行列式的性质
线性代数行列式的性质与计算
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2 1 3 1
例1. 计算行列式 D = 3 1 0 7 1 2 4 2 1 0 1 5
解：
1 0 1 5 r2 3r1 1 0 1 5
r3 +r1
r1r4 3 1 0 7 0 1 r4 2r1 3 8
D =
=
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
令Aij=(1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
例如，求4阶行列式中a32的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
M32=
A32= (1)3+2M32 = M32
a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44
下页
范得蒙（Vandermonde）行列式
1
a1 a12 Dn = a1n3 a1n2 a1n1
下页
1
1
0
Dn
=
0
0
0
a2 a1 a22 a1a2
a2n2 a1a2n3
a2n1 a1a2n2
1
a3 a1 a32 a1a3
a3n2 a1a3n3 a3n1 a1a3n2
1
an a1
an2 a1an
ann2 a1ann3
ann1 a1ann2
a2 a1 a22 a1a2
按第二列展开
D=a12A12 +a22A22 +a32A32
=0 (1)1+2 1 3 +1 (1)2+2 1 2 +3 (1)3+2 1 2
简述行列式的性质
简述行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
1.2行列式性质
a13 a23 12 a33
a23 a33 3 a21 a33 a31
1
0 2
0 1 2
100 298
100 0 200 1 300 2
例2
计算行列式 2 1 199
3
1 2 3 0 1 2 100 1 199 2 298 3
解
1 2 3
0 1 2
100 1 200 2 300 3
D T 称为D的转置行列式。从而有 D D T
这条性质说明行列式的行和列的地位是相同的。也就 是说，对“行”成立的性质，对于“列”成立的
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。即
r r i j
D
c c i j
D,
则D D
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以数k 得到行列式D1，等于数k乘以此行列式。即
0 an
例6 设
a11 11 ak 1 k1 c11 c n1
这是用两条线将行列式分成四 块了，其中一块为0，与0不在 同一对角线上的两块必须方块
D
a1 k akk kk c1 k c nk
0
c11 c n1 b11 11 bn1 bn1
0
解
b a Dn a a
a b a a
a a a a a b a a
a b a a
a a a b
a a a a
c1 c2 cn
b (n 1)a a a a a b (n 1)a b a a a b (n 1)a a a b a b (n 1)a a a a b
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
§5 行列式的性质
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
对角行列式
λ1 λ2
⋱
= λ1λ2 ⋯λn ;
λn
反对角行列式
λ1 λ2
⋰
= ( − 1)
n ( n −1 ) 2
λ1λ2 ⋯λn .
λn
一、行列式的性质
a11 a12 ⋯ a1n a11 a21 记 a21 a22 ⋯ a2n a12 a22 T D= D = ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann a1n a2n
＝
1 5 3 6
＋
2 5 4 6
D 注： =
பைடு நூலகம்
1+ 2
2+3
3＋4 4 + 5
≠
1 2 3 4
＋
2 3 4 5
性质６ 把行列式的某一列（ 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列( 加到另一列 对应的元素上去， 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． 列式不变． 例如
3 1 1 1 3 1 如D = 1 1 3 1 1 1
1 1 1 3
1 1 又D = 1
-1 1 x -1 -1 x +1 -1 x -1 1 -1 -1 x +1 -1 1
(P12例8)
例3 D =
a a
b a+b
c a+b+c
d a+b+c+d
a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d
1.4 行列式的性质
a 1n
则
D b1 a n1
bn c1 ann a n1
一、行列式的性质
注： 性质5可以推广到某一行（列）的元素为几组 数的和的情形. 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一
个倍数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式的值不变．
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
例5 设 D
ak1 c 11 c n1
a b 11 a 1 k 11 b 1 n D a ,D b , 1 det( ij) 2 det( ij) a b k 1 a kk n 1 b nn
D D . 证明 D 1 2
二、行列式性质的应用
1 1 3 1
1 1 1 3
二、行列式性质的应用
r2 ( 1 ) r1 r3 ( 1 ) r1 r4 ( 1 ) r1
1 0 6 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 6 8 48. 0 2
二、行列式性质的应用
例4 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
D 4 1
r1 r2
6 1
0 2
0 1
4 1 1
二、行列式性质的应用
6 0 0 4 1 1 1 2 1
c3 c2
6
0
0
4 1 0 18. 1 2 3
1
（方法二）
2 D 1 4 1 1 200+1 100+2 100+1
行列式的性质
a 11 c i + kc a 21
j
a 12 a 22 an2
a 1 i + ka 1 j a 2 i + ka 2 j a ni + ka nj
3
4
r3 r2
2 1 3 5
2 1 0 0
3 1 11 9
3 1 4 8
4 4 14 10
4 4 10 2
r3 × ( 1) 0 r2 × ( 1) 0
0
r3 3r2
1 0 0 0
0 0 0
2 1 0 0
2 1 0 0
3 1 8 4
3 1 4 0
4 4 2 10
4 4 10 22
r4 r3 1
(-1) a1 p1 a2 p2 aipi a jp j anpn = (-1) a1 p1 a2 p2 a jp j aipi anpn
t' t ''
经过一次对换结果如此, 经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然 还是如此.于是,经过若干次对换,使得: 还是如此.于是,经过若干次对换,使得:列标排列 p1 p2 pi p j pn 逆序数为 )变为标准排列(逆序数为 (逆序数为t)变为标准排列( 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, q1q2,其逆序数为 ,则有 其逆序数为s, qn (-1) a 设此排列为 a a
D = 3 4 1 5 0 1 2 2 2 1 3 2 5 3 4 4
第五节--行列式的性质
第 2n 列依次与第 2n – 1 列、···、第 2 列对调，得
ab0
0
