辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(图片版含答案)
2019—2020学年度下学期沈阳市郊联体期中考试高一试题数
学答案
一．选择题
1.A
2.B
3.B
4.D
5.B
6.C
7.A
8. A
9.D 10 C 11. B 12.C 13.6π- 14.1 15. 12 16. 1718⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 3tan()sin(2)cos()217()9cos()tan(3)2
tan (sin )(sin )sin 6(sin )(tan )
sin()cos 2x x x f x x x x x x x x x ππππππαα---=+-+--==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅---=-=、（1）（注：结果正确得满分，结果错误，诱导公式每正确一个得1分）（2）55cos 71313
12sin 913
12()13
f αααα=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，得为第三象限角∴10⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2221211222221211221212118(32)912474
(2)(2)4476
(32)(2)6a e e e e e e b e e e e e e a b e e e e e =-+=-+⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+=+⋅+=⋅=-+⋅+=-、(1)221227282712cos ,1027,0,180,=120e e e a b a b a b a b a b +⋅+=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅<>===-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⎡⎤<>∈⎣⎦
<>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅则∴12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
19A=1T =T==2322
()2sin(2)
2(,2)3
f x x P ππωϕπ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-、（1）由题意可知2，，，代入43+=+2,2,0532626
()2sin(2)66
272122366
k k Z k k Z f x x x x ππππϕππϕπϕϕπππππ∈=+∈<<=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤≤+≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅可得由，得∵，∴∴（2）∵∴max min 82()210626
72()112662
x x f x x x f x πππ
πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+===-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅当即时，当即时，（注：没写出1x 相应的的值，每个扣分）
20cos sin cos sin 1sin 1cos cos sin 3cos sin 2ααα
αααπ
απ
=-+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<<、（1）由
原式1=sin 11cos sin cos 55
1241+2sin cos 2sin cos 62525
7sin cos 25
ααααααααπαπαα-++=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<<-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅平方得，即∵，∴2273sin 2sin cos cos 122221tan tan 2cos sin 2sin cos (cos sin )10sin cos cos sin 247168255125αααα
αα
αααααααααα
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+++-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-⨯-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2）（）（）12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
21()3cos )23
BC=4
T 2=4T=8==4284
()sin(
)43f x x x x f x x πωωωππωππ==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅、（1）由已知可得因为正三角形的高为即，
，0522,243210288,33
102()88733(k x k k Z k x k k Z y f x k k k Z f x ππππππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-
+≤+≤+∈-+≤≤+∈⎡⎤∴=-++∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦
（2）令即的单调增区间为，（3）由（1
）有00000sin()=435
4sin()8435
102(,)(,)334322
3cos()435
x x x x x ππππππππππ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈-+∈-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即由，得
则0009(1)sin()443()104
3443()2555
f x x x π
ππ
πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++⎡⎤=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2122()2cos sin()2cos cos )62
111sin cos 2cos 2sin(2)222262
1()sin()432f x a b x x x x x x x x x x x f ππππ=⋅=-=-=-=
--=--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
、[
][][]42,+6122
1()+71222
()1)6()01),0,26
sin(),0,6k x k k Z x k Z k f x k Z g x m x y g x m x x y x x πππππππππππ⋅⋅⋅-=∈=∈-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---+=-+
=-∈=-∈（2）令，即，∴的对称中心为（，）（3）在，上恰有两个零点即有两个不等实根即
与[
]192
5,0,sin ,,66611122
1+121+1122y t x x y t t m m ππππ=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤=-∈=∈-⎢⎥⎣⎦≤+<≤<⎡⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎢⎪⎣⎭
有两个不同交点令则由正弦函数的图象可知
即实数的取值范围是，。
辽宁省六校2019-2020学年高一数学下学期期中试题[含答案]
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辽宁省六校2019-2020学年高一数学下学期期中试题一、单选题（共8道,每题5分,共40分,每题4个选项,只有一个符合题目要求） 1.若复数z 满足（i 是虚数单位）,则z 为（ ）A. 1B.12 C.22 D. 2 2.不等式的解集是（ ）A. B.C. D.3. 设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为 （ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．34. 已知△ABC 的外心是边BC 的中点,AB =(k,1),AC =(2,3),则k 的值为( ) A. 5B. -5C.32D. -3 25. 已知角θ的终边过点P(﹣4k ，3k ）（k ＜0）,则2sinθ+cosθ的值是( ) A ．52B. 52-C ．52或52- D.随着k 的取值不同其值不同6. 下列函数中,周期为π,且在），（24ππ上单调递减的是（ ）A.x x y cos sin =B.x x y cos sin -=C.)4tan(π+=x yD.x y 2cos =7.棱台的上、下底面面积分别为4和9,则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 （ ） A ．21 B.31 C.32 D.43 8.一船沿北偏西45方向航行,正东有两个灯塔A,B, 10AB =海里,航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60,另一灯塔在船的南偏东75,则这艘船的速度是每小时（ ） A ．5海里B ．52海里 C ．10海里 D ．102海里二、多选题（共4小题,每题5分,共20分,每题4个选项中有多个正确选项,全部选对得5分,漏选得3分,错选得0分）9.以下命题（其中a ，b 表示直线，表示平面）,其中错误的是 （ ） A.若αα//a 则,,//a ⊂b b B.若b b //a 则,//,//a ααC.若αα//则,//,//a b b aD.若α//a ,β⊂a ,b =⋂βα,则a//b10.已知ABC ∆,则下列命题是真命题的有（ ） A.若B A2sin 2sin =,则ABC ∆是等腰三角形B.若B A cos sin =，则ABC ∆是直角三角形C.若0cos cos cos <C BA ,则ABC ∆是钝角三角形D.若,1)cos()cos(）（cos =---A C C B B A 则ABC ∆是等边三角形11.ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量,满足a =,+=a ，则下列结论正确的是（ ）b =2 B.b a ⊥ C.2=⋅b a D.⊥+)2(12.关于函数1233sin 33cos sin 3)(f 2+-+=x x x x ,下列命题正确的是（ ）A. 由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B. ()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C. ()y f x =的图像关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. ()y f x =的图像关于直线12x π=-对称三、填空题（共4小题,每题5分,共20分） 13. 5==b a ,向量b a 与的夹角为32π,则b +2=___________.14. 已知, A=,则b=_________.15. 一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为______________;该四面体的体积为_____________.(第一空2分，第二空3分) 16.函数()m -6-x 2sin 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛=πx f,若()0f ≤x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0x π上恒成立,则m 的取值范围是______;若()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0x π上有两个不同的解,则m 的取值范围是_________.(第一空2分，第二空3分)四、解答题（写出必要的解题步骤,文字说明等）17.（本小题满分10分）已知|a |＝2|b |＝2,且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1,求 (1)a 与b 的夹角θ; (2)(a －2b )·b .18.（本小题满分12分）在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且（1）求角B ;（2）若sin 3sin A C =,求cb .19.（本小题满分12分） 已知51cos ,sin 02=+<<-x x x π（1）求x x cos sin -的值;（2）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.20.（本小题满分12分）如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,作如图棱锥P ABCD -,其中点P 在侧棱1DD 所在直线E BCP上,4,3PD DC ==,E 是PC 的中点. （1）证明：//PA BDE 平面;（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积.21.（本小题满分12分） 在ABC ∆中,31cos =A . （1）求A CB 2cos 2sin2++的值;（2）若3a =,求ABC ∆面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))0,0(πϕω<<>的图像相邻对称轴之间的距离是2π,若将f (x )的图像向右移6π个单位,所得函数g(x )为奇函数. （1）求f (x )的解析式; （2）若函数h (x )= f (x )-53的零点为x 0,求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0x 2-6cos π; （3）若对任意x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3，0π, f 2(x )- f (x )-a=0有解,求a 的取值范围.数学试题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C BADBABDABCBCDADBD题号 13141516答案35π331 2m ≥ 2m 1<≤17.（1）由题意，||=2, ||=1, ||=-1,所以.又因为,所以. (5)分 （2）（）=-1-2=-3. ……………………………………………………10分18、解：（1）由正弦定理可得B C B A C B cos sin 3-sin sin 2cos sin 3=B A BC C B sin sin 2cos sin 3cos sin 3=+B AC B sin sin 2)sin(3=+B A A sin sin 2sin 3=在0sin 中，≠∆A ABC ,所以23sin =B …………………………………………………………………4分 120或60所以=B ，因为ABC ∆为锐角三角形B 60=︒所以 (6)分（2）由正弦定理得：3a c =，又由余弦定理：2221cos cos6022a c b B ac+-=︒==，代入3a c =，可得7bc=……………………………………………………………………12分 19、（1）对于51cos sin =+x x ，两边平方得25242sin -=x∴25492sin 1)cos (sin 2=-=-x x x∵02<<-x π，∴cosx ＞0，sinx ＜0∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－57……………………………………………………6分 （2）联立1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x ∴原式＝23432()2()2455531755145⨯-⨯+⨯-=---………………………………………………………12分20.(1)连接AC 交BD 于O ，连接EO.ABCD 是正方形，O 为AC 中点; 又E 为PA 的中点，又包含于平面BDE ，PA 不包含于平面BDE.PA 平面BDE. ……………………………………………………………………6分 (2)过D 作PA 的垂线，垂足为H,则以PA 为轴旋转所围成的的几何体是以DH 为半径，分别以PH,AH 为高的两个圆锥的组合体. 侧棱PD 底面ABCD,AD 包含于底面ABCD,PD,PA=5,DH=, ………………………………………………………………10分体积V=. ……………………………………………………………………………………………12分 21.(1)原式=;………………4分(2)cosA=, 则由余弦定理知所以有bc则,所以面积最大值为,此时……………………………………12分22.(1)f(x)=; (4)分(2)由已知方程f(x)-的解为x0。
2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，以 为基底，根据已知的关系，利用向量的线性运算表示出 ，再利用向量的数量积的运算律化简求值.
