数值分析实验— MATLAB实现

数值分析实验——MATLAB实现姓名sumnat学号2013326600000班级13级应用数学2班指导老师2016年1月一、插值：拉格朗日插值 (1)1、代码： (1)2、示例： (1)二、函数逼近：最佳平方逼近 (2)1、代码： (2)2、示例： (2)三、数值积分：非反常积分的Romberg算法 (3)1、代码： (3)2、示例： (4)四、数值微分：5点法 (5)1、代码： (5)2、示例： (6)五、常微分方程：四阶龙格库塔及Adams加速法 (6)1、代码：四阶龙格库塔 (6)2、示例： (7)3、代码：Adams加速法 (7)4、示例： (8)六、方程求根：Aitken 迭代 (8)1、代码： (8)2、示例： (9)七、线性方程组直接法：三角分解 (9)1、代码： (9)2、示例： (10)八、线性方程组迭代法：Jacobi法及G-S法 (11)1、代码：Jacobi法 (11)2、示例： (12)3、代码：G-S法 (12)4、示例： (12)九、矩阵的特征值及特征向量：幂法 (13)1、代码： (13)2、示例： (13)一、插值：拉格朗日插值1、代码：function z=LGIP(x,y)%拉格朗日插值n=size(x);n=n(2);%计算点的个数syms a;u=0;%拉格朗日多项式f=1;%插值基函数for i=1:nfor j=1:nif j==if=f;elsef=f*(a-x(j))/(x(i)-x(j));endendu=u+y(i)*f;f=1;endz=expand(u);%展开2、示例：>> x=1:6;y1=x.^5+3*x.^2-6;y2=sin(x)+sqrt(x);>> f1=LGIP(x,y1)f1 =-6+3*a^2+a^5%可知多项式吻合得很好>> f2=vpa(LGIP(x,y2),3)f2 =.962e-1*a^4+1.38*a+.300*a^2+.504-.436*a^3-.616e-2*a^5二、函数逼近：最佳平方逼近1、代码：function z=BestF(u,a,b,n)%最佳平方逼近，用x^i逼近,n为逼近的次数n=n+1;syms xreal;old=findsym(u);u=subs(u,old,x); %将u中变量替换为xf=sym('');H=sym('');d=sym('');for i=1:n %生成函数系f(1,i)=x^(i-1);endfor i=1:n %生成内积Hfor j=1:nH(i,j)=int(f(1,i)*f(1,j),a,b);endendfor i=1:n %生成内积dd(i,1)=int(f(1,i)*u,a,b);enda=H\d;%解法方程Ha=dz=a'*f';2、示例：>> syms x>> f1=sqrt(x);>> f2=x^5+x^2;>> f3=exp(x);>> a=0 ;b=1;>> BestF(f1,a,b,5)ans =12/143+420/143*x-1120/143*x^2+2016/143*x^3-1800/143*x^4+56/13*x^5>> BestF(f2,a,b,5)ans =x^5+x^2>> BestF(f3,a,b,5)ans =-566826+208524*exp(1)+(16733010-6155730*exp(1))*x+(-115830120+42611520*exp(1))* x^2+(306348840-112699440*exp(1))*x^3+(-342469260+125987400*exp(1))*x^4+(136302012-5 0142708*exp(1))*x^5>> vpa(ans,3)ans =.1e4-.1e6*x-.1e7*x^3+.1e7*x^4三、数值积分：非反常积分的Romberg算法1、代码：function z=IntRom(f,a,b) %Romberg 算法e=1e-10;I{1}=linspace(a,b,2);%1等分I{2}=linspace(a,b,3);%2等分L=setdiff(I{2},I{1});%新得插值点h=b-a;T(1,1)=h/2*sum(subs(f,I{1}));T(2,1)=1/2*T(1,1)+h/2*sum(subs(f,L));T(2,2)=4/3*T(2,1)-1/3*T(1,1);k=2;while abs(T(k,k)-T(k-1,k-1))>e %精度要求k=k+1;I{k}=linspace(a,b,2^(k-1)+1);L=setdiff(I{k},I{k-1});%集合差运算，新得插值点h=h/2;T(k,1)=1/2*T(k-1,1)+h/2*sum(subs(f,L));%梯形for i=2:kT(k,i)=(4^(i-1)/(4^(i-1)-1))*T(k,i-1)-(1/(4^(i-1)-1))*T(k-1,i-1);%加速endEndz=T(k,k);2、示例：>> syms x>> f=x^4;>> a=-4;b=4;>> IntRom(f,a,b)T =1.0e+003 *2.04800000000000 0 0 01.02400000000000 0.68266666666667 0 00.57600000000000 0.42666666666667 0.40960000000000 00.45200000000000 0.41066666666667 0.40960000000000 0.40960000000000ans =4.096000000000000e+002>> vpa((int(f,a,b)-ans),3)ans =0.