确定函数极限的常用方法
确定函数极限的常用方法
内容摘要
在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，并展示了利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了重点说明,并以实例进行了具体注解,使方法更具针对性、技巧性和可操作性。
关键词：函数，求极限，基本方法
Common method to determine the limit of function
Abstract
In mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit methods are crucial. This paper mainly discussed, summed up the general method of seeking the limit of a function and demonstrated the use of special methods for Integral limit, and the characteristics of each method and precautions were highlighted, and specific examples to comment, make way more and targeted, skill and operability.
keyword：Function, Limit, The basic method
目录
一、引言 (1)
二、函数极限的基本知识 (1)
（一）函数极限的定义 (1)
（二）函数极限的性质 (1)
三、函数极限的基本解法 (2)
（一）定义法 (2)
（二）利用极限四则运算法则 (2)
（三）利用迫敛性定理求极限 (3)
（四）利用两个重要极限求极限 (3)
（五）利用左右极限求极限 (4)
（六）幂指函数求极限 (4)
四、函数极限的微积分解法. (5)
（七）利用无穷小量求极限 (5)
（八）利用洛比达法则求极限 (7)
（九）利用单调有界准则求极限 (9)
（十）利用中值定理求极限 (10)
五、小结 (11)
参考文献 (11)
致谢 (11)
确定函数极限的常用方法
一、引言
纵观整个高等数学体系我们可以发现极限问题一直贯穿始末。因此，极限作为《数学分析》中一个最重要的概念，极限理论与极限解法是我们所必须解理与握掌的，而活灵握、运用求极限的方法更是学好《数学分析》的基础。但是，由于数学题型是多种多样的，实际问题又是千变万化的，因此求极限的方法也是因题而异、多种多样、变化多端，面对这些题型有时真的感到变幻莫测无从下手。本文特对一些限极的计算方法进行归纳总结，并通过对一些高等院校历年来研究生入学考试典型试题的特征进行了深刻的分析，借以说明其求解方法与技巧，力求做到灵活应用求极限的方法。
二、函数极限的基本知识
(一)函数极限的定义
（二）函数极限的性质
性质1 ()lim x a
f x →A =的充要条件是()f x 在a 点的左右极限都存在且都为A .
性质2 唯一性 若()lim x a
f x →存在，则它只有一个极限.
性质3 局部有界性 若()lim x a
f x →存在，则()f x 在a 的某个空心领域内有界.
定义：设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0,存在正数
()M a ≥，使得当x M >时有
()f x A ε-<，
则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作
()lim x f x A →∞
= 或 ()()f x A x →→+∞。
特别的，对上述定义，当x 趋于+∞[或-∞或∞]时，()f x 的极限仍然存在；当x 趋于a +（或a -）时，()f x 的左右极限也存在。
三、函数极限的基本解法
（一）定义法
极限的计中，应应义定法来求解是最遍普的一种方法。虽然它对于求解所有的极极都实用，但是对于复杂的限来说应用定义法算起来会比较非常麻烦，因
些比较简单的题型。
此定义法一般适用于一 例1 按定义证明 1
lim 0x x
→∞=.
证明 任给0ε>，取 1
M ε
=，则当 x M >时有
1110x x M
ε-=<=， 所以 1
lim
0x x
→∞=. )二( 利用极限四则运算法则
1. 若()lim x a
f x A →=，()lim x a
g x B →=，则 ()()lim x a
f x
g x A B →±=±????.
()()lim x a
f x
g x AB →=????.
2. ()lim x a
f x A →=,()lim 0x a
g x B →=≠,则
()()
lim
x a
f x A
g x B
→=
. 必
是要求参加运算的函数算求函数极限时，首先应用函数极限的四则运性质4 局部保号性 若()f x 在a 点极限为A （0A >），则对任意正数r ，存在a
的一个空心邻域()o U a ，使得对()o U a 中的任意x ，恒有
()0f x r >>.
性质5 不等式 若()lim x a
f x →A =，()lim x a
g x B →=，且有0δ>
()(),f x g x x ≤?∈(),O U a δ 成立，则A B ≤，即()()lim lim x a
x a
f x
g x →→≤.
性质6 迫敛性（两边夹） 若()()lim lim x a
x a
f x
g x A →→==，且有0δ>，
()()()f x h x g x ≤≤ (),x U a δ?∈ 则()lim x a
h x A →=.
