几何论的创立与发展
平面解析几何的形成与发展
平面解析几何的形成与发展以平面解析几何的形成与发展为题，本文将从历史背景、关键人物和重要理论三个方面，揭示平面解析几何的起源、发展和影响。
一、历史背景古希腊时期，人们开始研究几何学，以解决土地测量、建筑设计等实际问题。
然而，古希腊几何学主要是基于几何图形的性质和关系进行研究，没有涉及到数值和方程式的运用。
直到17世纪，随着代数学的兴起，数学家们开始尝试将代数与几何相结合，从而形成了平面解析几何。
二、关键人物1. 勒让德（René Descartes）：他是平面解析几何的奠基人之一。
他于1637年出版了《几何学》，首次提出了坐标系的概念，将几何问题转化为代数问题，从而开创了平面解析几何的发展之路。
2. 费马（Pierre de Fermat）：他在勒让德的基础上进一步发展了平面解析几何。
费马提出了用代数方法解决几何问题的思想，并在其《算术》中首次提到了坐标系，为后来的平面解析几何的发展奠定了基础。
三、重要理论1. 坐标系：平面解析几何的核心概念之一是坐标系。
坐标系由两个相互垂直的直线（通常称为坐标轴）构成，用来确定平面上的点的位置。
常见的坐标系有笛卡尔坐标系和极坐标系。
2. 坐标变换：在平面解析几何中，坐标变换是一种重要的操作。
通过坐标变换，可以将一个几何问题转化为一个代数问题，从而利用代数的方法来解决几何问题。
3. 直线与曲线的方程：平面解析几何研究了直线和曲线的方程。
直线的方程通常采用斜截式、点斜式或一般式等形式表示；曲线的方程则根据具体曲线的性质和特点进行表示，如圆的方程、椭圆的方程等。
4. 平移、旋转和缩放：平面解析几何研究了平移、旋转和缩放等几何变换的代数表示。
通过将平面上的点的坐标进行相应的变换，可以实现平面上的图形的平移、旋转和缩放等操作。
平面解析几何的形成与发展为数学的发展提供了重要的推动力。
它不仅为几何学提供了一种新的研究方法，也为代数学的发展提供了新的应用场景。
平面解析几何的理论和方法被广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域，为这些学科的发展做出了巨大贡献。
微分几何中的曲面几何理论发展历程回顾
微分几何中的曲面几何理论发展历程回顾曲面几何是微分几何的重要分支之一，它研究的对象是在三维空间中曲线旋转而成的曲面。
本文将回顾曲面几何理论的发展历程，从最早的欧氏几何到现代微分几何的成果，探讨其对数学和物理学的重要意义。
一、欧氏几何的奠基曲面几何的起源可以追溯到古希腊时代，欧几里得的《几何原本》奠定了欧氏几何的基础。
在欧氏几何中，曲面被定义为一个平面内的曲线绕着某个轴旋转而成，例如旋转椭球面、旋转抛物面等。
欧几里得凭借直观的几何形象和逻辑推理，建立了几何学的基本原则和公理体系，为后来的研究打下了坚实的基础。
二、高斯的曲面理论高斯是19世纪的一位数学家和物理学家，他对曲面的研究做出了重大贡献。
他提出了曲面的内禀几何性质，即与该曲面上的度量有关的性质。
他发现曲面上的任意一点都有两个主曲率，这两个主曲率决定了曲面的弯曲情况。
高斯的曲面理论为后来的微分几何奠定了基础，并对物理学中的引力场和光学等领域产生了重要影响。
三、黎曼的复变函数理论黎曼是19世纪著名的数学家，他的复变函数理论为曲面几何的发展提供了重要的工具。
黎曼引入了复数和复变函数的概念，将复变函数与曲面之间建立了联系。
他发展了复变函数的微分和积分运算，开创了复变函数论的新领域。
这一理论在处理曲面的变换和形状描述时起到了重要作用，进一步推动了曲面几何的研究。
