4圆周运动的角量描述
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质点运动学
ω 2 − ω02 = 2βθ
6
例：一质点圆运动，半径 r 运动方程为 θ =-t2+4t， 求：质点的 v (t ) a (t ) 解：θ = −t 2 + 4t
rad
ω = −2t + 4
β = −2
rad/s
rad/s 2
∴ v = rω = r (−2t + 4) aτ = r β = −2r
d2r v2 =a= 2 dt r
d2r =0 2 dt
19
5. 质点的运动方程： x =x(t) y =y(t) 在求质点速度和加速度时，有人采用如下方法：
dr 先从 r = x + y 求出 r = r (t ) ，再由 v = dt d2r 和 a = 2 求出质点的 v 和 a 的大小。此法错在何处？ dt
一矢量等于二矢量之和，作矢量图
vPK vK′K
vPK′
利用三角形知识求解
上式再对t求导，可得：aPK = aPK′ + aK′K
加速度的变换定理
求相对运动问题的一般方法： 1. 确定研究对象 3. 分析 vPK P
2. 确定定参考系 K，动参考系 K/
vPK ′ vK ′K 的大小、方向
4. 依据 v PK = v PK ′ + v K ′K 画矢量图，从已知边、角，求未知 边、角（解三角形），问题得到解决。
2 v 2 − v0 = 2a( x − x0 )
ω 2 − ω02 = 2β (θ − θ 0 )
例：质点作匀角加速圆运动，t =0 时 θ0 ， ω0 ，β =恒量 求：θ ( t )=? ω ( t )=? ω (θ )=? 解： 从 β→ ω→ θ 积分法
大学物理课件-圆周运动的角量描述 角量与线量的关系
解 由题意得 v 32 m/s ω 4t2
k ω v 4 s3 t 2 Rt 2
v Rω 4Rt2
当t =0.5 s 时
v 4Rt2 2.0 m/s
an
v 2 2.0 m/s2
R θ
arctan(an
)
aτ
dv dt
8Rt
a an2 a 2
13.6
8.0 m/s2 8.25 m/s2
dt
d
dt
k
d 2
dt 2
k
k 和初始条件
求 ω, (t)
(t)
t
d dt
0
t1
(t)
t
d dt
0
t1
若为 β 常量，则
(t) 0 t
(t)
0
0t
1 2
t
2
例 一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为
求
(1) 当t =2s
2 4t3
时，质点运动的an
解： 本题涉及：
岸、水、船、船上人
岸、水、船，以船为动点： V船对岸 V船对水 V水对岸
岸、船、船上人，以人 为动点：
V人对岸 V人对船 V船对岸
V人对船 V船对水 V水对岸
结果：
0
V3
V1
V2
V1 V2 V3 0
例2 某人骑自行车以速率V 向正西方行驶，遇到由 北向南刮的风设风速大小也为V），则他感到风 是从何方向吹来？
天花板松落，天花板与升降机的底板相距 2.74 m 。
求 螺母自天花板落到底板所需的时间. O 解 取螺母刚松落为计时零点.
