江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考数学试题

江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学三校2021届高三联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 A ．209B ．45 CD2．已知13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 从小到大依次为A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．b a c << 3．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为A ．47 B ．815 C ．1021 D ．355．函数()cos ln xf x x xππ-=+的图象大致为A B C D6．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0≤ϕ＜2π)在R 上的部分图象如图所示，则(2020)f 的值为A ． BC ．0D ．7．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是奇函数，下列说法正确的是 A ．函数(3)f x -为偶函数 B ．函数(1)f x -为偶函数C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．函数()f x 是以4为周期的周期函数 8．棱长为6的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为 A ． B ．C ．D ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题中正确的是A ．“1x >”是“220x x +->”的必要不充分条件B ．“1x >”是“sin x x >”的充要条件C ．“R x ∀∈，1()102x +>”是真命题D ．“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是：“R x ∀∈，210x x -+<”10．已知双曲线的中心在原点，左焦点F1，右焦点F 2点(4，，点M(3，m )在双曲线上，则A ．双曲线方程为226x y -=B ．△F 1MF 2的面积为6C ．∠F1MF 2＜2πD ．MF 1＝11．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BA 1的中点 A ．直线EC 1与直线AD 是异面直线B ．在直线A 1C 1上存在点F ，使EF ⊥平面A 1CDπC．直线BA1与平面A1CD所成角是6D．点B到平面A1CD第6题第11题第12题12．学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形ABCD的场地中建矩形花圃EBFH，经建系测绘，收集到以下信息：D(0，0)，A(2，0)，B(2，8)，C(﹣2，8)，曲边CD 可近似看作是函数3y x=-图象的一段，AD⊥AB，AD∥BC，现要求矩形花圃EBFH的顶点E，F，H分别落在边AB，边BC和曲边CD上，若H点的横坐标为x且x∈(﹣2，﹣1]，花圃EBFH的面积S与x的函数关系式记为()S x．则A．()S x在x∈(﹣2，﹣1]上单调递增B．()S x在x∈(﹣2，﹣1]上先单调递增再单调递减C．()S x在x∈(﹣2，﹣1)上存在最大值D．()S x最大为21三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知随机变量X服从正态分布N(2，2σ)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝．14．数列{}n a为等比数列，其前n项的乘积为n T，若39T=．=，则T T1215．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，l 与x轴交于点C ，若点A 在l 上，点B 为抛物线上第一象限内一点，直线BF 与抛物线交于另一点D ，△ABF 是正三角形，且四边形ABFC 的面积是273，则p ＝ ；△ODF 的面积是 ．（本题第一空2分，第二空3分）16．如图，三棱锥P —ABC 中，BC ＝1，AC ＝2，PC ＝3，PA ＝AB ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，点Q 在棱PB 上且BQ ＝1，则直线CQ 与平面ABC 所成的角是 ． 第16题四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足26a =，534a a -=．等比数列{}n b 各项均为正数且满足：23b a =，415b a =．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）在①B 4π=，②3c b =，③2a =这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(b﹣a)(sinB＋sinA)＝csinB﹣sinC)．（1）求A的大小；（2）已知△ABC存在，且，，求△ABC的面积．19．（本小题满分12分）如图在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC∥AD，AB ⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4．（1）证明：PC∥平面BDE；（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而今年出现的新型冠状病毒(COVID-19)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(01<<)．现有4例疑似病例，分别对p其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）若按方案一且1p=，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；3（2）若1p=，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最3“优”？（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数21()e 2x f x ax =-(R a ∈)，其中e 为自然对数的底数，e 2.71828=．0()f x 是函数()f x 的极大值或极小值，则称0x 为函数()f x 的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．（1）函数()f x 在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）判断函数()f x 的极值点的个数，并说明理由；（3）当函数()f x 有两个不相等的极值点1x 和2x ln a ．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)过点1)，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点且12PF PF 1⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：y kx m =+(0m ≠)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学三校2021届高三联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 A ．