§7.6 离散卷积(卷积和)
离散信号卷积公式表大全
离散信号卷积公式表大全离散信号卷积公式大全1. 离散时间序列的卷积：x(n) * h(n) = y(n) = sum (xK * hn - K, for k=-∞ to k =∞)2. 非时域的常规卷积：x(m,n) * h(m,n) = y(m,n) = sum (xK,L * hm - K, n - L, for k=-∞ to k =∞ ,l=-∞ to l=∞)3. 离散二维卷积：x(m,n) * h(m,n) = (x⊗h)(m,n) = sum (xk-m,l-n * hk,l ,for k=-∞ to k =∞ ,l=-∞ to l=∞)4. 重叠窗口卷积：y(n) = sum (xk * hn-k ,for k=0 to k=N-1)5. 开放式卷积：y(n) = x(n) * h(n) = sum ( xk * hn-k, for k=1 to k=∞)6. 闭放式卷积：y(n) = x(n) * h(n) = sum (xk * hn-k , for k=1 to k=M)7. 部分卷积：y(n) = x(n) * h(n) = sum ( xk * hn-k , for k=1 to k=M)8. 时域有限卷积：y(n) = x(n) * h(n) = sum(xk * hn-k,for k=0 to k=N-1)9. 周期卷积：y(n) = x(n) * h(n) = sum (xk * hn-k (mod periodicX), for k=0 to k=N-1)10. 周期有限卷积：y(n) = x(n) * h(n) = sum (xk * hn-k (mod periodicX), for k=0 to k=N-1)11. 环形有限卷积：y(n) = x(n) * h(n) = sum (xk * hn-k (mod2N), for k=0 to k=N-1)12. 便携因子卷积：y(n) = x(n) * h(n) = sum (xj * hn+j, for j=0 to j=N-1)13. 周期有限卷积：y(n) = x(n) * h(n) = sum (xk * hn-k (mod periodicX), for k=0 to k=N-1)14. 直接牛顿方法卷积：y[n] = x * h * FOR (k=-N/2 ; k=N/2 ; k++) {x(k) * h(-n-k)15. 快速傅利叶变换卷积：y[n] = x[n] * h[n] = sum (X(K) * H(-n - K) ,for k=0 to k=N-1)。
卷积和反卷积的计算公式
卷积和反卷积的计算公式一、卷积计算公式。
（一）离散卷积（一维情况）设离散序列x[n]和h[n]，它们的卷积y[n]定义为：y[n]=∑_m =-∞^∞x[m]h[n - m]（二）离散卷积（二维情况）对于二维离散信号x[m,n]和h[m,n]，其卷积y[m,n]为：y[m,n]=∑_k =-∞^∞∑_l=-∞^∞x[k,l]h[m - k,n - l]（三）连续卷积（一维情况）对于连续函数x(t)和h(t)，它们的卷积y(t)定义为：y(t)=∫_-∞^∞x(τ)h(t-τ)dτ二、反卷积计算公式。
反卷积（也称为去卷积）是卷积的逆运算。
在离散情况下，如果已知y[n]（卷积结果）和h[n]，求x[n]，可以通过求解以下方程（在某些条件下）：y[n]=∑_m =-∞^∞x[m]h[n - m]1. 频域方法（离散情况）- 对y[n]、h[n]分别进行离散傅里叶变换（DFT），得到Y[k]和H[k]。
- 根据卷积定理Y[k]=X[k]H[k]，则X[k]=(Y[k])/(H[k])（假设H[k]≠0）。
- 再对X[k]进行逆离散傅里叶变换（IDFT）得到x[n]。
2. 迭代算法（离散情况）- 一种简单的迭代算法是假设初始的x^0[n]=y[n]/h[0]（当h[0]≠0时）。
- 然后通过迭代公式x^i + 1[n]=x^i[n]+frac{y[n]-∑_m =-∞^∞x^i[m]h[n - m]}{∑_m =-∞^∞h[m]h[n - m]}逐步逼近真实的x[n]，其中i表示迭代次数。
在连续情况下，反卷积的求解更加复杂，通常也可以利用频域方法，通过傅里叶变换将问题转换到频域，利用Y(ω)=X(ω)H(ω)，得到X(ω)=(Y(ω))/(H(ω))（假设H(ω)≠0），再通过逆傅里叶变换得到x(t)，但在实际应用中要考虑到函数的性质、收敛性等诸多问题。
离散卷积卷积和
n
x1(n)*i x2
i =
x1(n)*
x2(n)
n
i
si
=
n i
x1
i
*x2(n)=
x1(n)*
n i
x2
i
返回
三.卷积计算
yn xn* hn xmhn m
m
m的范围由x(n)、h(n)的范围共同决定。
1.y(n)的序列元素个数?