需是收敛的，其是作为分母的函数的限限不能为0，再次的限限不能为0 .因子消去分子分母的公共零算前，先把所给的商式
例2 求极限 237
lim 5
x x x →+-
解 ()
()22
2333
lim 7737
lim 85lim 535
x x x x x x x →→→+++===----.
例3 求极限
lim
x →∞
解
lim
x →∞
x =
2
2+2
=12
x =
=. )三( 利用迫敛性定理求极限
或放大或缩小，使得放大，可将函数进行适当的当函数极限不易求出时
公共值。
，则极限存在，且等于限，若二者的极限相同缩小后的函数易于求极 例4 求极限 2sin lim 4
x x x
x →+∞-
解 由于0sin 1x ≤≤，故0≤2sin 4x x x - 24
x
x ≤-.
又 21
lim lim 04
4x x x x x x
→+∞→+∞==-- 故 2
2+sin 0lim lim 044x x x x x x x →+∞→∞≤≤=-- 即 2sin lim 4
x x x
x →+∞-0=.
)四( 限利用两个重要极限求极
两个重要的极限：1. 0sin lim 1x x x →= 2. 1lim 1x
x e x →∞??
+= ???
第一个极限比较简单，是“0
”型，一般可以通过等价无穷小来实现；第二
个极限比较复杂，在计算时应注意它是()
1+无穷大
无穷小，是典型的“1∞”，具有
“外大内小，内外颠倒”的特点。在利用这两个重要极限求要求的函数极限时，
其关键是在于把要求的函数极限进行转化，转化成重要极限的标准型或重要极限的变形，然后才能进行计算。
例5 求极限
x →
解
0x →
)
)
00sin 41sin 4lim lim 414x x x x x x →→==?
)
00sin 4lim
lim 4
144x x x
x
→→=?=.
例6 求极限 21
32lim 31x x x x -→+∞+?? ?-??
解 21
32lim 31x x x x -→+∞+??
?-??
121
21
133
11lim 1lim 133x x x x x x x x -??--? ???-
→∞→∞??
??
? ?=+=+ ? ? ?
?
--?
??
?
1
2113131lim 113x x x
x x -
??-? ???-
→∞??
?=+ ? ?
-?
?2e =.
函数()f x 在x a →时极限存在的充要条件是左右极限各自存在且相等，即()()lim lim x a
x a
f x f x -+→→=，这个公式既是求极限的有力的方法，也是证明极限存
的有力工具。对分段函数求问题应用尤多，而分段函数在分段点上求极限时，必须考虑该分段点的左右极限。
例7 设()f x 6,
10,36,x x ??
=??+?
02223x x x ≤<=<≤ 讨论()2
lim x f x →是否存在.
解 因为()2
2
lim lim 612x x f x x --→→== ()2
2
lim lim (36)12x x f x x ++→→=+=
()()22
lim lim 12x x f x f x -
+→→==
所以 ()2
lim x f x → 存在且 ()2
lim x f x →12=. （六）幂指函数求极限
的极限.
这类极限常用的方法是先取对数，再求指数，把求“幂”的极限化为求“积”
（五）利用左右极限求极限
例8
求极限()1
lim x
x→
解原式
=
1
ln
0 lim x
x
e
→
0000
1ln1
lim ln lim
2
x x x x
x x
→→→→
====-所以，原式
1
2
e-
=.
例9 求极限
1
ln
lim arctan x
2
x
x→+∞
??
-
?
??
π
.
解原式
1
ln arctan
ln2
lim x
x
x
e
??
-
?
??
→+∞
=
π
，其中
2
11
1+x
ln arctan arctan
22
lim lim
1
ln
x x
x x
x
x
→+∞→+∞
??
?-
?
????
--
?
??=
ππ
2
1
lim
arctan
2
x
x
x
x
→+∞
-
+
=
-
π
()
()
2
2
22
2
2
12
11
lim lim0
1
1
x x
x x x
x x
x x x
x
→+∞→+∞
+-?
-
+-
===
+
-
+
，
所以，原式01
e
==
1.利用无穷小量的性质
还是
意有限个无穷小量的和
积仍然是无穷小量，任
无穷小量与有界量的乘
求函数极
倒数也是无穷小量。在
函数中任一无穷大量的
无穷小量，在同一变量
简便。
小量，从而使计算更加
价无穷小量来代替无穷
限的过程中，也可以等
例10求极限
2
1
lim cos
x
x
x
→∞
解因为
2
1
lim0
x x
→∞
=故x→∞时，
2
1
x
是无穷小量，
而lim cos
x
x
→∞
是有界量所以
2
1
lim cos
x
x
x
→∞
是无穷小量，
四、函数极限的微积分解法
（七）利用无穷小量求极限
即 2
1
lim
cos x x x →∞0=.
