(2011) 第2章 恒磁场bcvq
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恒磁场
沿电流方向取一小段电流 Idl ,称作电流元。
dB
P
r
I dl
I
第二章 —— 恒磁场 22
补充知识: 矢量代数
标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示： A eA A eA A 矢量的大小或模： A A A
十一世纪发明指南针发现地磁偏角，比欧洲早四百年 十二世纪已有关于指南针用于航海的记载
第二章 —— 恒磁场 3
§1 磁的基本现象和基本规律 1、磁铁的磁现象 (1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。 (2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。 *任一磁铁总是两极同时存在，在自然界不存在独立 的N 极、S 极。 *同性磁极相互排斥， 异性磁极相互吸引。 *磁单极子虽理论预言存在， 至今尚未观察到。 (3)地球本身为一个大磁体， 地球磁体N、S 极与地理南 北极不是同一点。存在磁 偏角。 第二章 —— 恒磁场
第二章 —— 恒磁场 17
§2 磁感应强度
毕奥—萨伐尔定律
由实验结果可见，磁场中任何一点都存在 一个固有的特定方向和确定的比值Fm/(qv)， 与试验电荷的性质无关，反映了磁场在该点 的方向和强弱特征， 为此，定义一个矢量函数磁感应强度：
第二章 —— 恒磁场
18
§2 磁感应强度
毕奥—萨伐尔定律
磁感应强度 B 的定义：当
第二章 —— 恒磁场 24
本书中直角坐标的三个单位矢量分别用ê , ê , ê 表示， x y z 通用方法是ê再加上表示坐标轴名称的角标。
矢量代数
2. *矢量的乘法: （1）两个矢量的点乘
大学物理——稳恒磁场（2）
⼤学物理——稳恒磁场（2）T h e n“r e a l”is s im p l y e l e c t r ic a l s ig n a l s in t e r p r e t e d b y y o u r b r a in.所谓真实⽆⾮就是经你⼤脑处理过的电信号。
磁感线：⽤于表⽰各点的磁场⼤⼩和⽅向所定义的曲线。
定义：磁感线的切线⽅向为磁感应强度的⽅向。
磁感线越密的地⽅磁感应强度越⼤。
特性：⽆头⽆尾的闭合曲线。
右⼿螺旋定则。
（左⼿是⼒，右⼿是场。
）磁感线之间不相交。
磁通量：表⽰垂直于磁感线的单位截⾯积所通过的磁感线的数⽬。
标准单位是韦伯，不是⾼斯。
磁场中的⾼斯定理：通过任意闭合曲⾯的磁通量必定为0。
安培环路定理：在稳恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合路径的线积分等于该闭合路径所包围的各电流强度代数和的u_0倍。
规定：当穿过环路的电流⽅向与环路的绕⾏⽅向符合右⼿螺旋定则时，电流为正，反之为负。
看官看个乐呵安培环路定理对任何电流，任何形状的闭合回路适⽤。
这算是个分割线吧。
洛伦兹⼒：运动带电粒⼦所受的磁场⼒。
上公式是叉乘，洛伦兹⼒⼤⼩：只能改变v的⽅向，不能改变v的⼤⼩。
(1) 磁场⽅向与运动⽅向平⾏(2) 磁场⽅向与运动⽅向垂直（磁场⾜够⼤）搞圆周运动，⼀直转圈。
（3）磁场⽅向和运动⽅向为任意⽅向绕⼀圆柱螺旋前进运动。
安培⼒：电流元在磁场中所受的磁场⼒。
⼤⼩：右⼿是场，左⼿是⼒。
磁⼒矩对线圈的作⽤,将使线圈在均匀磁场中转动。
大学物理习题课-稳恒电流的稳恒磁场-2011.6.10
1 5
r r 向上， M垂直 B, 向上，
一根无限长的直圆柱形铜导线， 例5. 一根无限长的直圆柱形铜导线，外包一层相对磁导率为 µr的圆筒形磁介质，导线半径为 R1，磁介质的外半径为 R2。 的圆筒形磁介质， 导线内有电流通过， 磁介质内、 导线内有电流通过 ， 求 ： 磁介质内 、 外的磁场强度和磁感应 强度的分布
大学物理习题课
恒定电流的稳恒磁场
•
电流 电流密度 电动势
电流强度 电流密度
v v j = qnv
(S )
∆q dq I = lim = ∆t →0 ∆ t dt
