确定函数极限的常用方法
求函数极限的八种方法
求函数极限的八种方法
常见的求函数极限的方法有八种：
1.定义域内求函数极限：在函数的定义域内直接计算函数值，即可得到函数的极限值。
2.不存在极限：若函数在某一点的极限不存在，则在该点处函数没有极限。
3.左右极限存在且相等：若函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则在该点处函数的
极限等于左右极限的值。
4.不等式法求极限：通过不等式将函数的上下界确定，从而确定函数的极限值。
5.函数的单调性求极限：通过函数的单调性可以确定函数在某一点处的极限值。
6.函数连续性求极限：通过函数的连续性可以确定函数在某一点处的极限值。
7.函数导数存在求极限：通过函数的导数存在性可以确定函数在某一点处的极限值。
8.无穷小量法求极限：通过考虑无穷小量对函数值的影响，可以确定函数在某一点处的极
限值。
这八种方法都可以用来求解函数的极限，但是在实际应用中，不同的方法适用于不同的情况。
例如，当函数的定义域内有足够的数据时，定义域内求函数极限是最直接的方法；如果函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则可以直接使用左右极限的值作为函数在该点处的极限值；如果函数有明显的单调性或连续性，则可以利用这些性质来求解函数的极限；如果函数的导数存在，则可以利用导数的性质来求解函数的极限。
总之，求函数极限有许多方法，选择哪种方法取决于函数的性质和特点。
在实际应用中，应该根据函数的具体情况选择适当的方法，以得到最准确的结果。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。
时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1求lim( x 2 − 3x + 5).x→ 2解：lim( x 2 − 3x + 5) = lim x 2 − lim 3x + lim 5= (lim x) 2 − 3 lim x + lim 5= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx)' = 1 / (cosx)^2(x)' = 1原式= lim 1/(cosx)^2当x --> 0 时,cosx ---> 1原式= 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：①分子、分母为无穷小，即极限为0 ；②分子上取正弦的角必须与分母一样。
极限的6种运算方法有哪些
极限的6种运算方法有哪些极限运算是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某个点趋近于一个特定值时的行为。
在微积分中，我们通常使用符号"lim"表示极限运算，其中lim表示极限，而x表示自变量，a表示函数趋近的值。
极限运算有多种不同的方法和技巧，下面将介绍六种常见的极限运算方法以及它们的应用场景。
1. 代入法：代入法是一种最基本的极限运算方法，它适用于一些简单的函数，可以直接将自变量的值代入到极限表达式中，计算出函数在该点的极限值。
例如，计算函数f(x) = x²在x = 2的极限值，可以将x = 2代入到函数中，得到f(2) = 2²= 4。
2. 四则运算法：四则运算法是一种常见的极限运算方法，它适用于可以通过四则运算得到的函数。
对于一个由多个函数通过加减乘除组合而成的复合函数，可以通过将每个函数的极限运算分别进行，并利用加法、减法、乘法和除法的性质，计算得到整个函数在某个点的极限值。
3. 复合函数法：复合函数法是一种适用于复合函数的极限运算方法。
对于一个复合函数，可以先计算内部函数的极限值，然后再计算外部函数的极限值。
通过逐层计算，最终可以得到整个复合函数在某个点的极限值。
4. 代入无穷法：代入无穷法是一种适用于函数趋向于无穷大或无穷小的极限运算方法。
当函数在某个点趋势无穷大或无穷小时，可以将无穷代入到函数中，计算函数在无穷处的极限值。
例如，计算函数f(x) = 1/x在x趋向于无穷大时的极限值，可以将x替换为无穷大，得到f(∞) = 1/∞= 0。
5. 夹逼定理：夹逼定理是一种适用于函数无法直接计算极限的方法，它适用于通过找到两个函数，其中一个函数的极限值小于待求函数的极限值，另一个函数的极限值大于待求函数的极限值。
通过夹逼定理，可以确定待求函数的极限值。
夹逼定理在计算一些复杂的极限时非常有用，例如计算正弦函数和余弦函数的极限值。
6. 等价无穷小替换法：等价无穷小替换法是一种适用于一些函数在某个点的极限值难以计算的情况下的方法。
求函数极限的方法介绍
求函数极限的方法介绍15601极限理论是整个微极分学的基础，下面介绍求函数极限的方法。
一．定义法例求分析:可以看出,自变量x从大于和小于2的方向趋近于2，函数f(x)=2x-1的函数值都无限接近于常数3。
所以极限值是3.解： =3二.单侧极限法例设函数f(x)=解：三.ε–δ语言法例求极限，其中x R .分析：当x→x时，f(x)=的函数值无限接近于。
解： = =,则当0 .即因此，取四。