四、黎曼流形和微分几何理论在20世纪初，微分几何作为一门独立的学科开始崭露头角。
希尔伯特和莱布尼茨等数学家们对曲面理论进行了深入研究，提出了黎曼流形的概念。
黎曼流形是一种可以进行微分运算的空间，它将欧氏几何和高斯的曲面理论相统一，为微分几何建立了新的基础。
同时，微分几何也拓展到了更高维度的空间，对广义相对论等物理理论的发展起到了重要作用。
五、现代微分几何的发展随着物理学和数学的深入发展，现代微分几何融合了各个领域的成果，形成了一门完备的学科体系。
在微分几何中，曲面不再局限于三维空间，还可以是多维空间中的对象。
几何学的发展史PPT
建筑设计
建筑设计是几何学应用的重要领域之一，建筑师利用几何 学原理设计出各种形状和结构的建筑物，以满足功能和审 美需求。
建筑设计中，几何学主要应用于空间布局、结构分析、材 料排布等方面，例如利用几何原理确定建筑物的平面和立 体布局，分析结构的稳定性和承重能力，以及合理排布建 筑材料以降低成本等。
工程绘图
• 文艺复兴时期的几何学：文艺复兴时期，随着科学和技术的进步，几何学也取 得了重大突破。达芬奇、伽利略和开普勒等科学家将几何学应用于天文学、物 理学和工程学等领域，推动了科学革命的发展。
• 现代几何学：19世纪以后，几何学逐渐向更高维度的空间拓展。非欧几何的 创立和发展，为几何学带来了新的研究方向和应用领域。现代几何学还包括拓 扑学、微分几何、代数几何等分支，它们在理论物理、计算机科学和数据科学 等领域中发挥着重要作用。
射影几何学的兴起
射影几何学是几何学的一个重要分支，其兴起与中世纪欧洲 的大学教育密切相关。射影几何学的研究对象是图形在投影 下的性质和问题，对于当时的建筑、绘画和工程等领域有着 重要的应用价值。
射影几何学的兴起也与当时的哲学思想有关，特别是唯理论 和经验论的争论。唯理论者认为几何学中的公理和定理是自 明的，而经验论者则强调实践和应用的重要性。射影几何学 的兴起体现了当时哲学思想的交锋和碰撞。
非欧几何学的发现
非欧几何学的发现
非欧几何学是指与欧几里得几何学不同的几何体系，其公理体系和欧几里得几何学有所 不同。在19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约 等人分别独立发现了非欧几何学。非欧几何学的发现打破了欧几里得几何学的唯一性，
使得人们开始认识到不同的公理体系可以导致不同的几何体系。
微分几何学的兴起
浅谈几何的发展历程
前言：
几何学是一门古老而实用的科学,是自然科学的 重要组成部分。在史学中,几何学的确立和统一经 历了二千多年,数百位数学家做出了不懈的努力。
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何这个词最早来自于希腊语“γ ε ω μ ε τ ρ ία ”，由“γ έα ”
（土地）和“μ ε τ ρ ε ĭν ”（测量）两个词合成而来，指土地的测量
柏拉图主张:"只有循数学一途,才能了解实体世界 的真面目,而科学之成为科学,在於它含有数学的份." 就是因为希腊时代的一些学者对於自然的这种看法和 确立了依循数学研究自然的做法,给食腊时代本身及后 来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因.而在数学的 领域中,几何学是最接近实际的描述.对希腊人而言,几 何学的原则是宇宙结构的具体表现,本身正一门实际空 间的科学.几何学就是数学,研究的中心.