>> f=exp(x);>> a=0;b=1;>> IntRom(f,a,b)T =Columns 1 through 41.85914091422952 0 0 01.75393109246483 1.71886115187659 0 01.72722190455752 1.71831884192175 1.71828268792476 01.72051859216430 1.71828415469990 1.71828184221844 1.718281828794531.71884112857999 1.71828197405189 1.71828182867536 1.718281828460391.71842166031633 1.71828183756177 1.71828182846243 1.71828182845905Columns 5 through 60 00 00 00 01.71828182845908 01.71828182845905 1.71828182845905ans =1.71828182845905>> vpa((int(f,a,b)-ans),3)ans =0.四、数值微分：5点法1、代码：function z=VDiff(f,x0)%5点法求导数值e=1e-15;h=0.01;for i=0:4x(i+1)=x0+i*h;endy=subs(f,x);m(1)=(1/(12*h))*(-25*y(1)+48*y(2)-36*y(3)+16*y(4)-3*y(5));%5点导数公式h=h/2;for i=0:4x(i+1)=x0+i*h;endy=subs(f,x);m(2)=(1/(12*h))*(-25*y(1)+48*y(2)-36*y(3)+16*y(4)-3*y(5));h=h/2;for i=-0:4x(i+1)=x0+i*h;endy=subs(f,x);m(3)=(1/(12*h))*(-25*y(1)+48*y(2)-36*y(3)+16*y(4)-3*y(5));k=3;while abs(m(k)-m(k-1))<abs(m(k-1)-m(k-2)) & abs(m(k)-m(k-1))>e & (h/10)>0%控制收敛条件及精度要求及h非0h=h/2;k=k+1;for i=0:4x(i+1)=x0+i*h;endy=subs(f,x);m(k)=(1/(12*h))*(-25*y(1)+48*y(2)-36*y(3)+16*y(4)-3*y(5));ende=abs(m(k)-m(k-1));z=[m(k);e];2、示例：>> syms x>> f=exp(x);>> x0=2;>> VDiff(f,x0)ans =7.389056098949710.00000000002558五、常微分方程：四阶龙格库塔及Adams加速法1、代码：四阶龙格库塔function z=RGFour(f,y0,a,b)%4阶龙格库塔，f为函数句柄h=0.01;X=a:h:b;Y(1)=y0;n=size(X);n=n(2);for i=1:n-1K1=f([X(i) Y(i)]);K2=f([X(i)+h/2,Y(i)+h/2*K1]);K3=f([X(i)+h/2,Y(i)+h/2*K2]);K4=f([X(i)+h,Y(i)+h*K3]);Y(i+1)=Y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);endz=Y;plot(X,Y);2、示例：>> f=@(x)sin(x(1));>> y0=0;a=0;b=2*pi;>> figure(1);>> RGFour(f,y0,a,b);3、代码：Adams加速法function z=myAdams(f,y0,a,b)h=0.01;p(4)=1;c(4)=1;X=a:h:b;Y(1)=y0;n=size(X);n=n(2);for i=1:3K1=f([X(i) Y(i)]);K2=f([X(i)+h/2,Y(i)+h/2*K1]);K3=f([X(i)+h/2,Y(i)+h/2*K2]);K4=f([X(i)+h,Y(i)+h*K3]);Y(i+1)=Y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);endfor i=4:n-1p(i+1)=Y(i)+h/24*(55*f([X(i),Y(i)])-59*f([X(i-1),Y(i-1)])+37*f([X(i-2 ),Y(i-2)])-9*f([X(i-3),Y(i-3)]));m(i+1)=p(i+1)+251/720*(c(i)-p(i));m(i+1)=f([X(i+1),m(i+1)]);c(i+1)=Y(i)+h/24*(9*f([X(i+1),m(i+1)])+19*f([X(i),Y(i)])-5*f([X(i-1), Y(i-1)])+f([X(i-2),Y(i-2)]));Y(i+1)=c(i+1)-19/720*(c(i+1)-p(i+1));endz=Y;plot(X,Y);4、示例：>> f=@(x)exp(x(1));>> myAdams(f,0,0,2*pi);六、方程求根：Aitken 迭代1、代码：function z=myAitken(f,x0);%Aitken 迭代求方程的根e=1e-15;xu1=x0;xv1=subs(f,xu1);xv2=subs(f,xv1);if xv2-2*xv1+xu1==0%防止除0；xu2=xv2;elsexu2=xv2-(xv2-xv1)^2/(xv2-2*xv1+xu1);endwhile