江西省临川一中高三高考压轴卷 数学理 含答案
2020年江西省抚州市临川一中高考数学模拟试卷(理科)(5月份) (含答案解析)
2020年江西省抚州市临川一中高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，复数z1对应的点是z1(1,1)，z2对应的点是z2(1,−1)，则z1z2=()A. 0B. iC. 1D. 1+i2.已知集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=()A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}3.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9=10，则S12=()A. 30B. 45C. 60D. 1204.定义域为R的偶函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x−4)，且x∈[−52,0]时，f(x)=−x2，则f(2016)+f(92)的值等于()A. −54B. −34C. 34D. 545.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(3,a)，B(4,b)，且角α终边不在直线y=x上，若，则|a−b|=()A. 1B. 15C. 13D. 126.2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石．许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是()A. 茎叶图B. 分层抽样C. 独立性检验D. 回归直线方程7.如图给出的计算1+12+13+⋯+12014的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是()A. i≤2014B. i>2014C. i≤2013D. i>20138.已知实数x，y满足约束条件{x−y−1≥0,x−2y−2≥0,y<0,，则x−3y的取值范围是()A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)9.函数f(x)=lg(|x|+x2)(|x|−1)x的图象大致为()A. B.C. D.10.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F，6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为()A. 36种B. 48种C. 56种D. 72种11.已知F1，F2为椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=3|PF2|，则cos∠F1PF2等于()A. 34B. −13C. −35D. 4512.函数f(x)=3x−x3在区间(a2−12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A. (−1,√11)B. (−1,2]C. (−1,4)D. (−1,4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为______ ．14.已知n=∫1x dxe6 1，那么(x−3x)n展开式中含x2项的系数为________．15.已知三棱锥P−ABC的4个顶点都在球O的球面上，若|AC|=4，∠ABC=30°，PA⊥平面ABC，PA=6，则球O的表面积为______ ．16.双曲线x2−y23=1的右焦点F，点P是渐近线上的点，且|OP|=2，|PF|=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，cos∠DAB =−14，AD AB =23，BD =4，AB ⊥BC ．(1)求sin∠ABD 的值;(2)若∠BCD =π4，求CD 的长．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，Q 为AD 的中点，点M 在线段PC 上，MC =2PM ．(Ⅰ)求证：PA//平面MQB ；(Ⅱ)若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA =PD =AD =2，求二面角M −BQ −C 的大小．19. 为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高校入驻设园区．为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调盘，8个学院的调查人数及统计数据如下： 调查人数(x)1020 30 40 50 60 70 80 愿意整体搬迁人数(y)817 25 31 39 47 55 66(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归方程 y =b x+a ( b 保留小数点后两位有效数字)：若该校共有教职员工2500人，请预测该校 愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数：(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴研发区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X 的分布列及数学期望 参考公式及数据：， a =y−b ⋅x ，∑x i y i 8i=1=16310，∑x i 28i=1=2040020. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF =5． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆M 的圆心M(−78,0)，半径为r.点P 为椭圆上的一点，若圆M 与直线PA,PF 都相切，求此时圆M 的半径r ．21. 已知函数f(x)=e 2x −2e x −4x ．(1)求f(x)的单调区间；(2)当x >0时，af(x)<e x −(4a +1)x 恒成立，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t(t 为参数)，曲线C 1：为参数)．(1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．(2)若曲线C2:θ=π323.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|的解集；x(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵复数z1对应的点是z1(1,1)，z2对应的点是z2(1,−1)，∴z1=1+i，z2=1−i，则z1z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i．故选：B．利用复数的几何意义可得z1=1+i，z2=1−i，再利用复数的乘除运算化简即可得出．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：A解析：本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．3.答案：C解析：本题考查了等差数列的性质与求和公式，属于基础题．利用等差数列的性质与求和公式即可得出．解：由等差数列的性质可得：S12=(a1+a12)×122=6×(a4+a9)=60．故选C．4.答案：A解析：本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用问题，也考查了求函数值的应用问题，是中档题． 根据题意，得出f(x)是周期为5的函数，再根据f(x)=−x 2，即可求出f(2016)+f(92)的值． 解：∵偶函数y =f(x)(x ∈R)，满足f(x +1)=f(x −4)， ∴f(x +4+1)=f(x +4−4)，∴f(x +5)=f(x)∴f(x)的周期是5， ∵x ∈[−52,0]时，f(x)=−x 2，设x ∈[0,52]时，则−x ∈[−52,0]，∴f(−x)=−(−x)2=−x 2=f(x)，∴f(x)=−x 2，∴f(2016)+f(92)=f(403×5+1)+f(10−12) =f(1)+f(−12)=−1−14=−54． 故选：A ． 5.答案：C解析：本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义求出tanα=b −a ，且b −a ≠1，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求出tanα的值，可得|a −b|的值．解：由题意可得tanα=b−a 4−3=b −a ，且b −a ≠1， 若=1−tan 2α1+tan 2α+tanα1+tan 2α=12，解得tanα=−13或tanα=1(舍去)，即|a −b|=13，故选：C ． 6.答案：C解析：解：在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，可得：K2=5000×(1560×1252−1200×988)22548×2452×2760×2240=83.88>10.828，故有理由“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，故利用独立性检验的方法最有说服力，故选：C．这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+12+13+14+⋯，根据输出S=1+12+13+⋯+12014，∴i=2015时，程序运行终止，∴条件应为：i≤2014或i<2015．故选：A．根据输出S=1+12+13+⋯+12014，得i=2015时，程序运行终止，可得条件应为：i≤2014或i<2015．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.答案：A解析：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出z的取值范围即可．