，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最
早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并
未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译
，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也
可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、
解析几何的诞生
解析几何是变量数学最重要的体现。解析几何的基本 思想是在平面上引入“坐标”的概念,并借助这种坐标在 平面上的点和有序实数对(x,y)建立一一对应的关系,于是 几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费 马。1637年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的 方法论》的附录《几何学》中清晰的体现了解析几何的思 想。而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析 几何的原理,他在书中提出并使用了坐标的概念,同时建立 了斜坐标系和直角坐标系。
微分几何中的曲面几何理论发展历程回顾
微分几何中的曲面几何理论发展历程回顾微分几何是研究曲线和曲面等连续几何对象的性质和变换的数学分支。
曲面几何理论是微分几何中的一个重要组成部分，它研究曲面的性质、曲面上的曲线和曲率等关键问题。
本文将回顾微分几何中曲面几何理论的发展历程。
1. 古典时期的曲面几何古希腊数学家欧几里得是曲面几何理论的奠基人之一。
他在其著作《几何原本》中首次提出了曲面的定义和性质，并研究了柱面、圆锥面等特殊曲面的几何特征。
此后，众多数学家如阿波罗尼奥斯、阿基米德等对曲面几何进行了深入研究，为后续的发展奠定了基础。
2. 黎曼几何的兴起19世纪，德国数学家黎曼在其博士论文中首次提出了曲面上的几何的实数化方法，这一方法被称为黎曼几何。
黎曼几何通过引入度量概念，使得曲面的几何性质可以用数学语言来精确描述。
这一理论的建立标志着曲面几何理论从古典时期向现代数学的过度。
3. 向量分析的应用20世纪初，向量分析的概念被引入到微分几何中，为曲面几何理论的进一步发展提供了有力工具。
数学家费尔南德斯、魏尔斯特拉斯等人运用向量分析的方法研究了曲面的曲率、高斯映射等重要概念，进一步深化了对曲面几何的理解。
4. 流形论的出现20世纪中叶，数学家惠尔德布林克和伊辛伯格等人提出了流形的概念，并将其应用于微分几何中的曲面几何理论。
流形论为研究曲面的性质提供了一种整体的、综合性的方法，使得曲面几何理论得到了更为深入的发展。
5. 最小曲面的研究最小曲面是指曲面上的任意一点的曲率等于零的曲面。
19世纪，德国数学家黎曼、意大利数学家威尔德曼等人从几何角度对最小曲面进行了研究，并提出了一系列关于最小曲面的性质和定理。
20世纪，美国数学家康考尔茨继续深化了对最小曲面的研究，并在此基础上发展了现代微分几何中的最小曲面理论。
6. 曲面理论在现代数学中的应用曲面几何理论在现代数学中有着广泛的应用。
它不仅在物理学、工程学等应用科学中发挥着重要作用，还在纯数学领域中产生了许多重要的数学定理和结论。
第二章源头之一几何原本
《几何原本》后面各篇不再列出其它公理。这一 篇在公理之后，用48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形的几何学，其中第47命题就是著 名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形(以 斜边为边的正方形) 等于直角边上的两个正方形。”
几何学的发展简史
几何学的发展历经了四个基本阶段：
一是经验事实的积累和初步整理
据考证西方的几何学就是起源于测地术．“几何 学”这个名词是我国明朝徐光启（1562—1633年） 译的，这个词的原义无论在拉丁文或希腊文都含“测 地术”的意思．
大约公元前1650年，埃及人阿默斯 （Ahrmes，生卒年月不详）手抄了一本书，即 后人所称的“阿默斯手册”，最早发现于埃及 底比斯的废墟中．公元1858年由英国的埃及学 者莱因德﹝A. H. Rhind﹞购得，故又名“莱因 德纸草书”．此书中载有很多关于面积的测量 法以及关于金字塔的几何问题．
第十三篇共有18个命题，主要研究五种正多面 体，并且证明了(凸的)正多面体不能多于五种。
第五公设的试证
在摆脱第五公设(也称平行公设)困扰的努力 中，第一个有影响的工作是由古希腊天文学家托 勒密完成的。在这次认真的尝试中，托勒密采取 的方式是直接证明法。他试图通过欧几里得的其 他九个公理、公设直接推导出第五公设。
第十篇是篇幅最大的一篇，包括115个
题．占全书四分之一，主要讨论无理量(与给定
的量不可通约的量)，但是只涉及相当于 之类的无理量。
a b
第十一篇讨论空间的直线与平面的各种关系， 共有39个命题。
第十二篇利用穷竭法证明了“圆面积的比等于 直径平方的比”，还证明了棱锥之间、圆锥之间、 圆柱之间和球体之间的体积之比。值得指出的是： 欧几里得在任何地方都没有给出圆面积、球体积等 的计算。这并非他不知道早已存在的近似计算方法， 而是在他看来，这种计算属于实际测量而不用于理 论几何。
几何发展史全解
