0295--【奥赛】小学数学竞赛：乘法原理之染色法.学生版解题技巧 培优 易错 难
小学思维数学讲义：乘法原理之染色问题-带详解
乘法原理之染色问题教学目标1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．知识要点一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例 1】 地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？DC B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有3种颜色可选；当B ，C 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ，C 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，C 仅剩1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C 取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有326⨯=种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法．【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题．【答案】84【例 2】 在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．7654321【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．【答案】24【例 3】 如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?例题精讲DCB A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色，有5种颜色可选．第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选．第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选．第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有3种颜色可选．根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】180【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ED C BA【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择；第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择． 共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．【答案】96【例 4】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4322222221536⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．【答案】1536【巩固】 用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ABC【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步．第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3216⨯⨯=【答案】6【例 5】如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．【讨论】如果染色步骤为----C A BD E,那么应该该如何解答？答案：也是4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．如果染色步骤为----C AD B E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有43(122212)96⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法，(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．【答案】96【巩固】某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如左下图)．GF DC B AE为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?由于有7个区域，我们不妨按A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务．第1步：先染区域A ，有5种颜色可供选择；第2步：再染区域B ，由于B 不能与A 同色，所以区域B 的染色方式有4种；第3步：染区域C ，由于C 不能与B 、A 同色，所以区域C 的染色方式有3种；第4步：染区域D ，由于D 不能与C 、A 同色，所以区域D 的染色方式有3种；第5步：染区域E ，由于E 不能与D 、A 同色，所以区域E 的染色方式有3种；第6步：染区域F ，由于F 不能与E 、A 同色，所以区域F 的染色方式有3种；第7步：染区域G ，由于G 不能与C 、D 同色，所以区域G 的染色方式有3种．根据分步计数的乘法原理，共有54333334860⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】4860【例 6】 用3种颜色把一个33⨯的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有 种不同的染色法．【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，染完后这个33⨯的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色．用3种颜色染第一行，有336P =种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格，有2种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法．所以，根据乘法原理，共有326⨯=种不同的染法．【答案】6【例 7】 如右图，有A 、B 、C 、D 、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？EDC BA 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 先采用分步：第一步给A 染色，有5种方法；第二步给B 染色，有4种方式；第三步给C 染色，有3种方式；第四步给D 染色，有3种方式；第五步，给E 染色，由于E 不能与A 、B 、D 同色，但可以和C 同色．此时就出现了问题：当D 与B 同色时，E 有3种颜色可染；而当D 与B 异色时，E 有2种颜色可染．所以必须从第四步就开始分类：第一类，D 与B 同色．E 有3种颜色可染，共有5433180⨯⨯⨯=（种）染色方式；第二类，D 与B 异色．D 有2种颜色可染，E 有2种颜色可染，共有54322240⨯⨯⨯⨯=（种）染色方式．根据加法原理，共有180240420+=（种）染色方式．【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决．