cd0
0
00a
b
D2n
,
ab
cd
00c
d
本若请本若请本若请本若请本本若若请请本若节想请单节想本单若节想请单节想本单若节节想想请单单节想内结本单若击内请结节击想内结本单若击内请结节击想内 内结 结本单若击击内请结容束节击想返本容单若束内请返结容束节击想返本容单若束内请返结容 容束 束节击想返返本容单若束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已 已本 本内请返结回回节已击想本结本堂容单若回束按内结请返结本堂若节已击想按本结请本 本堂容单若 若回束按内结请 请返结本堂若节已击想按本结 结请本堂 堂容单若回束按按内结请返结堂束节课已击想按本钮容束单回束节课想内结返结钮堂束单节 节课已击想 想按本钮容束单单回束节课想内结返结钮堂束 束单节课 课已击想按本钮钮容束单回束课内,结返结钮堂.已击按本内,!结容束回束课.击内 内,结!返结 结钮堂.已击击按本内,!结容束回束课.击内,,结!返结钮堂..已击按本,!!容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容 容束回束 束课.结!返返钮堂容束已按本,返容束回束课.结!返钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已按本 本,束回回课.已本结!钮堂回已按本,束回课.结!钮堂按,结堂束课.按结 结!钮堂堂按按,结堂束课.按结!钮堂按,束课.!钮束课,钮束束课课.!钮钮束课,钮束课.!钮,.,!.,,!..,!!.,!.!
性质２ 互换行列式旳两行，行列式变号．
性质２ 互换行列式的两行，行列式变号． 证明 设行列式
b11 b12 b1n
D1
b21
b22
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教学单元教案设计
教学单元讲稿
一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则
2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称
第三节 行列式的性质 三、课程导入
复习导入
四、分析思路
首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性
质。
五、讲授内容
第三节 行列式的性质
对换
对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立
定理2 ：n 阶行列式为：
.)1(211
21
2322211312
112
1
n p p p t n n n n
a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中t 为n p p p Λ21的逆序数.
（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为
.)1(1
2
121
11
21
2322211312
11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
练习：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项.
行列式的性质
转置行列式的定义
记 nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛ
Λ21
2222112111
= T D =nn
n
n
n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛ
212
221212111
(D ')
行列式T D 称为行列式D 的转置行列式（依次将行换成列）
一、n 阶行列式的性质
性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.
由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如:
d
c b a D =
d
b c
a D T =
以r i 表示第i 行，j c 表示第j 列.交换j i ,两行记为i j r r ↔,交换i,j 两列记 作i j c c ↔.
性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.
性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k ,等于用数
k 乘以该行列式.
推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.
性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.
性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.
即若 ()()nn
ni
ni n n n
i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D ΛΛ
M M
M M ΛΛΛΛ
'+'+'+=
21
222222111
112
11
)( 则 nn ni n n n i n
i a a a a a a a a a a a a D Λ
ΛM
ΛM M M ΛΛΛΛ21222221111211=
+
nn
ni
n n n
i n i a a a a a a a a a a a a ΛΛ
M M M M Λ
ΛΛΛ
'''2122
22211112
11. 性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k 再加到另一行（列）上，则该行列式不变.
二、n 阶行列式的计算：
例1. 计算2
1
6
4
72954
1732152
-----=
D .
解： 2
1
6
4
72954
1732
152
-----=
D 3
1c c ↔==2
4
6
1
75924
3712
251
------
1
21
4132r r r r r r +--=0
2
1
31106
120225
1----
4
24
32r r r r ++=0
2
10330063002
2
5
1---42r r ↔==93
00
030002102251-=--.
例2. a
b b b b a b b b b a b b b b a D =
4
321r r r r +++=
a b b
b
b a b b b b a b b
a b a b a b a 3333++++
b
a r 311+⨯=()a
b b b b
a b b
b b a b
b a 11113+1
4
,3,2br r i i -==()b
a b a b a b a ---+0
00000
11113
3(3)()a b a b =+-.
(推广至n 阶，总结一般方法)
例3. 证明：222
22
211111
1p r r q q p p r r q q p p r r q q
p +++++++++222111
2r q p r q p r q p =. 证明： 左端2
2222111115
p r r q p p r r q p p r r q p ++++++=第一列
性质2222211111
p r r q q p r r q q p r r q q +++++++ 2
2
22
1111
r r q p r r q p r r q p +++=2
22
2
1111
p r r q p r r q p r r q ++++2
2
2
111
r q p r q p r q p =2
2
2
111
p r q p r q p r q + 2
2
2
111
2r q p r q p r q p =. 例4. nn
n n nk n k kk
k k b b b b c c c c a a a a D Λ
M M ΛΛ
M M ΛΛM M
Λ11111
1111
1110=，
,)det(11111kk
k k
ij a a a a a D Λ
M M
Λ
== .)det(11112nn
n n
ij b b b b b D Λ
M M
Λ
== 证明： 21D D D =.。