几何发展史组长：杨锦波高一13班组员：李晓、梁荣华、徐丽敏、林伟文、梁博文、郭碧云指导老师：李朗庭英语摘要As a middle school student, has learned a good few years of the geometry. However, we geometric understanding of the historical status Have great deficiencies. We do not know its civilization What is the significance, I do not know why we should learn from this class (other That is to the college entrance examination! ), Let us look into its history!However, there are really some massive object, ` Therefore, we only research papers of the guidelines1、问题提出：作为一名中学生，已经学了好几年几何了。
可是，我们对几何的历史地位的认识有很大的不足。
我们不知道它对文明的意义是什么，不知道为什么要学习这门课（别说是为了高考！）那么，就让我们来研究一下它的历史吧！然而对象确实有些庞大，`因此我们的研究论文只是指引性的。
2、研究目的：（三个有助于）（1）有助于对几何的总体的结构认识（2）有助于认清几何学在人类文明中的地位（3）有助于文、理科方法的综合（历史和数学）3、研究方法：（1）搜集资料，阅读文献，记下心得；（2）各组员按上述要求研究，最后由组长汇总；（3）认真分析总结，写成论文.4、正文几何史研究杨锦波以下的这篇文章，将简要地介绍几何的成长过程，最后作出总结，其中包括研究结论和问题。
第五节 几何学的发展
5 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直 角，那么把两直线无限延长．它们将在同旁内角和小于 两直角的一侧相交. 欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论十 碑．它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这 种范式要求一门学科中的每个 命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而 所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被 认为是不证白明的基本原理——公设或公理．这就是后 来所谓的公理化思想。 特点：概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成 立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的 方式易于接受；证明顺序自然；
4.2 发展 德沙格(G．Desargues，1591—1661，法国) 1639年《试论圆锥与平面相交结果》 70多个射影几何术语， 无穷远点，无穷远线。 德沙格定理：“如果两个三角形对 应顶点连线共点，那么对应边的交 点共线，反之也成立” 交比不变性定理；对合；调和点组 线可以看作具有无限长半径的圆的 一部分；焦点相合的椭圆退化为圆； 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物 线等等。
5 非欧几何学（罗氏几何） 5.1 背景 欧几里得第五公设（平行公设）：若一直线落在两直线 上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限 延长．它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。 给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一 条直线与之平行 证明或失败，或循环论证 萨特里（意大利）、吕格尔（德国）、兰伯特（瑞士）
第五节
几何学的发展
1 几何学简介 2 欧几里得几何学 3 解析几何 4 射影几何学 5非欧几何学 6 黎曼非欧几何 7 拓扑学 8 几何学的统一
1 几何学简介
几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。 中文“几何”一词，为明代徐光启所创，希腊语原意为 “测地术”。 几何学的发展： 欧几里得几何学（约公元前300年）； 解析几何学（17世纪）； 射影几何学（18世纪）； 非欧几何学（19世纪）； 微分几何学（19世纪）； 黎曼几何学（19世纪）； 拓扑学（19世纪）； 代数几何学（20世纪）； 分形几何（20世纪）
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集合论的创立与发展姓名：李菲菲数学科学学院2010级6班集合论自19 世纪70 年代由德国数学家康托尔( G . Cantor 1845- 1918)创立以来，不断促数学分科的发展，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。
按现代数学观点，数学各分科的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合或者是可以通过集合来定义的( 如实数、函数) 。
从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础，是数学中最富创造性的伟大成果之一。