v r 对任意曲面S： 对任意曲面 ： I = ∫∫ j ⋅ dS
r I 是 j 的通量
v v dqin 电流的连续性方程 ∫∫S j ⋅ dS = − dt v v 电流稳恒条件 ∫∫ j ⋅ dS = 0
I
v × B 1
p -e 3r
用补偿法求p处的磁感应强度： 用补偿法求 处的磁感应强度： 处的磁感应强度
v v 根据 ∫ B⋅ dl = µ0 ∑Ii
L
v v
v • B2
δ
o`
v
得： B = 1
µ0δ r
6
B2 =
µ0δr
88
41µ0δr ∴B = B − B2 = 1 264
v v v v v fm = qv× B = −ev× B
计算得 方向： B = 5.0×10−16 (T) 方向：垂直于纸面向里
例2：空气中有一半径为 的“无限长”直圆柱金属导体，竖直 ：空气中有一半径为r的 无限长”直圆柱金属导体， 的圆柱空洞， 线oo`为中心轴线 ，在圆柱体内挖一个直径为 r 的圆柱空洞， 为中心轴线 空洞侧面与oo`相切，在未挖洞部分通以均匀分布的电流I，方 空洞侧面与 相切，在未挖洞部分通以均匀分布的电流 ， 相切 向沿oo`向下，如图所示。在距轴线 处有一电子 电量为-e） 处有一电子（ 向沿 向下，如图所示。在距轴线3r处有一电子（电量为 ） 向下 o 沿平行于oo`轴方向 在中心轴线oo` 轴方向， 沿平行于 轴方向，在中心轴线 r/2
2稳恒磁场
dl
0
R
I
r
r0
θ
θ
x
So where so
μ0 Ia B 2 sin θ 2r
r R 2 r0 2
2 2
Field of a circular current
sin θ
R R 2 r0 2
B
μ0 IR
2 R r0
2
3
2
Direction along axis
Discussion: 1, Magnetic moment Pm NIS , then single turn B N turns:
μ0 Pm or B 2πR 3
A
α
R B
For an arc,
μ0 I B dB dl 2 4πR 0 μ0 I μ0 I μ0 I B l R 2 2 4πR 4πR 4πR
l
Find out the magnetic field at point O.
A
B BAB BBC BCD BAB 0, BCD 0 BBC ?
Change the direction of CD.
I
B C I A I B O C I D D
O
B BAB BBC BCD BAB 0, BBC 0 μ0 I μ0 I BBC B 4 πR 4πR
2.5, magnetic field of a solenoid
l
O
L pm H
1.2 Magnetic effect of electric current Oyster Experiment（1819）
I
12稳恒磁场2(安培力、洛伦兹力、磁力矩) 重理工资料库
F IlB
方向沿y轴正向
F 0 ，即是说： 若a、b两点重合，则 l 0 、 均匀磁场中的闭合载流回路整体上不受安 培力。
I B
§12-7 磁场对载流线圈的磁力矩
以矩形线圈为例 设矩形线圈ABCD可绕垂直于 磁感强度 B 的中心轴自由转 动；线圈的法向单位矢量 en 与 B 的夹角为 。 则有
I EH
A
x
d
(3)电势差 U H与载流子电荷的正负有关 上图中，若载流子带正电，则 U H为正；若载 流子带负电，则U H为负
(4)霍耳效应的应用
确定半导体的类型
UH
1 IB nq b
n型半导体载流子为电子 p型半导体载流子为带正电的空穴
根据霍耳系数的大小的测定， 可以确定载流子的浓度
§12-5 带电粒子在电场和磁场中的运动
一、带电粒子在电场和磁场中所受的力 在电场中，带电粒子受电场力作用 Fm Fe qE
在磁场中，带电粒子受洛仑兹力 B q v （磁场力）作用 Fm qv B
(1)运动电荷、静止电荷都受电场力作用，而 只有运动电荷受洛仑兹力作用
0 I 1dl1 I 2 dl 2 dF1 4 r2
电流元 I 2 dl 2 所受作用力
r
I 1dl1
I 2 dl 2
dF2 0
dF1 dF2
?