法，通常会给解题带来很大的方便。关于等价无穷小有一个重要的特点：若
lim 0α=，lim 0β=且'
~αα，'
~ββ，''lim A αβ=，则'
'lim lim A ααββ
==.在计
当0x →时，sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ，1~x e x -，
2
2
1cos ~
x x -，()ln 1~x x +，1~ln x a x a -
1~
x n
，()11~a
x ax +-. 例11 求极限 0sin 5lim
tan 4x x
x
→
解 用等价无穷小替换，sin ~x x ，tan ~x x （0x →）
0sin 5lim
tan 4x x x →055
lim 44
x x x →==.
例12 求极限 2
2
lim
sin 2x
t x x e dt
x x
→-?
解 用等价无穷小替换，sin ~x x ，1~x e x - （0x →）
2
02
lim
sin 2x
t x x e dt
x x
→-?2
2
3
2
01lim
lim 26x
t x
x x x e dt
e x x →→--==? 2
201lim 6x x e x →-=2201
lim 66
x x x →-==-.
()f x ()()()()()1
1
'
()()()()()()!1!
n
n n n f a f f a f a x a x a x a n n ξ++=+-++-+
-+ ， 2.利用等价无穷小量代替来求极限
泰勒公式（1）设()f x 在[],a b 上存在直到n 阶连续导数，在(),a b 内存在1n +阶导数，则
3.利用泰勒公式求极限
等价无穷小通常是针对一些0
型的极限，若恰当的使用等价无穷小这种方
算的过程中，等价无穷小是替换的是分子分母或它们的乘积因子，从而达到简 化极限计算的目的。
其中(),a b ξ∈.
（2）有限增量公式 若()f x 在点a 可导，则
()f x ()()()()'f a f a x a o x a =+-+-.
例13 求极限0
lim
x →22
4
cos x x e
x -
-.
解 0
lim
x →22
4
cos x x e
x --4
540()
1
12lim 12
x x o x x →-+=-.
245cos 1()224
x x x o x =-++ 2
2452
1()212x
x x e o x -=-++
2
4
52
cos ()12
x x x e
o x -
-=-+ 因而求得24
52
4
400()
cos 1
12lim
lim 12
x x x x o x x e x x -→→-+-==-.
1.洛比达法则：
（1）若()lim 0x a
f x →=，()lim 0x a
g x →=.
()f x 和()g x 在a 的某空心邻域()o U a 内可导，()'0g x ≠.
如果当0x x →（或x →∞）时，两个函数()f x 和()g x 都趋于零或无穷大，那么极限()()
lim
x x f x g x →（或()()
lim
x f x g x →∞
）可能存在，这种极限叫做未定式并且分别简记为
型或
∞
∞
型。对于这类极限，一般可按洛比达法则求解。 （八）利用洛比达法则求极限
本题也可用洛比达法则求解，但是运算过程比较繁琐，因此可用泰勒公式化简计算过程。考虑到极限分母是4x ，我们用麦克劳林表示极限的分子，取(4n =).
由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。
且()()
''lim
x a
f x A
g x →=，则 ()()
()()
''lim
lim
x a
x a
f x f x A
g x g x →→==.
（2）若()lim x a
f x →=∞，()lim x a
g x →=∞.
()f x 和()g x a 的某空心邻域()o U a 内可导，()'0g x ≠.
且()()
''lim
x a
f x A
g x →=，则 ()()
()()
''lim
lim
x a
x a
f x f x A
g x g x →→==.
洛比达法则说明了在一定条件下若不能直接求出函数的极限，则可将函数的
次使用洛比达法则，即对函数极限的分子分母分别进行二次求导
()()
()()
()()
''''
''
lim
lim
lim
x a
x a
x a
f x f x f x
g x g x g x →→→==.这也就是说，可以多次使用洛比达法则.
例14 求极限 ()
2
ln 1lim
x x xe x x
→-+
解 这是
型未等式，用洛比达法则可得 ()
2
ln 1lim
x
x xe x x →-+()0
111lim
2x x x e x x
→+-
+=()()2011lim 21x
x x e x x →+-=+ ()()2
211lim
42
x x
x x e x e x →+++=+3
2
=
. 例15 求极限2
2
2lim x
t x x x e dt
e
→+∞
?