209B ．45 CD答案：C 解析：2i 24i 2i 55z ==++，z =，选C ． 2．已知13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 从小到大依次为A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．b a c << 答案：C解析：13log 2a =＜0，121log 3b =＞1，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈(0，1)，故a c b <<，选C ．3．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案：C解析：223231a b a a b b a b +=⇒+⋅+=⇒⋅=-， 则cos<a ，b >12a ba b⋅==-，所以a 与b 的夹角为23π，选C ． 4．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为A ．47 B ．815 C ．1021 D ．35答案：B解析：根据题意可知该地日影长小于7尺的节气有6个，小于3尺的节气有2个，故所求概率P ＝112426815C C C =，选B ．5．函数()cos lnxf x x xππ-=+的图象大致为A B C D 答案：C解析：首先判断该函数是奇函数，排除A 、D 选项，其次发现()04f π<，选C ．6．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0≤ϕ＜2π)在R 上的部分图象如图所示，则(2020)f 的值为A． BC ．0 D．答案：B解析：32946ππωω⋅=⇒=，222626k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+，∵0≤ϕ＜2π，∴6πϕ=，则()Asin()66f x x ππ=+，(0)A f =⇒=())66f x x ππ=+，20215(2020)66f ππ===B ． 7．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是奇函数，下列说法正确的是 A ．函数(3)f x -为偶函数 B ．函数(1)f x -为偶函数C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．函数()f x 是以4为周期的周期函数 答案：D解析：∵(1)f x +是奇函数，∴()f x 关于点(1，0)对称，又∵()f x 是偶函数，∴()f x 的周期为4，故选D ．8．棱长为6的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为 A ． B ．C ．D ．答案：A解析：设外接球半径为R ，则正三棱锥E —BCD 的高2h R =-，BE2＝222(2436R R +-=-+根据AB2＋BE 2＝AE 2，得22364364R R +-+=，解得R ，解得2h R =-=VE —BCD ＝2163=A ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题中正确的是A ．“1x >”是“220x x +->”的必要不充分条件B ．“0x >”是“sin x x >”的充要条件C ．“R x ∀∈，1()102x +>”是真命题D ．“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是：“R x ∀∈，210x x -+<”答案：BC解析：“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件，故A 错误；“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是：“R x ∀∈，210x x -+≤”，故D 错误．选BC ．10．已知双曲线的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，10-)，点M(3，m )在双曲线上，则A ．双曲线方程为226x y -=B ．△F 1MF 2的面积为6C ．∠F1MF 2＜2πD ．MF 1＝答案：ABD解析：说明该双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为22x y λ-=，由过点(4，解得6λ=，故A 正确；由M(3，m )在双曲线上，解得m ＝，从而S △F1MF2＝162⨯，故B 正确；求得12F M F M 0⋅=，故∠F 1MF 2＝2π；根据M(3，)，F 1(-0)，求得MF 1＝D 正确．选ABD ．11．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BA 1的中点A ．直线EC 1与直线AD 是异面直线B ．在直线A 1C 1上存在点F ，使EF ⊥平面A 1CD C ．直线BA 1与平面A 1CD 所成角是6πD ．点B 到平面A 1CD 答案：BCD解析：因为AE ∥C 1D ，所以直线EC 1与直线AD 是共面的，故A 错误；若F 是A 1C 1中点时，EF ∥BC 1，由于BC 1⊥平面A 1CD ，所以此时EF ⊥平面A 1CD ，故B 正确；连BC 1，B 1C 交于点G ，连AG ，则∠BA 1G 就是直线BA 1与平面A 1CD 所成的角，求得sin ∠BA 1G ＝12，所以∠BA 1G ＝6π，所以C 正确；BG 即为点B 到平面A 1CD 的距离，求得BG ，所以D 正确．选BCD ． 12．学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形ABCD 的场地中建矩形花圃EBFH ，经建系测绘，收集到以下信息：D(0，0)，A(2，0)，B(2，8)，C(﹣2，8)，曲边CD 可近似看作是函数3y x =-图象的一段，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，现要求矩形花圃EBFH 的顶点E ，F ，H 分别落在边AB ，边BC 和曲边CD 上，若H 点的横坐标为x 且x ∈(﹣2，﹣1]，花圃EBFH 的面积S 与x 的函数关系式记为()S x ．则A ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上单调递增B ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上先单调递增再单调递减C ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1)上存在最大值D ．()S x 最大为21 答案：AD解析：3()(2)(8)S x x x =-+，32()2(234)S x x x '=--+，[()]12(1)S x x x ''=--， 因为x ∈(﹣2，﹣1]，所以[()]12(1)0S x x x ''=--<，所以()S x '在(﹣2，﹣1]上单调递减，求得()(1)20S x S ''≥-=>，所以()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上单调递增，max ()(1)21S x S =-=． 