abs(xu2-xu1)>e%精度控制xu1=xu2;xv1=subs(f,xu1);xv2=subs(f,xv1);if xv2-2*xv1+xu1==0%防止除0；xu2=xv2;elsexu2=xv2-(xv2-xv1)^2/(xv2-2*xv1+xu1);%Aitken加速公式endendz=xu2;2、示例：>> syms x>> f=cos(x/2)+x;>> x0=3;>> myAitken(f,x0)ans =3.14159265358979>> f=x^2-2+x;>> x0=1;>> myAitken(f,x0)ans =1.41421356237309七、线性方程组直接法：三角分解1、代码：function z=myGuess(A,b);%线性方程组三角分解求根n=size(A);if n~=rank(A)z=['矩阵A线性相关，不符合要求'];return;endn=n(2);L=eye(n);for i=1:n-1for j=i+1:nL(j,i)=A(j,i)/A(i,i);A(j,:)=A(j,:)-L(j,i)*A(i,:);endendU=A;for i=1:n %解Ly=b，得ys=0;for j=1:i-1s=s+y(j)*L(i,j);endy(i)=(b(i)-s)/L(i,i);endfor i=n:-1:1 %解Ux=y，得xs=0;for j=i+1:ns=s+x(j)*U(i,j);endx(i)=(y(i)-s)/U(i,i);endLUz=x';2、示例：>> A=[1 2 3;2 1 5;11 17 21];>> b=[1 3 5]';>> myGuess(A,b)L =1.00000000000000 0 02.00000000000000 1.00000000000000 011.00000000000000 1.66666666666667 1.00000000000000U =1.000000000000002.000000000000003.000000000000000 -3.00000000000000 -1.000000000000000 0 -10.33333333333333ans =-0.06451612903226-0.580645161290320.74193548387097>> t=A\bt =-0.06451612903226-0.580645161290320.74193548387097八、线性方程组迭代法：Jacobi法及G-S法1、代码：Jacobi法function z=myJacobi(A,b)n=size(A);n=n(2);x{1}=zeros(n,1);%初始值e=1e-10;D=diag(diag(A));L=D-tril(A);U=D-triu(A);B=D\(L+U);f=D\b;Q=B'*B;[w,d]=eig(Q);p=max(abs(diag(d))) ; %谱半径if p>=1z=['迭代发散'];return;endx{2}=B*x{1}+f;k=2;while norm(x{k}-x{k-1})>ek=k+1;x{k}=B*x{k-1}+f;endz=x{k};2、示例：>> A=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];>> b=[20 33 36]';>> myJacobi(A,b)ans =3.000000000013402.000000000012610.999999999992373、代码：G-S法function z=myGS(A,b)n=size(A);n=n(2);x{1}=zeros(n,1);e=1e-10;D=diag(diag(A));L=D-tril(A);U=D-triu(A);B=(D-L)\U;f=(D-L)\b;Q=B'*B;[w,d]=eig(Q);p=max(abs(diag(d))) ; %谱半径if p>=1z=['迭代发散'];return;endx{2}=B*x{1}+f;k=2;while norm(x{k}-x{k-1})>ek=k+1;x{k}=B*x{k-1}+f;endz=x{k};4、示例：>> A=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];>> b=[20 33 36]';>> myGS(A,b)ans =3.000000000001351.999999999999160.99999999999954九、矩阵的特征值及特征向量：幂法1、代码：function z=myChar(A);%幂法求主特征值及对应的特征向量e=1e-10;n=size(A);n=n(2);v1=ones(n,1);u1=v1;v2=A*u1;a=min(v2);b=max(v2);if abs(a)>abs(b)c=a;elsec=b;endu2=v2/c;%规范化while norm(u2-u1)>eu1=u2;v2=A*u1;a=min(v2);b=max(v2);if abs(a)>abs(b)c=a;elsec=b;endu2=v2/c;%规范化endz{1}=c;z{2}=v2;2、示例：>> A=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];>> u=myChar(A)u =[14.00000000046956] [3x1 double]>> u{1}ans =14.00000000046956 >> u{2}ans =4.20000000191478 0.93333333198946 14.00000000046956。