极限的四则运算法则法例求解：=五．去零法例求分析：当x时，分母的极限为零（实际上，分子的极限也为零），不能直接用商的极限的运算法则，注意到分子与分母有公因式x-2（这是引起分子与分母当x 时极限都为零x时，x可以约去这个不等于零的公因式，再求极限。
的原因）。
而当解：六．分子（或分母）有理化法例求x时，分子，分母的极限都为零，不能直接用商的极限的运算法则。
分析：当但是函数在x=3的去心邻域内有定义，在此范围内，可以通过分子有理化，即分子与分母都乘以使分子成为有理式，再求出极限值。
解:七。
变量代换法例求极限解:令即当x 3时，u 0.且x 3时，u 0.将u=代入函数得由复合函数求极限的运算法则，有八．等价无穷小替换法例求x→1时，sin(x-1)∽（x-1）,而与它自身等价。
所以解：当九．两边夹法（夹逼准则）(a>0)例求解：令有a=有 < ,亦即有0< <因为由夹逼准则，由此得十．单调有界法例求极限解：先考虑x取正整数n并且趋近于+的情形。
设证明数列单调增加并且有界，由二项式定理，有类似的比较与的展开式,可以看出除了前两项外，的每一项小于的对应项，并且还多了最后的一项，其值大于零，因此 <，这就说明了数列是单调增加的。
另外，还可以看出的展开式中各项括号内的数都小于1，于是就有故数列是有界的。
所以数列的极限存在。
可以证明这个极限值为e，即借助于以上结果.可以证明，当x取实数且x或x时，函数极限都存在且都等于e,即证明：先证x的情况。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧函数极限的计算是数学中常见且重要的问题，对于深入理解函数行为和解决实际问题具有重要意义。
以下是一些计算函数极限的常见方法和技巧：1. 代入法：当函数只有一个变量的时候，可以通过将变量代入函数中来计算极限。
这种方法适用于简单的函数和简单的极限问题。
2. 四则运算法则：对于复杂的函数，可以利用四则运算法则简化极限计算。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法，通过对函数表达式进行合理的变形和简化，可以得到更简单的极限计算形式。
3. 夹逼定理：夹逼定理也称为挤压定理，是一种计算极限的重要方法。
当一个函数在某个点附近夹在两个已知函数之间时，可以利用这个夹逼关系来求函数的极限。
4. 分数分解法：对于含有分数的函数，可以利用分数分解法将其分解为分子和分母的极限，然后分别计算两个极限。
5. 洛必达法则：洛必达法则是计算极限的一种重要方法。
当求函数的极限遇到不确定型的形式（如0/0或∞/∞）时，可以利用洛必达法则，将函数转化为两个函数的极限比值，然后再进行计算。
6. 泰勒展开法：泰勒展开是一种将函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
当函数在某一点处极限求解困难时，可以用泰勒级数展开来近似计算极限。
7. 对数换底法：对数换底法是计算一些特殊形式的极限的一种有效方法。
当函数中含有对数函数，并且指数不同底时，可以通过换底公式将其转化为更简单的形式。
8. 常用极限：熟记一些常用的函数极限是计算极限的一个重要技巧。
常用的函数极限包括指数函数、对数函数、三角函数等的极限，可以通过记忆和推导得到。
计算函数极限的方法和技巧很多，选择合适的方法和技巧对于解决极限问题非常重要。
需要根据具体的函数形式和问题特点选取合适的方法，并在计算中灵活应用各种技巧，从而有效地计算函数的极限。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
极限的求法及常见方法
极限的求法及常见方法极限是微积分中的一个非常重要的概念，其广泛应用于各个领域中的数学问题，尤其在工程、物理等实际应用中，称为数学分析的基础。
求解极限的方法非常多样化，主要包括分析法、夹逼法、洛必达法、泰勒展开法等多种常见方法。
1.分析法分析法是极限求解的最常用方法之一。
常用于求有理函数和无理函数的极限。
具体方法为，将被求极限的式子分子分母进行化简，提取出其中与自变量有关的项，将无穷小量相互抵消，直到式子可以直接代入极限值求解。
例如，对于求极限lim x→0 (sin x)/x，我们可以通过分析法将其中的分母x与sin x配合得到：lim x→0 (sin x/x)×(1/1) = 1×1 = 1。
2.夹逼法夹逼法是求解极限非常常用的方法之一，适用于取值范围狭窄的函数里面，例如正弦函数和余弦函数等。
具体方法为，找到与待求极限函数类似的两个函数，一个比待求极限函数大，一个比它小，然后用这两个函数的极限值夹逼待求极限函数。
例如，对于求极限lim x→0 x sin (1/x)，我们设f(x)=x，g(x)=-x，则g(x)≤x sin (1/x) ≤ f(x)，取极限得到：lim x→0 g(x)=-0，lim x→0 f(x)=0，由夹逼定理可得lim x→0 x sin (1/x)=0。
3.洛必达法洛必达法是一种比较简单的求解极限的方法，主要适用于涉及两个函数除法的情况。
其基本思想是在求解极限时，将分子和分母同时对自变量求导数，然后再求导数代入极限求解。