【答案】420【巩固】 如右图，有A ，B ，C ，D 四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？D C B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有4种颜色可选，然后分类：第一类：B ，D 取相同的颜色．有3种颜色可染，此时D 也有3种颜色可选．根据乘法原理，不同的染法有43336⨯⨯=（种）；第二类：当B ，D 取不同的颜色时，B 有3种颜色可染，C 有2种颜色可染，此时D 也有2种颜色可染．根据乘法原理，不同的染法有432248⨯⨯⨯=（种）．根据加法原理，共有364884+=(种)染色方法．【答案】84【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?学奥而思数【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步给“而”上色，有4种选择；然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选；当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．所以，根据加法原理，共有43(222)72⨯⨯⨯+=种不同的涂法．【答案】72【例 8】分别用五种颜色中的某一种对下图的A，B，C，D，E，F六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】先按A，B，D，C，E的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4，3，2，3种，注意E与D的颜色搭配有339⨯=(种)，其中有3种E和D同色，有6种E和D异色．最后染F，当E与D同色时有3种颜色可选，当E与D异色时有2种颜色可选，所以共有542(3362)840⨯⨯⨯⨯+⨯=种染法．【答案】840【例 9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？D CBA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图，当A，B，C，D的颜色确定后，大正方形四个角上的○的颜色就确定了，所以只需求A，B，C，D有多少种不同涂法．按先A，再B，D，后C的顺序涂色．按---A B D C的顺序涂颜色：A有3种颜色可选；当B，D取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时C也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B，D取不同的颜色时，B有2种颜色可选，D仅剩1种颜色可选，此时C也只有1种颜色可选(与A相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=(种)．所以，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【例 10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题【解析】不旋转时共有4×3×2×1=24种染色方式，而一个正四面体有4×3=12种放置方法（4个面中选1个作底面，再从剩余3个面中选1个作正面），所以每种染色方式被重复计算了12次，则不同的染色方法有24÷12=2种。
0295【奥赛】小学数学竞赛：乘法原理之染色法.学生版解题技巧培优易错难
7-2-3乘法原理之染色问题授课目的1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生正确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．知识要点一、乘法原理看法引入老师周六要去给同学们上课，第一得从家出发到长宁上8点的课，尔后得赶到黄埔去上下午1点半的课．若是说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），尔后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个表示图，老师必定先的到长宁，尔后再到黄埔．这几个环节是必不能少的，老师是必然要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理从前，我们能够经过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是若是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，生怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用途了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情能够分成n个必不能少的步骤（比方说老师从家到黄埔，必定要先到长宁，那么一共能够分成两个必不能少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不相同的方法，第二步有B种不相同的方法，，第n步有N种不相同的方法．那么完成这件事情一共有A×B××N种不相同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能够单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题种类1、路线种类问题——比方说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比方说要3个字，尔后有5种颜色能够给每个字尔后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们能够回家看地图，比方中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比方说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比方说给你几个数字，尔后排个几为数的偶数，有多少种排法．例题精讲【例1】地图上有A，B，C，D四个国家(以以下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不相同，但不是每种颜色都必定要用，问有多少种染色方法？A BC D【牢固】若是有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不相同，但不是每种颜色都必定要用，问有多少种染色方法？【例2】在右图的每个地域内涂上A、四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共B、C、有__________种不相同的染色方法．143567【例3】如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不相同染色方法?ACBD【牢固】如图，一张地图上有五个国家A，B，C，D，E，现在要求用四种不相同的颜色区分不相同国家，要求相邻的国家不能够使用同一种颜色，不相同的国家能够使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ABCDE【例4】如图：将一张纸作以下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块，这样进行8步操作，问：若是用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不相同，应该有多少种不相同的染色方法？【牢固】用三种颜色去涂以以下图的三块地域，要求相邻的地域涂不相同的颜色，那么共有几种不相同的涂法？