孤立的电流元实际上并不存在
二、平行无限长直导线间的相互作用力 1．设两导线间垂直距离为d，其中电流强度分别为 I1 和 I 2，则导线1在导线2处产生的磁感强度为：
解：dF BI 2 dl 0 I1 I 2 dx 2x
a
《物理场论》稳恒磁场
R
安培环路定理
建立了
B
沿任一闭合路径L的线积分与通过L
所包围的面积S的总电流I之间的关系。
B dl
l
0I
B 0J
定理推导：
B(r )
0
J (r'
)
R
dV
'
0
J (r'
)
1
dV
'
4 V ' R3
4 V '
R
4 V '
R
4 V ' R
第一项为V’内包括所有电流在内，边界上无电流，
所以为0，即稳恒电流连续；第二项为0，因此得
到
。A 0
安培环路定理
2 A 0 J (r ')2 1 dV ' 0 J (r ') R dV '
4 V '
R
4 V '
R3
当R
铁磁性物质：无外加磁场作用下能显示自发磁化 的一类物质。
磁化强度
物质处在磁化状态中，每单位体积内原子的平
均磁偶极矩的矢量和，即
M
lim
i
m
Nm
N为单位体积内的原子数
V 0 V
单个磁偶极子的矢位：A
0 4
mR
R3
定义：磁化面电流密度
J Sm M n
引入库仑规范
A
0，可得：
2 A 0J
（矢量泊松方程）
安培环路定理
建立了
B
沿任一闭合路径L的线积分与通过L
所包围的面积S的总电流I之间的关系。
B dl
l
0I
B 0J
定理推导：
B(r )
0
J (r'
)
R
dV
'
0
J (r'
)
1
dV
'
4 V ' R3
4 V '
R
4 V '
R
4 V ' R
第一项为V’内包括所有电流在内，边界上无电流，
所以为0，即稳恒电流连续；第二项为0，因此得
到
。A 0
安培环路定理
2 A 0 J (r ')2 1 dV ' 0 J (r ') R dV '
4 V '
R
4 V '
R3
当R
铁磁性物质：无外加磁场作用下能显示自发磁化 的一类物质。
磁化强度
物质处在磁化状态中，每单位体积内原子的平
均磁偶极矩的矢量和，即
M
lim
i
m
Nm
N为单位体积内的原子数
V 0 V
单个磁偶极子的矢位：A
0 4
mR
R3
定义：磁化面电流密度
J Sm M n
引入库仑规范
A
0，可得：
2 A 0J
（矢量泊松方程）
大学物理_稳恒磁场2
§4 安培环路定理及应用 一、 安培环路定理
电磁规律比较：
E dS
S
q
i
int
0
S
L
B dS 0
表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何
E dl 0
L
B dl ?
闭合路径L的线积分，等于路径L所包围的电流强 度的代数和的 0 倍。
B 方向：
由电阻定理知, ACB 和 ADB 的电阻 R1 和 R2与其长度 L1 和 L2间有 c L R S
E A
I1
o
R
I2 D
F
B
又R1和R2并联,故有
R1I1=R2I2
B B1 B
2
0
4R
2
( I1L1 I 2L 2 ) 0
1.电流由直导线 1 沿平 I 1 行 bc 边方向经过点a流 入一电阻均匀分布的正 三角形线框,再由 b 点 沿 cb 方向流出，经长 直导线2返回电源(如 2 I 图 ). b
a
B de
1 0I 4 2 R1
1
B ef
0I
2 2 R 1
0I 0I 0I B 8 R1 4 R 1 8R2
例. 一半径为 R2 带电薄圆盘,其中半径为 R1
的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 + ,其 余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 – ,当圆盘 以角速度 旋转时,测得圆盘中心点 o 的磁感 应强度为零, 问 R1 与 R2 满足什么关系？ 解：当带电圆盘转动时,可 看作无数个圆电流的磁场 在 o 点的迭加,
0
I
电磁规律比较：
E dS
S
q
i
int
0
S
L
B dS 0
表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何
E dl 0
L
B dl ?