解 这是
∞
∞型未等式，用洛比达法则可得 2
2
2lim
x t x
x x e dt
e
→+∞
?2
2
222
2
2
2
202222lim
lim
22x
t x
x x x
x x x x x e dt xe e e x e xe
e x e
→+∞
→+∞
+++==+?
2
2
22lim 112x x x →+∞+==+ 分子分母先分别进行求导然后在求极限，若还是不能求出函数的极限，则可再 （3）类似有单侧极限的不定式的洛比达法则.
2.其它类型的未定式，如∞-∞，0-∞，1∞，0∞等都可以转化成00型或∞
∞
型，
然后再用洛比达法则进行求解.
例16 求极限 ()011lim ln 1x x x →??
- ? ?+?
? 解 这是一个∞-∞型未等式，先将其转化成0
型未等式，然后再 用洛比达法则可得
()011lim ln 1x x x →??- ? ?+??()()0ln 1lim ln 1x x x x x →-+=+()0111lim ln 11x x
x x x
→-
+=++
+ ()()()0011
lim
lim 1ln 1ln 122
x x x x x x x →→===+++++.
必有极限，且极限唯一.
数列两端同时取极限.
例17 给定数列00a =，1
1
121n n n a a a --+=
+，（1
,2,n = ）
证明：lim n n a →∞
存在，并求此极限.
证明 先用数学归纳法证明
1n n a a -≥ 1,2,n = * 当1n =时，00a =，0
100
1211a a a a +=
=>+. 即当1n =时*式成立，归纳总结12n n a a --≥，再证n 时，
()()
1212
11212121201111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ---------++--=
-=≥++++.
利用单调有界准则求极限，首先要证明函数列的极限是存在的，然后再在函 单调有界准则：若函数列是单调增（或减）且有上界（或下界），则函数列 （九）利用单调有界准则求极限
1n n a a -∴≥.
从而*式成立，即{}n a 单调递增. ()1111
2112211n n n n n a a a a a ----++=
≤=++. 即 {}n a 有上界.∴lim n n a l →∞
=存在.且12l <≤ 对 11121n n n a a a --+=
+两端求极限有 121l
l l
+=+，解的
l =
或
l = （舍） lim n n a →∞
∴
=
12
+.
例18 求 sin 0lim sin x x
x e e x x
→--
解 设()f x x e =，由拉格朗日中值定理得，
()[]sin sin 'sin sin (sin )x x x x e e e x x f x x x θ--==-+- ()01θ<<
即 sin sin x x
e e x x
--=[]'sin (sin )f x x x θ+- ()01θ<<
因为 ()'x f x e = 连续，所以0
lim x →[]'sin (sin )1f x x x θ+-=
于是 sin 0lim
1sin x x
x e e x x
→-=-.
例19 求4
lim cos n n xdx →∞?π.
2.利用积分中值定理求极限 1.利用微分中值定理
（十）利用中值定理求极限
解 04ε?<<
π，cos ,4n x ε??
∈????
π，由积分中值定理得 44
00
cos cos cos 1cos 4n
n
n
n n xdx xdx xdx dx εε
εεξ??=+≤+- ????
???ππ
π4εεε??
≤+- ???
π，
所以，lim
n →∞
40
cos 0n xdx =?
π
五、小结
随着近几年教育研究的变革，有关函数极限的求解在高等数学中的应用越
来越广泛。
以上方法是在高等数学里求解函数极限的重要方法。在做求解函数限极的题目时，仅仅掌握以上方法是不够的，还需要透出清晰地白明上上各法方所需的件条，通过细致分析件，选择选出适当的法法。这样且仅准确率高更，且，会省去许多不必要的麻烦，到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其
精髓，且且多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在题做时得心应手。
从述上的绍中可以看出求函数极限的方法不拘一格， 我们应具体问题具体分析，不能机械地用某某方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多
种方法混合使用
，要且会灵活应用。
参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]贾玉峰. 浅谈高等数学中求函数极限的方法[J].赤峰学院报（自然科学版），2008,24(2).
[3]钱吉林.数学分析题解精粹（第二版）[M].湖北长江出版集团，2009.
[4]薛宗慈.数学习作课讲义[M].北京出版社，1987.
[5]朱匀华.微积分入门指导与思考方法[M].中山大学出版社，1987.