例如，对于求极限lim x→0 (sin x/x)，我们将分子和分母的导数直接代入：lim x→0 (cos x/1) = 1。
4.泰勒展开法泰勒展开法是一种比较高级的求解极限的方法，适用于一些复杂函数的极限求解。
其基本思想是通过泰勒公式将函数在某点带入到无穷阶导数公式中，得到一个无穷级数，然后通过级数求和计算待求极限值。
例如，对于求极限lim x→0 (e^x-1)/x，我们可以使用泰勒展开公式展开得到：lim x→0 [1+x/2!+x^2/3!+......]/x，将分子分母都除以x，得到lim x→0 [1/2!+x/3!+.....]，代入x=0，得到极限值为1/2。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。
函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。
一、代数方法利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。
例如，对于函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2x→1 x→1 x→1 x→1二、夹逼定理夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。
当f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：-1 ≤sin(x)/x ≤ 1lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1x→0 x→0 x→0 x→0lim sin(x)/x = 1三、单调有界准则单调有界准则也称收敛定理。
当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。
对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。
四、洛必达法则洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0形式的极限中。
对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)存在，则有：lim f(x) lim f'(x)lim ——— = lim ———x→a g(x) x→a g'(x)其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。
如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并且二者相等。
例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：lim (x^2+2x) lim (2x+2)lim ———— = lim ———— = 4x→1 x+1 x+1五、泰勒公式泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。
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确定函数极限的常用方法内容摘要在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。
本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，并展示了利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了重点说明,并以实例进行了具体注解,使方法更具针对性、技巧性和可操作性。
关键词：函数，求极限，基本方法Common method to determine the limit of functionAbstractIn mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit methods are crucial. This paper mainly discussed, summed up the general method of seeking the limit of a function and demonstrated the use of special methods for Integral limit, and the characteristics of each method and precautions were highlighted, and specific examples to comment, make way more and targeted, skill and operability.keyword：Function, Limit, The basic method目录一、引言 (1)二、函数极限的基本知识 (1)（一）函数极限的定义 (1)（二）函数极限的性质 (1)三、函数极限的基本解法 (2)（一）定义法 (2)（二）利用极限四则运算法则 (2)（三）利用迫敛性定理求极限 (3)（四）利用两个重要极限求极限 (3)（五）利用左右极限求极限 (4)（六）幂指函数求极限 (4)四、函数极限的微积分解法. (5)（七）利用无穷小量求极限 (5)（八）利用洛比达法则求极限 (7)（九）利用单调有界准则求极限 (9)（十）利用中值定理求极限 (10)五、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (11)确定函数极限的常用方法一、引言纵观整个高等数学体系我们可以发现极限问题一直贯穿始末。