a
O'
动点为螺母,取二个坐标系如图
刚体力学
物体运动问题的影响因素（物体的性质） （1）大小（2）形状（3）质量 (4)占有空间位置（5）变形
理想化的模型： 刚体性质（1）具有质量 （2）占有空间位置 （3）大小、形状 不具有性质： 则力变形
突出主要因素 主要因素
忽略次要因素 次要因素
2.2 刚体转动定律与转动惯量
一、转轴 定轴转动
当刚体上所有的点都绕一条固定直线矩圆周运动时， 这种运动就叫定轴转动，这条固定直线就叫转轴。
东北农业大学 Northeast Agricultural University
刚体力学
物理教研室
2.1 变速圆周运动和角量描述 一、匀速圆周运动
圆周运动 质点曲线运动 圆周运动：质点运动的轨迹是一对圆。 圆周运动：质点运动的轨迹是一对圆。 质点的匀速圆周运动：质点在任何相同的时间 质点的匀速圆周运动： 匀速圆周运动 间隔所行经的弧长相等 弧长相等。 间隔所行经的弧长相等。
0
mg − T = ma LL( 1 ) TR = Iβ 2 LLL( 2 )
mgR β2 = mR 2 + m0 R 2 / 2 mg mg a = β2R = = I m + 2 m + m0 / 2 R
T
mg
例题
两对匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一对组合轮。
小圆盘的半径为r，质量为 ；大圆盘的半径r’=2r，质量 = 2m。 小圆盘的半径为 ，质量为m；大圆盘的半径 ，质量m’ 。 组合轮可以绕通过其中心且垂直对盘面的光滑水平固定轴o转动 转动， 组合轮可以绕通过其中心且垂直对盘面的光滑水平固定轴 转动， 轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳， 两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳， 对o轴的转动惯量 轴的转动惯量 细绳下端各悬挂质量为m的物体 的物体A和 ，这一系统从静止开始运动, 细绳下端各悬挂质量为 的物体 和B，这一系统从静止开始运动 绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r =10cm 。 求：（1）组合轮 绳与盘无相对滑动且长度不变。已知 的角加速度； 当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。 的角加速度；（2）当物体上升 时 组合轮的角速度。
理想化的模型： 刚体性质（1）具有质量 （2）占有空间位置 （3）大小、形状 不具有性质： 则力变形
突出主要因素 主要因素
忽略次要因素 次要因素
2.2 刚体转动定律与转动惯量
一、转轴 定轴转动
当刚体上所有的点都绕一条固定直线矩圆周运动时， 这种运动就叫定轴转动，这条固定直线就叫转轴。
东北农业大学 Northeast Agricultural University
刚体力学
物理教研室
2.1 变速圆周运动和角量描述 一、匀速圆周运动
圆周运动 质点曲线运动 圆周运动：质点运动的轨迹是一对圆。 圆周运动：质点运动的轨迹是一对圆。 质点的匀速圆周运动：质点在任何相同的时间 质点的匀速圆周运动： 匀速圆周运动 间隔所行经的弧长相等 弧长相等。 间隔所行经的弧长相等。
0
mg − T = ma LL( 1 ) TR = Iβ 2 LLL( 2 )
mgR β2 = mR 2 + m0 R 2 / 2 mg mg a = β2R = = I m + 2 m + m0 / 2 R
T
mg
例题
两对匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一对组合轮。
小圆盘的半径为r，质量为 ；大圆盘的半径r’=2r，质量 = 2m。 小圆盘的半径为 ，质量为m；大圆盘的半径 ，质量m’ 。 组合轮可以绕通过其中心且垂直对盘面的光滑水平固定轴o转动 转动， 组合轮可以绕通过其中心且垂直对盘面的光滑水平固定轴 转动， 轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳， 两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳， 对o轴的转动惯量 轴的转动惯量 细绳下端各悬挂质量为m的物体 的物体A和 ，这一系统从静止开始运动, 细绳下端各悬挂质量为 的物体 和B，这一系统从静止开始运动 绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r =10cm 。 求：（1）组合轮 绳与盘无相对滑动且长度不变。已知 的角加速度； 当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。 的角加速度；（2）当物体上升 时 组合轮的角速度。
第3讲 圆周运动的角量描述
第四节圆周运动及其描述上一节学习了一般的平面曲线运动，本节学习一种特殊且常见的曲线运动――圆周运动。
1 圆周运动的线量描述回顾上一节，我们在自然坐标系下使用了位置、速度、加速度等量来描述曲线运动。
这些量称为线量，所以上一节对于曲线运动的描述称为线量描述。
由于圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而上一节关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。
所以可以把上一节的结论直接用于圆周运动的线量描述。