解：作出不等式组{x−y−1≥0x−2y−2≥0y<0对应的平面区域如图：令z =x −3y ，则化为直线y =x 3−z 3，当直线y =x 3−z 3过点A(2,0)时，截距最大，则z 值最小，z min =2−3×0=2，因为平面区域不包含点A ，所以x −3y 的取值范围是(2,+∞)，故选A ． 9.答案：A解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x =−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．10.答案：D解析：本题考查计数原理和排列问题，属于基础题．依题意，领导和队长站两端有A22种排法，其余5人分两种情况讨论，进行求解即可．解：领导和队长站两端有A22种排法，其余5人分两种情况讨论，BC相邻且与D相邻，A22A33种排法，BC相邻且与D不相邻A22·A22·A32种排去，所以共有A22(A22A33+A22·A22·A32)=72种，故选D．11.答案：B解析：解：由椭圆C： x24+y2=1，得a2=4，b2=1，则a=2,c=√a2−b2=√3，设|PF1|=3|PF2|=3m，则根据椭圆的定义，可得3m+m=4，∴m=1，∴|PF1|=3，|PF2|=1，∵|F1F2|=2c=2√3．∴cos∠F1PF2=32+12−(2√3)22×3×1=−13．故选：B．根据椭圆的定义，结合|PF1|=3|PF2|，求出|PF1|=3，|PF2|=1，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．本题考查椭圆的性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．12.答案：B解析：∵f′(x)=3−3x2=3(1−x)(1+x)，当x∈(−∞,−1)或x∈(1,+∞)时，f′(x)<0；当x∈(−1,1)时，f′(x)>0，所以函数f(x)=3x−x3在区间x=−1时，有极小值f(−1)=−2，又由3x−x3=−2，解得x=−1或x=2，a2−12<−1，−1<a≤2，a2−12<a，所以函数f(x)=3x−x3在区间(a2−12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是(−1,2]故选B.13.答案：π3解析：解：设夹角为θ，∵ a⃗⃗⃗ ⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cosθ，∴1=2cosθ∴cosθ=12，即θ=π3．故答案为：π3．根据向量的数量积计算即可．本题主要考查了向量的数量积，属于基础题．14.答案：135解析：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．先求定积分得出n的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解：因为n=∫1x dxe61=lnx|1e6=lne6−ln1=6，所以(x−3x )n=(x−3x)6，其展开式的通项为T r+1=C6r x6−r(−3x )r=(−3)r C6r x6−2r，令6−2r=2，得r=2，所以含x2项的系数为(−3)2C62=135．故答案为135．15.答案：100π解析：解：△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，M为三角形ABC外接圆圆心，底面三角形ABC 的外接圆的半径为：AM =42×12=4，AP 是球的弦，PA =6，∴OM =12PA =3，∴球的半径OA =√42+32=5． 该球的表面积为：4πOA 2=100π． 故答案为：100π．通过底面三角形ABC 求出底面圆的半径AM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出半径，即可求解取得表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．16.答案：2或2√3解析：解：双曲线的渐近线方程为y =±√3x∵|OP|=2，∴P(1,√3)或P(1,−√3)或P(−1,√3)或P(−1,−√3)共四个点， ∵F(2,0)，∴|PF||=2或|PF|=2√3． 故答案为：2或2√3．求出双曲线的渐近线方程，利用|OP|=2，可得P 的坐标，即可求出|PF|． 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定P 的坐标是关键．17.答案：解：(Ⅰ)因为AD AB =23，所以设AD =2k ，AB =3k ，其中k >0，在△ABD 中，由余弦定理，BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠DAB ， 所以16=4k 2+9k 2−2×2k ×3k ×(−14)，解得k =1，则AD =2， 而sin∠DAB =√1−(−14)2=√154，在△ABD 中，由正弦定理，sin∠ABD =ADBDsin∠DAB =24×√154=√158． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，sin∠ABD =√158，而AB ⊥BC ，则sin∠CBD =sin(π2−∠ABD)=cos∠ABD =(√158)=78，在△BCD 中，∠BCD =π4，由正弦定理，CD =sin∠CBDsin∠BCD BD =78√22×4=7√22．解析：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，诱导公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，考查了运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)设AD =2k ，AB =3k ，其中k >0，在△ABD 中，由余弦定理解得k =1，则AD =2，可求cos∠DAB ，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠DAB ，利用正弦定理可求sin∠ABD 的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，sin∠ABD =√158，利用诱导公式可求sin∠CBD ，由∠BCD =π4，根据正弦定理可求CD 的值．18.答案：(Ⅰ)证明：连接AC 交BQ 于点N ，连接MN ，∵AQ//BC ，∴ANNC =AQBC =0.5， ∵2PM =MC ，∴PM MC =0.5， ∴PM MC=AN AC，∴在△PAC 中，MN//PA ，∵MN ⊂平面MQB ，PA 不包含于平面MQB ， ∴PA//平面MQB;(Ⅱ)解：∵PQ ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ．以Q 为坐标原点，分别一QA ，QB ，QP 所在的直线为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Q −xyz ．∵PA =PD =2，∴A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,0,√3)． 设平面MQB 的方向量为n⃗ =(x,y,z)， 由PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)QB =(0,√3,0)， 且n ⃗ ⊥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得：{x −√3z =0√3y =0， 令z =1，得x =√3，y =0∴n ⃗ =(√3,0,1)为平面MQB 的一个方向量． 取平面ABCD 的方向量为m⃗⃗⃗ =(0,0,1)则，故二面角M −BQ −C 大小为60°．解析：(Ⅰ)连接AC 交BQ 于点N ，连接MN ，由已知条件推导出MN//PA ，由此能证明PA//平面MQB ． (Ⅱ)以Q 为坐标原点，分别一QA ，QB ，QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M −BQ −C 大小．本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.答案：解：(Ⅰ)由已知有x −=18(10+20+30+40+50+60+70+80)=45，y −=18(8+17+25+31+39+47+55+66)=36，b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2≈0.80，a =36−0.80×45=0，变量y 关于变量x 的线性回归方程为y ̂=0.80x ， ∴当x =2500时，y =2500×0.8=2000； (Ⅱ)由题意得X 的可能取值有1，2，3，4， P(X =1)=C 51C 33C 84=114， P(X =2)=C 52C 32C 84=37，P(X =3)=C 53C 31C 84=37， P(X =4)=C 54C 84=114，∴X 的分布列为： X 1 2 3 4 P1143737114E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52．解析：本题考查线性回归方程的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查回归直线方程、离散型随机事件的分布列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)求出x −，y −，从而b ̂≈0.80，由此能求出变量y 关于变量x 的线性回归方程，进而能预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；(Ⅱ)由题意得X 的可能取值有1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．20.