【详解】
作示意图如图所示：
设 ，则 ，
由 ， ，得 ，且 ，又 ，
又 ，∴ 或 ；
又由五点作图可知，函数 在A点附近呈上升趋势，应满足 ，
当 时，f（ ）＝2cos（ ω ）＝0，
∴ ω ，解得ω＝4；
∴ ；
令 kπ，k∈Z，求得x ，k∈Z；
k＝0时，得函数g（x）图象的一条对称轴方程为x ．
故选D．
【点睛】
本题主要考查由图像及性质确定解析式，关键是 的确定，考查了余弦函数图象的对称性问题，是中档题．
故选：A.
【点睛】
本题考查了同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，已知三角函数值求角，属于中档题.
9．已知函数 的部分函数图像如图所示，点 ，则函数 图像的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件确定函数 的解析式，再根据余弦函数图象的对称性，可得结果．
【详解】
由 的图象知，f（0）＝2 ， ，
则 ，比较 的长度，
得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角函数线的应用，属于基础题.
6．下列函数中最小正周期为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对A选项，对 赋值，即可判断其最小正周期不是 ；利用三角函数的周期公式即可判断B、D的最小正周期不是 ，问题得解.
【详解】
对A选项，令 ，则
2019年沈阳市高一数学下期中试卷及答案
2019年沈阳市高一数学下期中试卷及答案一、选择题1．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+3．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤4．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( ) A ．α⊥β，且m ⊂α B ．m ⊥n ，且n ∥β C ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β5．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在6．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．87．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．329．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．16011．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 833二、填空题13．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD V 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，设AK t =，则t 的取值范围是__________．14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 15．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.16．在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________ 17．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.18．已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．19．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.20．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥； （2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为35.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.22．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．23．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．24．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30°，试求三棱锥M ANC -的体积. 25．在正方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，E 在1CC 上且12CE EC =．（1）若F 是AB 的中点，求异面直线1C F 与AC 所成角的大小； （2）求三棱锥1B DBE -的体积．26．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积； （Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.2．B解析：B 【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．3．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b .【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案. 【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立； //m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间6．C解析：C 【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得. 【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意， 故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B . 【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.8．B解析：B该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．9．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得AC ==同理可得BD ===，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以8AB ===，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解． 【详解】在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥， 则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆心， ∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =-⋅⋅=. 故选：B.二、填空题13．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件解析：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】当F 位于DC 的中点，点D 与AB 中点重合，1t =． 随F 点到C 点，由CB AB ⊥，CB DK ⊥， 得CB ⊥平面ADB ，则CB BD ⊥． 又2CD =，1BC =，则3BD =． 因为1AD =，2AB =， 所以AD BD ⊥，故12t =． 综上，t 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.14．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积 解析：【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有，故底面面积，故圆柱的体积.考点：圆柱的体积15．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.16．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球 解析：50π【解析】 【分析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为2R ==， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.17．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平 解析：7π【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P﹣BDC 的外接球半径R ＝2，由此能求出该球的表面积． 【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P ﹣BDC 外接球的球心为O ， △PCD 外接圆圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ， ∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB ＝2，∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯＝7π． 故答案为：7π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．18．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的解析：【解析】根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是5CF == ，所以PQ PR +的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.19．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面∴PA⊥BD又∵PC⊥BDPA⊂平面PACPC⊂平面PACPA∩PC=P∴BD⊥平面PAC又∵AC⊂平面PAC∴A解析：菱形【解析】【分析】【详解】根据题意，画出图形如图，∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面，∴PA⊥BD，又∵PC⊥BD，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，PA∩PC=P．∴BD⊥平面PAC又∵AC⊂平面PAC∴AC⊥BD又ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD一定是菱形．故答案为菱形20．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得r =ABC V 中，2AB AC ==，BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离d ==点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC V 所在平面截球所得圆（即ABC V 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法. 三、解答题21．（1）证明见详解（2）存在，95PM = 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可证AD PH ⊥，再由BD PH ⊥即可求证；（2）要证HM ⊥平面PAD ，即证MH PD ⊥，可作HM PD ⊥，连接AM ，经几何关系验证，恰好满足直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为25，求得95PM =；【详解】（1）AD ⊥平面PBD ，PH 在平面PBD 上，所以，AD PH ⊥，又BD PH ⊥，AD 交BD 于D ，所以，PH ⊥平面ABCD ，所以，PH CD ⊥ （2）由题可知，6BD =，又13BH BD =，所以4HD =，132PH BD ==，5PD =，要证HM ⊥平面PAD ，由题设可知AD ⊥平面PBD ，则AD HM ⊥，即证HM PD ⊥， 作HM PD ⊥，在PHD ∆中，由等面积法可知125PH HD HM PD ⋅==，HA ==直线HA 与平面PAD 所成角正弦值即为 12sin25HAM ∠==，此时3393555PH PM ==⨯=【点睛】本题考查线面垂直的证明，由线面垂直和线面角反求满足条件的点具体位置，逻辑推理与数学计算能力，属于中档题 22．（1）；（2）.