若x(n)的序列长度为n1、 h(n)的序列长度为n2，
对于零状态的离散线性时不变系统，若
x(n)
y(n)
(n)
h(n)
h(n)
就必有：时不变 n m hn m 均匀性 xm n m xmhn m
可加性 x(n) xm n m m
则输出 yn xmhn m xn hn m
系统对x(n)的响应y(n)=每一样值产生的响应之和， 在各处由x(m)加权。 卷积和的公式表明： h(n)将输入输出联系起来，即零状态响应=x(n)*h(n) 那么，对于任意两个序列的卷积和我们可以定义为：
1 n1 1
un
当n 时
yn 1 un
1
返回
波形
x(n)
hn
o 123
n
1
o 123 n
hn m
hn m
a m um
a m um
o 123
m
n0
o 123
m
n 1
y(n) u(n) n αm 1 αn1 un 1 yn
m0
1α
11
当n
时，yn
1
1
α
un
o 1234
n
返回
例7-6-2 已知离散信号 x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]
离散型随机变量 卷积公式
离散型随机变量卷积公式
离散型随机变量卷积公式是概率论和统计学中非常重要的一个
公式，它在描述随机变量之间的关系和联合分布时起着关键作用。
离散型随机变量的卷积公式可以用于计算两个随机变量之和的概率
分布，它的数学表达式如下：
设有两个离散型随机变量X和Y，它们的概率质量函数分别为
f(x)和g(y)，则它们之和Z=X+Y的概率质量函数为h(z)，其中h(z)可以通过卷积公式计算得到：
h(z) = (fg)(z) = Σ[i= -∞ to +∞] f(i) g(z-i)。
其中，(fg)(z)表示函数f和g的卷积，z为变量，Σ表示求和。
公式的含义是将随机变量X和Y的概率质量函数进行卷积运算，得
到它们之和Z的概率质量函数。
这个公式的应用非常广泛，例如在通信系统中，可以用于描述
信号经过信道传输后的概率分布；在金融领域，可以用于描述不同
投资组合的收益分布等等。
通过卷积公式，我们可以更好地理解随
机变量之间的关系，从而为实际问题的分析和解决提供重要的数学
工具。
总之，离散型随机变量的卷积公式是概率论和统计学中的重要工具，它为描述随机变量之间的关系提供了重要的数学基础，具有重要的理论和应用价值。
电子教案 卷积(卷积和)
教学过程第七章．离散时间系统的时域分析第6节卷积（卷积和）1）、卷积的基本介绍卷积是在信号与线性系统的基础和发展背景下出现的。
卷积就是《信号与系统》中论述系统对输入信号的响应而提出的。
连续信号的卷积积分、离散信号的卷积积分在信号与系统理论中占有重要地位，在信号处理、系统分析中有广泛的应用。
掌握了解卷积的相关原理知识，对于学习信号与系统有着非常重要的作用。
求解线性时不变离散系统的零状态响应，也可以采用与连续系统卷积积分相类似的方法，称之为“卷积和”。
但与连续系统卷积方法比较，存在两个不同点：（1）由于离散信号本身就是一个不连续序列，因此将输入激励信号进行分解很容易实现；（2）由于系统对每个脉冲的响应也是一个离散时间序列，因此其求和过程无需进行积分，表现为“卷积和”过程。
（一）、卷积和1、序列的时域分解2、任意序列作用下的零状态响应即：+-+++-+=-=∑∞-∞=)1()1()()0()1()1()()()(khfkhfkhfikhifkyif上式表明，线性时不变离散时间系统对任意激励信号)(kf的零状态响应)(ky f，就等于激励)(kf与系统单位样值响应)(kh的卷积和。
根据单位样值函数)(kδ的定义，任意离散序列)(kf可以表示为单位样值函数及其延迟函数的加权和，即：教学过程3.卷积的应用卷积是一种线性运算，其本质是滑动平均思想，广泛应用于图像滤波，图像处理中，常见的mask运算就是卷积。
电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得⏹统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