答案：解：(1)∵椭圆离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF =5. ∴{ca=14a +c =5，解得：{a =4c =1 ，∴b 2=15 ， ∴椭圆C 的方程为：x 216+y 215=1 . (2)由题意得：A(−4,0),F(1,0)，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，则x 0216+y 0215=1．①当x 0=1时，直线PF:x =1，与圆M 相切，则R =1−(−78)=158，不妨取P(1,154)，直线PA:y =1541−(−4)(x +4)，即3x −4y +12=0． ∴点M 到直线PF 的距离为|3×(−78)+12|√32+42=158=r ，∴直线PF 与圆M 相切∴当r =158时，圆M 与直线PA,PF 都相切. ②当x 0=−4时，点P 与点A 重合，不符合题意；③当x 0≠1且x 0≠−4时，直线PA:y =y 0x 0+4(x +4),PF:y =yx 0−1(x −1)化简得：PA:y 0x −(x 0+4)y +4y 0=0,PF:y 0x −(x 0−1)y −y 0=0， ∵圆M 与直线PA,PF 都相切 ∴|−78y +4y |0202=|−78y −y |0202=r .∵y 0≠0，又y 02=15(1−x 0216)代入化简得：x 02−122x 0+121=0，解得：x 0=1或x 0=121，∵−4<x 0<4且x 0≠1， ∴无解 ． 综上：r =158.解析：本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及直线与椭圆的位置关系，题目有难度． (1)由已知，{ca=14a +c =5，解得：{a =4c =1 ，∴b 2=15 ，可得椭圆的标准方程； (2)设点P 的坐标为(x 0,y 0)，讨论x 0的取值，求得直线PA,PF 的方程， 若圆M 与直线PA,PF 都相切，求得圆心M 与直线直线PA,PF 的距离，求得r ．21.答案：解：(1)f(x)=e 2x −2e x −4x ，则f ′(x)=2e 2x −2e x −4=2(e x +1)(e x −2)．当x ∈(−∞,ln2)时，f ′(x)<0，当x ∈(ln2,+∞)时，f ′(x)>0， ∴f(x)的单调减区间为(−∞,ln2)，单调增区间为(ln2,+∞)； (2)令g(x)=af(x)−e x +(4a +1)x=ae 2x −2ae x −4ax −e x +4ax +x=ae 2x −(2a +1)e x +x ．由题意可得，当x ∈(0,+∞)时，g(x)<0恒成立． g ′(x)=(2ae x −1)(e x −1)，①当0<a <12，x ∈(−ln2a,+∞)时，g ′(x)>0恒成立，∴g(x)在(−ln2a,+∞)上为增函数，且g(x)∈(g(−ln2a),+∞)，不合题意； ②当a ≥12，x ∈(0,+∞)时，g ′(x)>0恒成立，∴g(x)在x ∈(0,+∞)上为增函数，且g(x)∈(g(0),+∞)，不合题意； ③当a ≤0时，∵x ∈(0,+∞)，∴g ′(x)<0恒成立，故g(x)在(0,+∞)上为减函数，于是g(x)<0对于任意x ∈(0,+∞)恒成立的充要条件是g(0)≤0． 即a −(2a +1)≤0，解得a ≥−1． 故−1≤a ≤0．综上，a 的取值范围是[−1,0]．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，属难题．(1)求出原函数的导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；(2)构造函数g(x)=af(x)−e x +(4a +1)x ，求导可得g ′(x)=(2ae x −1)(e x −1)，然后分0<a <12，a ≥12，a ≤0三类求解即可．22.答案：解：(1)由{x =2ty =12+√3t ，得直线l 的一般方程为√3x −2y +24=0，直线l 的极坐标方程为，曲线C 1的标准方程为x 2+(y −2)2=4，即ρ2−4ρsinθ=0，可得曲线C 1的极坐标方程：ρ=4sinθ；(2)将θ=π3分别代入和得ρA =16√3，ρB =2√3，所以|AB|=|ρA −ρB |=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是基础题． (1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l 和曲线C 1的极坐标方程，求出A ，B 的极径，由|AB|=|ρA −ρB |可得结果．23.答案：解：(1)当x <0时，f(x)>|2x|x等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立；当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀，当x >1时，f(x)>|2x|x等价于{x >1x 2+2x −4>0，∴x >√5−1，综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)．(2)当x ≥1时，f(x)=x 2+2x −2=(x +1)2−3； 当x =1时，f(x)取得最小值为1；当x <1时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1>1， ∴f(x)最小值为1，∴a +b +c =N =1， ∵a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，∴√a 2+b 2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2， 同理2+c 2≥√2(b+c)2,√c 2+a 2≥√2(c+a)2， ∴√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a +b +c)=√2．解析：(1)根据f(x)>|2x|x，分x <0，0<x ≤1和x >1三种情况解不等式即可；(2)先求出f(x)的最小值为1，从而得到a +b +c =N =1，然后根据a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，进一步证明√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
江西省抚州市临川第一中学等2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若21iz i-=+，则z z ⋅=（ ） A. -2 B. 2C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质可知2||z z z ⋅=，直接利用复数模的性质即可求解. 【详解】因为21iz i-=+， 所以|2|510|||1|22i z i -===+ 2105||42z z z ⋅===，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合{}2A x x a =>，{}32B x x a =<-，若A B =∅I，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，A B =∅I 说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。
【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。
4.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞ B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线,即()2f x '=有解，转化为12,0a x x=+>有解即可求出. 【详解】因为函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线， 所以函数()ln f x ax x =-的图象上存在斜率为2的切线， 故()12k f x a x'==-=有解， 所以12,0a x x =+>有解， 因为12,0y x x=+>的值域为(2,)+∞所以(2,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222xyx -> B.()1222log 1x y x ->+ C. 221x y x ->+ D. 221x y x ->-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案. 【详解】A 选项，取2,1x y ==-，不等式不成立； B 选项，0,0x y ><Q22,220x y x y ∴>->0,x >Q∴()12log 10x +<∴()1222log 1x yx ->+故B 正确；C 选项，取1,1x y ==-，不等式不成立，D 选项，当0x →， 21x →，11x -→，当0y <且0y →，21y →，所以220x y -→，而11x -→，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos72BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒．【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC ︒==，251cos1442cos 721+︒=︒-=， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]1,17B. (]1,9C. []1,17D. []1,9【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，(,1]x ∈-∞时，函数为增函数，(1,)x ∈+∞时，函数为增函数，且(1)4,(17)4f f == 所以[1,17]a ∈.