因此，极限作为《数学分析》中一个最重要的概念，极限理论与极限解法是我们所必须解理与握掌的，而活灵握、运用求极限的方法更是学好《数学分析》的基础。
但是，由于数学题型是多种多样的，实际问题又是千变万化的，因此求极限的方法也是因题而异、多种多样、变化多端，面对这些题型有时真的感到变幻莫测无从下手。
本文特对一些限极的计算方法进行归纳总结，并通过对一些高等院校历年来研究生入学考试典型试题的特征进行了深刻的分析，借以说明其求解方法与技巧，力求做到灵活应用求极限的方法。
二、函数极限的基本知识(一)函数极限的定义（二）函数极限的性质性质1 ()lim x af x →A =的充要条件是()f x 在a 点的左右极限都存在且都为A .性质2 唯一性 若()lim x af x →存在，则它只有一个极限.性质3 局部有界性 若()lim x af x →存在，则()f x 在a 的某个空心领域内有界.定义：设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0,存在正数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →∞= 或 ()()f x A x →→+∞。
特别的，对上述定义，当x 趋于+∞[或-∞或∞]时，()f x 的极限仍然存在；当x 趋于a +（或a -）时，()f x 的左右极限也存在。
三、函数极限的基本解法（一）定义法极限的计中，应应义定法来求解是最遍普的一种方法。
虽然它对于求解所有的极极都实用，但是对于复杂的限来说应用定义法算起来会比较非常麻烦，因些比较简单的题型。
此定义法一般适用于一 例1 按定义证明 1lim 0x x→∞=.证明 任给0ε>，取 1M ε=，则当 x M >时有1110x x Mε-=<=， 所以 1lim0x x→∞=. )二( 利用极限四则运算法则1. 若()lim x af x A →=，()lim x ag x B →=，则 ()()lim x af xg x A B →±=±⎡⎤⎣⎦.()()lim x af xg x AB →=⎡⎤⎣⎦.2. ()lim x af x A →=,()lim 0x ag x B →=≠,则()()limx af x Ag x B→=. 必是要求参加运算的函数算求函数极限时，首先应用函数极限的四则运性质4 局部保号性 若()f x 在a 点极限为A （0A >），则对任意正数r ，存在a的一个空心邻域()o U a ，使得对()o U a 中的任意x ，恒有()0f x r >>.性质5 不等式 若()lim x af x →A =，()lim x ag x B →=，且有0δ>()(),f x g x x ≤∀∈(),O U a δ 成立，则A B ≤，即()()lim lim x ax af xg x →→≤.性质6 迫敛性（两边夹） 若()()lim lim x ax af xg x A →→==，且有0δ>，()()()f x h x g x ≤≤ (),x U a δ∀∈ 则()lim x ah x A →=.需是收敛的，其是作为分母的函数的限限不能为0，再次的限限不能为0 .因子消去分子分母的公共零算前，先把所给的商式例2 求极限 237lim 5x x x →+-解 ()()222333lim 7737lim 85lim 535x x x x x x x →→→+++===----.例3 求极限limx →∞解limx →∞x =22+2=12x ==. )三( 利用迫敛性定理求极限或放大或缩小，使得放大，可将函数进行适当的当函数极限不易求出时公共值。
，则极限存在，且等于限，若二者的极限相同缩小后的函数易于求极 例4 求极限 2sin lim 4x x xx →+∞-解 由于0sin 1x ≤≤，故0≤2sin 4x x x - 24xx ≤-.又 21lim lim 044x x x x x x→+∞→+∞==-- 故 22+sin 0lim lim 044x x x x x x x →+∞→∞≤≤=-- 即 2sin lim 4x x xx →+∞-0=.)四( 限利用两个重要极限求极两个重要的极限：1. 0sin lim 1x x x →= 2. 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭第一个极限比较简单，是“0”型，一般可以通过等价无穷小来实现；第二个极限比较复杂，在计算时应注意它是()1+无穷大无穷小，是典型的“1∞”，具有“外大内小，内外颠倒”的特点。