闭合路径L的线积分，等于路径L所包围的电流强 度的代数和的 0 倍。
B 方向：
由电阻定理知, ACB 和 ADB 的电阻 R1 和 R2与其长度 L1 和 L2间有 c L R S
E A
I1
o
R
I2 D
F
B
又R1和R2并联,故有
R1I1=R2I2
B B1 B
2
0
4R
2
( I1L1 I 2L 2 ) 0
1.电流由直导线 1 沿平 I 1 行 bc 边方向经过点a流 入一电阻均匀分布的正 三角形线框,再由 b 点 沿 cb 方向流出，经长 直导线2返回电源(如 2 I 图 ). b
a
B de
1 0I 4 2 R1
1
B ef
0I
2 2 R 1
0I 0I 0I B 8 R1 4 R 1 8R2
例. 一半径为 R2 带电薄圆盘,其中半径为 R1
的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 + ,其 余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 – ,当圆盘 以角速度 旋转时,测得圆盘中心点 o 的磁感 应强度为零, 问 R1 与 R2 满足什么关系？ 解：当带电圆盘转动时,可 看作无数个圆电流的磁场 在 o 点的迭加,
0
I
大学物理 恒定磁场(DOC)
11-1 恒定电流 电流密度磁现象：我国是世界上最早发现和应用磁现象的国家之一，早在公元前300年久发现了磁铁矿石吸引铁的现象。
在11世纪，我国已制造出航海用的指南。
在1820年之前，人们对磁现象的研究仅局限于铁磁极间的相吸和排斥，而对磁与电两种现象的研究彼此独立，毫无关联。
1820年7月丹麦物理学家奥斯特发表了《电流对磁针作用的实验》，公布了他观察到的电流对磁针的作用，从此开创了磁电统一的新时代。
奥斯特的发现立即引起了法国数学家和物理学家安培的注意，他在短短的几个星期内对电流的磁效应作出了系列研究，发现不仅电流对磁针有作用，而且两个电流之间彼此也有作用，如图所示；位于磁铁附近的载流线圈也会受到力或力矩的作用而运动。
此外，他还发现若用铜线制成一个线圈，通电时其行为类似于一块磁铁。
这使他得出这样一个结论：天然磁性的产生也是由于磁体内部有电流流动。
每个磁性物质分子内部，都自然地包含一环形电流，称为分子电流，每个分子电流相当于一个极小的磁体，称为分子磁矩。
一般物体未被磁化时，单个分子磁矩取向杂乱无章，因而对外不显磁性；而在磁性物体内部，分子磁矩的取向至少未被完全抵消，因而导致磁铁之间有“磁力”相互作用。
1820年是人们对电磁现象的研究取得重大成果的一年。
人们发现，电荷的运动是一切磁现象的根源。
一方面，运动电荷在其周围空间激发磁场；另一方面，运动电荷在空间除受电场力作用之外，还受磁场力作用。
电磁现象是一个统一的整体，电学和磁学不再是两个分立的学科。
11-1 恒定电流 电流密度如前所述，电荷的运动是一切磁现象的根源。
电荷的定向运动形成电流，称为传导电流；若电荷或宏观带电物体在空间作机械运动，形成的电流称为运流电流。
常见的电流是沿着一根导线流动的电流，其强弱用电流强度来描述，它等于单位时间通过某一截面的电量，方向与正电荷流动的方向相同，其数学表达式为dtdq I ，虽然我们规定了电流强度的方向，但电流强度I 是标量而不是矢量，因为电流的叠加服从代数加减法则，而不服从矢量叠加的平行四边形法则。
第二章恒磁场new资料
1
毕奥—萨伐尔定律
例1 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
8 2
dB 0 1、 5 点 ：
3、7点 ：dB +3
+
7
Idl
R
6
0 Idl
4π R 2
0
2、 4、 6、 8 点 ：
+4
5
第二章 稳恒磁场
dB
0 Idl
4π R
2
sin 45
§2 毕奥—萨伐尔定律 二、载流直导线的磁场
第二章 稳恒磁场
§3 磁场高斯定理和安培环路定理
I
S S I
N
N
S
B
N B S
磁场中某点处垂直 B矢量的单
位面积上通过的磁感线数目等 于该点B 的数值.
