立体几何练习题(精)
立体几何练习题
1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ?α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A ．
B ．
C
D ．
3.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是 边长为
的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个
球的体积为（） A ． 8π
B ．
C ．
D ． 8
π
4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（） A ． 5 B ． 2 C ． 3 D ． 5
5.如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（） A ． AC⊥SB B ． AB∥平面SCD
C ． SA 与平面SB
D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ． AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
6.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ） A ． 1＜d 1＜d 2 B ． d 1＜d 2＜1
C ． d 1＜1＜d 2
D ． d 2＜d 1＜1
7.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α?， 45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角βα--EF 为__________. 8.给出下列四个命题：
(1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；
(3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α；
E
F
A G
α
β
(4)b ,a 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个． 其中正确命题的序号是_______________________
9.已知正方体 1111ABCD A B C D -中，点E 是棱 11A B 的中点，则直线AE 与平而 11BDD B 所成角的正弦值是_________.
10.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090ABC ∠=，122AC AA ==，2AB =，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为______
11.边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则
b
a
的取值范围是 ． 12.已知矩形ABCD 的长4AB =，宽3AD =，将其沿对角线BD 折起，得到四面体A BCD -，如图所示，
给出下列结论：
①四面体A BCD -体积的最大值为
725
； ②四面体A BCD -外接球的表面积恒为定值；
③若E F 、分别为棱AC BD 、的中点，则恒有EF AC ⊥且EF BD ⊥； ④当二面角A BD C --为直二面角时，直线AB CD 、所成角的余弦值为1625
； ⑤当二面角A BD C --的大小为60?时，棱AC 的长为
145
． 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)． 13.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角．
（I ）求证：平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1；
（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值．
14.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5．
4
34
3
A
B
C
D
4
3
3
4
D
C
B
A
（1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC．
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．
15.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；
（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．
16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱
PB上
（1）求证：AC⊥平面PDB
（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的
大小．
17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M
为PD中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．
18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．
19.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．
（1）求证：BC 1∥平面A1CD；
（2）求证：A1C⊥AB1；
（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时
三棱锥C﹣A1DE的体积．
20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长
的倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面
PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．
试卷答案
1.B：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；
由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；
由面面平行的性质定理，易得③正确；
由线面平行的性质定理，我们易得④正确；
故选B
2.D
考点：棱柱的结构特征．
专题：空间角．
分析：找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值．
解答：解：连接BD，；
∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影，
∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；
设AB=1，则BD=，BD1=，
∴cos∠DBD1===；
故选：D．
点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．
3.C
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．
解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，
因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；
因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r==．
所以外接球的体积为：V=πr3=π×（）3=．
故选：C．
点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．
4.D
考点：平面与平面垂直的性质．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．
解答：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则a2+b2+c2=32+42+52=50
因为OP为长方体的对角线．
所以OP=5．
故选：D．
点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题．
5.D
考点：直线与平面垂直的性质．
专题：综合题；探究型．
分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．
解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；
∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，
∴AB∥平面SCD，故B正确；
∵SD⊥底面ABCD，
∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，
而△SAO≌△CSO，
∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；
∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故D不正确；
故选D．
点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．
6.D
考点：点、线、面间的距离计算．
专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1．
解答：解：过C做平面PAB的垂线，
垂足为E，连接BE，
则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，
根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．
同理，d1＜1．
再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，
所以d2＜d1．
所以d2＜d1＜1．
故选D．
点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．
7.
4
8.(2)(4)
9.
10 10
10.1
11.
1 (,) 2
12.②③④
13.
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
专题：证明题．
分析：（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC?平面
B1AC，满足面面垂直的判定定理；
（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM中求出此角的正弦值即可．
解答：解：
（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，
∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，
∴AC⊥平面ABB1A1，又AC?平面B1AC，
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．
（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，
∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，
∴A1M⊥平面B1AC．
∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．
设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
14.
考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）由已知得DE⊥AC，DE2+EF2=DF2，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．
解答：（1）证明：∵在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．
PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，
∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，
∴DE2+EF2=DF2，∴DE⊥EF，
又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，
又DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
（2）∵DE⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∵PB⊥BC，∴AB⊥BC，
∴AC==10，∴，
由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，
tan∠DBE==．
∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为．
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
15.
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
专题：证明题．
分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1，从而证明直线BD1∥平面PAC．
（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证A C⊥面BDD1B1，进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1 ．
（3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．
解答：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，
∵PO?平面PAC，BD1?平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．
（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则
DD1⊥AC．
∵BD?平面BDD1B1，D1D?平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1 ．
（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角．
依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°
∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°．
点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题．
16.
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；
（2）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE 中求出此角即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
又BD∩PD=D∴AC⊥平面PDB，（3分）
（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，（5分）
又O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，OE=PD，
在Rt△AOE中，OE=PD=AB=AO，
∴∠AEO=45°，（7分）
即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．（8分）
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
17.
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM∥PB，由此能够证明PB∥平面ACM．（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．
（Ⅲ）取DO中点N，连接MN，由MN∥PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M﹣AC﹣D的正切值．
解答：（Ⅰ）证明：连接OM，BD，
∵M，O分别为PD和AC中点，
∴OM∥PB，
∵OM?平面ACM，PB?ACM平面，
∴PB∥平面ACM…．（4分）
（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD
∴PO⊥AD，
∵∠ADC=45°，AD=AC=1，
∴AC⊥AD，
∵AC∩PO=O，AC，PO?平面PAC，
∴AD⊥平面PAC．…..（8分）
（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，
∴MN⊥平面ABCD
过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，
连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M﹣AC﹣D的平面角，
∵MN=1，NE=
∴tan∠MEN=2…..（13分）
点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用．
18.
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．
解答：（1）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAC
（2）设AC与BD交点为O，连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3
∴OC=
在△PAC∽△OEC中，
又BD⊥OE，
∴
∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3
点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握
19.
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．
专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）利用线面垂直的判定定理证明A1C⊥平面AB1C1，即可证明A1C⊥AB1；
（3）证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角，点E为BB1的中点，确定DE⊥A1D，再求三棱锥C﹣A1DE 的体积．
解答：（1）证明：连结AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．…（3分）
（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
因为AA1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分）
因为CA⊥CB，B1C1∥BC，
所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分）
因为B1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1
所以A1C⊥AB1…（8分）
（3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，
因为AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB1A1．
所以CD⊥DE，CD⊥DB，
所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角．
在Rt△DEB中，．
由AA1=AC=CB=2，CA⊥CB，
所以，．
所以，得BE=1．所以点E为BB1的中点．…（11分）
又因为，，，A 1E=3，
故，故有DE⊥A1D
所以…（14分）
点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C﹣A1DE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．
20.
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
专题：计算题；证明题；压轴题．
分析：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C 和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；
（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则
，从而求出二面角的大小；
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC
解答：证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，
分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图．
设底面边长为a，则高．
于是，
，，
，
故OC⊥SD
从而A C⊥SD
（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，
平面DAC的一个法向量．
设所求二面角为θ，则，
所求二面角的大小为30°．
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．
由（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，
且
设，
则
而
即当SE：EC=2：1时，
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．