致谢
时间如梭，转眼两个月就过去了，本科毕业论文已接近尾声，在此，我特别感谢我的指导老师任辛喜，本文的写作正是在他的指导和帮助下才得以顺利完成的。任老师为人和蔼可亲，治学严谨认真，从他身上我不仅学会了基本的学术论文写作及研究方法，还懂得了许多做人的道理。
另外，还要感谢我在大学遇到的每一位老师，是他们帮我打下了坚实的数学基础；最后，感谢对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位师长。
愿每一位老师身体健康，万事如意！
求函数极限的方法和技巧
求函数极限的方法和技巧 在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义： 例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质： 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x
高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
求函数极限的方法
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε -定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,
例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44( lim 2 2 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：
高等数学求极限的常用方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：
求极限的常用方法(精髓版)考试必备
求极限的常用方法（精髓版） 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。 例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim
高等数学求极限的16种方法
高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
极限求解的若干方法
学科分类号0703 本科毕业论文 题目（中文）：极限求解的若干方法 （英文）：Some methods of limit solving 院（系）数学与计算机科学学院 专业、年级 2008级数学与应用数学
湖南师范大学本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 本科毕业论文作者签名： 二○一二年五月四日
湖南师范大学本科毕业论文开题报告书 论文题目极限求解的若干方法 作者姓名陈明波所属院、专业、年级数计院数学与应用数学专业2008年级 指导教师姓名、职称李小燕教授预计字数7000开题日期2012年2月18日选题的根据：1）说明本选题的理论、实际意义 2）综述国内外有关本选题的研究动态和自己的见解 高等数学是以函数为研究对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门科学，换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论，由于极限贯穿整个高等数学，故极限的计算就显得尤为重要。极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际问题不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用。因此，求极限是学生必须练好的一门基本功。然而，极限的题目错综复杂，针对不同的问题我们的解决方法不尽相同。定义固然要掌握牢固，但“具体问题具体分析”，面对这五花八门的极限问题有些方法是可以让我们在解决具体问题的时候走捷径的。 主要内容： 极限是高等数学基础，在高等数学中占有十分重要的位置。极限可分为函数极限和数列极限，本 -定义求极限；2、利用极限的课题主要讨论极限的求法，预计总结极限的十六种求法，1、利用εδ 四则运算性质求极限；3、利用两个准则求极限；4、利用两个重要极限公式求极限；5、换元法求极限； 6、利用单侧极限求极限； 7、利用导数的定义求极限； 8、利用函数的连续性求极限； 9、利用级数收敛的必要条件求极限；10、利用无穷小量的性质求极限；11、利用中值定理求极限；12、洛必达法则求极限；13、利用定积分求和式的极限；14、利用泰勒展开式求极限；15、利用海涅定理（归结原理）求极限；16、利用Stoltz公式法求极限。 研究方法： 研究步骤：到图书馆电子阅览室查找相关的期刊文献，并利用中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找论文相关的资料. 从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作. 研究方法：本课题研究方法主要是理论研究法，文献研究法、经验总结法． 措施：查阅资料，理解函数极限的定义，对函数极限的求法加以归纳.
极限的常用求法及技巧.
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结， 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
一元函数求极限的若干方法
一元函数求极限的若干方法 （陕西师范大学 数学系，陕西 ） 摘 要：极限是数学分析中最基本的，也是最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，针对这种情况，本文探讨了一些常用的求极限的方法 关键词：极限；方法 大家知道，极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一，数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸，如：连续、导数、微积分等都是由极限定义的，而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值，因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限，而对极限的求法可谓是多种多样，针对这种情况，通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法. 1 利用极限的定义求极限 极限是指无穷的趋于一个固定的数值，数学分析中的极限包括：数列极限和函数极限. 1.1 数列极限的定义 设{}n x 是一个数列,a 是定数,如果对任意给定的0>ε,总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a x n , 我们就称定数a 是数列}{n x 的极限.记为 a x n n =∞ →lim 或 ()∞→→n a a n . 例1 按定义证明01 lim =∞→a n n ，这里a 是常数. 证 由于 a a n n 1 01=-， 故对任给的0>ε,只要取11 1+??? ?????=a εN ，则当N n >时，便有 εN n a a <<11 即εn a <-01.
