奥数加法原理乘法原理
【七年级奥数】第22讲 加法原理和乘法原理（例题练习）
第22讲加法原理和乘法原理——练习题一、第22讲加法原理和乘法原理（练习题部分）1.书架上有三排书．第一排共有12本书．第二排共有20本书，第三排共有15本书．小明从中取一本书来阅读．问他有几种不同的取法?2.某班有男生18人，女生15人．从中选出一人去参加夏令营，问有多少种不同的选法?3.第一个口袋中装2个球，第二个口袋中装4个球，第三个口袋中装5个球，球各不相同．（1）从口袋中任取一个小球，有多少种不同的取法?（2）从三个口袋中各取一个球，问有多少种不同的取法?4.如图，从甲地到乙地有两条路．从乙地到丙地有三条路．从甲地到丙地有四条路．问从甲地到丙地共有多少种不同的走法?5.把多项式(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2) 展开，展开式中有多少种不同的项?6.求2000的正约数的个数．7.用1、2、3、4这四个数字可组成多少个不同的三位数?8.将6个人分成甲、乙两组，每组至少1人．有多少种不同的分法?9.从南京到上海的某次快车，中途要停靠六个大站．铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票?这些车票中最多有多少种不同的票价?10.4个人站成一排合影，共有多少种不同的排法?11.用2、3、4这三个数字组成没有重复数字的三位数．（1）求这些三位数的数字和的和；（2）求这些三位数的和．12. 2000的正约数中，有多少个偶数?13.用数字0、1、2、3、4可以组成多少个（1）四位数?（2）四位偶数?（3）没有重复数字的四位数?（4）没有重复数字的四位偶数?（5）没有重复数字的正整数?14.三封信，随机地投入四个信箱中．有多少种不同的投信方法?15. 5人站成一排照相，其中一人必须站在中间．有多少种站法?16.有多少个被3整除并且含有数字9的三位数?17.如图，对地图中的A、B、C、D、E这五个部分用四种不同的颜色染色．相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可以用相同的颜色．有多少种不同的染色方法?答案解析部分一、第22讲加法原理和乘法原理（练习题部分）1.【答案】解：小明从中取一本，共有三种方法：一种是从第一排取，共12种不同的取法；一种是从第二排取，共20种不同的取法；一种是从第三排取，共15种不同的取法；∴12+20+15=47（种），答：他有47种不同的取法.【解析】【分析】做一件事情，完成它有n类办法；在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+m3+……+m n.根据加法原理计算即可.2.【答案】解：从中选一人，共有两种选法：一种是从男生选，共有18种选法；一种是从女生选，共有15种选法；∴18+15=33（种），答：有33种不同的选法.【解析】【分析】做一件事情，完成它有n类办法；在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+m3+……+m n.根据加法原理计算即可.3.【答案】（1）解：从口袋中任取一个小球有三种办法：第一种是从第一个口袋中取球，共有2种不同的方法；第二种是从第二个口袋中取球，共有4种不同的方法；第三种是从第三个口袋中取球，共有5种不同的方法；∴2+4+5=11（种）．答：有1种不同的取法.（2）解：从三个口袋中各取一个球，可分三步进行：第一步是从第一个口袋中取一球，有2种不同的方法；第二步是从第二个口袋中取一球，有4种不同的取法；第三步是从第三个口袋中取一球，有5种不同的方法；∴2×4×5=40（种）.答：有40种不同的取法.【解析】【分析】使用乘法原理与加法原理的不同之处在于：用加法原理时，完成一件事情有n类办法，不论用哪一类办法，都能完成这件事．而用乘法原理时，完成一件事情可分为n步，但不论哪一步，都只是完成这件事情的一部分，只有每一步都完成了；这件事情才得以完成．因此，这n步缺一不可．这就是使用乘法原理还是使用加法原理的主要区别．4.【答案】解：从甲地到丙地有两种不同的走法：第一种是从甲地到丙地，有4条路；第二种是从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，故共有2×3=6条路；∴4+2×3=10（种）.答：从甲地到丙地共有10种不同的走法.【解析】【分析】从甲地到丙地有两种不同的走法：第一种是从甲地到丙地，有4条路；第二种需要分成两步：先从甲地到乙地有2条路，再从乙地到丙地有3条路，根据加法原理和乘法原理计算即可.5.【答案】解：多项式含a的有3项，含b的有4项，含c的有2项，∴展开式中不同的项有：3×4×2=24（种）.【解析】【分析】这个多项式的乘积是有三个部分组成：第一部分含a的有3项，第二部分含b的有4项，第三部分含c的有2项，根据乘法原理计算即可.6.【答案】解：∵2000=24×53，∴2000的正约数个数是：（4+1）×（3+1）=20（个）.【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·p k a k，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（a k+1）个；所以先将2000分解质因数，再依此计算即可.7.【答案】解：百位数字有4种选法，十位数字有4种选法，个位数字有4种选法，∴4×4×4=64.∴可组成64个不同的三位数.【解析】【分析】三位数分成三步：第一步选百位数字有4种选法，第二步选十位数字有4种选法，第三步选个位数字有4种选法，根据乘法原理计算即可.8.