ABC【例5】如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不相同，不相邻的国家的颜色能够相同．那么一共能够有多少种染色方法？【牢固】某沿海城市管辖7个县，这7个县的地址如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不相同颜色，共有多少种不相同的染色方法?【例6】用3种颜色把一个33的方格表染色，要求相同行和相同列的有种不相同的染色法．3个格所染的颜色互不相同，一共【例7】如右图，有A、B、C、D、E五个地域，现用五种颜色给地域染色，染色要求：每相邻两个地域不相同色，每个地域染一色．有多少种不相同的染色方式？B EAC D【牢固】如右图，有A，B，C，D四个地域，现用四种颜色给地域染色，要求相邻地域的颜色不相同，每个地域染一色．有多少种染色方法？DC【牢固】用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的地域的字染不相同的颜色，但不是每种颜色都必定要用．问：共有多少种不相同的染色方法?学而奥数思【例8】分别用五种颜色中的某一种对以下图的A，B，C，D，E，F六个地域染色，要求相邻的地域染不相同的颜色，但不是每种颜色都必定要用．问：有多少种不相同的染法？E FADB【例9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不相同的颜色，共有多少种不相同涂法？BA CD【例10】用4种不相同的颜色来涂正周围体（如图，每个面都是完好相同的正三角形）的4个面，使不相同的面涂有不相同的颜色，共有________种不相同的涂法.（将正周围体任意旋转后依旧不相同的涂色法，才被认为是不相同的）【例11】用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正周围体各个面上，一个面不能够用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不相同涂色方式？【例12】用红、黄、蓝三种颜色对一个正方体进行染色使相邻面颜色不相同一共有多少种方法？若是有红、黄、蓝、绿四种颜色对正方体进行染色使相邻面颜色不相同一共有多少种方法？若是有五种颜色去染又有多少种？(注：正方体不能够翻转和旋转)【牢固】用6种不相同的颜色来涂正方体的六个面，使得不相同的面涂上不相同的颜色一共有多少种涂色的方法？(将正方体任意旋转此后依旧不相同的涂色方法才被认为是相同的)【例13】在“8×8的”方格中放棋子，每格至多放l枚棋子。
【小学奥数】小学数学精品奥数--关于染色与操作问题【精编】
第十一讲：染色与操作问题一、染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.二、操作问题实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。
模块一、染色问题【例1】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？【解析】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．【巩固】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？【解析】（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?【解析】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．【例2】右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍．【巩固】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【解析】如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．【例3】在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？【解析】下图(1)中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.【例4】右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的. 请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【解析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●. 因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。
奥数精编训练-乘法原理之染色法-推荐
1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘7-2-3乘法原理之染色问题知识要点教学目标四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例 1】 地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？ DC B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有3种颜色可选；当B ，C 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ，C 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，C 仅剩1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C 取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有326⨯=种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法．【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题．【答案】84【例 2】 在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．7654321例题精讲【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．【答案】24【例 3】 如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?DCB A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色，有5种颜色可选．第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选．第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选．第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有3种颜色可选．根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】180【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ED C BA【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择； 第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择． 共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．