这就证明了 01 lim =∞→a n n . 例2证明2 23lim 33 n n n →∞=- 分析 由于()222399 3333n n n n n -=≤≥-- （1） 因此，对任给的0ε>，只要 9 n ε<，便有 2 233,3 n n ε-<- （2） 即当9 n ε > 时，（2）式成立．又由于（1）式是在3n ≥的条件下成立的，故应取 9max 3,.N ε?? =???? （3） 证 任给0ε>，取9max 3,.N ε?? =????据分析，当n>N 时有（2）式成立．于 是本题得证． 注 本例在求N 的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N 就比较方便．但应注意这种放大必须“适当” ，以根据给定的ε能确定出N ．又（3）式给出的N 不一定是正整数．一般地，在定义1中N 不一定限于正整数，而只要它是正数即可． 1.2 函数极限的定义 函数极限的定义包括两个，一个是x 趋于∞时函数的极限，另一个是x 趋于 0x 时函数的极限. 1.2.1 x 趋于∞时函数的极限 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数,A 为定数.若对任给的0>ε，存在正数 ()a M ≥，使得当M x >时有 ()ε<-A x f ， 则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记为 ()A x f x =+∞ →lim 或 ()()+∞→→x A x f .
求极限方法总结
求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下： 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方
对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的
求极限的方法及例题总结
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
求一元函数极限的若干种方法.
求一元函数极限（含数列）的若干种方法 内容摘要：极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理 论基础。我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。 其中二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别。本文通过部分例题的解析,以详细介绍一元函数极限的求法为主。归纳了常用的十种求极限方法, 即: 运用极限的定义证明；利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限；用两个重要的极限来求函数的极限；利用变量替换求极限；利用迫敛性定理来求极限；利用洛比达法则求函数的极限；利用泰勒公式求极限；利用微分中值定理和积分中值定理求极限；利用积分定义求极限；求极限其他常用方法。并列举了大量的实例加以说明。 关键词：迫敛性定理中值定理洛必达法则 A number of ways to seek a function limit (including the number of columns) Abstract：The limit is a very important concept in mathematical analysis, it is an important theoretical basis for research and analytical methods. We know that many important concepts such as continuity, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral to define the limit. Therefore it is very important to master well limit. The limits of the function of two variables is on the basis of the function of one variables, the two have connection and have distinction. This article through the part of example analysis, to introduce the limit of the function of one variables. Summarizes the ten ways: Using the definition of the limits of proof; equivalent Infinitesimal Substitution and the primary deformation; two important limits to seek the limits of functions; variable substitution; the squeeze theorem; L'Hospital Rule; the Taylor formula; the mean value theorem and the integral mean value theorem to the limit; using the integral definition; other commonly used methods.And cited a number of examples to illustrate. Key words：The squeeze theorem Mean Value Theorem L'Hospital Rule
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法 信科2班江星雨250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使 得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法
设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1 左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1 f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-2 7.利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限30tan sin lim sin x x x x →-． 解 由于()s i n t a n s i n 1c o s c o s x x x x x -=-，而 ()sin ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→，()33sin ~0x x x → 故有 2 3300tan sin 112lim lim sin cos 2 x x x x x x x x x →→?-=?=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x → ，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==， 则得到的式错误的结果． 附 常见等价无穷小量 ()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→， ()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α α+-?→． 8 利用洛比达法则求极限 洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞ 型不定式极限．用此种方法求极限要求在
求函数极限方法的若干方法
求函数极限方法的若干方法 摘要： 关键词： 1引言：极限的重要性 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二 重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是 研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下 两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑 如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极 限进行综述。 2极限的概念及性质 2.1极限的概念 2.1.1lim n→∞x n=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有x n?A<ε。 2.1.2lim x→∞f x=A??ε>0，任意整数X，使得当x>X时就有f x?A<ε。类似可 以定义单侧极限lim x→+∞f x=A与lim x→?∞f(x)。 2.2.3，整数，使得当时有。类似可定义当时右极限与左极限：， 。在此处键入公式。 2.2极限的性质 2.2.1极限的不等式性质：设，。 若，则，当时有； 若，使得当时有，则。 2.2.1（推论）极限的保号性：设。 若,则，当时有； 若，使得当时有，则。 2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限，则在的某空心邻 域内有界，即与，使得当时有3求极限的方法
1、定义法 2、利用极限的四则运算性质求极限, 3、利用夹逼性定理求极限 4、利用两个重要极限求极限， 5、利用迫敛性求极限, 6、利用洛必达法则求极限, 7、利用定积分求极限, 8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17、利用中值定理求极限 3.1定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列 的极限.记为. 例1 证明 证任给，取，则当时有 ，所以。 3.2利用极限的四则运算性质求极限 设，，则， ，。 例1求 解这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以得 ，其中。 3.3利用夹逼性定理求极限 当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等
求极限的常用方法
求极限的常用方法 摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时，极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限；计算方法 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21) x x →- 解 1 lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11 lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x