【答案】解：∵每个人都可分在甲组，也可分在乙组，即有2种分法，根据乘法原理可得：2×2×2×2×2×2=64（种），又∵这64种方法种，有1种是6个人全在甲组，有1种是6个人全在乙组，∴64-1-1=62（种）.答：有62种不同的分法.【解析】【分析】每个人都可以分在甲组或乙组，即有2种分法，根据乘法原理算出所有分法；然后去掉一些不符题意的；这种做法常常有很好的效果．9.【答案】解：∵中途有6个大站，∴一共有6+2=8（站），∴7+6+5+4+3+2+1=28（种），∴两个车站的往返车票各一种，即两种，∴28×2=56（种），答：铁路局要为这次快车准备56种不同的车票；这些车票中最多有28种不同的票价.【解析】【分析】根据题意可知从南京到上海一共8个站，从第一站到其他各站有7种，从第二站到下边各站有6种，从第三站到下边各站有5种，……，从第七站到下边各站有1种，根据加法原理计算单程车票的种类，即可计算往返车票的种类和票价.10.【答案】解：第一个人有4种不同站法，第二个人有3种不同的站法，第三个人有2种不同的站法，第四个人有1种不同的站法，∴4×3×2=24（种）.答：共有24种不同的排法.【解析】【分析】根据题意可知第一个人有4种不同站法，第二个人有3种不同的站法，第三个人有2种不同的站法，第四个人有1种不同的站法，根据乘法原理计算即可得出答案.11.【答案】（1）解：百位数字有3种方法，十位数字与百位数字不同，有2种方法，个位数字与百位、十位数字不同，有1种方法，∴3×2×1=6（种），∴这些三位数的数字和的和为：（2+3+4）×6=54.答：这些三位数的数字和的和为54.（2）解：依题可得三位数为：432，423，324，342，234，243，∴这些三位数的和为：432+423+324+342+234+243=1998.答：这些三位数的和为1998.【解析】【分析】（1）选三位数分成三步：第一步百位数字有3种方法，第二步十位数字与百位数字不同，有2种方法，第三步个位数字与百位、十位数字不同，有1种方法，根据乘法原理计算即可.（2）根据题意写出所有的三位数，再将这些数字加起来即可得出答案.12.【答案】解：∵2000=24×53，∴2000的正约数个数是：（4+1）×（3+1）=20（个），∴奇约数有：3+1=4（个），∴偶约数有：20-4=16（个）.【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·p k a k，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（a k+1）个；所以先将2000分解质因数，再依此计算即可.13.【答案】（1）解：千位数字有4种不同的选法，百位数字有5种不同的选法，十位数字有5种不同的选法，个位数字有5种不同的选法，∴4×5×5×5=500（个）.答：可以组成500个四位数.（2）解：个位数字从0、2、4数字中选有3种不同的选法，则十位数字有5种不同的选法，百位数字有5种不同的选法，千位数字有4种不同的选法，∴3×5×5×4=300（种）.答：可以组成300个四位偶数.（3）解：∵数字不能重复，∴千位数字有4种不同的选法，百位数字与千位数字不同，则有4种不同的选法，十位数字与千位、百位数字不同，则有3种不同的选法，个位数字与千位、百位、十位数字不同，则有2种不同的选法，∴4×4×3×2=96（种）.答：没有重复数字的四位数有96种.（4）解：∵数字不能重复且为偶数，∴①若个数数字为0时，则十位数字与个位数字不同，则有4种不同的选法；百位数字与个位、十位数字不同，则有3种不同的选法；千位数字与个位、十位、百位数字不同，则有2种不同的选法，∴4×3×2=24（种），②个位数字从2、4数字中选有2种不同的选法，则千位数字与个位数字不同，则有3种不同的选法，百位数字与个位、千位数字不同，则有3种不同的选法；十位数字与个位、百位、千位数字不同，则有2种不同的选法，∴2×3×3×2=36（种），∴24+36=60（种）.答：没有重复数字的四位偶数有60种.（5）解：①一位数有4个；②两位数有4×4=16（个）；③三位数有4×4×3=48（个）；④四位数有4×4×3×2=96（个）；⑤五位数有4×4×3×2×1=96（个）；∴没有重复数字的正整数有：4+16+48+96+96=260（个）.答：没有重复数字的正整数有260.【解析】【分析】（1）千位数字有4种不同的选法，百位数字有5种不同的选法，十位数字有5种不同的选法，个位数字有5种不同的选法，根据乘法原理计算即可.（2）个位数字从0、2、4数字中选有3种不同的选法，则十位数字有5种不同的选法，百位数字有5种不同的选法，千位数字有4种不同的选法，根据乘法原理计算即可.（3）由于数字不能重复，从而千位数字有4种不同的选法，百位数字与千位数字不同，则有4种不同的选法，十位数字与千位、百位数字不同，则有3种不同的选法，个位数字与千位、百位、十位数字不同，则有2种不同的选法，根据乘法原理计算即可.（4）根据题意分情况分析：①若个数数字为0时，分别写出十位、百位、千位数字的不同选法，根据乘法原理计算即可；②个位数字从2、4数字中选有2种不同的选法，分别写出十位、百位、千位数字的不同选法，根据乘法原理计算即可；再将两种选法加起来即可.（5）根据题意分情况讨论：①一位数；②两位数；③三位数；④四位数；⑤五位数；再分别求出个数，求和即可.14.【答案】解：每封信都有4种投法，依题可得：4×4×4=64（种）.答：有64种不同的投信方法.【解析】【分析】根据题意可知每封信都有4种投法，根据乘法原理计算即可.15.【答案】解：∵一人必须站在中间，∴第一个人有4种不同的排法，第二个人有3种不同的排法，第四个人有2种不同的排法，第五个人有1种不同的排法，∴4×3×2=24（种）.答：有24种站法.【解析】【分析】根据题意可知一个人的位置已经固定，再将剩余的4人排列，根据乘法原理计算即可.16.