【答案】96【例 4】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4322222221536⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．【答案】1536【巩固】用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ABC【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步．第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3216⨯⨯=【答案】6【例5】如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．【讨论】如果染色步骤为----C A BD E,那么应该该如何解答？答案：也是4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．如果染色步骤为----C AD B E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有43(122212)96⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法，(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．【答案】96【巩固】某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如左下图)．为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?由于有7个区域，我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务．第1步：先染区域A，有5种颜色可供选择；第2步：再染区域B，由于B不能与A同色，所以区域B的染色方式有4种；第3步：染区域C，由于C不能与B、A同色，所以区域C的染色方式有3种；第4步：染区域D，由于D不能与C、A同色，所以区域D的染色方式有3种；第5步：染区域E，由于E不能与D、A同色，所以区域E的染色方式有3种；第6步：染区域F，由于F不能与E、A同色，所以区域F的染色方式有3种；第7步：染区域G，由于G不能与C、D同色，所以区域G的染色方式有3种．根据分步计数的乘法原理，共有54333334860⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】4860【例6】用3种颜色把一个33⨯的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有种不同的染色法．【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知，染完后这个33⨯的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色．用3种颜色染第一行，有336P=种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格，有2种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法．所以，根据乘法原理，共有326⨯=种不同的染法．【答案】6【例7】如右图，有A、B、C、D、E五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？EDC BA 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 先采用分步：第一步给A 染色，有5种方法；第二步给B 染色，有4种方式；第三步给C 染色，有3种方式；第四步给D 染色，有3种方式；第五步，给E 染色，由于E 不能与A 、B 、D 同色，但可以和C 同色．此时就出现了问题：当D 与B 同色时，E 有3种颜色可染；而当D 与B 异色时，E 有2种颜色可染．所以必须从第四步就开始分类：第一类，D 与B 同色．E 有3种颜色可染，共有5433180⨯⨯⨯=（种）染色方式；第二类，D 与B 异色．D 有2种颜色可染，E 有2种颜色可染，共有54322240⨯⨯⨯⨯=（种）染色方式．根据加法原理，共有180240420+=（种）染色方式．【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决．【答案】420【巩固】 如右图，有A ，B ，C ，D 四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？D C B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有4种颜色可选，然后分类：第一类：B ，D 取相同的颜色．有3种颜色可染，此时D 也有3种颜色可选．根据乘法原理，不同的染法有43336⨯⨯=（种）；第二类：当B ，D 取不同的颜色时，B 有3种颜色可染，C 有2种颜色可染，此时D 也有2种颜色可染．根据乘法原理，不同的染法有432248⨯⨯⨯=（种）．根据加法原理，共有364884+=(种)染色方法．【答案】84【巩固】 用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?学奥而思数 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步给“而”上色，有4种选择；然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选；当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．所以，根据加法原理，共有43(222)72⨯⨯⨯+=种不同的涂法．【答案】72【例8】分别用五种颜色中的某一种对下图的A，B，C，D，E，F六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？【考点】乘法原理之染色问题【题型】解答【解析】先按A，B，D，C，E的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4，3，2，3种，注意E 与D的颜色搭配有339⨯=(种)，其中有3种E和D同色，有6种E和D异色．最后染F，当E与D同色时有3种颜色可选，当E与D异色时有2种颜色可选，所以共有542(3362)840⨯⨯⨯⨯+⨯=种染法．【答案】840【例9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？D CBA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图，当A，B，C，D的颜色确定后，大正方形四个角上的○的颜色就确定了，所以只需求A，B，C，D有多少种不同涂法．按先A，再B，D，后C的顺序涂色．按---A B D C的顺序涂颜色：A有3种颜色可选；当B，D取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时C也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B，D取不同的颜色时，B有2种颜色可选，D仅剩1种颜色可选，此时C也只有1种颜色可选(与A相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=(种)．所以，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【例10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题【解析】不旋转时共有4×3×2×1=24种染色方式，而一个正四面体有4×3=12种放置方法（4个面中选1个作底面，再从剩余3个面中选1个作正面），所以每种染色方式被重复计算了12次，则不同的染色方法有24÷12=2种。