【解析】 试题分析：解题思路：（1）因为圆与直线x+y ﹣1=0相切，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；（2）先判定过P 点的最短弦所在直线与过P 点的直径垂直，再进行求解.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识. 试题解析：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=2．圆的圆心坐标为C （1，﹣2），则过P 点的直径所在直线的斜率为﹣， 由于过P 点的最短弦所在直线与过P 点的直径垂直， ∴过P 点的最短弦所在直线的斜率为2，∴过P 点的最短弦所在直线的方程y+=2（x ﹣2），即4x ﹣2y ﹣13=0. 考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系. 23．（1）750x y +-=（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）求直线CD 的方程，只需确定C ，D 坐标即可：34(,)55C -，(5,0)D ，直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD 的方程为750x y +-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0x y Dx Ey F +++=设(3,4)(01)C m m m -<≤，则D (5+4,0)m ，从而()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 1分 又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -， 3分 由4BD =，得(5,0)D ， 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=． 6分 （2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =． 7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=， 所以D 点的坐标为(5+4,0)m 8分又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,{+2=0x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==-所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分 考点：直线与圆方程 24．（1）证明见解析（2）463【解析】 【分析】（1）先证明AM ⊥平面11BB C C ，即可由线面垂直推证面面垂直； （2）根据线面角求得棱柱的高，即可由棱锥的体积公式求得结果. 【详解】（1）证明：如图，由直三棱柱111ABC A B C -知1AM BB ⊥， 又M 为BC 的中点知AM BC ⊥，又1BB BC B =I ， 所以AM ⊥面11B BCC ， 又AM ⊂平面AMN ， 所以平面AMN ⊥平面11B BCC .（2）如图：设AB 的中点为D ，连接1A D ，CD .因为ABC V 是正三角形，所以CD AB ⊥. 由直三棱柱111ABC A B C -知1CD AA ⊥.所以CD ⊥平面11A ABB ，所以1CA D ∠为直线1A C 与平面11A ABB 所成的角. 即130CA D ∠=︒， 所以13224432A C CD ==⨯=，所以16A D =， 在1Rt AA D △中，221136442AA A D AD =-=-=111422222AA NC =⨯==三棱锥M ANC -的体积即为三棱锥N AMC -的体积，所以2113146422332AMC S V NC ⎫⋅=⨯⨯⨯=⎪⎪⎝⎭=△. 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及由线面角求线段长，涉及棱锥的体积求解，属综合中档题. 25．(1) 4π (2) 92【解析】 【分析】（1）连接AC ，11A C ，由11AC AC P 知11FC A ∠ （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角，由余弦定理解三角形即可（2）根据11B DBE D BEB V V --=，且三棱锥1D BEB -的高为DC ，底面积为1BEB ∆的面积.【详解】（1）连接AC ，11A C ，∵1111,AC AC FC A ∴∠P （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角 在11FC A ∆中，111192A C A F C F ===222119()22cos 9222FC A +-∠==⨯∴异面直线1C F 与AC 所成角为4π． （2）由题意得， 1111119333=3322B DBE D BEB BEB V V S DC --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅．【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，属于中档题.26．（Ⅰ）8123π（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正方体体积减去截去部分的体积即可求解（Ⅱ）利用正四面体与正方体的外接球一致求解 【详解】(Ⅰ)三棱锥1B ABC -的体积1114222323V =⋅⋅⋅⋅=， 切去部分的体积为14164433V =⋅= 正方体的体积为22228V =⋅⋅= ∴四面体的体积3168833V =-= (Ⅱ)∵正方体的棱长为2，∴正方体的体对角线长为∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线∴外接球直径2R =R = ∴外接球表面积为2412S R ππ==【点睛】本题考查组合体体积，外接球问题，是基础题。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高一(上)期中数学试卷(A卷) (含答案解析)
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高一（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合{a,b ，c ，d}的子集有( )A. 4个B. 8个C. 16个D. 32个 2. 已知1a <1b <0，给出下列三个结论：①a 2<b 2；②b a +a b >2；其中所有的正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 3. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x ，f(x)对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 15 10 a 6 b c其中a <c <b <0，则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 ( )A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个 4. 已知f(x)={x −5 (x ≥6)f(x +2) (x <6)，则f(3)为( )A. 3B. 2C. 4D. 55. 命题“对任意的x ∈R ，sinx ≤1”的否定是( )A. 不存在x ∈R ，sinx ≤1B. 存在x ∈R ，sinx ≤1C. 存在x ∈R ，sinx >1D. 对任意的x ∈R ，sinx >16. 已知函数f(x)的定义域为[−1,5]，则f(3x −5)的定义域为( ) A. [8,10]B. [−8,10]C. [43,+∞]D. [43,103] 7. 函数f(x)=ln(1−x 2)x 的图象关于( ) A. x 轴对称B. 原点对称C. y 轴对称D. 直线y =x 对称 8. 若函数f(x)=mx 2+(m −2)x +(m 2−m +2)为偶函数，则m 的值是( ) A. 4B. 3C. 2D. 1 9. 定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)内单调递减，则下列判断正确的是( )A. f(2a)<f(−a)B. f(π)>f(−3)C. f(−√32)<f(45)D. f(a 2+1)<f(1) 10. 函数f(x)=−x 2+5x −6的零点是( )A. −2，3B. 2，3C. 2，−3D. −1，−311.下列不等式中，正确的是()A. 若x∈R，则x+4x≥4B. 若x∈R，则x2+2+1x2+2≥2C. 若x∈R，则x2+1+1x2+1≥2D. 若a、b为正实数，则√a+√b2≥√ab12.二次函数f(x)=x2−4x(x∈[0,5])的值域为()A. [−4,+∞)B. [0,5]C. [−4,5]D. [−4,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A={x|x+1x−3<0},B={x||x−1|<m}，若x∈B成立的一个不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是______．14.若正数x，y满足2x +3y=2，则xy的最小值是______ ．15.若函数f(x)=|6x−x2|−a(a∈R)有4个不同的零点，则实数a的取值范围为__________．16.设函数f(x)={x 2−4x+6,x≥0x+6,x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.判断函数f(x)=x2−2x+5x−1在(3,+∞)上的单调性并证明你的结论．18.已知集合A={x|−7≤2x−1≤1}，B={x|y=√4−x2}．(Ⅰ)求A∪B及(∁R A)∩B；(Ⅱ)若C={x|a≤x≤2a+2}，且C⊆A，求实数a的取值范围．19.已知二次函数y=f(x)=x2−2ax+a在区间[0,3]上的最小值为−2，求a的值．20.(1)已知x>0，y>0且4x+y=1，求1x +1y的最小值；(2)已知a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，求证：(1a −1)(1b−1)(1c−1)≥8．21.解关于x的不等式(x−a)(x+a−1)>0．22.已知函数f(x)=x2+mx+n满足对任意的x∈R，都有f(2−x)=f(x)，且f(x)的最小值为4．(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式f(x)≥a2−3a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由于集合中有4个元素，则集合{a,b，c，d}有24=16个子集；故选C．若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，属于基础题．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查不等式性质与基本不等式，属于中档题．【解答】解：因为1a <1b<0，所以b<a<0，所以|b|>|a|，所以b2>a2，所以①正确；由基本不等式得ba +ab>2√baab=2，因为a≠b，所以取等号条件不成立，所以②正确；因为b<a<0，两边同乘a得ab>a2>0，所以，所以③错误；故选A．3.答案：D解析：【分析】本题考查函数的零点存在性定理的应用，是基础题．直接利用零点存在性定理推出结果即可．【解答】解：根据x，f(x)对应值表，有f(2)f(3)=10a<0，所以f(x)在区间(2,3)内至少有1个零点，同理f(x)在区间(3,4)内至少有1个零点，在区间(4,5)内至少有1个零点，所以函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选D.解析：【分析】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念．将f(3)逐步化为f(5)，f(7)，再利用分段函数第一段求解．【解答】解：由分段函数第二段解析式可知，f(3)=f(5)，继而f(5)=f(7)，由分段函数第一段解析式f(7)=7−5=2，所以f(3)=2，故选B．5.答案：C解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，sinx≤1”的否定是：存在x∈R，sinx>1．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．6.答案：D解析：【分析】本题考查抽象函数的定义域，属于基础题．由函数f(x)的定义域为[−1,5]，求f(3x−5)的定义域，令−1≤3x−5≤5求解即可．【解答】解：由于函数f(x)的定义域为[−1,5]，则令−1≤3x−5≤5，解得43≤x≤103，所以函数f(3x−5)的定义域为[43,103]．故选D．7.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性，属于基础题，需要注意的是函数的奇偶性必须满足定义域关于原点对称，由f(x)=−f(−x)可知函数f(x)是奇函数．