【答案】解：依题可分类讨论：①9在个位：由于需被3整除且个位是9，根据被3整除的数，其各位数字之和也能被3整除的定理，百位和十位数字之和能被3整除；所以百位和十位组成的两位数也能被3整除.百位和十位从10到99，共有90个数，每3个数一组，必有一个被3整除，共30个.②9在十位：同上分析，有30个.③9在百位：与上面不同的是，个位和十位组成的两位数应该从00到99，共100个数，能被3整除的有34个.以上三种情况有重复的，那就是9不止一个的时候.④□99，有3个.⑤9□9，有4个.⑥99□，有4个.⑦999，有1个.∴共有30+30+34-3-4-4+1 =84（个）.【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①9在个位；②9在十位；③9在百位，根据被3整除的数的特征分析得出各部分数的个数，再把其中重复的找出来，计算即可.17.【答案】解：根据题意可知：A有4种不同的染色方法，则B不能和A相同，有3种不同的染色方法；C不能和A、B相同，有2种不同的染色方法；D不能和B、C相同，有2种不同的染色方法；E不能和C、D相同，有2种不同的染色方法；∴4×3×2×2×2=96（种）.答：有96种不同的染色方法.【解析】【分析】根据题意可知A有4种不同的染色方法，则B不能和A相同，有3种不同的染色方法；C不能和A、B相同，有2种不同的染色方法；D不能和B、C相同，有2种不同的染色方法；E不能和C、D相同，有2种不同的染色方法；由乘法原理计算即可.。
五年级奥数专题 加法原理和乘法原理综合(学生版)
学科培优数学“加法原理和乘法原理综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法来解决问题知识梳理乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.加法原理：一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.例题精讲【试题来源】【题目】从五年级8个班中评选出学习、体育、卫生先进集体,如果要求同一个班级只能得到一个先进集体,那么一共有多少种评选方法？【试题来源】【题目】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字,相邻的字颜色不同,共有多少种写法？【试题来源】【题目】北京到广州之间有10个站,其中只有两个站是大站（不包括北京、广州）,从大站出发的车辆可以配卧铺,那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？【试题来源】【题目】7个相同的球放在4个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,不同的放法有多少种？【试题来源】【题目】如图所示,沿线段从A 走最短路线到B 有多少种走法？【试题来源】【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择？GD F CE BA106343211111BA【试题来源】【题目】用1,2,3,4这4个数字,组成各位数字互不相同的四位数,例如1234,4321等,求全体这样的四位数之和．【试题来源】【题目】某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有7个车站,现在新增了3个车站,铁路上两站之间往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票？【试题来源】【题目】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.【试题来源】【题目】12个人围成一圈,从中选出三个人,其中恰有两人相邻,共有多少种不同选法？【试题来源】【题目】A、B、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这样经过了5次传球后,球恰巧又回到A手中,那么不同的传球方式共多少种．【试题来源】【题目】在2000到2999这1000个自然数中,有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【试题来源】【题目】将一些数字分别填入下列各表中,要求每个小格中填入一个数字,表中的每横行中从左到右数字由小到大,每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。
小学奥数--加法原理乘法原理
加法原理与乘法原理加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
小学阶段只学习两个原理的简单应用。
【题目1】：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法【解析】：运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
六年级奥数培训第4讲 乘法原理和加法原理
第4讲乘法原理和加法原理一、知识要点在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。
做一件事时有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。
二、精讲精练【例题1】由数字0，1，2，3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？【思路导航】在确定组成三位数的过程中，应该一位一位地去确定，所以每个问题都可以分三个步骤来完成。
①要求组成不相等的三位数，所以数字可以重复使用。