⏹概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。
⏹声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。
⏹物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
2）卷积和的知识讲解一、卷积和的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和∑∞-∞=-=iikfifkf)()()(21fi=-)(*)()()()(khkkhifkyizs=∑∞-∞=为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i 为求和变量，k 为参变量。
§7.6 离散卷积(卷积和)
x(n)序列 h(n)序列
则y(n)序列
n1 n3 n n2 n4
4个元素
5个元素 8 个元素
n1 n n2， n3 n n4
例如： x(n)： 0 n 3
h(n)： 0 n 4 y(n)： 0 n 7
X
四．解卷积(反卷积,逆卷积)
X
7.6 卷积（卷积和）和解(反)卷积
卷积和的定义 离散卷积的性质 卷积计算 解卷积
第 1 页
X
一．离散卷积(卷积和)的定义
任意序列x(n)表示为: x( n) x( 1) ( n 1) x(0) ( n)
第 2 页
m
x(m ) (n m )
h( n )
x(1) ( n 1) x( 2) ( n 2)
x ( n)
y( n)
h( n )
X
(n)
时不变
均匀性 可加性
n m hn m
xm n m xm hn m
m
第 3 页
xm n m xm hn m
x n hn
m
第 5 页
xm hn m
离散卷积过程：序列倒置移位相乘取和 1.解析式法 2.图解法 3.对位相乘求和法求卷积 ( P.32-34 ) 4.利用性质
X
第
y(n)的元素个数?
6 页
x(n) h(n) y ( n)
若：
nA nB nC n A nB 1
1．交换律
第 4 页
x( n) [h1 ( n) h2 ( n)]
离散信号的卷积和
一、实验目的1、掌握两个离散信号卷积和的计算方法和编程技术。
2、进一步熟悉用MATLAB 描绘二维图像的方法。
二、实验原理与计算方法两个离散序列x (n )与y (n )的卷积和f (n )定义为∑∞-∞=-=*=m m n y m x n y n x n f )()()()()( 由于通常信号处理中所碰到的都是有始信号或有限时间信号，因此在实际计算卷积和时，求和是在有限范围内进行的。
计算过程中上下限的选取和所得结果的分布区间取决于参与卷积的两个序列，下面将分别进行讨论：1、两个从n = 0开始的序列)()()(n u n x n x =和)()()(n u n y n y =的卷积和∑∑=∞-∞=-=--=nm m n u m n y m x m n u m n y m u m x n f 0)()]()([)()()()()( (1) 上式右边因子u (n )表示卷积和的结果也是一个从n = 0开始的序列。
2、从n = n 1开始的序列)()()(1n n u n x n x -=和从n = n 2开始的序列)()()(2n n u n y n y -=的卷积和，其中n 1和n 2为任意整数。
∑∑-=∞-∞=---=----=21)()]()([)()()()()(2121n n n m m n n n u m n y m x n m n u m n y n m u m x n f (2)上式右边因子u (n -n 1-n 2)表示卷积和是一个从n = n 1+n 2开始的序列。