第二章 稳恒磁场
§3 磁场高斯定理和安培环路定理
s
s
B
B B
dS
en
2.
磁感应通量
Φ BS cos BS Φ B S B en S
1.
磁场高斯定理
磁感应线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感强度 B 的方 向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小. I I I
第二章 稳恒磁场
§3 磁场高斯定理和安培环路定理 一
1.
磁场高斯定理
磁感应线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感强度 B 的方 向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
第二章 稳恒磁场
§1 磁的基本现象和规律
奥斯特
Hans Christian Ørsted
背景： 1、库仑提出电和磁有本质上的区别 2、安培和毕奥等认为电和磁不会有任何联系 3、富兰克林曾经发现莱顿瓶放电能使钢针磁化 奥斯特受康德哲学思想的影响，一直坚信电和磁 之间一定有某种关系，电一定可以转化为磁。 他决心用实验来进行探索。 1820年4月，在一次讲演快结束的时候，奥斯特 抱着试试看的心情又作了一次实验。磁针的跳 动，使他激动得摔了一跤 。 1820年7月21日，奥斯特写成《论磁针的电流撞 击实验》的论文。
毕奥—萨伐尔定律
例1 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
8 2
dB 0 1、 5 点 ：
3、7点 ：dB +3
+
7
Idl
R
6
0 Idl
4π R 2
0
2、 4、 6、 8 点 ：
+4
5
第二章 稳恒磁场
dB
0 Idl
4π R
2
sin 45
§2 毕奥—萨伐尔定律 二、载流直导线的磁场
第二章 稳恒磁场
§3 磁场高斯定理和安培环路定理
I
S S I
N
N
S
B
N B S
磁场中某点处垂直 B矢量的单
位面积上通过的磁感线数目等 于该点B 的数值.
第二章 稳恒磁场
§3 磁场高斯定理和安培环路定理
s
s
B
B B
dS
en
2.
磁感应通量
Φ BS cos BS Φ B S B en S
1.
磁场高斯定理
磁感应线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感强度 B 的方 向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小. I I I
第二章 稳恒磁场
§3 磁场高斯定理和安培环路定理 一
1.
磁场高斯定理
磁感应线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感强度 B 的方 向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
第二章 稳恒磁场
§1 磁的基本现象和规律
奥斯特
Hans Christian Ørsted
背景： 1、库仑提出电和磁有本质上的区别 2、安培和毕奥等认为电和磁不会有任何联系 3、富兰克林曾经发现莱顿瓶放电能使钢针磁化 奥斯特受康德哲学思想的影响，一直坚信电和磁 之间一定有某种关系，电一定可以转化为磁。 他决心用实验来进行探索。 1820年4月，在一次讲演快结束的时候，奥斯特 抱着试试看的心情又作了一次实验。磁针的跳 动，使他激动得摔了一跤 。 1820年7月21日，奥斯特写成《论磁针的电流撞 击实验》的论文。
稳恒磁场
{
r B
S
r v
N N
r 定义：在磁场中一点存在一矢量称为磁感应强度 定义：在磁场中一点存在一矢量称为磁感应强度 B
{
大小： 大小：
Fmax F B= = qv sin α qv
方向：零力线方向（小磁针 方向 方向） 方向：零力线方向（小磁针N方向）
r r r r r r F、v、B满足右手螺旋关系（F = qv × B) r N 4 单位： 1 B 单位：T = 10 G, 1T = 1
求圆弧电流圆心处的磁感应强度 例题2： 例题 ： 解：
dB =
µ0 Idl sin
4π r 2
L
π
I
2 = µ0 Idl 各 dB同方向） 同方向） （ 2 4π R
r Idl
θ
R
例题3： 例题 ：
µ0 Idl µ0 Il µ 0l B = ∫ dB = ∫ = = θ 2 2 0 4π R 4π R 4π R µ0 I θ r = Idl 2 R 2π
dBx
x
dBx = dB sin ϕ
Bx = ∫ dBx = ∫
= 0 By = 0
3
µ0 IRdl
4π ( x + R )
2 2 2
0
=
µ0 IR
2
2 2 3 2
2( R + x )
v v B = Bx i =
r sin θ
r dB
r dB
Idl
r θr r r θr
r Idl
v r ˆ v µ0 Idl × r dB = 2 4π r
r dB
r dB
µ0 Idl sin θ dB = r 4π r2 Idl 注：
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对于有限曲面 B B dS
对于闭合曲面
规定 磁力线穿入 磁力线穿出
B B dS
S
B
B 0
B 0
dS
例1 如图载流长直导线的电流为 I 面积的磁通量.