【解答】解：由题意知的定义域为(−1,0)∪(0,1)，∴定义域关于原点对称．又，∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．故选B．8.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，利用奇偶性的定义域得出mx2−(m−2)x+(m2−m+2)=mx2+(m−2)x+(m2−m+2)，即可求出结果．【解答】解：∵f(x)=mx2+(m−2)x+(m2−m+2)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴mx2−(m−2)x+(m2−m+2)=mx2+(m−2)x+(m2−m+2)，整理得2(m−2)x=0，∵x不恒等于0，∴m−2=0，即m=2．故选C．9.答案：C解析：∵f(x)在[0,+∞)递减，∴f(π)<f(3)，f(√32)<f(45)，又f(x)是偶函数，所以f(−3)=f(3),f(−√32)=f(32)，∴f(π)<f(−3),f(−√32)<f(45)，当a=0时，f(2a)=f(−a),f(a2+1)=f(1)．10.答案：B解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题.求出函数对应方程的实数根即为零点．【解答】解：令f(x)=0，解得x=2,或x=3，所以函数f(x)的零点为2，3，故选B．11.答案：C解析：解：x<0，时，A不成立；B的等号不成立；D.利用基本不等式的性质可得：√a+√b≥√√ab，因此不成立．2≥2，当且仅当x=0时取等号．C.利用基本不等式的性质可得：x2+1+1x2+1故选：C．利用基本不等式的使用条件“一正二定三相等”即可判断出正误．本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称轴和单调区间，和最值问题，属于基础题．先求解函数的对称轴，根据定义域范围可求出值域区间．【解答】答：由题可知二次函数f(x)=x2−4x=(x−2)2−4，x∈[0,5]，故当x=2时，f(x)有最小值为−4，当x=5时，f(x)有最大值为f(5)=5，故二次函数f(x)的值域为[−4,5]．故选C．13.答案：m>2<0}={x|−1<x<3}，B={x||x−1|<m}={x|1−m<x<1+m}，解析：解：A={x|x+1x−3∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A⊊B，∴m+1>3，即m>2．故答案为：m>2由x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，A是B的一个真子集求解．本题主要通过简易逻辑来考查集合间的关系．14.答案：6解析：【分析】利用基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式，属于基础题．【解答】解：∵正数x，y满足2x+3y=2，∴2≥2√2x ⋅3y，化为xy≥6，当且仅当2x=3y时取等号．则xy的最小值是6．故答案为：6．15.答案：(0,9)解析：【分析】本题考查函数与方程思想的应用，属于基础题．f(x)=|6x−x2|−a有4个不同的零点，等价于函数y=|6x−x2|与函数y=a的图象有4个不同的交点，结合图象即可得到答案．【解答】解：∵f(x)=|6x−x2|−a有4个不同的零点，∴函数y=|6x−x2|与函数y=a的图象有4个不同的交点．由图可知：当0<a<9时满足题意．故答案为(0,9)．16.答案：{x|−3<x<1或x>3}解析：解：∵f(1)=3当x<0时，令x+6>3有x>−3，又∵x<0，∴−3<x<0，当x≥0时，令x2−4x+6>3，∴x>3或x<1，∵x≥0，∴x>3或0≤x<1，综上不等式的解集为：{x|−3<x<1或x>3}；故答案为：{x|−3<x<1或x>3}．先求出f(1)的值，再利用分段函数解不等式即可．本题主要考查分段函数的应用和不等式的求法．属中档题．注意：函数的定义域．17.答案：解：函数为增函数．证明：f(x)=x2−2x+5x−1=(x−1)2+4x−1=x−1+4x−1任取3<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1−1+4x1−1−(x2−1+4x2−1)=(x1−x2)+(4x1−1−4x2−1)=(x1−x2)+4(x2−1)−4(x1−1)(x1−1)(x2−1)=(x1−x2)+4(x2−x1)(x1−1)(x2−1)即f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(1−4(x1−1)(x2−1))∵3<x1<x2，∴x1−x2<0，(x1−1)(x2−1)>(3−1)(3−1)=4∴1−4(x1−1)(x2−1)>0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以：函数f(x)在(3,+∞)上为单调递增函数．解析：利用定义法判断函数的单调性，并证明．本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用定义法或性质法是解决此类问题的基本方法．18.答案：解：(Ⅰ)A={x|−3≤x≤1}，B={x|−2≤x≤2}；∴A∪B={x|−3≤x≤2}，∁R A={x|x<−3，或x>1}；∴(∁R A)∩B={x|1<x≤2}；(Ⅱ)∵C⊆A，∴①当C=⌀时，则a>2a+2；∴a<−2；②当C≠⌀时，则{a≥−2a≥−32a+2≤1；解得−2≤a≤−12；综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤−12}．解析：(Ⅰ)可求出A={x|−3≤x≤1}，B={x|−2≤x≤2}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；(Ⅱ)根据C⊆A可讨论C是否为空集：C=⌀时，a>2a+2；C≠⌀时，{a≥−2a≥−32a+2≤1，解出a的范围即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算，子集的定义，空集是任何集合的子集．19.答案：解：二次函数y=f(x)=x2−2ax+a的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，当a≤0时，函数在区间[0,3]上单调递增，当x=0时函数取最小a=−2，满足要求；当0<a<3时，函数在区间[0,a]上单调递减，在[a,3]上单调递增，当x=a时函数取最小a−a2=−2，解得：a=−1(舍去)，或a=2；当a≥3时，函数在区间[0,3]上单调递减，当x=3时函数取最小9−5a=−2，解得：a=115(舍去)；综上所述，a=−2，或a=2．解析：分析函数f(x)=x2−2ax+a的图象和性质，结合函数在区间[0,3]上的最小值为−2，分类讨论，满足条件的a值，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．20.答案：解：(1)由基本不等式可得：1 x +1y=(4x+y)(1x+1y)=4xy +yx+5≥2√4xy⋅yx+5=9，当且仅当{4xy=yx4x+y=1即{x=16y=13，等号成立，因此1x +1y的最小值为9，(2)因为a+b+c=1，所以(1a −1)(1b−1)(1c−1)=(a+b+ca−1)(a+b+cb−1)(a+b+cc−1)=(b+c)(a+c)(a+b)abc，因此b+c≥2√bc>0，当且仅当b=c等号成立，a+c≥2√ac>0当且仅当a=c等号成立，a+b≥2√ab>0，当且仅当a=b等号成立，所以(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc，当且仅当a=b=c等号成立，因为abc>0，所以(b+c)(a+c)(a+b)abc≥8，所以(1a −1)(1b −1)(1c −1)≥8．解析：本题考查了基本不等式的性质，考查不等式性质的应用，是一道中档题．(1)根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可；(2)根据基本不等式的性质证明即可．21.答案：解：不等式(x −a)(x +a −1)>0对应方程的实数根为a 和1−a;①当1−a =a ，即a =12时，不等式化为(x −12)2>0，∴x ≠12，∴不等式的解集为{x|x ≠12};②当1−a >a ，即a <12时，解得x >1−a 或x <a ，∴不等式的解集为{x|x >1−a 或x <a};③当1−a <a ，即a >12时，解得x >a 或x <1−a ，∴不等式的解集为{x|x >a 或x <1−a}．综上，当a =12时，不等式的解集为{x|x ≠12};当a <12时，不等式的解集为{x|x >1−a 或x <a};当a >12时，不等式的解集为{x|x >a 或x <1−a}．解析：本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法的解法，对a 分类讨论即可解得，属于中档题． 22.答案：解：(1)由题意可知，f(x)的图象的对称轴为直线x =1，所以−m 2=1，解得m =−2，所以f(x)=x 2−2x +n =(x −1)2+n −1，因为f(x)的最小值为4，所以n −1=4，解得n =5．所以f(x)=x 2−2x +5．(2)不等式f(x)≥a 2−3a 的解集为R ，等价于不等式f(x)≥a 2−3a 对任意实数x 恒成立，所以a 2−3a ≤f(x)min ，即得a 2−3a −4≤0，解得−1≤a ≤4，即实数a 的取值范围是[−1,4]．解析：本题考查函数性质与含参不等式的解法．(1)由条件知f(x)图象的对称轴为直线x=1，所以可求出m.再由f(x)的最小值为4解得n.继而得到解析式;(2)不等式f(x)≥a2−3a的解集为R，等价于不等式f(x)≥a2−3a对任意实数x恒成立，所以a2−3a≤f(x)min，即得a2−3a−4≤0，继而可求出结果．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若角600︒的终边上有一点()4,a -，则a 的值是（ ） A ．43B ．433-C ．4D ．43-【答案】D【解析】利用三角函数定义直接计算得到答案. 【详解】根据题意得到：tan 600tan 6034a︒=︒==-，故43a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数定义，意在考查学生的计算能力.2．已知向量(5,3),(2,)a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A ．{2,3} B ．{1,6}-C ．{2}D ．{6}【答案】C【解析】由a b ⊥，得=0a b ⋅，列方程即可求得。
【详解】因为向量(5,3),(2,)a x b x =-=，且a b ⊥，所以2(5)35100a b x x x ⋅=-+=-=，解得2x =，故选C. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题。
3．如图，正方形O A C B ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（ ）A ．B ．4C ．2(1+D ．6【答案】A【解析】由题意求出直观图中O B ''的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的底和高，求出面积即可. 【详解】由正方形O A C B ''''的边长为1cm ，所以O B ''=O A C B ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，所以它对应的原图为平行四边形高为2''=O B 底边长为1，所以原图形的面积为1⨯=故选：A 【点睛】本题主要考查斜二测画法，属于基础题.4．已知0πα<<，2sin 2sin αα=，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．14-C D ．14【答案】B【解析】利用二倍角公式计算余弦值，再利用诱导公式计算即可. 【详解】2sin 2sin αα=，4sin cos sin ααα∴=，而0πα<<，sin 0α≠1cos 4α∴=，ππ1sin sin cos 224ααα⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式，属于基础题.5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2A =，a =则sin sin sin a b cA B C（ ）A ．12B C D ．2【答案】D【解析】1cos 2A =得，3sin 2A =， 所以由正弦定理可知，2sin sin sin sin a b c aA B C A++==++，故选D ．6．在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30,60，则塔高为 ( ) A ．2003m B ．100m C ．4003m D ．90m【答案】C 【解析】由tan30°=200DE x BE BE -= 得到BE 与塔高x 间的关系，由tan60°=200BE求出BE 值，从而得到塔高x 的值． 