3、从n = n 1开始的长度为N 1的加窗序列)()()(1n w n x n x N =和从n = n 2开始的长度为N 2的加窗序列)()()(2n w n y n y N =的卷积和，其中⎩⎨⎧-+≤≤=otherwise 0 1 1 )(1111N n n n n w N ⎩⎨⎧-+≤≤=o t he r w i s e 0 1 1 )(2222N n n n n w N 则 ∑∞-∞=--=m N N m n w m n y m w m x n f )()()()()(21 (3)所得卷积和也是一个加窗序列，从n = n 1+ n 2开始，长度为N 1+ N 2-1。
离散卷积计算方法
离散卷积计算方法
离散卷积是一种数学运算，用于处理离散信号和系统的卷积操作。
离散卷积的计算方法可以通过以下步骤来进行：
1.确定输入序列和系统的响应序列。
输入序列通常表示为x[n]，系统的响应序列表示为h[n]。
2.反转系统的响应序列。
将h[n]反转得到h[-n]。
3.对每个n值，计算卷积的结果。
卷积的计算方法是将反转后的系统响应序列h[-n]与输入序列x[n]逐点相乘，并将结果相加。
离散卷积的公式为：y[n] = ∑(x[k] * h[n-k])，其中k取值范围根据信号的长度确定。
4.根据计算得到的y[n]，即卷积的结果，可以得到输出序列。
在实际计算中，可以使用循环或矩阵运算等方式来实现离散卷积的计算。
循环方法逐点进行相乘和相加的操作，而矩阵方法可以将卷积转化为矩阵乘法的形式，利用矩阵运算的效率进行计算。
需要注意的是，在进行离散卷积计算时，输入序列和系统的响应序列的长度需要满足一定的条件，以确保卷积的结果能够正确计算。
长度不足时，可以使用补零等方法进行扩展。
以上是离散卷积的一般计算方法，具体的实现和应用可能会根据信号处理的需求和算法的特点有所不同。
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可见求和上限n,下限 从图中可见求和上限 下限 图中可见求和上限 下限0
1 − α n+1 n m u(n) y(n) = ∑α ⋅ u(n) = 1 −α m=0 当n → ∞时 1 y(n) = 1 −αX源自波形x(n)1
h(n)
第 7 页
⋯
o 1 2 3
h(n − m)
X
第
y(n)的元素个数 的元素个数? 的元素个数
x(n) nA
12 页
h(n)
y(n)
nB
nC = nA + nB − 1
若：
x(n)序列
h(n)序列
n1 ≤ n ≤ n2，
n3 ≤ n ≤ n4
则y(n)序列
(n1 + n3 ) ≤ n ≤ (n2 + n4 )
4个元素 5个元素 8 个元素
X
例如： 例如：
h(n) = δ (n) + 2δ (n − 1) + 3δ (n − 2)
11 页
利用分配律
x(n) ∗ h(n) = δ (n) + 2δ (n − 1) + 3δ (n − 2)
+ δ (n − 1) + 2δ (n − 2) + 3δ (n − 3)
+ δ (n − 2) + 2δ (n − 3) + 3δ (n − 4) = δ (n) + 3δ (n − 1) + 6δ (n − 2) + 5δ (n − 3) + 3(n − 4)
x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)
4 页
2．结合律 ． x(n) ∗ h1(n)∗ h2 (n) = x(n) ∗[h1(n)∗ h2 (n)] 3．分配律 ．
x(n)∗[h1(n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h (n) + x(n) ∗ h2(n) 1
4． x(n) ∗δ (n) ． 不存在微分、积分性质。 不存在微分、积分性质。
X
第
例7-6-1
已知x(n) = α nu(n) (0 < α < 1) , h(n) = u(n),求卷积 y(n) = x(n) ∗ h(n)。
6 页
y(n) = x(n) ∗ h(n) =
m=−∞
∑α
∞
m
要点： 要点： u(m)u(n − m) 定上下限