康托尔集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。
[1]在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是潜无穷，一种是实无穷。
希腊哲学家亚里士多德最先提出要将它们加以区别。
公元5世纪，普罗克拉斯( 410- 485 年) 在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。
[2] 到中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。
伽利略( 1564- 1642 年)注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”。
十七世纪，无穷小量被引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。
由于无穷小量运算的引进，“无穷”概念进入数学，虽然给数学带来了前所未有的进步，但基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑。
“数学家之王”高斯( 1777- 1855 年) 说：“我必须最最强烈地反对把无穷作为一完成的东西来使用。
”法国大数学家柯西( 1789- 1857 年)也不承认无穷集合的存在，他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的。
面对“无穷”的长期挑战，数学家们为解决无穷问题而进行了不懈的努力。
1854 年，黎曼在论文《关于用三角级数表示函数的可能性中》首次提出“唯一性问题”。
康托尔就是通过对“唯一性问题”的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。
集合论产生的背景及其创立1811年，法国数学家傅立叶( Fourier)发表了他的《关于热传导问题研究》的论文，文中应用将函数展为三角级数的方法一举解决了当时物理界提出的热传导的大课题。
由于将任意函数展为三角级数的概念和方法具有巨大的理论意义和实用价值，因此被认为是数学史上“最辉煌的成就之一”。
康托正是从研究把函数表达为三角级数的唯一性的判别问题而提出集合论的。
把函数展为傅立叶级数的收敛性，以及密切相关的分析基础严密化的研究，都归结到建立实数理论问题，这需要彻底弄清实数的结构和性质，包括对数系的理解和数集概念的建立等。
早在1870年、1871年和1872年，康托先后三次发表论文，证明了函数的三角级数表示的唯一性定理。
为了描述某种无穷集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等重要概念——这是从间断点这一特殊问题的探讨转向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。
1873年康托尔把导致集合论产生的问题明确提了出来：正整数的集合( N) 与实数的集合( R) 之间能否一一对应? 并于同年成功地证明实数的“集体”不可数，也就是不能同正整数的“集体”一一对应。
1874 年，康托在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，提出：“所谓集合，是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象(它们叫做集合的元素)作为一个整体来考虑。
”他还指出，如果一个集合能和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。
在论文中还证明了无穷集之间的差别，那就是既存在可列的无穷集，也存在像实数集那样不可列的无穷集。
他引进了集合的势(也称基数)的概念，随后又对这一概念进行了深入的研究，引进了基数与序数理论，他还极富创建性地提出了超限基数和超限序数。
他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。
为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念：两个集合只有当它们的元素之间可以建立一一对应时才称为是等价的，这样就第一次对各种无穷集合按他们元素的“多少”进行了分类。
他又提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了一些重要结果：(1) 一切代数是可数的；(2)任何有限线段上的实数是不可数的；(3) 超越数是不可数的；(4) 一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量上的区别。
它在数学上的主要成果是引进超穷数。
从1879 年到1883 年，康托尔写了6 篇论文，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些应用。
它在数学上的主要成果是引进超穷数。
该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。
该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。
康托尔最后一部重要的数学著作是《对超穷集合论基础的贡献》。
该书的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。