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A. (3042]，B. (30,42)C. (42,56]D. (42,56)【答案】A 【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，0212,2S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第二次，2226,3S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第三次，62312,4S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第四次，122420,5S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第五次，202530,6S k =+⨯==，满足条件，继续运行；第六次，302642,7S k =+⨯==，不满足条件，停止运行，输出7． 故判断框内m 的取值范围为3042m <≤．选A ．10.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,]3D. 1(,1)2【答案】C【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅uuu r uuu r uuu u r ，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，即222(12)e a c -≥，22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. ()0,∞+C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由定积分可以求出b , ()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上单调递减可转化为()0g x '≤在[]1,+∞上恒成立即可求解.【详解】由题意，6601cos sin 2|b xdx x ππ===⎰， 所以()22ln g x x x kx =--，因为()22ln g x x x kx =--在[]1,+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[]1,+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[]1,+∞上恒成立，只需14(1)0k h ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得0k ≥.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122a a +=，123n n a S +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 通项公式以及前n 项和n S ，利用二项式展开式化简[]n n b a =，求得2212211n n n n b b a a --+=+-，利用分组求和法求得数列{}n b 的前2n 项和2n T ，由此求得使22000n T >成立的最小正整数n 的值. 【详解】令1n =，得2123a a =+，又122a a +=，解得123a =，243a =，又123n n a S +=+，123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23nn a =，()2213n n S =-.所以01111333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 即011211(1)C 3C 3C (1)3n n n n n n nnnb ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦，即22,321,3n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此()2222213nn n T S n n =-=--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】因为993rr 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则1197S Sa =+______.【答案】32【解析】 【分析】由712a a =-可得12a d =-，利用前n 项和公式及通项公式即可求解. 【详解】因为712a a =-， 所以120a d =-≠，111111011332S a d d ⨯=+=，91989182S a d d ⨯=+=，7164a a d d =+=， 所以11973331842S d S a d d ==++.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是______.2 【解析】 【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 因为CD //BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角， 由条件知，1,2,PE BE PE BE ==⊥，2tan 22PBE ∴∠==. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=-解得2111272||,||22a c a cAF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若4b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，AM =uuu r ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 4A =；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，两边平方可转化为关于c 的方程，求解代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵()cos 4cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=，即sin 4cos sin C A C =， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =.（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由4b =，10AM =uuu r ，1cos 4A =，15sin A =得22124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯，可得216240c c ++=， 解得：4c =或6c =-（舍）， 所以ABC ∆的面积1sin 2152S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，23BC =，26AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【解析】 试题分析：（1）由条件可得ABC ∆为直角三角形，且3cos ABC ∠=故由余弦定理可得22CD =所以222CD AD AC +=，从而CD AB ⊥，又由条件可得CD PD ⊥，故PD ⊥平面ABC ．（2）由,,PD CD AB 两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面PAC 的法向量和平面DEP 的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小． 试题解析：（1）证明：连DE ，由题意知4,2AD BD ==． 222,AC BC AB +=Q90.ACB ∴∠=o∴cos 63BC ABC AB ∠=== 在BCD ∆中，由余弦定理得2222?· cos CD BC BD BC BD DBC ∴=+-∠412228.3=+-⨯⨯=CD ∴=222CD AD AC ∴+=,∴90CDA ∠=o , ∴CD AB ⊥,又因为PAB ABC ⊥平面平面， ∴,CD PAB ⊥平面 又PD ⊂PAB 平面，,CD PD ∴⊥又PD AC ⊥，=AC CD C ⋂， ∴PD ⊥平面ABC ．（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由PA 与平面ABC 所成的角为4π，知4PD =， 则()()()()0,4,0,22,0,0,0,2,0,0,0,4A C B P -∴()()()22,2,0,22,4,0,0,4,4CB AC PA =-==--u u u v u u u v u u u v因为2,2,AD DB CE EB ==//,DE AC ∴由（1）知,AC BC ⊥ PD ⊥平面ABC ， ∴ CB ⊥平面DEP∴()22,2,0CB =-u u u v为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z v=，则,,n AC n PA ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u v v ∴2240440x y y z ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1z =，则2,1x y ==-，∴)2,1,1n =-v为平面PAC 的一个法向量.∴3cos ,2412||n CB n CB n CB ⋅===-⋅u u u v v u u u v vu u v u u u u v 故平面PAC 与平面PDE 3所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30o ． 