【详解】 如图所示：设山高为AB ，塔高为CD 为 x ，且ABEC 为矩形，由题意得 tan30°=200DE x BE BE-=，∴3200﹣x ）． tan60°=200BE33，33200﹣x ），x=4003（m ），故选：A ． 【点睛】这个题目考查的是解三角形在几何中的应用，应用到了直角三角形的性质，解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．7．在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且2AC BC ==，点P 是斜边上的一个三等分点，则··CP CB CP CA +=（ ） A ．0 B ．4C ．94D ．94-【答案】B【解析】由题意可建立如图所示的坐标系：可得A (2,0)B (0,2),24,33P ⎛⎫⎪⎝⎭或42,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故可得24,33CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭或42,33⎛⎫⎪⎝⎭，()()2,0,0,2CA CB ==，所以()()()2,00,22,2CA CB +=+=，故()()24,2,2433CP CB CP CA CP CB CA ⎛⎫⋅+⋅=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭或()()42,2,2433CP CB CP CA CP CB CA ⎛⎫⋅+⋅=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭，本题选择B 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8．若将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到的函数()g x 的图象，函数()g x （ ） A ．图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是2πC ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上递增D ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是1【答案】C【解析】根据三角函数的图象变换关系求出函数()y g x =的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可. 【详解】若将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 向下平移一个单位得到的函数()y g x =的图象，则()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， A.20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()g x 关于,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故A 错误，B.函数的周期22T ππ==，故B 错误， C.当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()y g x =为增函数，故C 正确， D.由C 知当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()y g x =无最大值，故D 错误， 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象变换法则求出函数的解析式，以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大.9．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m l ⊥的所有序号是( )①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ；②,//,//m l αβαβ⊥；③,,//m l αβαβ⊂⊥；④,//,m l αβαβ⊂⊥ A ．①②③ B ．①②C ．②③④D ．③④【答案】A【解析】根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】m α⊥，αβ⊥ //m β∴或m β⊂，又l β⊥ m l ∴⊥，①正确； m α⊥，//αβ m β∴⊥，又//l β m l ∴⊥，②正确；l β⊥，//αβ l α∴⊥，又m α⊂ m l ∴⊥，③正确；在如图所示的正方体中：11//A D 平面ABCD ，平面11ADD A ⊥平面ABCD ，1AD ⊂平面11ADD A ，此时1AD 与11A D 不垂直，④错误.故选：A 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理.10．ABC ∆中，若sin()sin()A B C A B C +-=-+，则ABC ∆必是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】结合三角形的内角和公式可得A B C π+=-，A C B π+=-，代入已知化简可得，sin2sin2C B =，结合,B C 的范围从而可得22B C =或22B C π+=，从而可求得结果. 【详解】∵πA B C +=-，πA C B +=-，∴()sin A B C +- ()sin π2C =- sin2sin()C A B C =-+， sin(π2)B =-sin2B =，则sin2sin2B C =，B C =或2π2B C =-， 即：π2B C +=，所以ABC 为等腰或直角三角形，故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，由三角函数值寻求角的关系，属于基础题.11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】由题2[0,]3x π∈，所以2[,]3333w x ππππω+∈+，根据()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，得到2233w πππ+≥且2333w πππ+<，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数()()sin()03f x x πωω=+>，因为2[0,]3x π∈，所以2[,]3333w x ππππω+∈+， 又由()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点， 所以2233w πππ+≥且2333w πππ+<，解得542w ≤<， 所以ω的取值范围是5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的综合应用，其中解答中熟记函数零点的概念，合理应用三角函数的图象与性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，6AC =，1BC CC ==P 是线段1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是（ ）A ．26B ．52C ．371+D ．62+【答案】B【解析】连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，不难看出CP +P A 1的最小值是A 1C 的连线．（在BC 1上取一点与A 1C 构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解． 【详解】连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内， 连接A 1C ，长度即是所求．∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 12=∴矩形BCC 1B 12BC 1＝2； 另外A 1C 1＝AC ＝6；在矩形ABB 1A 1中，A 1B 1＝AB 38BB 12=A 1B 40易发现62+22＝40，即A 1C 12+BC 12＝A 1B 2， ∴∠A 1C 1B ＝90°，则∠A 1C 1C ＝135° 故A 1C 2211111122135362262522AC C C AC C C cos =+-⋅⋅︒=++⨯⋅⋅= 故答案为B. 【点睛】本题考查的知识是棱柱的结构特征及两点之间的距离，其中利用旋转的思想，将△CBC 1沿BC 1展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间距离问题是解答本题的关键．二、填空题13．已知单位向量a 与b 的夹角为120，则3a b -=______.【解析】结合1a b ==，a 与b 的夹角为120，先求23a b -，再开方即可得3a b -的值. 【详解】因为a 与b 是单位向量，所以1a b ==，()222222339696cos120a b a ba b a b a b a b -=-=+-⋅=+-119611132⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以313a b -=.【点睛】本题主要考查了向量的模的求法，属于基础题.14．在钝角ABC 中，已知2a =，4b =，则最大边c 的取值范围是__________．【答案】【解析】利用三角形三边大小关系、余弦定理即可得出． 【详解】因为三角形两边之和大于第三边，故6c a b <+=．22224cos 0224c C +-=<⨯⨯，解得c >c ∴∈．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边大小关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=，则sin β的值为 .【答案】6365【解析】【详解】0πβα-<-<，又因为()5cos 013βα-=>，所以02πβα-<-<，12sin()13βα-==-， 因为3tan 4α=-，得3sin cos 4αα=-代入22sin co 2s 1,παπαα+=<<，所以sin 0,cos 0αα><，解得34sin ,cos 55αα==-， sin sin[()]sin cos()cos sin()354126351351365⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：6365. 16．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．【答案】163π【解析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，1133PO BO ==，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得3R =，故21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．已知角θ的终边与单位圆221x y +=在第一象限交于点P ，且点P 的坐标为(3,5)y . （1）求tan θ的值；（2）求22sin (2)cos (4)sin cos πθπθθθ+-+的值. 【答案】(1)43;(2)712. 【解析】（1）利用三角函数的定义,建立关于y 的方程,即可求得y .（2）先利用诱导公式化简,再将已知条件代入即可.【详解】（1）由题得2235)1(=y +,点P 在第一象限所以45y =,所以4tan =3θ. （2）22222241sin (2)cos (4)sin cos tan 173==4sin cos sin cos tan 123πθπθθθθθθθθθ⎛⎫- ⎪+-+--⎝⎭==. 【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义,考查同角的商数关系和诱导公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力,难度较易.18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+.（1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.【答案】（1）1；（2）6【解析】（1）由正弦定理化简已知可求222b c a bc +-=-，由余弦定理可得cos A ，结合B ，可得所求．（2）利用ABC ∆的面积可求b=c=a=b ，从而求得周长．【详解】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得：()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-， ∴2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒. 又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒，∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=.