(完整版)染色问题的计数方法
染色问题的计数方法河北张家口市第三中学王潇与染色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想,染色问题,解题方法技巧性强且灵活多变,故这类问题有利于培养学生的创新思维能力,分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。
一、区域染色问题1.根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。
例1要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？分析先给西藏青海云南四川四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种2.根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。
例2 （2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？分析 依题意至少要12345图2选用3种颜色。
（1） 当选用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，有34A 种。
（2） 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A ＋244A ＝24＋2×24＝72种。
3 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。
例3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234图3（1）四格涂不同的颜色，方法数为45A ；（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为21245C A ； （3）两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为25A 。
解决小学奥数问题的方法：染色分类法
一种解决数学问题的新方法：染色分类法【摘要】：在现实生活中，有一些判断能与否的数学问题涉及到的知识点很少，难以快速地找到解题思路。
本文主要介绍一种解决这类数学问题的新方法：染色分类法。
对研究对象进行染色，可以形象、直观地使某些隐蔽的条件显露，从而 获得简明的解答。
【关键字】：染色 分类 数学问题一、 用染色解决图形覆盖问题：在中学数学竞赛中，我们常常会碰到这样的题目：用多个几何图形去覆盖另一个几何图形，问能否实现。
如果我们每一种情况都去试，不仅花时间，而且容易因考虑不全而出错。
对于这一类问题，我们不妨对涉及到的几何对象进行染色，再来寻找解题思路。
问题一：能否用2个田字形和7个T 字形恰好覆盖一个6⨯6网格？分析：这道题看似简单，但是如果要穷尽每种情况去试一试，却不太可行。
考虑到网格中共有36个小方格，不妨通过染色把这36个小方格分成黑白两类，然后看用田字形能覆盖住多少个，T 字形能覆盖住多少个，从而判断该题是否有解。
解：由于用黑白两种颜色对6⨯6 网格进行染色（如图），可以看到图中有18个黑格，18个白格。
而用一个田字形，无论放在哪里，都能覆盖住一个黑格，一个白格；而T 字形能覆盖住1个或3个白格。
所以2个田字形和7个T 字形总共覆盖住奇数个白格，而6⨯6 网格中总共有18（偶数）个白格，所以不能完全覆盖住。
问题二 ：要用40块方形瓷砖铺设如图2所示图形的地面，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块，一人买了20块长方形瓷砖，结果弄来弄去始终无法完整铺设好，你能否用这20块瓷砖（不分割任何一块）帮他铺好地面？图2 图3分析：要得出这道题的答案并不难，但是如何从理论上证明却没那么简单。
这里，如果我们仿照问题一采用染色方法，不仅能更快得出答案，更能较好地说明理由，让读者一目了然。
解：在图形上黑、白相间地染色，如图3。
则共有19个白格和21个黑格。
一块长方形瓷砖只可盖住一白一黑两格。
为了把所有的白格都盖住，需要19块长方形瓷砖，但19块长方形瓷砖只能盖住19个黑格，还有两个黑格没有盖住。
小学奥数教程-乘法原理之染色问题.教师版 (139) 全国通用(含答案)
1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型教学目标知识要点7-2-3乘法原理之染色问题1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例 1】 地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？DC B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有3种颜色可选；当B ，C 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ，C 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，C 仅剩1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C 取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有326⨯=种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法． 【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题．【答案】84【例 2】 在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．7654321【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．【答案】24【例 3】 如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?例题精讲DCB A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色，有5种颜色可选．第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选．第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选．第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有3种颜色可选．根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】180【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ED C BA【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择；第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择． 共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．【答案】96【例 4】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4322222221536⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．