百位上不能取0，故有3种不同的取法：十位上有4种取法，个位上也有4种取法，由乘法原理共可组成3×4×4=48个不相等的三位数。
②要求组成的三位数没有重复数字，百位上不能取0，有三种不同的取法，十位上有三种不同的取法，个位上有两种不同的取法，由乘法原理共可组成3×3×2=18个没有重复数字的三位数。
练习1：1.有数字1，2，3，4，5，6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？2.在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同的减法算式？【例题2】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。
将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？【思路导航】要使两个数字之和为偶数，就需要这两个数字的奇、偶性相同，即两个数字同为奇数或偶数。
所以，需要分两大类来考虑：两个正方体向上一面同为奇数的共有3×3=9（种）不同的情形；两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3=9（种）不同的情形；两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形。
练习2：1.在1～1000的自然数中，一共有多少个数字1？2.在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？3.十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？【例题3】书架上层有6本不同的数学书，下层有5本不同的语文书，若任意从书架上取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？【思路导航】从书架上任取一本数学书和一本语文书，可分两个步骤完成，第一步先取数学书，有6种不同的方法，而这6种的每一种取出后，第二步再取语文书，又有5种不同的取法，这样共有6个5种取法，应用乘法计算6×5=30（种），有30种不同的取法。
小学奥数基础教程(加法乘法原理)ppt课件
这也叫做加法原理
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例2:小红到学校有三条路，学校到小明家有四 条路，问小红想经过学校到小明家，有几条
路可以到达？
学校 小红家
小明家
小红家到学校有 3 条 学校到小明家有 4 条 小红家到小明家有（ ）条
3 ×4＝12（条）
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从刚才的例子可以看出： 做一件工作必须分两（或
借一本故事书，有几 种借法？
5 × 3＝15（种）
想：一共有多少种不 同的借法？
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运用1：四年1、2、3、4、5班排球队要进行比赛， 每个队都要和其他队比赛一场，一共有多少场比赛？
想：完成什么任务呢？
两个队进行一场比赛， 那1队和2队比赛完成 任务了吗？
完成了，1队和3队比 赛一场也完成了吗？
1队：1队－2队，1队－3队，1队－4 队，1队和5队 共4场
那2队有几场呢？注意不重复哦。
也完成了，那么，可 以分类完成，用什么 原理呢？
4+3+2+1＝10（场）
加法原理
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运用2：用0、2、3、6三个数字，可以组成几个不 同的三位数，其中最小的一个是几？
想：这道题是用分类还是分步骤？
第一步
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第一步
第三步
百位
十位
个位
小百 小十小个 位 位位 最 最最
2 03
3种2、 3种：余 3、6 下3个
2种：余下 2个
3 ×3 ×2＝18
注意：整数首位不 能为“0”哟
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练习2： 1、用0、7、3、6、4这几个数字可以组成几个不同 的在三位数？最大的是多少？ 2、平平到食堂吃饭，荤菜有4种，素菜有3种，汤有 2种。如果他只吃一种菜有几种吃法？如果他要吃一 菜一汤又有几种呢？ 3、用1角、2角和5角的人民币组成一元（张数无限 制），有多少种不同的组成方法？
初中七年级奥数课件：加法原理与乘法原理
3不出现的，百位数字可以是0，1或2三种 情况．十位数字与个位数字均有九种， • 因此除去0共有3×9×9-1=242(个)．
• 解法二
• 将符合要求的自然数分为以下三类：
• (1)、一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个．
• (2)、二位数，在十位上出现的数字有：
可以有
种打扮
乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取 出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成 一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列。