（2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=bc ==由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =.∴ABC 的周长为6.【点睛】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．如图，在三棱锥A BCD -中，BCD ，ABD △均为边长为2的正三角形.（1）若6AC =，求证：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）若22AC =，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）223. 【解析】(1)利用线面垂直判定面面垂直即可；(2)求三棱锥的高，利用体积公式计算即可.【详解】取BD 边中点O ，连接AO ，CO ，∵BCD ，ABD △为边长为2的正三角形，∴BD OA ⊥，3OC OA ==∵2226OC OA AC +==，∴OA OC ⊥，OCBD O =，BD ⊂面BCD ， ∴OA ⊥平面BCD ，∵OA ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥BCD .（2）∵BD OC ⊥，BD OA ⊥，且OAOC O =，OC ，OA ⊂面AOC ， ∴BD ⊥平面AOC .在AOC △中，3OA OC ==22AC = ∴()()221223222AOC S =⨯-=△11222233A BCD AOC V S BD -=⨯⨯==△.【点睛】本题考查了面面垂直的判定和三棱锥的体积，属于中档题.20．已知函数()ππcos 2cos cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）最小正周期πT =，对称轴方程为ππ32k x =+，k ∈Z ；（2）2⎡⎤⎣⎦. 【解析】（1）先将()f x 化简，再利用周期公式以及()sin y A ωx φ=+的性质求对称轴即可.（2）由（1）得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出π26x -的范围，进一步求出πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可得()f x 的值域. 【详解】()222222f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()222cos sin x x x --2cos 2x x =-π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 由ππ2π62x k -=+，得对称轴方程为ππ32k x =+，k ∈Z . （2）∵ππ122x -≤≤，∴ππ5π2366x -≤-≤，由正弦函数的图象πsin 216x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴()f x 的值域是2⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了三角函数的周期，对称轴和值域，涉及两角和差的余弦公式，二倍角公式，辅助角公式，属于中档题.21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.【答案】（1）3π；（2）( 【解析】（1）由题结合余弦定理得角C 的值；（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===得2a b A B -=-，利用三角恒等变换得A 的函数即可求范围【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=， 由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==， 又∵(0,)C π∈，∴3C π=. （2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===，即,a A b B ==，∴2a b A B -=2sin()3A A π=-2cos A A A =--12cos cos )4sin()26A A A A A π=-=-=-， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则62A ππ<<即0A 63ππ<-<，所以，0sin()6A π<-<即04sin(-)6A π<<， 综上2a b -的取值范围为(0,.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，注意锐角三角形的应用，准确计算是关键，是中档题。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷A卷
辽宁省沈阳市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若角α是第二象限的角，则是（）A . 第一象限或第二象限的角B . 第一象限或第三象限的角C . 第二象限或第四象限的角D . 第一象限或第四象限的角2. （2分）把77化成四进制数的末位数字为（）A . 4B . 3C . 2D . 13. （2分）(2017·厦门模拟) 某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款餐的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高三上·威海期末) 设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．A . ②③B . ③④C . ②④D . ①④5. （2分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）A . 9B . 8C . 10D . 76. （2分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则可输入x的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分）已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且2α∈[0，2π），则tanα等于（）A .B . -C .D . -8. （2分）某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：零件数x（个）102030加工时间y（分钟）213039现已求得上表数据的回归方程=x+中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A . 84分钟B . 94分钟C . 102分钟D . 112分钟9. （2分）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·三原期中) ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）设函数的图像关于直线对称，且它的最小正周期为，则（）A . f(x)的图像经过点B . f(x)在区间上是减函数C . f(x)的图像的一个对称中心是D . f(x)的最大值为A12. （2分）已知函数，，则y=f(x)与图像在区间内交点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知多项式p(x)=3x5+9x4+x3+kx2+4x+11当x=3时的值为1616,则k=________.14. （1分） (2017高一下·苏州期末) 若数据x1 ， x2 ，…，x8的方差为3，则数据2x1 ， 2x2 ， ..，2x8的方差为________．15. （1分） (2016高二上·上海期中) 如图，根据如图的框图所打印出数列的第四项是________16. （1分）(2017·重庆模拟) 已知函数f（x）=Asin（x+ ），且f（π）= ，则A的值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）求值：．18. （5分）由程序框图写出程序．19. （15分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)m p[25,30]20.05合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．20. （5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+θ）+1，（A＞0，0＜θ＜π），振幅为1，图象两个相邻最高点间距离为π，图象的一条对称轴方程为x=，若将f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位得到函数g （x）图象．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若，试判断△ABC的形状．21. （15分） (2017高一下·广东期末) 已知圆C的方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）求m的取值范围；（2）若圆C与直线3x+4y﹣6=0交于M、N两点，且|MN|=2 ，求m的值；（3）设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．22. （15分） (2019高二下·安徽期中) 已知函数，x R其中a>0.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(-3,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t),记,求函数g(t)在区间[-4,-1]上的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
辽宁省六校协作体 高一下册第二学期期中考试数学(理)试卷word版有答案【推荐】
2019-2020学年度下学期省六校协作体高一期中考试数学试题(理)第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知集合2{2530}A x x x =--≤，{2}B x Z x =∈≤，则A B =I ( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．sin18sin 78cos162cos78⋅-⋅o o o o 等于( )A ．12B ．12- C ．32 D ．32-3．已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ，=，且()a b b +⊥r r r ，则m =（ ）A ．8-B ．6-C ．6D ．84.已知函数12log ,1()236,1xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩，则1(())2f f =（）A ．3B ． 4C ．3-D ．4-5.若直线()()1:120l x m y m +++-=与直线2:280l mx y ++=互相平行，则m 的值是（） A ．1m =或2m =- B ．1m =C ．2m =-D ．m 的值不存在6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．340003cmB ．380003cmC ．32000cmD ．34000cm7．若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．79B ．23C ．23-D ．79-8．若把函数sin y x ω=图像向左平移3π个单位，则与函数cos y x ω=的图像重合，则ω的值可能是（）A ．13 B ．12 C ．23D ．329．已知tan 222α=-，且满足42ππα<<，则22cos sin 122sin 4ααπα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．322-+ B ．322- C ．2- D ．210．已知,a b r r 是单位向量，0=⋅b a ρρ，若向量c r 满1,c a b c --=r r r r 则的取值范围是（）A ．2121⎡⎤-+⎣⎦， B ．21,22⎡⎤-+⎣⎦C ．121⎡⎤+⎣⎦，D ．12+2⎡⎤⎣⎦，11．若偶函数()f x 在区间[1,0]-上是增函数，,αβ是锐角三角形的两个内角，且αβ≠，则下列不等式中正确的是( )A ．(cos )(cos )f f αβ>B ．(sin )(cos )f f αβ>C ．(sin )(sin )f f αβ>D ．(cos )(sin )f f αβ>12．若ABC △外接圆的半径为1，圆心为O ，20OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r 且||||OA AB =u u u r u u u r ,则CA CB ⋅u u u r u u u r等于（）A ．32 B ．3 C ．23 D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。