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2，一个长轴顶点在直线2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，求PQ ，点O 到直线y kx m =+的距离21md k =+，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =，1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x=-=，又点O到直线y kx m=+的距离d=，122OPQS d PQ m∆=⋅⋅=，由于2121212121214y y x x mk kx x x x++⋅===-，可得：22421k m=-，故2212OPQS mm∆=⋅=，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS∆=，故OPQ∆的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）364729；（3）1213n nB B-=-+；322553nnB⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据n 次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，可得递推关系1213n n B B -=-+，构造等比数列求解即可. 【详解】（1）X 可能取值为3，4，5，6()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21321643327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211253327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故其分布列为()5E X =.（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故6611(1)36433172913S -==-.（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，而113B =， 故1213n n B B --=，即1213n n B B -=-+，可得1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，134515B -=-， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭可得322553nn B ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，分布列、期望，等比数列求和，由递推关系式求通项公式，属于难题.21.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB +的值． 【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】【分析】 （Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。
江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案解析)
江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、填空题16．若函数()3e 3ln x f x a x x ⎛=-+ ⎝三、解答题17．已知数列{}n a 满足数列{n a +2132n n n a a a ++=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 18．如图，在直三棱柱ABC A -P 为线段1A B 上的点，12BG AC =(1)求点F 到平面1A AE 的距离；(2)试确定动点P 的位置，使直线19．在一次购物抽奖活动中，假设某有二等奖券3张，每张可获价值张.（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值参考答案：因为112PF F F ⊥，所以=-Px c ，由由双曲线定义可知22||2b PF a a=+，由1212∠=∠F PF F PA 知：PA 平分∠所以1122||||||||PF AF PF AF =，即222b c ab c a a=+由222b c a =-，c e a =，可化简为e e 即22211121e e -=-++，可得21e +=故选：B 11．C【分析】设该三角形的内切圆的半径为BPm n m n +=，再利用平行线等比关系求解由222BA BC AC +=，知2B π=所以1122ABC S BA BC h AC =⋅=⋅ 由12,5h =所以1r =所以m n +的最小值为2h r h -=故选：C 12．C【分析】由()(212f x f x +=-()1,3成中心对称，得到()f x 关于4，①错误；由函数的周期及f 利用函数的周期性及对称性求出函数值的和则OE 为正四面体A BCD -内切球的半径，因为32AF BF a ==，BE =所以22h AE AF EF ==-=所以(22OE BO BE AE =-=由图可知最大球内切于高h =大中等球内切于高2h h r =-中大大最小求内切于高2h h r =-小中中所以九个球的表面积之和V =故答案为：9π16．32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪【分析】对()f x 求导，利用导数与函数极值的关系，的图像性质即可求得a 的取值范围【详解】因为3e 3()x f x a x x ⎛=- ⎝所以()4233e x x x f x a x x --=-='设2(e )xg x x=（0x >），因为g 所以当02x <<时，()0g x '<x x则()8,0,0A ，()18,0,10A ，1B 由E 为11B C 的中点，则(0,3,10E 在平面1AA E 中，取(10,0,10AA = 则1=0=0n AA n AE ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即10=08+3+10z x y ⎧⎨-⎩故平面1AA E 的一个法向量为取()=8,0,5AF - ，由点面距公式，可得（2）由（1）可知：(8,0,0A 由1P A B ∈，1A B ⊂平面1AA B 设1==(4,0,5)2k BP BA k k，即P 在平面11AA B B 内，取(10,0,10AA = 则1=0=0m AA m AC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即10=08+6=0z x y ''-'⎧⎨⎩故平面11AA B B 的一个法向量m 设直线FP 与平面11A ACC 所成角为。
2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷Word版含答案
23322233⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(21OF OP OQ +=2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷第一卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数,2i z -=则zz 10+等于（ ） A. i -2 B. i +2 C.i 24+ D.i 36+2.设全集U = R ，A = {x |x - 2x + 1＜0}，B = {y | y = cos x ，x ∈A }，则A ∩B =( ) A.( cos2，1] C.(- 1，2 )B.[cos2，1] D.(- 1，cos2 ]3.已知 | a | = 5，| b | = 5，a ·b = - 3，则 | a + b | =( )A.23B.35C.2 11D.354.对任意非零实数b a ,，若b a *的运算原理如图所示，那么=*⎰πsin 2xdx （ ）A. B.C. D.5.某项测量中，测量结果X ~)0)(,1(2>σσN ，若X 在)1,0(内取的概率为4.0，则X 在)2,0(內取值的概率为（ ）A. 8.0B. 4.0C. 3.0D.2.06. ,0,0>>b a 设则“122≥+b a ”是“1+≥+ab b a ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要7.已知的展开式中的第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为（ ） A.128 B.64 C. 32 D.168.已知正数y x ,满足，则1log log 22++=y x z 的最大值为（ ） A.8 B.4 C. 2 D. 19.已知双曲线 上一点P 到F （3，0）的距离为6，O 为坐标原点，则15422=-y x=OQ （ ）A. 1B. 2C. 2或5D.1或5 10.已知函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的图像关于直线对称，且，则ω的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 11.12． 已知x xxx f ln 1ln )(-+=，)(x f 在0x x =处取得最大值，以下各式正确的序号为（ ） ①00)(x x f <；②00)(x x f =；③00)(x x f >；④ 21)(0<x f ；⑤21)(0>x f .A ．①④B ．②④C ． ②⑤D ．③⑤第二卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.13.若焦点在x 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 ．14.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB = 2，AC = 3，则cos C 的值是 ．15.在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC 把矩形折成二面角D -AC -B 的平面角为060时，则=BD ．16.已知数列{}n a 的通项公式为,15+=n n a 数列{}n c 的通项公式为nn n a c )2(-+=λ，若数列{}n c 递增，则λ的取值范围是 .三、解答题:（共计70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17.(本小题满分12分)已知函数f (x ) = cos 2(x + π12)，g (x ) = 1 + 12 sin 2x .(1) 设x = x 0是函数y = f (x )图像的一条对称轴，求g (2x 0)的值； (2) 求函数h (x ) = f (x ) + g (x )，x ∈[ 0 , π4]的值域.1222=+my x 213π=x 0)12(=πf18．(本小题满分12分)某名校从2008年到2017年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出来。