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要 求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后 顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者 各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的 排列。 从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所p有nm 排列 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列
• 下面我们通过一些例子来说明这两个原 理在计数中的应用．
• 例1、利用数字1，2，3，4，5共可组成： • (1)、多少个数字不重复的三位数？ • (2)、多少个数字不重复的三位偶数？ • (3)、多少个数字不重复的偶数？
• 解： (1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数 有3种选择．
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组 合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有 当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 Cnm 。
四年级奥数加法原理和乘法原理
四年级奥数加法原理和乘法原理今天我们来聊一聊四年级数学里两个超级有趣的概念——加法原理和乘法原理。
听起来是不是有点高大上？别担心，这些东西一点也不难，关键是要懂得怎么去用，怎么去看待。
来吧，跟我一起看一看，加法原理和乘法原理到底是怎么回事，顺便也说几句我们平时不太注意的数学趣事。
你们知道吗？这些原理其实就像我们在厨房做饭一样，分步骤来，就能做好一锅好菜。
加法原理和乘法原理不就是生活中那些简单的道理嘛，只不过它们是用数学的语言告诉我们怎么做事，怎么计划。
好，先来说说加法原理。
说得简单点，就是当你在做事情的时候，如果选择了几种不同的方式，每一种方式都有若干个可能的结果，而你可以选择其中的一种结果，那么这些不同的选择加起来就是所有的可能性。
比如说，假设你今天早上有两种早餐选择：一个是煎饼果子，一个是包子。
如果你去买煎饼果子，你有三种不同口味可以选：甜的、咸的、辣的。
哦，别忘了包子，包子你有两种口味可以选：肉包或者菜包。
这时你一共能选择几种早餐呢？嘿嘿，简单！就是3种（煎饼果子的口味）加2种（包子的口味），一共是5种不同的选择。
这不就像你走进超市，看到架子上满是各种商品，你看着都眼花缭乱，最后你就能从每种商品里选出一个，合起来就是你能拿到的不同组合。
再说乘法原理。
这个呀，更简单了。
乘法原理告诉我们，如果一个事件有几种方式可以发生，而每一种方式都能与另外一些独立的事件组合成结果，那么所有可能的组合数就是各个事件方式数的乘积。
说得更直白点，就是每种选择背后可能会有更多的选择。
比方说，假如你有两个衬衫，三条裤子，和四双鞋子。
那么你穿上哪一件衬衫，都可以和三条裤子搭配，而且每条裤子又能和四双鞋子搭配。
你是不是已经开始在脑袋里琢磨，你能穿几套衣服了？对！你一共可以搭配2×3×4=24套衣服！这就是乘法原理啦！看，你平时是不是也有“拿起了筷子就要点菜”的那种冲动，恨不得所有的美食都尝个遍，那种把不同东西结合起来的感觉，想想就过瘾！这两种原理虽然名字不同，但它们就像是数学中的兄弟，互相配合，互相补充。
奥数加法原理和乘法原理教案新部编本1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校从甲地到乙地有3条路从乙到丙地4条路线。
从甲地经过乙地到丙地共有多少种方法？甲乙丙从丙地到丁地有2条路线，从甲地经过乙地，丙地，丁地不同走法共有多少？甲乙丙丁引出：方法总数=第一步骤*第二步。
最后一步得出乘法原理：如果一件事情，有几个必不可少的步骤，而每个步骤又有若干种不同的方法，那么完成这件事情的方法总数等于每个步骤的方法种数的乘积。
例1从4个男生，5个女生中各选一人担任组长，有多少种不同的选法？男女2名组长男生组长女生组长两种方法做例2 商店里有5个不同图案的文具盒，4支不同牌子的铅笔，3支不同型号的钢笔和2把不同材料的直尺，从中各取一件，配成一套学习用具，最多能配多少套不同的学习用具？文具盒铅笔钢笔直尺分析2道题目的共同点：1不能直接完成任务2都有很多不同的方法完成从甲地到乙地可以乘坐飞机，火车和轮船。
在一天中，从甲地直达乙地有3班飞机，4班火车和3班轮船。
那么一天中甲地到乙地共有多少种不同的走法？飞机3甲地火车4 乙地轮船33+4+3=10种答。
方法总数=第一类+第二类+。
最后一类方法数加法原理：如果完成一件事情，有几类不同的方法，而每一类又有若干种方法（每种方法都能完成这件事），那么完成这件事情的方法总数等于每类方法种数的和。
例3：从4个男生，5个女生中选一人担任组长，有多少种不同的选法？男生4种一名组长女生5种4+5=9（种）答。
例4：商店里有5个不同图案的文具盒，4支不同牌子的铅笔，3支不同型号的钢笔和2把不同材料的直尺，从这些文具中任意买一件，共有多少种不同的买法？文具盒铅笔钢笔直尺5 4 3 25+4+3+2=14种答。
基本共同点：完成一件事情的方法都有几类，乘法一件事情开始：第一步，第二步，第三步。
最后一步完成加法一件事情开始：第一类，第二类，。
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海豚教育个性化简案海豚教育个性化教案
奥数讲解八
题型一：乘法原理
【知识要点】
1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有
N＝m1×m2×…×mn
种不同的方法。
2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
【典型例题】
例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？
例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？
例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？
例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
问：共有多少种不同的吃法？
【同步训练】
1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问：有多少种不同的装束？
2. 四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。
小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。
问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？
3. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？
4. 用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？
题型二：加法原理（一）
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有
N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
【典型例题】
例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。
问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
例2：旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？
例3：两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
例4：用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？
例5：用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？
【同步训练】
1. 南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。
如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。
问：共有多少种不同的订法？
3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？
4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？
5. 用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？
题型三：加法原理（二）
我们通常解题，总是要先列出算式，然后求解。
可是对有些题目来说，这样做不仅麻烦，而且有时根本就列不出算式。
这一讲我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。
【典型例题】
例1：小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？
例2：在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？
例3：左下图是某街区的道路图。
从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？
例4：沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法？
【同步训练】
1.小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？
2.小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？
3.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法？
4. 在下图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？
5. 左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B点的最短路线有多少条？
海豚教育错题汇编
海豚教育个性化作业
1. 要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？
2. 甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？
3. 用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？
4. 下图中每个小方格的边长都是1。
有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？
5. 如图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。
从A点穿过房间到达B处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？。