位置：s＝s(t)速度：dsdt v=τ加速度：22d sdtτ=aτ(1a)2nvR=a n(1b)(1b)式中的R就是圆的半径，而v则是质点做圆周运动的速率。
质点作圆周运动时，如果切向加速度为0，就是所谓的匀速圆周运动．．．．．．。
2 圆周运动的角量描述极坐标系2.1 角位移除了线量描述形式外，对于圆周运动还有一种常用的描述形式――角量描述。
如图1所示，以圆心为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，就建立了一个坐标系，称为极坐标系。
在极坐标系中，质点的位置所对应的矢径r与极轴的夹角θ称为质点的角位置，而dθ称为dt时间内的角位移。
注意：1，角位移．．．d．θ．既有大小，又有方向．．．．．．．．．(．但未必是矢量．．．．．．1)。
其方向由右手定则确定，即：伸出右手，使四指沿着质点旋转的方向弯曲，与四指垂直的拇指所指的方向1矢量的严格定义是：矢量是在空间中有一定的方向和数值，并遵从平行四边形加法法则的量。
即为d θ的正方向。
2，有限大小的角位移不是矢量(因为角位移的合成不符合交换律，比如翻一本书：先x->90，再y －>90，最后z －>90得到的结果，与先x->90，再z －>90，最后y －>90得到的结果不一样)，只有．．当△．．t ． ．0．时，角位移．．．．．d ．θ．才是矢量．．．．。
3，质点作圆周运动时，其角位移只有两种可能的方向，因此可以在标量前．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．加正号或者是负号来指明角位移的方向．．．．．．．．．．．．．．．．．。
圆周运动的角量表示
四、牛顿定律应用举例
两类力学问题：
•已知力求运动 •已知运动求力
桥梁是加速度
G a
解题步骤：十六字诀
隔离物体——明确研究对象
具体分析——研究对象的运动情况和受力情
况，作出受力图
选定坐标——参考系、坐标系、正方向
建立方程——分量式
Fx
= max
= m d vx dt
=
d2 x m
dt2
Fy
= may
பைடு நூலகம்
= m dvy dt
Fn
= man
G
=
m
v2
ρG
F = ma = maτ eτ + manen
三、牛顿第三定律
对于每一个作用,总有一
个相等的反作用与之相反;或 者说,两个物体对各自的对方
F21
2
的作用总是相等的,而且指向
相反的方向。
F12 1
第三定律的数学表达式: GG F12 = −F21
注意:1.作用力与反作用力同生同灭。
１.２.２圆周运动中的 切向加速度和法向加速度
一、圆周运动的角量表示
1、角位置
θ = θ (t)
2、角位移
K
K
v2 B v1
R Δs A
Δθ
θ
O
X
Δθ
3、角速度
ω = dθ dt
单位：rad/s
4、角加速度
α = dω = d 2θ dt dt 2
单位：rad/s2
ds = rdθ
dθ
ωG vvG==ωRGω× RG
=
m
d2 dt
y
2
Fz
= maz
= m d vz dt
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
力学1-4复习和习题讲解
坐标原点，则该质点任意时刻的位矢是＿＿＿＿.
解： 依题意，有 a F t i 4ti dv
m 0.25
dt
分离积
分变量
v
dv
2j
t
4t i
dt
v 2t 2 i 2 j
0
再由 v dr dr vdt dt
量大小为_m__v_d____。
分析： L r mv L rmv sin(r ,v )
mvr sin
mθ v
d θ•
r
o
mvd
11. (学习指导p27. 35 ) 质点P的质量为2kg,位移矢量为r ,
速度为v ，它受到力 F 的作用，这三个矢量均在Oxy面内，
且r =3.0m , v=4.0m/s , F=2N , 则该质点对原点O的角动
1
v5 m
5
5m(5
2t )dt
（25 5t 2）5
0
0
0
5.（学习指导p24. 16） 如图所示，光滑平面上有一个运动物体P，在P的 正前方有一个连有弹簧和挡板M的静止物体Q， 弹簧和挡板的质量不计， P与Q质量相同。物体P 与Q碰撞后P停止， Q以碰前P的速度运动。在此 碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是（ ）
（1）串联后总的劲度系数k满足： （2）并联后总的劲度系数k满足：
11 1
k k1 k2 k k1 k2
k1
k2
F
（1）
k1
k2
F
（2）
解（1） 串联时，两弹簧受力相等，均为F；伸长分 别为x1、x2.则总伸长x=x1+x2.
∴有 F=k1x1=k2x2
2运动学2四个物理量的应用
2
例如：圆的曲率半径 就是其半径R。 圆周运动的法向加速 度就是向心加速度。
av R
2
a n v 反映速度速度方向的变化
5
小结： v dr dt
直角坐标系中：
dx dy v i j dt dt
r ( t ) x( t )i y( t ) j
1 2 4 c t R
16
7、在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：
r 10 cos5 t i 10 sin 5 t j
50( sin 5t i cos5t ) （SI）。则t时刻其速度 v j ______________；
其切向加速度的大小
m/s
at
18
4、
加速度
dr v dt
1） 平均加速度 v a t
y
.