2025届江西省抚州市临川区第一中学高考临考冲刺数学试卷含解析
2025届江西省抚州市临川区第一中学高考临考冲刺数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±2．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,43．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为3Γ的离心率为（ ）A ．2B ．33C ．73D 21 4．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．50,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．60,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-6．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨10．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ）A ．22B ．4C ．5D ．3211．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16216π+B ．1628π+C ．8216π+D ．828π+12．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A 26-B 26+C 62-D 62+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】江西省临川一中高三考前模拟考试试题(理)(解析版)
江西省临川一中高三考前模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{|B y y ==，则()U A B =（ ） A. []1,2 B. [)1,2C. (]1,2D. ()1,2【答案】D【解析】(){}{}{}2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，{{}2B y y y y ====≥，则{}2UB x x =<，则(){}12U A B x x ⋂=<<，故选：D ． 2.若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） A.B. 13C. 10D.【答案】A【解析】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩， 即2,|3|a ai =--== 本题选择A 选项.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 45B. 54C. 57D. 63【答案】B【解析】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体，如图所示，所以该几何体的表面积与棱长为3的正方体的表面积相等，即所求表面积为26354S =⨯=． 故选：B ．4.如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】根据对比图得：2016年，2017年，2018年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，①正确； 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2016年，②错误；2018年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138，1380.9290%150=>，③正确 故选：C ．5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A. 1 B. 1或12C.D. 【答案】C【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =C . 6.已知()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为π B. 函数()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 C. 函数()f x 的图象可以由函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D. 7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】C【解析】()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22cos 22cos 213x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以22T ππ==，故A 正确； 当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,32x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因23t x π=+在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，2cos 1y t =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，故B 正确；函数()f x 的图象可以由函数1cos 232y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 得到，而函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到得是2cos 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 令2,32x k k Z πππ+=+∈，当1k =时，712x π=，故7,112π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图像的一个对称中心，故D 正确； 综上，选C.7.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与抛物线()221y ax a x =+++相切，则a 的值为（ ） A. 0 B. 0或8C. 8D. 1【答案】C 【解析】11y x'=+，当1x =时，切线的斜率2k =， 切线方程为()21121y x x =-+=-，因为它与抛物线相切，()22121ax a x x +++=-有唯一解即220ax ax ++= 故280a a a ≠⎧⎨-=⎩ ，解得8a =，故选C. 8.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ）A. 必在圆222x y +=内B. 必在圆222x y +=上C. 必在圆222x y +=外D. 以上三种情形都有可能【答案】A【解析】∵椭圆离心率e =c a =12，∴c =12a ，b2a ， ∴ax 2+bx -c =ax 2+2ax -12a =0，∵a ≠0， ∴x 2x -12=0，又该方程两个实根分别为x 1和x 2， ∴x 1+x 2=x 1x 2=-12，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=34+1＜2． ∴点P 在圆x 2+y 2=2的内部． 故选A ．9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A. 6 B. 12C. 16D. 18【答案】B【解析】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B. 10.设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.22c f =，则（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D【解析】()1551log log 22b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为35log 2log 20>>且0.2033221log 3log 2>==>，故0.2530log 2log 212π<<<<<，又()tan2xf x =在()0,π上为增函数， 所以()()()0.253log 2log 22f f f <<即b a c <<，故选D .11.如图，1F 和2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. 1【答案】D【解析】设F 1F 2=2c ， ∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠A F 1F 2==30°， ∴AF 1=c ，AF 2，∴a-c )÷2，e =2c ÷-c， 故选D.12.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A. 3B.C.D.