【答案】1536【巩固】 用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ABC【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步．第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3216⨯⨯=【答案】6【例 5】如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．【讨论】如果染色步骤为----C A BD E,那么应该该如何解答？答案：也是4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．如果染色步骤为----C AD B E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有43(122212)96⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法，(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．【答案】96【巩固】某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如左下图)．GF DC B AE为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?由于有7个区域，我们不妨按A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务．第1步：先染区域A ，有5种颜色可供选择；第2步：再染区域B ，由于B 不能与A 同色，所以区域B 的染色方式有4种；第3步：染区域C ，由于C 不能与B 、A 同色，所以区域C 的染色方式有3种；第4步：染区域D ，由于D 不能与C 、A 同色，所以区域D 的染色方式有3种；第5步：染区域E ，由于E 不能与D 、A 同色，所以区域E 的染色方式有3种；第6步：染区域F ，由于F 不能与E 、A 同色，所以区域F 的染色方式有3种；第7步：染区域G ，由于G 不能与C 、D 同色，所以区域G 的染色方式有3种．根据分步计数的乘法原理，共有54333334860⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】4860【例 6】 用3种颜色把一个33⨯的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有 种不同的染色法．【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，染完后这个33⨯的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色．用3种颜色染第一行，有336P =种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格，有2种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法．所以，根据乘法原理，共有326⨯=种不同的染法．【答案】6【例 7】 如右图，有A 、B 、C 、D 、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？EDC BA 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 先采用分步：第一步给A 染色，有5种方法；第二步给B 染色，有4种方式；第三步给C 染色，有3种方式；第四步给D 染色，有3种方式；第五步，给E 染色，由于E 不能与A 、B 、D 同色，但可以和C 同色．此时就出现了问题：当D 与B 同色时，E 有3种颜色可染；而当D 与B 异色时，E 有2种颜色可染．所以必须从第四步就开始分类：第一类，D 与B 同色．E 有3种颜色可染，共有5433180⨯⨯⨯=（种）染色方式；第二类，D 与B 异色．D 有2种颜色可染，E 有2种颜色可染，共有54322240⨯⨯⨯⨯=（种）染色方式．根据加法原理，共有180240420+=（种）染色方式．【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决．【答案】420【巩固】 如右图，有A ，B ，C ，D 四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？D C B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有4种颜色可选，然后分类：第一类：B ，D 取相同的颜色．有3种颜色可染，此时D 也有3种颜色可选．根据乘法原理，不同的染法有43336⨯⨯=（种）；第二类：当B ，D 取不同的颜色时，B 有3种颜色可染，C 有2种颜色可染，此时D 也有2种颜色可染．根据乘法原理，不同的染法有432248⨯⨯⨯=（种）．根据加法原理，共有364884+=(种)染色方法．【答案】84【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?学奥而思数【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步给“而”上色，有4种选择；然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选；当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．所以，根据加法原理，共有43(222)72⨯⨯⨯+=种不同的涂法．【答案】72【例 8】分别用五种颜色中的某一种对下图的A，B，C，D，E，F六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】先按A，B，D，C，E的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4，3，2，3种，注意E与D的颜色搭配有339⨯=(种)，其中有3种E和D同色，有6种E和D异色．最后染F，当E与D同色时有3种颜色可选，当E与D异色时有2种颜色可选，所以共有542(3362)840⨯⨯⨯⨯+⨯=种染法．【答案】840【例 9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？D CBA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图，当A，B，C，D的颜色确定后，大正方形四个角上的○的颜色就确定了，所以只需求A，B，C，D有多少种不同涂法．按先A，再B，D，后C的顺序涂色．按---A B D C的顺序涂颜色：A有3种颜色可选；当B，D取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时C也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B，D取不同的颜色时，B有2种颜色可选，D仅剩1种颜色可选，此时C也只有1种颜色可选(与A相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=(种)．所以，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【例 10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题【解析】不旋转时共有4×3×2×1=24种染色方式，而一个正四面体有4×3=12种放置方法（4个面中选1个作底面，再从剩余3个面中选1个作正面），所以每种染色方式被重复计算了12次，则不同的染色方法有24÷12=2种。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：染色法 全国通用