O
vA
A
B
vB
a
与 v 同方向
2）（瞬时）加速度
2 v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
x
vA
v
vB
19
直角坐标系中：
2 dv d r 2 加速度 a dt dt
at an
a
aa
a t 2 a n 2
2
tg a t / a n
2
dv dt
v
2
a t dv / dt
当 当
表示速度大小的变化
v2 an
反映速度 方向的变化
21
at at
与 与
v 同号时速度加快 v 反号时速度减慢
例如：圆的曲率半径 就是其半径R。 圆周运动的法向加速 度就是向心加速度。
av R
2
a n v 反映速度速度方向的变化
5
小结： v dr dt
直角坐标系中：
dx dy v i j dt dt
r ( t ) x( t )i y( t ) j
1 2 4 c t R
16
7、在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：
r 10 cos5 t i 10 sin 5 t j
50( sin 5t i cos5t ) （SI）。则t时刻其速度 v j ______________；
其切向加速度的大小
m/s
at
18
4、
加速度
dr v dt
1） 平均加速度 v a t
y
.
O
vA
A
B
vB
a
与 v 同方向
2）（瞬时）加速度
2 v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
x
vA
v
vB
19
直角坐标系中：
2 dv d r 2 加速度 a dt dt
at an
a
aa
a t 2 a n 2
2
tg a t / a n
2
dv dt
v
2
a t dv / dt
当 当
表示速度大小的变化
v2 an
反映速度 方向的变化
21
at at
与 与
v 同号时速度加快 v 反号时速度减慢
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d lim t 0 dt t
讨论
d lim t 0 dt t
物理意义：衡量转动的快慢。 是矢量方向： 与圆周运动的绕向满足右手螺旋定则， 右手握住转动轴，四指与质点运动方向一致， 大拇指所指方向为 方向。
四、角加速度
d d 2 lim 2 dt dt t 0 t
规定：
从坐标轴OX沿着逆时针方向转到质点所在处所得 的 为正，反之为负。 故： 为代数量
y
B：t+t 二、角位移
o
A：t x
定义：位矢在t时间内角坐标的变化，
单位：rad
规定逆时针为正
三、角速度 平均角速度：
t
单位： 弧度/秒(rads-1) 物理意义：单位时间内角坐标的改变量 瞬时角速度：
an
v an R
2
at
a
an
a t2
at
2 n
a
变化
aa
an tg at
变化
at
均匀=不变
变化
掌握常用的积分变量的变换式：
dv dv ds dv v dt ds dt ds
dv dv d ds 1 dv ＝v dt d ds dt R d
角加速度的单位：弧度/平方秒(rads-2)。 讨论：(1) 角加速度对运动的影响： 质点作匀速率圆周运动 质点作匀变速率圆周运动 Nhomakorabea0 C
C
C
质点作变速率圆周运动
五. （1）
线量与角量之间的关系
ds d ＝R R dt dt
dv d a R dt dt
v2 an R
v R
a R
（2 ）
（3 ）
v
an R
2
（4）匀角加速度圆周运动 和 匀变速直线运动 的比较
＝ (t ) x＝x(t )
d dx ＝ v＝ dt dt d dv ＝ a＝ dt dt ＝ 0＋ t v＝v0 vt
0 0 t t 2 / 2 x x0 v0 t at 2 / 2
2 2 02 2 ( 0 ) v 2 v0 2a( x x0 )
结论：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把匀角加速度圆 周运动转化为匀变速直线运动形式，从而简化问题。
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、 a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
§1.4 圆周运动的角量表示
线量描述法
用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法
y A：t o x
角量描述法
用角坐标、角位移、角速度、平均角速度、 角加速度等物理量描写圆周运动的方法
y
一、角坐标
o
A：t x
由于做圆周运动的质点与圆心的距离不 变，因此可用一个角度来确定其位置 设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作 圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的 角坐标为