【答案】C【解析】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为3AD AB ==，故ADB ∆为等腰三角形， 又180120DAB CAB ∠=︒-∠=︒，故()1180120302ADB ∠=︒-︒=︒， 所以90ADB DCB ∠+∠=︒即90DBC ∠=︒，故CB DB ⊥，因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥， 因DBPB B =，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ，所以13PBD P CBD C PBD V V CB S ∆--==⨯⨯三棱锥三棱锥， 因A 为DC 的中点，所以1113262PBD PBD P ABC P CBD V V S S ∆∆--==⨯⨯=三棱锥三棱锥，因为3DA AC AP ===，故PDC ∆为直角三角形，所以PD ==又DB ==4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ∆为直角三角形，所以142PBD S ∆=⨯=P ABC V -=三棱锥C .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,4a =，()1,b k =-，且a b ⊥，则4a b +与a 的夹角为________． 【答案】4π 【解析】因为a b ⊥，故0a b ⋅=，所以340k -+=，故34k =， 故()41,7a b +=-，设4a b +与a 的夹角为θ，则cos 2θ===，因[]0,θπ∈，故4πθ=，填4π.14.已知实数x ，y 满足不等式组00y y x x y m ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数32z x y=-最大值为180，则实数m 的值为________． 【答案】60【解析】不等式组对应的可行域如图所示， 因为不等式组有解，所以0m ≥，当动直线320x y z --=平移到(),0A m 时，z 有最大值，故320180m ⨯-⨯=， 所以60m =，填60.15.如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD ，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【解析】因为cos2ABC ∠=，所以221cos 2cos 121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭的因为3CD AD =，所以3CD DA =即()3BD BC BA BD -=-，整理得到3144BD BA BC =+，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯， 整理得到2233292BA BC BA BC =++⋅， 设,c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，3c a +≤=，当且仅当5a =，15c =时等号成立，. 16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c 为半焦距，则(),0F c ，又()0,B b ， 所以:0BF bxcy bc +-=，以12A A 为直径的圆的方程为O ：222x y a +=，因为120i i PA PA ⋅=，1,2i =， 所以O 与线段BF 有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c a c a ⎧-+<⎨>⎩，故4223102e e e ⎧-+<⎨>⎩，e <<故填⎭. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2212n n n S a a n *+=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； 解：（1）1n =时，2111212a a a +=+，又0n a >，所以11a =， 当2n ≥时，()2212n n n S a a n *+=+∈N ()2111212n n n S a n a --*-+=+∈N ，作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-， 因为0n a >，故10n n a a ->+，所以112n n a a --=， 故数列{}n a 为等差数列，所以12n n a +=． （2）由（1）知()34n n n S +=，所以()14411333nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 从而1231111nS S S S ++++ 411111111111=134253621123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦411111411111221323123361239n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++---=---< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭．所以229M ≥，故M 的最小值为229．18.如图所示，在棱台1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ，1112224CD AB BC AA A B ====，90ABC BCD ︒∠=∠=（1）求证：11A D BC ⊥； （2）求二面角11C A D D --的大小（1）证明：连结1AD ，设4CD =，因为11//C D CD ，//CD AB ，所以11//C D AB ， 又因11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，在直角梯形11ADD A中，11tan 2A AD ∠=，1tan DA A ∠=， 因此11190A AD AA D ︒∠+∠=，所以11A D AD ⊥，因此11A D BC ⊥（2）解：因为1AA ⊥平面ABCD ，所以建立如图空间直角坐标系，设111=A B ，则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()2,2,0D -，()2,2,0C ，()10,0,2AA=，()2,2,0AD =-，()0,4,0DC =，()12,2,2AC =-， 设向量()111,,x y z =m 为平面1AA D法向量，则有100m AA m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11120,220,z x y =⎧⎨-=⎩，令11x =，取平面1AA D 的一个法向量()1,1,0m =.设向量()222x y z =,,n 为平面1CA D 的法向量，则有100n AC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222220,40,x y z y +-=⎧⎨=⎩ 令21x =，取平面1CA D 的一个法向量()1,0,1n =， 1cos ,2m n m n m n⋅==⋅, 设二面角1C A D A --的平面角为θ，则1cos 2θ=因此二面角11C A D D --的大小为120︒.19.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．参考公式与临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．解：（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128135131.52+=，乙校学生数学成绩的中位数为128129128.52+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出22⨯列联表如下：计算得2K的观测值40(1013107)0.9207 2.70620201723k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，12σ=， 所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544(134)0.02282P X ->==， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=⨯=．20.已知抛物线24y x =，过点()8,4P -的动直线l 交抛物线于A ，B 两点 （1）当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；（2）抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设A ，B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，当P 恰为AB 的中点时， 显然12x x ≠，故1212124AB y y k x x y y -==-+，又128y y +=-，故12AB k =-则直线l 的方程为12y x =-（2）假设存在定点Q ，设200,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 斜率存在时，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()24,84y x y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩整理得2432160ky y k ---=，>0∆，124y y k +=，121632y y k=--， 由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知0QA QB ⋅=，即()()2200121020044y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即()()2222001210204444y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()102010201016y y y y y y y y ++⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦故()()102016y y y y ++=-，即()2120120160y y y y y y ++++=整理得()()20016440y k y -+-=即当04y =时，恒有0QA QB ⋅=，故存在定点()4,4Q 满足题意；当直线l 斜率不存在时，:8l x =，不妨令(8,A，(8,B -，()4,4Q ，也满足0QA QB ⋅=综上所述，存在定点()4,4Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q 21.