>0，总是∃N >N 2，对∀t ∈(;)U N ∞，有0<|g (t )-x 0|<δ1，即g (t )∈01(;)o U x δ，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃N >0，对∀t ∈(;)U N ∞，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0lim [()]lim ()t x x f g t A f x →∞→==.(5)若0lim ()x x f x +→存在，0lim ()t g t x →∞=，∃N >0, 对∀t ∈(;)U N ∞有g (t )> x 0，那么有0lim ()lim [()]t x x f x f g t +→∞→=. 证明 设0lim ()x x f x A +→=，那么对∀ε>0, 总是∃δ1>0, 对∀x ∈01(;)oU x δ+，有 |f (x )-A |<ε. 由于“0lim ()t g t x →∞=，∃N 2, 对∀t ∈2(;)U N ∞有g (t )>x 0”，所以对于上面的δ1>0，总是∃N >N 2，对∀t ∈(;)U N ∞，有0<g (t )-x 0<δ1，即g (t )∈01(;)oU x δ+，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃N >0，对∀t ∈(;)U N ∞，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0lim [()]lim ()t x x f g t A f x +→∞→==. (6)若0lim ()x x f x -→存在，0lim ()t g t x →∞=，∃N >0, 对∀t ∈(;)U N ∞有g (t )< x 0，那么有0lim ()lim [()]t x x f x f g t -→∞→=. 证明 设0lim ()x x f x A -→=，那么对∀ε>0, 总是∃δ1>0, 对∀x ∈01(;)oU x δ-，有 |f (x )-A |<ε. 由于“0lim ()t g t x →∞=，∃N 2, 对∀t ∈2(;)U N ∞有g (t )<x 0”，所以对于上面的δ1>0，总是∃N >N 2，对∀t ∈(;)U N ∞，有-δ1<g (t )-x 0<0，即g (t )∈01(;)oU x δ-，从而|f [g (t )]-A |<ε.总的来说就是，对∀ε>0，总是∃N >0，对∀t ∈(;)U N ∞，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0lim [()]lim ()t x x f g t A f x -→∞→==. 上面对T =∞的情况给出了证明，当T 为+∞, -∞时，证法完全类似，只需要把∞换成其它的形式，并且把U (∞)换成相应的区间，然后逐字逐句重复.。