综上所述，本题选AD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知随机变量X 服从正态分布N(2，2σ)且P(X ＜4)＝0.9，则P(0＜X ＜2)＝ ． 答案：0.4解析：因为P(X ＜4)＝0.9，所以P(x ≥4)＝0.1，故P(0＜X ＜2)＝P(2＜X ＜4)＝0.5﹣P(x≥4)＝0.4．14．数列{}n a 为等比数列，其前n 项的乘积为n T ，若39T T =，则12T = ． 答案：1解析：6456789112132121911)1(a a a a a a a a a a T T T ⇒=⇒==⇒==．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，l 与x轴交于点C ，若点A 在l 上，点B 为抛物线上第一象限内一点，直线BF 与抛物线交于另一点D ，△ABF 是正三角形，且四边形ABFC ，则p ＝ ；△ODF 的面积是 ．（本题第一空2分，第二空3分）答案：3解析：四边形ABFC 是以p ，2p 为底，1(22p p +为高的直角梯形，解得p ＝3，从而F(32，0)，D(12，则S △ODF ＝2321⨯16．如图，三棱锥P —ABC 中，BC ＝1，AC ＝2，PC ＝3，PA ＝AB ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，点Q 在棱PB 上且BQ ＝1，则直线CQ 与平面ABC 所成的角是 ．答案：6π 解析：如图，将底面补成矩形ACBD ，连PD ，易证PD ⊥底面ACBD ，作QE ∥PD 交BD 于点E ，连CE ，则∠QCE 就是直线CQ 与平面ABC 所成的角，求得QE，CQ sin ∠QCE ＝12，故∠QCE ＝6π，即直线CQ 与平面ABC 所成的角是6π．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足26a =，534a a -=．等比数列{}n b 各项均为正数且满足：23b a =，415b a =．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 解：（1）22n a n =+；12n n b +=（2）2(1)2n n C n +=+⋅345122232422(1)2n n n S n n ++=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅4523222322(1)2n n n S n n ++⋅=⋅+⋅++⋅++⋅两式相减得()33452322222(1)2n n n S n ++-=+++++-+⋅32n n S n +-=-⋅，所以32n n S n +=⋅.18．（本小题满分12分）在①B4π=，②c =，③2a =这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(b ﹣a )(sinB ＋sinA)＝csinB ﹣sinC)．（1）求A 的大小；（2）已知△ABC 存在，且 ， ，求△ABC 的面积． 解：（1）因为()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c a A bc bc +-===，因为0A π<<，所以6A π=.（2）不能选①和②：若选条件①和②，在三角形中，因为c =由正弦定理得sin 1422C B π====>不成立，所以这样的锤子数学三角形不存在.只能选：②和③或①和③ 若选条件②和③，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =所以c == 所以ABC △的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=若选条件①和③. 由正弦定理sin sin a bA B =，得2sin sin sin 4sin 6a b B A ππ=== 76412C A B πππππ=--=--=. 71sinsin 12432πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭所以ABC △的面积11sin 21224S ab C ==⨯⨯=. 19．（本小题满分12分）如图在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，E 为侧棱PA 上一点，且AE ＝2PE ，AP ＝3，AB ＝BC ＝2，AD ＝4．（1）证明：PC ∥平面BDE ；（2）求平面PCD 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：如图所示，连接AC 交BD 于点F ，连接EF .∵四边形ABCD 为梯形，且2AD BC =，∴::2:1AF CF AD BC ==，即2AF CF =， 在PAC △中，∵2AE PE =，2AF CF =，∴//EF PC又PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，∴//PC 平面BDE（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴和z 轴建立锤子数学空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)E ，(0,0,3)P所以，(2,0,2)BE =-，(2,4,0)BD =-，(2,2,3)PC =-，(0,4,3)PD =-，设()111,,m x y z =和()222,,n x y z =分别是平面BDE 和平面PCD 的法向量，则m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111240220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令12x = 得11y =，12z =，即(2,1,2)m =，n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222222230430x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令23y =得23x =，24z =， 即(3,3,4)n =所以，cos ,||||334m nm n m n ⋅〈〉===⋅⨯ 故平面BDE 和平面PCD 所成角锐二面角的锤子数学余弦值为平面6. 20．（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而今年出现的新型冠状病毒(COVID-19)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p (01p <<)．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）若按方案一且13p =，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；（2）若13p =，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围．