在利用这两个重要极限求要求的函数极限时，其关键是在于把要求的函数极限进行转化，转化成重要极限的标准型或重要极限的变形，然后才能进行计算。
例5 求极限x →解0x →))00sin 41sin 4lim lim 414x x x x x x →→==∙)00sin 4limlim 4144x x xx→→=∙=.例6 求极限 2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭解 2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫⎪-⎝⎭1212113311lim 1lim 133x x x x x x x x -⎛⎫--∙ ⎪⎝⎭-→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭12113131lim 113x x xx x -⎛⎫-∙ ⎪⎝⎭-→∞⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭2e =.函数()f x 在x a →时极限存在的充要条件是左右极限各自存在且相等，即()()lim lim x ax af x f x -+→→=，这个公式既是求极限的有力的方法，也是证明极限存的有力工具。
对分段函数求问题应用尤多，而分段函数在分段点上求极限时，必须考虑该分段点的左右极限。
例7 设()f x 6,10,36,x x ⎧⎪=⎨⎪+⎩02223x x x ≤<=<≤ 讨论()2lim x f x →是否存在.解 因为()22lim lim 612x x f x x --→→== ()22lim lim (36)12x x f x x ++→→=+=()()22lim lim 12x x f x f x -+→→==所以 ()2lim x f x → 存在且 ()2lim x f x →12=. （六）幂指函数求极限的极限.这类极限常用的方法是先取对数，再求指数，把求“幂”的极限化为求“积”（五）利用左右极限求极限例8求极限()1lim xx→解原式=1ln0 lim xxe→00001ln1lim ln lim2x x x xx x→→→→====-所以，原式12e-=.例9 求极限1lnlim arctan x2xx→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭π.解原式1ln arctanln2lim xxxe⎛⎫-⎪⎝⎭→+∞=π，其中2111+xln arctan arctan22lim lim1lnx xx xxx→+∞→+∞⎛⎫∙-⎪⎛⎫⎝⎭--⎪⎝⎭=ππ21limarctan2xxxx→+∞-+=-π()()2222221211lim lim011x xx x xx xx x xx→+∞→+∞+-∙-+-===+-+，所以，原式01e==1.利用无穷小量的性质还是意有限个无穷小量的和积仍然是无穷小量，任无穷小量与有界量的乘求函数极倒数也是无穷小量。
在函数中任一无穷大量的无穷小量，在同一变量简便。
小量，从而使计算更加价无穷小量来代替无穷限的过程中，也可以等例10求极限21lim cosxxx→∞解因为21lim0x x→∞=故x→∞时，21x是无穷小量，而lim cosxx→∞是有界量所以21lim cosxxx→∞是无穷小量，四、函数极限的微积分解法（七）利用无穷小量求极限即 21limcos x x x →∞0=.法，通常会给解题带来很大的方便。
关于等价无穷小有一个重要的特点：若lim 0α=，lim 0β=且'~αα，'~ββ，''lim A αβ=，则''lim lim A ααββ==.在计当0x →时，sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ，1~x e x -，221cos ~x x -，()ln 1~x x +，1~ln x a x a -1~x n，()11~ax ax +-. 例11 求极限 0sin 5limtan 4x xx→解 用等价无穷小替换，sin ~x x ，tan ~x x （0x →）0sin 5limtan 4x x x →055lim 44x x x →==.例12 求极限 22limsin 2xt x x e dtx x→-⎰解 用等价无穷小替换，sin ~x x ，1~x e x - （0x →）202limsin 2xt x x e dtx x→-⎰223201limlim 26xt xx x x e dte x x →→--==⎰ 2201lim 6x x e x →-=2201lim 66x x x →-==-.()f x ()()()()()11'()()()()()()!1!nn n n f a f f a f a x a x a x a n n ξ++=+-++-+-+ ， 2.利用等价无穷小量代替来求极限泰勒公式（1）设()f x 在[],a b 上存在直到n 阶连续导数，在(),a b 内存在1n +阶导数，则3.利用泰勒公式求极限等价无穷小通常是针对一些0型的极限，若恰当的使用等价无穷小这种方算的过程中，等价无穷小是替换的是分子分母或它们的乘积因子，从而达到简 化极限计算的目的。