但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔集合论通常称为朴素集合论。
朴素集合论创立后，一些学者包括康托尔自己对集合论提出了怀疑，因为他们构造出了一系列集合论悖论。
[3]通过这些证明，他建立起被称为“康托公理”的实数连续性公理，同年他又构造了实变函数论中著名的“康托三分集”，给出测度为零的不可列集的一个例子。
由于实数集是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了一定有超越数存在的结论，而且超越数大大多于代数，他的这一成果利导，让他们充分参与解决问题的实践，充分展示自己的学习过程。
千万不要随意制止，轻易否定，这只能使学生丧失参与学习实践和解决问题的主体地位，使学生创新能力的发展受阻，使培养学生创新精神成为空谈。
在当时的数学界引起了极大的轰动。
他从1879年到1884年在《数学年鉴》上以《关于无穷的线性点集》为题发表了一系列文章，论述无穷数(或超穷数)理论。
尤其是1895年和1897年在《数学年鉴》上发表的两篇具有决定意义的文章进一步阐述了无穷的特性，对无穷集合引进了新的基数。
他给基数的和、积、幂下了定义，并指出他的关于基数的理论适合于有限集合。
至于序数的概念，早在他引进一个已知集合的逐次导集时就感到有必要了，他定义了全序集及序数的和、积、相等与不相等等概念。
1883年他在《数学年鉴》上发表的文章中定义了良序集的概念，并讨论了基数上序数的级别。
由康托首创的具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，他从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程。
集合论悖论的提出，给逻辑界、数学界出了一大难题，为解决这一难题，逻辑学家们提出了一系列方案，并在不知不觉中，大大推动了逻辑学、数学的发展及康托尔集合论的完善。
[4] 同其它新生事物一样，康托的理论并不是完美无缺的：一方面，康托对连续统假设是否成立及非良序集的基数如何比较等问题始终束手无策；另一方面，更重要的是后来发现了所谓的布拉利-福蒂( Buraly- Forti)和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了怀疑。
1903年，数学家罗素在他出版的《数学原理》一书中提出了著名的罗素悖论。
在给出悖论之前，他先讲了一个生动的“理发师悖论”：一个理发师约定，只为那些“自己不给自己刮脸的人”刮脸，而不为那些“自己给自己刮脸的人”刮脸。
那么他给不给自己刮脸呢? 若他给自己刮脸，那他是“自己给自己刮脸的人”，显然违反了自己的约定；若他不给自己刮脸，那他是“自己不给自己刮脸的人”，显然也违反了自己的约定，于是理发师陷入了矛盾之中。
罗素悖论实质上同理发师悖论差不多，他构造了一个集合T={ x|x T}，由康托集合概括原则，T是一个集合，是一切不以自身为元素的集合为元素所构成的集合。
那么，T是否属于T?若TIT，由T的构造知，T T；若T T，由T的构造有TIT，因此无论如何都会导致矛盾。
这个矛盾是如此简单明了，用的概念是如此基本，因此罗素悖论的提出在数学界产生了极大的震动。
数学家们感到数学的基础动摇了，数学的大厦将要倒塌! 怎么办? 这些成了摆在二十世纪初数学家面前必须解决的问题(这就是历史上著名的第三次数学危机)! 经过研究，数学家们认识到解决矛盾的有效途径是对集合论进行公理化处理。
其基本思想是：把康托关于集合的广义条件分为两类，一类为合法条件，它们刻画了集合最基本的性质、特征，是构成集合的必要条件；另一类为不合法条件，他导致集合论悖论的产生。
然后采用公理的形式保留合法条件，排除不合法条件。
德国数学家策梅罗(E。
Zermelo)于1908年提出了集合论的第一个公理系统。
他从“集合”、“属于”两个基本概念出发，引入了八条公理：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理(上述五条公理实质上都是康托集合论中已有的，由这些公理出发，几乎可以推出康托集合论中所有有限集，但得不到无限集)、无穷集公理、子集公理和选择公理。
但策梅罗公理仍然存在缺陷，后来又出现了“异常集”悖论。
1925年数学家冯·诺伊曼John V on Neumann引入第九条基底公理。
同年，数学家弗兰克尔(AbrahamA ·fraenkel)针对含义较模糊的子集公理提出了第十条置换公理，使策梅罗公理系统进一步完善。
至此，由“集合”、“属于”两个原始概念和上述十条公理就组成了一个完整的集合论公理系统。
除开ZF系统外，冯·诺伊曼从1925年开始建立以“类”和“真类”的概念区别集合的另一公理系统；1945年数学家贝尔奈斯(P。
Bernays)建立了一个公理化集合系统，称为GB系统；法国著名的布尔巴基(N ·Bourbaki)学派也提出了另一公理系统，用希尔伯特ε-算子来取代与之等价的选择公理，等等。
上述公理系统通称为公理集合论，与之相对应，人们把康托的传统集合论称为经典集合论或朴素集合论。
在此后的发展中，数学家们关于集合论的各个公理系统的相容性和独立性的研究、关于连续统假设的研究、关于超穷基数的深入研究等等不断丰富和发展了集合论，不断地开拓了集合论的应用范围，同时也不断深化了人们关于数学内在统一性、关于数学其理性的认识，并且随着其它数学分支(如拓扑学、组合学、模糊数学等)的发展，一些新的边缘学科“集论拓扑”、“组合集论”、“模糊集论”等等也不断出现，集合论这支数学园地上的奇葩正日益放射出新的夺目光彩! 1897年3月，布拉里和佛梯在巴勒摩数学会上宣读的论文中发表了第一个逻辑史上集合论悖论。