三校联合体2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
三校联合体2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）考试时间：2020年4月25日8：00-10：00试卷满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1.已知，，且，则（）A. 9B.C. 1D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理，得到，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量，，因为向量，所以，解得.故选A．【点睛】本题考查了向量的共线定理的坐标运算，其中解答中熟记向量的共线定理的坐标运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.若，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】【分析】利用在方向上的投影公式即可得到答案．【详解】因为，和的夹角为30°所以在方向上的投影为.故答案选C【点睛】本题考查向量投影的公式，属于基础题．3.在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( )A. B. C. D. 1【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得，故选B．考点：正弦定理的应用4.在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则( )A. 84B. 72C. 33D. 189【答案】A【解析】分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.详解：设等比数列的公比为，首项为3，前三项的和为，，解之得或，在等比数列中，各项都为正数，公比为正数，舍去），，故选A.点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.5.在中，，，，则的值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由垂直关系可知数量积为零，由数量积坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，即，，解得：.故选：.【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则数量积为零.6.已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理得，化简得，故.点睛：本题主要考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值，由此求得的大小.7.下列命题正确的是（）A. 若，则；B. ，则；C. 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；D. 若与是单位向量，则.【答案】B【解析】【分析】由为零向量可排除；由向量数量积定义可知错误；由向量数量积的运算律可知正确.【详解】对于，若为零向量，则未必成立，错误；对于，若，则，，则，正确；对于，若为零向量，则与未必是共线向量，错误；对于，若与夹角不是，则，错误.故选：.【点睛】本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到向量相等、向量共线、平面向量数量积的运算等知识，是对平面向量部分基础知识的综合考查.8.如图，在中，为线段上的一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据得到，根据题中条件，即可得出结果.【详解】由已知得，所以，又，所以，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.9.已知中，，，，则的面积为（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由余弦定理得：，解得：，.故选：.【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理构造方程求得，属于基础题.10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】C【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列11.一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 ( )A. 5海里/时B. 海里/时C. 10海里/时D. 海里/时【答案】C【解析】【分析】在中，计算得到，，在计算得到，得到答案.【详解】如图依题意有,,∴,从而,在中,求得,∴这艘船的速度是 (海里/时)【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.12.已知函数，则（）A. 2018B. 2019C. 4036D. 4038【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式可验证出，采用倒序相加法可求得结果.【详解】，，令，则，两式相加得：，.故选：.【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定为常数.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在中，若，且，则为______三角形.（直角、锐角、或钝角）【答案】锐角【解析】【分析】将已知不等式配凑成余弦定理的形式，得到，从而确定为锐角；根据三角形大边对大角原则，可知为最大内角，由此确定结果.【详解】，，即，，又，，为锐角三角形.故答案：锐角.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形形状的问题，涉及到三角形大边对大角原则的应用.14.若向量、满足，，且与的夹角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义可求得，根据数量积的运算律可求得结果.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量数量积的定义和运算律的应用，属于基础题.15.数列的前ｎ项的和Sn =3n2+ n+1，则此数列的通项公式a n=_______.【答案】【解析】试题分析：当时，当时，综上可知数列通项公式为考点：数列求通项16.已知平面上不重合的四点满足，且，那么实数的值为______.【答案】【解析】【分析】当三点不共线时，根据向量的线性运算可求得，进而由可求得；若三点共线，由可求得；综合两种情况可得结果.【详解】若三点不共线，构造成，设中点为，，，，，；若三点共线，则，；综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的线性运算问题的求解，关键是能够利用已知等式得到向量数乘运算的形式.三、解答题：（本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求与向量，夹角相等的单位向量的坐标.【答案】或【解析】【分析】设，由向量夹角运算和模长运算可构造方程组求得，进而求得结果.【详解】设，则，与夹角相等，，，，又，或，或.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量的夹角运算和模长运算，属于基础题.18.设的内角所对边分别为，且有（1）求角的大小；（2）若，为中点，求的长．【答案】（1）A＝；（2）.【解析】【分析】（1）对等式右边使用正弦两角和公式，化简可得；（2）用余弦定理求出,利用已知数据得,在直角三角形中利用勾股定理求解.【详解】解（1）由题设知，因为，所以由于，故（2）因为，所以，所以.因为为中点，所以所以【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．19.已知等差数列满足：，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 通项公式为或;(2) 当时，不存在满足题意的正整数；当时，存在满足题意的正整数，其最小值为.【解析】【详解】（1）依题意，成等比数列，故有，∴，解得或.∴或.（2）当时，不存在满足题意的正整数；当，∴.令，即，解得或（舍去），∴最小正整数.20.已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：⑴由得到，进而得到；⑵求出，推出，利用裂项法求解数列的和即可；解析：（1）∵，∴，∴，∴数列是等差数列.（2）由（1）知，所以，∴，21.在中，内角对边分别为，且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑出，进而求得结果；（2）利用诱导公式、两角和差和二倍角公式可化简已知等式得到，分别在和的情况下求得的面积，从而得到结果.【详解】（1）由正弦定理得：，，，，；（2），，，，，，当，即时，，，；当时，，由正弦定理得：，，，则，；综上所述：的面积为.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用；同时涉及到三角恒等变换中的两角和差公式和二倍角公式的应用，属于常考题型.22.己知各项均为正数数列{}满足(N*),且是的等差中项.(I)求数列{}的通项公式;(II)若,求使成立的正整数n的最小值.【答案】(I) ；(II) 5【解析】【分析】(I)根据递推公式化简即可证明数列{}为等比数列,再求解通项公式即可.(II)求得再求得后利用错位相减求解判断即可.【详解】(I),因为数列{}各项均为正数,故,.所以{}是以公比为2的等比数列.又是的等差中项,故,即.故(II) .故…①所以…②②①得,要即，故使成立的正整数n的最小值为5.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求解通项公式的方法以及错位相减的求和方法等,属于中等题型.三校联合体2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）考试时间：2020年4月25日8：00-10：00试卷满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1.已知，，且，则（）A. 9B.C. 1D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理，得到，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量，，因为向量，所以，解得.故选A．【点睛】本题考查了向量的共线定理的坐标运算，其中解答中熟记向量的共线定理的坐标运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.若，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】【分析】利用在方向上的投影公式即可得到答案．【详解】因为，和的夹角为30°所以在方向上的投影为.故答案选C【点睛】本题考查向量投影的公式，属于基础题．3.在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( )A. B. C. D. 1【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得，故选B．考点：正弦定理的应用4.在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则( )A. 84B. 72C. 33D. 189【答案】A【解析】分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.详解：设等比数列的公比为，首项为3，前三项的和为，，解之得或，在等比数列中，各项都为正数，公比为正数，舍去），，故选A.点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.5.在中，，，，则的值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由垂直关系可知数量积为零，由数量积坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，即，，解得：.【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则数量积为零.6.已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理得，化简得，故.点睛：本题主要考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值，由此求得的大小.7.下列命题正确的是（）A. 若，则；B. ，则；C. 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；D. 若与是单位向量，则.