在解决某些数学问题时，我们常常需要把有关元素适当分类.为了使这种分类更为形象，我们可以设想把元素分别涂上不同的颜色.这类用涂色的方法来寻求解题思路的方法叫做染色法.根据染色对象的不同，染色法一般分为方格染色、线段染色和点染色三种，在运用染色法解题的过程中，常结合抽屉原理等组合知识和图论初步知识.解题步骤一般分为：(1)审题，把实际问题用染色图表示出来；(2)运用抽屉原理或图论知识对染色图进行分析；(3)找出问题的答案.[例1] 在平面上有一个27×27的方格棋盘，在横盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9的正方形.按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来.问：是否存在一种方法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?思路剖析本题的游戏规则是一枚棋子越过相邻的棋子进行移动，故每一次移动会影响3个棋盘方块的棋子数，可考虑用3种颜色对棋盘染色，研究其变动规律，推出答案.解答如图1所示，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分.按照游戏规则，每走一步，有两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数的奇偶性都要改变.因为一开始时，81个棋子摆成一个9×9的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的.但如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另—部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子.[例2]在5×5的方格棋盘中的A格里放一颗棋子，规定每次棋子可向左右或上下移动一格，问这颗棋子走25步后能否回到原处?思路剖析如图2所示，棋子从A出发，每一步都有2┉4种走法，25步以后出现的情况很多.从表面上看，似乎找不到棋子行走的规律，若利用染色法，对棋格作相间染色，很容易发现规律，找到本题答案.解答如图3所示，对棋格作相间染色，则棋子从白格A出发，走l步进入黑格，走2步进入白格，走3步进入黑格，……，显然，棋子从白格A出发. 走奇数步落在黑格，走偶数步落在白格，所以，走25步一定落在黑格，而原处为白格，故本题答案为：这颗棋子走25步后不能回到原处.[例3】如图4所示，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只小甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去.如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗?思路剖析先将正方体进行黑白相间染色(见图5)，则小甲虫每移动一次，会改变一次方格的颜色，对小甲虫走过不同颜色的方格数进行考虑，问题便迎刃而解了.解答我们如图5所示，将正方体分割成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上黑色.显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的.甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色.故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次.由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体.[例4] 如图6所示，平面上给定6个点，没有三个点在一条直线上. 证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，必定有一个三角形，它的最大边同时是另一个三角形的最小边.思路剖析在一般情况下，三角形的三条边互不相等，因此存在一个最大边和最小边，考虑特殊情况，在等腰三角形(或等边三角形)中，最大边可能有2 条(或3条).同样，可用涂色法解决.证明先将每一个三角形中的最大边涂成红色，然后将其余的边染成绿色.(1)先证明这些三角形中至少有一个同色三角形.根据抽屉原理，从A出发的5条线，至少有3条线同色，设有3条红线AB、AC、AD，再分析BC、BD、CD三条线段，若有l条为红色，问题得证，若3条全是绿色．问题也得证.(2)由(1)可知，全部三角形中必有一个为同色三角形，若为红色三角形，则这红色三角形中的最小边必定是某个三角形的最大边；若为绿色三角形，则这个绿色三角形中的最大边必定是某一三角形的最小边，问题得证.[例5】用15个“T"字形纸片和1个“田”字形纸片(如图7所示)，能否覆盖一个8×8的棋盘?思路剖析本题看起来无从下手，但我们可以将棋盘的方格进行染色，然后寻找T字形纸片与棋盘方格之间的关系，综合运用假设法，导出本题答案.解答如图8所示，先将棋盘染成黑白相间的形状.假设15个T字形纸片和1个田字形纸片可以盖住棋盘，则它们盖住的白格数为32个.显然1个田字形纸片盖住2个白格，故15个T字形纸片盖住30个白格.再来看每个T字形纸片只能盖住1个或3个白格，设有，n(n为自然数)张T字纸片盖住1个白格，则15张T字纸片一共盖住n×1+(15-n)×3=，n+45-3n=45-2n，对45-2n=30求解，显然n没有自然数解，所以不能覆盖棋盘.[例6】6个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识.证明：存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互相不认识(这两个“三人组”可以有公共成员).思路剖析本题是一个生活中的小问题，可先进行适当转化，使其变成一个纯粹的数学题，可考虑用点表示每个人，利用染色法，对每个人之间的不同关系用点与点之间不同颜色的线段来区分.问题就迎刃而解了.解答现在我们将每个人用一个点表示(A、B、C、D、E、F)，如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段，否则就连一条蓝色线段.本题即证明图9中是否存在两个同色的三角形.我们先证明存在一个同色的三角形(图9)：考虑由A点引出五条线段AB、AC、AD、AE，AF、其中必然有三条被染成了相同的颜色，我们不妨设AB、AC、AD同为红色.再考虑ABCD的三边：若其中有一条是红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则存在一个蓝色三角形.我们不妨再假设△ABC的三条边都是红色的.若△DEF也是三边同为红色，则显然就有两个同色三角形；若△DEF三边中有一条边为蓝色，设其为DE，再考虑DA，DB，DC三条线段：若其中有两条为红色，则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的，则设其为DA，DB.此时在EA，EB中若有一边为蓝色，则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色，则又存在一个红色三角形.(请读者参照上图作图)答：不论如何染色，总可以找到两个同色的三角形.[例7】某展览馆是由5×5个小方形房组成的25间展室，相邻的两展室之间有一门相通且只有一间展室为进出口房间.一小朋友打算从进口间开始，不重复地依次看完每一展室，然后出来.试问，这位小朋友的希望能实现吗?思路剖析如果我们一条一条地把所有可能的走法都来试验，显然是不明智的，因为走法太多，而且容易发生遗漏.可以考虑染色法，将25个展室用黑白相间的办法涂色，再进行奇偶性分析.解答如图10所示，把25个展室用黑白相间的办法涂色，根据小朋友的愿望，他必须依次由白室走入黑室，经过25道门，最后再到白室.