宗量: m ≥ 0, m ≤ n 即： m ≤ n, n ≥ 0 0≤
= x(n) ∗ h(n)
∞
∑x(m)h(n − m)
加权。 处由 x(m)加权。 卷积和的公式表明： 卷积和的公式表明：
系统对x(n) 的响应= 每一样值产生的响应之 ，在各 和
h(n)将输入输出联系起来， 将输入输出联系起来， 即零状态响应 x(n) ∗ h(n)。 =
X
第
二．离散卷积的性质
1．交换律 ．
x(n) =
10 页
{ }
1 1 1 ↑
x(n) ∗h(n)
1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 6 ↑
2 3 1 1 2 3 3 5 3
X
= δ (n) + 3δ (n − 1) + 6δ (n − 2) + 5δ (n − 3) + 3(n − 4)
第
例7-6-4
x 2 x 已知 (n) = R3 (n), h(n) = 1 ，3，求求 (n) ∗ h(n)。 ， ↑ n=0 x(n) = δ (n) + δ (n − 1) + δ (n − 2)
n
o 1 2 3
h(n − m)
n
⋯
amu(m) ⋯
m
⋯
amu(m) ⋯
o 1 2 3 n=0
n
o 1 2 3 n =1
m
y(n) 1− αn+1 y(n) = u(n) ⋅ ∑αm = u(n) 1 1− α 1 −α 1 m=0
⋯
n
X
1 y 当n →∞时， (n) = 1− α
o 1 2 3 4
第
例7-6-2
x 已知 1(n) = 4 , 3, 2, 1，x2 (n) = 3 , 2, 1, ， ↑ ↑ n=0 n=0 求： (n) = x1(n) ∗ x2 (n) y
8 页
使用对位相乘求和法求卷积 步骤： 步骤： 两序列右对齐→ 两序列右对齐 逐个样值对应相乘但不进位→ 逐个样值对应相乘但不进位 同列乘积值相加（注意n=0的点） 同列乘积值相加（注意 的点） 的点
x(n)： 0 ≤ n ≤ 3 h(n)： 0 ≤ n ≤ 4 y(n)： 0 ≤ n ≤ 7
X
第
三．卷积计算
x(n) ∗ h(n) =
m=−∞
5 页
∑x(m)h(n − m)
∞
m范围由 (n), h(n)范围共同决定。 x 范围共同决定。
离散卷积过程：序列倒置→移位→相乘→ 离散卷积过程：序列倒置→移位→相乘→取和 1.解析式法 1.解析式法 2.图解法 2.图解法 3.对位相乘求和法求卷积 3.对位相乘求和法求卷积 4.利用性质 4.利用性质
2 页
=
m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
x(n) δ (n) h(n) y(n) h(n)
∞
X
第 3 页
时不变 均匀性 可加性 输出
δ (n − m) →h(n − m)
x(m)δ (n − m) → x(m)h(n − m)
x(n) = y(n) =
m=−∞ ∞ m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
X
第 9 页
x1(n)
:
:
×
x2 (n)
↑ n=0
4
3
↑ n=0
2
2
1
1
3
+
y(n) :
4 8 6 12 9 6
↑ n=0
3 4 3
2 2
4
1
12 17 16 10
1
y 1 所以 (n) = 12，17，16，10， 4， ↑ n=0
X
第
例7-6-3
x 2 ， x 已知 (n) = R3 (n), h(n) = 1 ，3 求 (n) ∗ h(n)。 ， ↑ n=0
信号与系统
7.5
7.7
§7.6 卷积（卷积和）
•卷积和定义 卷积和定义 •离散卷积的性质 离散卷积的性质 •卷积计算 卷积计算
烟台大学光电学院
第
一．卷积和定义
x δ : 任意序列 (n)表示为 (n)的加权移位之线性组合
x(n) = ⋯x(− 1)δ (n + 1) + x(0)δ (n) + x(1)δ (n − 1) + ⋯+ x(m)δ (n − m) +⋯