已知函数()e x f x ax b =--.（其中e 为自然对数的底数） （1）若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（ma b 恒成立，求实数m 的取值集合. 解：（1）()xg x e a '=-，当0a <时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，取1min 0,b m a -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当0x m <时，()000010xg x e ax b ax b =--<-+-<矛盾；当0a =时，()xg x e b b =->-，只要0b -≥，即0b ≤，此时0ab =； 当0a >时，令()0g x '>，ln x a >，所以()g x 在()ln ,a +∞单调递增，在(),ln a -∞单调递减，()()ln ln g x g a a a a b ≥=--，所以ln 0a a a b --≥，即ln b a a a ≤-， 此时22ln ab a a a ≤-，令()22ln h a a a a =-，()()2122ln 12ln h a a a a aa a a'=--=-， 令()0h a '=，a =当(a ∈，()0h a '>，()h a在(上为增函数；当)a ∈+∞，()0h a '<，()h a在)+∞上为减函数．所以()1122h a he e e ≤=-=，所以2e ab ≤，故ab 的最大值为2e．（2）()1xFx e a x'=-+在()0,∞+单调递减且()F x '在()0,∞+的值域为R ， 设()F x 的唯一的零点为0x ，则()00F x =，()00F x '=，即00000ln 1010x x x e ax b e a x ⎧+-++=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以01xa e x =-，()001ln xo b x e x =--， 由()1m a e b -+≥恒成立，则()00000111ln x x m e e x e x x ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭，得()()00001ln 10xmx m ex m e x +-+-+-+≥在()0,∞+上恒成立． 令()()()1ln 1xmk x x m e x m e x=+-+-+-+，()0,x ∈+∞， ()()()2211x x m k x x m e x m e x x x '⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．若0m ≥，()0k x '>，()k x 在()0,∞+上为增函数，注意到()10k =，知当()0,1x ∈时，()0k x <，矛盾；当(),x m ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，若01m <<-，则当()1,x m ∈-时，()0k x '<，，()k x 为减函数， 所以()1,x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；若01m <-<，则当(),1x m ∈-时，()0k x '>，，()k x 为增函数， 所以(),1x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；所以1m -=即1m =-，此时当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，， 当()0,1x ∈时，()0k x '<，()k x 为减函数，而(1)0k =， 所以()F x 有唯一的零点. 综上，m 的取值集合为{}1- ． 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为22312sin ρθ=+（1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长解：（1）E 的方程可化为2222sin 3ρρθ+=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=，代入其中得2233x y +=，所以曲线E 的直角坐标方程为2213x y +=.（2）直线l 过定点()1,0P ，将直线l 的参数方程代入曲线E的直角坐标方程得2340t +-=，12t t +=1243t t =-，所以12AB t t =-3==. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3ma b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．解：（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．。
江西省高考压轴卷 数学理试题
(5)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (0, σ 2 ) ,若 P (ξ > 2) = 0.023 ，则 P ( −2 ≤ ξ ≤ 2) = (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977
（6）样本中共有 5 个个体，其值分别为 a, 0,1, 2,3 .若该样本的平均值为 1，则样本方差为
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，
V = Sh
其中 S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥的高 棱台的体积公式
1 V = Sh 3 1 V = Sh( S1 + S1S2 + S2 ) 3
其中 S1 , S 2 分别表示棱台的上、下底面积， h 表示梭台的高
那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 棱台的体积公式
(A) 3 【答案】D
(B) 1
(C)-1
(D) −3
【解析】由 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数可知 f (0) = 20 + b = 1 + b = 0, b = −1 ， 于是 f ( −1) = − f (1) = −(2 + 2 − 1) = −3 ，故选 D. (5)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (0, σ 2 ) ,若 P (ξ > 2) = 0.023 ，则 P ( −2 ≤ ξ ≤ 2) = (A)0.477 【答案】C 【 解 析 】 由 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N (0, σ 2 ) 可 知 正 态 密 度 曲 线 关 于 y 轴 对 称 ， 而 则 P(ξ < −2) = 0.023， 故 P(−2 ≤ ξ ≤ 2) = 1 − P(ξ > 2) − p(ξ < −2) = 0.954 ， P(ξ > 2) = 0.023 ， 故选 C （6）样本中共有 5 个个体，其值分别为 a, 0,1, 2,3 .若该样本的平均值为 1，则样本方差为 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977
2025届江西省抚州市临川第一中学高考适应性考试数学试卷含解析
2025届江西省抚州市临川第一中学高考适应性考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格2．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．323．已知函数()ln a f x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D ．[)1,e - 4．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ）A ．小王或小李B ．小王C ．小董D ．小李 5．复数12i z i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．10212x ⎛- ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．7项7．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ）A ．若m α且n α，则m nB ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n8．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB ⋅的最小值为（ ）A ．3B ．1-C ．0D 3- 9．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ）A ．0B ．1C ．3D ．410． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC ．D ．11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ）A ．35B ．45-C ．35D ．4512．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( ) A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。