【答案】B【解析】【分析】由为零向量可排除；由向量数量积定义可知错误；由向量数量积的运算律可知正确.【详解】对于，若为零向量，则未必成立，错误；对于，若，则，，则，正确；对于，若为零向量，则与未必是共线向量，错误；对于，若与夹角不是，则，错误.【点睛】本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到向量相等、向量共线、平面向量数量积的运算等知识，是对平面向量部分基础知识的综合考查.8.如图，在中，为线段上的一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据得到，根据题中条件，即可得出结果.【详解】由已知得，所以，又，所以，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.9.已知中，，，，则的面积为（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由余弦定理得：，解得：，.故选：.【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理构造方程求得，属于基础题.10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】C【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列11.一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 ( )A. 5海里/时B. 海里/时C. 10海里/时D. 海里/时【答案】C【解析】【分析】在中，计算得到，，在计算得到，得到答案.【详解】如图依题意有,,∴,从而,在中,求得,∴这艘船的速度是 (海里/时)【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.12.已知函数，则（）A. 2018B. 2019C. 4036D. 4038【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式可验证出，采用倒序相加法可求得结果.【详解】，，令，则，两式相加得：，.故选：.【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定为常数.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在中，若，且，则为______三角形.（直角、锐角、或钝角）【答案】锐角【解析】【分析】将已知不等式配凑成余弦定理的形式，得到，从而确定为锐角；根据三角形大边对大角原则，可知为最大内角，由此确定结果.【详解】，，即，，又，，为锐角三角形.故答案：锐角.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形形状的问题，涉及到三角形大边对大角原则的应用.14.若向量、满足，，且与的夹角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义可求得，根据数量积的运算律可求得结果.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量数量积的定义和运算律的应用，属于基础题.15.数列的前ｎ项的和Sn =3n2+ n+1，则此数列的通项公式a n=_______.【答案】【解析】试题分析：当时，当时，综上可知数列通项公式为考点：数列求通项16.已知平面上不重合的四点满足，且，那么实数的值为______.【答案】【解析】【分析】当三点不共线时，根据向量的线性运算可求得，进而由可求得；若三点共线，由可求得；综合两种情况可得结果.【详解】若三点不共线，构造成，设中点为，，，，，；若三点共线，则，；综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的线性运算问题的求解，关键是能够利用已知等式得到向量数乘运算的形式.三、解答题：（本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求与向量，夹角相等的单位向量的坐标.【答案】或【解析】【分析】设，由向量夹角运算和模长运算可构造方程组求得，进而求得结果.【详解】设，则，与夹角相等，，，，又，或，或.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量的夹角运算和模长运算，属于基础题. 18.设的内角所对边分别为，且有（1）求角的大小；（2）若，为中点，求的长．【答案】（1）A＝；（2）.【解析】【分析】（1）对等式右边使用正弦两角和公式，化简可得；（2）用余弦定理求出,利用已知数据得,在直角三角形中利用勾股定理求解.【详解】解（1）由题设知，因为，所以由于，故（2）因为，所以，所以.因为为中点，所以所以【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．19.已知等差数列满足：，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 通项公式为或;(2) 当时，不存在满足题意的正整数；当时，存在满足题意的正整数，其最小值为.【解析】【详解】（1）依题意，成等比数列，故有，∴，解得或.∴或.（2）当时，不存在满足题意的正整数；当，∴.令，即，解得或（舍去），∴最小正整数.20.已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：⑴由得到，进而得到；⑵求出，推出，利用裂项法求解数列的和即可；解析：（1）∵，∴，∴，∴数列是等差数列.（2）由（1）知，所以，∴，21.在中，内角对边分别为，且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑出，进而求得结果；（2）利用诱导公式、两角和差和二倍角公式可化简已知等式得到，分别在和的情况下求得的面积，从而得到结果.【详解】（1）由正弦定理得：，，，，；（2），，，，，，当，即时，，，；当时，，由正弦定理得：，，，则，；综上所述：的面积为.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用；同时涉及到三角恒等变换中的两角和差公式和二倍角公式的应用，属于常考题型.22.己知各项均为正数数列{}满足(N*),且是的等差中项.(I)求数列{}的通项公式;(II)若,求使成立的正整数n的最小值.【答案】(I) ；(II) 5【解析】【分析】(I)根据递推公式化简即可证明数列{}为等比数列,再求解通项公式即可.(II)求得再求得后利用错位相减求解判断即可.【详解】(I),因为数列{}各项均为正数,故,.所以{}是以公比为2的等比数列.又是的等差中项,故,即.故(II) .故…①所以…②②①得,要即，故使成立的正整数n的最小值为5.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求解通项公式的方法以及错位相减的求和方法等,属于中等题型.。
辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高一下学期期末考试+数学含答案
2019－2020学年度下学期沈阳市郊联体期末考试高一试题数学考试时间：120分钟试卷总分：150分注意事项：本试卷由第I 卷和第II 卷组成。
第I 卷为选择题部分，一律用2B 铅笔按题号依次填涂在答题卡上：第II 卷为非选择题，按要求答在答题卡相应位置上。
第I 卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a 的值是A.4B.－3C.433D.－4332.已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x)，且a ⊥b，则由x 的值构成的集合是A.{2，3}B.{－1，6}C.{2}D.{6}3.如图，正方形O'A'C'B'的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积2B.24C.2(1＋3)D.64.已知0<α<π，2sin2α＝sinα，则sin(α－2π)＝A.－154B.－14C.154 D.145.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA ＝12，a 3，则a b c sinA sinB sinC++++＝A.12B.323D.26.在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为A.2003B.100mC.4003D.90m7.在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝2，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=A.0B.4C.94D.－948.若将函数f(x)＝2sin(x ＋6π)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向下平移一个单位得到的函数g(x)的图象，函数g(x)A.图象关于点(－12π，0)对称 B.最小正周期是2πC.在(0，6π)上递增 D.在(0，6π)上最大值是19.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m ⊥l 的所有序号是①m ⊥α，l ⊥β，α⊥β；②m ⊥α，l //β，α//β；③m ⊂α，l ⊥β，α//β；④m ⊂α，l //β，α⊥βA.①②③B.①②C.②③④D.③④10.△ABC 中，若sin(A ＋B －C)＝sin(A －B ＋C)，则△ABC 必是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形11.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)，若f(x)在[0，23π]上恰有两个零点，则ω的取值范围是A.(1，52) B.[1，52) C.(52，4) D.[52，4)12.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1，点P 是线段BC 1上的动点，则CP ＋PA 1的最小值为＋1 D.6第II 卷(非选择题90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷A卷
辽宁省沈阳市 2019-2020 年度高一下学期数学期中考试试卷 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 若△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，则（）A.B. C.D. 2. （2 分） (2019 高三上·汉中月考) 已知等差数列 的首项为 1，且 A.2 B.3 C.4 D.0，则（）3. （2 分） 设向量 =（1， ）与 =（-1，2 ）垂直，则等于 （ ）A. B. C.0 D . -1 4. （2 分） (2017 高二下·河南期中) 在△ABC 中，A、B、C 是三角形的三内角，a、b、c 是三内角对应的三 边，已知 acosB=bcosA，△ABC 的形状（ ）第1页共9页A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形5. （2 分） (2018 高二上·长安期末) 已知正四面体 ABCD 的棱长为 a ， 点 E ， F 分别是 BC ， AD 的中点，则的值为（ ）A . a2B . a2C . a2D . a2 6. （2 分） 在 A . 钝角三角形 B . 直角三角形 C . 锐角三角形 D . 不能确定中，若，则的形状是（ ）7. （2 分） (2018 高一下·宁夏期末) 已知 ， 为锐角，且，，则（）A.B.C.D.第2页共9页8. （2 分） (2017·西宁模拟) 已知平面向量 =（﹣2，m）， = 实数 m 的值为（ ），且（ ﹣ ）⊥ ，则A.B.C.D.9. （2 分） (2019 高三上·西湖期中) 已知等差数列最大项为 ，，则（）的前 项和 满足A.B.C.D.且的10. （2 分） 设 、 为向量，则“ ”是“ 、 的夹角是锐角”的（ ）条件． A . 充分不必要 B . 必要不充分 C . 充分必要 D . 既不充分也不必要二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)11. （1 分） (2017·山东) 已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若，则 λ=________．12. （1 分） (2017 高二下·瓦房店期末) 在中，若则三角形第3页共9页，三角形的面积，外接圆的半径为________．13. （1 分） (2019·大庆模拟) 已知函数，则________．14. （ 1 分 ） (2019 高 三 上 · 西 湖 期 中 ) 已 知的外接圆圆心为 O ，，，若 15. （1 分） (2018·南充模拟) 在 的面积为________．（ 为实数）有最小值，则参数 的取值范围是________.中，，， 边上的中线，则16. （1 分） 数列{an}满足 a1=1，且 an+1-an=n+1(n N*)，则数列{ }的前 10 项和为 ________ 。