然而，无论他选择什么路线，按其要求走的结果必然是：即，经过25道门后，所到的展室一定是黑室而不是白室，所以，这位小朋友的愿望不能实现.点津染色法是由染色问题引申出来的一类解题方法，其实质也是将一个数学问题转化为一个染色问题.运用它解题的关键在于染色对象和染色方式的选择，一般采用黑白相间的方式，在解答一些更难的问题时可能要用到多种颜色.在题中数量关系发生变动时，考虑这种变动在涂色图形上的反应时，要有较严密的逻辑思维和想像能力.1．如图11所示，正方形被分成6块区域，若给每一块区域都染色，并且相邻的区域颜色不同，问至少需要几种不同的颜色?2．将4x4的正方形剪去两个小正方形，剪法不同得出图12和图13.现用7块l x 2的小矩形去覆盖，问覆盖能否完成.3．如图14用红、黄、蓝、绿4种颜色给一个五边形着色，使相邻两边的颜色不同.问共有多少种不同的着色方法?4．在正方体的每一个面取中心，将这些点两两相连，有些用红线，有些用蓝线，求证：在这些连线中，必然有同一种颜色的线组成的三角形.5．将图15中的点染色，要求相邻的(即有线段连结的)点染成不同的颜色.问至少需要几种颜色?6．一个车间安装了5行缝纫机，每行7台，每台缝纫机由一名工人操作，一个月后，要求每个工人和它相邻的同伴交换工作，这可能吗?为什么?7．线段AB的两个端点一个染黑色，一个染白色.在线段AB内任意取100个点，将AB分成101条首尾相接的线段，请判断，如果将这100个点任意染成黑色点或白色点，那么这101条线段中，两端点不同色的线段的条数是奇数还是偶数?8．在一张白纸上，随着画上一些红色点和一些蓝色点，它们的总和不少于5点.画完之后发现，任意3个红点不共线，任意3个蓝点也不共线. 求证，一定存在3个顶点同颜色的三角形，它至少有一条边(不包括延长线)不含另一种颜色的点.9．一批现成的木箱，尺寸是6 x 6 x 6，现有一批商品，每件都是长方体，尺寸为l x2x4.能不能用这样的商品将木箱填满?。
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7-2-3乘法原理之染色问题
教学目标
1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；
2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．
3.培养学生准确分解步骤的解题能力；
乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．知识要点
一、乘法原理概念引入
老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？
我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．
二、乘法原理的定义
完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．
结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．
三、乘法原理解题三部曲
1、完成一件事分N个必要步骤；
2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；
3、步步相乘
四、乘法原理的考题类型
1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；
2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；
3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；
4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；
5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．
【例 1】 地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜
色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？
D
C
B A
【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都
必须要用，问有多少种染色方法？
【例 2】 在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共
有__________种不同的染色方法．
7
6
5
4321
【例 3】 如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，
有多少种不同染色方法?
D
C B
A
【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，
要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色
例题精讲
方法？
E
D
C
B
A
【例 4】如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相
等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜
色不同，应该有多少种不同的染色方法？
【巩固】用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？
A
B
C
【例 5】如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？
【巩固】某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?
【例 6】用3种颜色把一个33
的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有种不同的染色法．
【例 7】如右图，有A、B、C、D、E五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？
【巩固】如右图，有A，B，C，D四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？
D
C
B
A
【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?
学
奥
而
思
数
【例 8】分别用五种颜色中的某一种对下图的A，B，C，D，E，F六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？
【例 9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？
D C
B
A
【例 10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才
被认为是不同的）
【例 11】用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？
【例 12】
用红、黄、蓝三种颜色对一个正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有红、黄、蓝、绿四种颜色对正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有五种颜色去染又有多少种？(注：正方体不能翻转和旋转)
【巩固】用6种不同的颜色来涂正方体的六个面，使得不同的面涂上不同的颜色一共有多少种涂色的方法？
(将正方体任意旋转之后仍然不同的涂色方法才被认为是相同的)
【例 13】在“8×8”的方格中放棋子，每格至多放l枚棋子。
若要求8行、8列、30条斜线(如下图所示)上的棋子数均为偶数。
那么“8×8”的方格中最多可以放枚棋子。