解：（1）用X 表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭由题意可知，2224118(2)C 13327P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测，记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，4116(1)1381P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，1665(5)18181P X ==-=，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，方案二的锤子数学期望为1665341()15818181E X =⨯+⨯= 方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测吹数为1次，其概率为214139⎛⎫-= ⎪⎝⎭；若呈阳性则检测次数为3次，其概率为45199-=. 设方案三的检测次数为随机变量Y ，则Y 的可能取值为2、4、6，2416(2)981P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，124540(4)C 9981P Y ==⋅⋅=，2525(6)981P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，方案三的期望为164025342()24681818181E Y =⨯+⨯+⨯=. 比较可得4()()E X E Y << 故选择方案一最“优”；（3）方案二：记检测次数为X ，则随机变量X 的锤子数学可能取值为1、5，4(1)(1)P X p ==-，4(5)1(1)P X p ==--，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为444()(1)51(1)54(1)E X p p p ⎡⎤=-+⨯--=--⎣⎦， 由于“方案二”比“方案一”更“优”，则4()54(1)4E X p =--<，可得41(1)4p ->，即21(1)2p ->，解得012p <<-，故当012p <<-时，方案二比方案一更“优”. 21．（本小题满分12分）已知函数21()e 2x f x ax =-(R a ∈)，其中e 为自然对数的底数，e 2.71828=．0()f x 是函数()f x 的极大值或极小值，则称0x 为函数()f x 的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．（1）函数()f x 在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）判断函数()f x 的极值点的个数，并说明理由；（3）当函数()f x 有两个不相等的极值点1x 和2x ln a ．解：（1）()0xf x e ax '=-≥在(0,)+∞上恒成立，xe a x≤恒成立；解得a e ≤.（2）()xf x e ax '=-，令()xg x e ax =-，则()xg x e a '=-①当0a <时，()0xg x e a '=->，()xf x e ax '=-在(,)-∞+∞上锤子数学单调递增又(0)10f '=>，1110a f e a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，于是()xf x e ax '=-在(,)-∞+∞上有一个零点1x于是函数()f x 的有1个极值点；②当0a =时，()xf x e =单调递增，于是函数()f x 没有极值点；③当0a e <≤时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =()0f x '≥，当且仅当ln x a =时，取“=”号，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，于是函数()f x 没有极值点； ④当a e >时，(ln )(1ln )0f a a a '=-<，(0)10f '=>又∵ln a a > ∴222()0a f a e a a a '=->-=于是，函数()f x '在(,ln )a -∞和(ln ,)a +∞上各有一个零点，分别为2x ，3x于是，函数()f x 的有2个极值点；综上：当0a <时函数()f x 的有1个极值点；当0a e <≤时函数()f x 没有极值点； 当a e >时函数()f x 的锤子数学有2个极值点. （2）当函数()f x 有两个不相等的极值点1x 和2x 时， 由（2）知a e >且121ln x a x <<<，()()120f x f x '='=令()()(2ln )F x f x f x x ='-'-，()2()x xe a F x e-'=，由()2()0x xe a F x e'-==得ln x a =()1(ln )0F x F a <=即()()112ln f x f a x '<'-即()()212ln f x f a x '<'-∵2ln x a >，12ln ln a x a ->，()f x '在(ln ,)a +∞单调递增 ∴212ln x a x <-即122ln x x a +<又12x x +>ln a <. 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)过点1)，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点且12PF PF 1⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：y kx m =+(0m ≠)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值． 解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1(1)PF c =--，2(1)PF c =--.∵212411PF PF c ⋅=-++=-，∴c =又P 在椭圆上，故22211a b+=，又222a b =+，解得24a =，22b =， 故所求锤子数学方程为22142x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得()222214240kx kmx m +++-=，由0∆>，得2242m k <+（*）且122421km x x k -+=+，因此122221my y k +=+ 所以222,2121km m D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又(0,)N m -，所以222222||2121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()224222413||21m k k ND k++=+，因为||||NF m =，所以()()()422222222431||831||2121k k ND k NF k k +++==+++. 令283t k =+，3t ≥，故21214t k ++=， 所以222||1616111||(1)2ND t NF t t t=+=++++.令1y t t =+，所以211y t'=-当3t ≥时，0y '>，从而1y t t=+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22||134||ND NF ≤+=， 由（*）得m <<0m ≠，故||1||2NF ND ≥， 设2EDF θ∠=，则||1sin ||2NF ND θ=≥，所以θ的最小值为6π. 从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线/的斜率为0. 综上所述：当0k =，((0,2)m ∈时，EDF ∠取得最小值为3π.。