,试求通过矩形
B
I
l
d1 d2
d2 Φ ln 2π d1
0 Il
o
x
0 Ir 2 R 2 r R B B r 0 I r R 2 r
2 R 2
0 IR 2 0 IS B 3 3 2x 2x
x R
I
R1
R2
*o
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
2 1
Rd d x R cot dx 2 1 0, 2 sin R 0 nI 1 0 B 2 sin d 2 nI (cos 1 cos 2 ) 2
L1 L2
0
当回路不包围直导线时有
L
B dl 0
L2
二、 安培环路定理
在恒定电流的磁场中，磁感应强度B 沿任何 闭合路径L 的线积分（环量）等于路径L所包 围的电流强度的代数和的 0 倍
L
B dl 0 I
L内
穿过以L为边界的 任意曲面的电流 的代数和。
第2章
恒磁场
§1 磁的基本现象和基本规律 §2 磁感应强度 毕奥 – 萨伐尔定律 §3 安培环路定理
§4 磁场的“高斯定理”
§5 磁场对载流电流的作用 §6 带电粒子在磁场中的运动
§1 磁的基本现象和基本规律
一、基本磁现象
司 南
基 本 磁 现 象
(3) 磁体电流 磁现象(1) 电流电流 (2) 电流磁体 磁现象(4) 磁体磁体
R 3 0
R R
dB ro
x
P
x
dr
B dB
R2 2x2 0 r dr 0 2x 2 2 32 2 R2 x2 2( x r )
Review
0 I 3. 载流圆线圈的圆心处 B 2R
4. 无限长直螺线管中心的磁场
3 均匀密绕无限长直螺线管的磁场 已知 n ，I
I
1）P在螺线管外
P
B
B P 0
2）P在螺线管内
l
P
B P 0 nI
l
例1
r R
求：均匀密绕螺线环的磁场（已 知 中心半径R，总匝数N，电流 强度I）
0 NI 0 nI 环腔内 2r
0
I
B
L
r
螺绕环与无限长螺线管一样，磁场全部集中在管内部
环腔外
R1 R2
与环的横截面形状无关
例2、同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导体圆筒内外 半径分别为R2、 R3，电缆载有电流I，求磁场的分布。
B
0 Ir ,r R1 2 2 R1
I
S
IN磁 F NI1 I S 场 I2
S F
F N
•现象： 磁体
磁场的性质
磁体
电流
电流
(1) 对运动电荷(或电流)有力的作用; (2) 磁场有能量
二、安培分子电流假说
1. 安培分子电流观点： 物质的每个分子都存在着回路电流------分子电流 2. 分子电流作定向排列，则宏观上就会显现出磁性来
S
N
磁场
N
运动电荷
S
3. 本质： 运动电荷
三、安培定律
C1上电流元 I1dl1对C2上电流元 I 2 dl2 磁场力为
C1
I1
I2dl2 R12 r2
I2 C2
I1dl1 r1 O
0 I 2 dl2 ( I1dl1 R12 ) dF12 3 4 R12
0 为真空中磁导率
Homework
思考题：
P157 2-5，2-8，2-9
习
题：
P159 2-16，2-17，2-22
§4. 磁场的高斯定理
各种典型的磁感应线的分布：
直线电流的磁感线
圆形电流的磁感线
直螺线管电流的磁感线
环形螺线管电流的磁感线
二、磁通量
dB B dS
dS
通过面元的磁力线条数 —— 通过该面元的磁通量
0 I B (cos1 cos 2 ) 4a 0 I B 无限长载流直导线 2a 0 I 半无限长载流导线 B 4a
B 0nI
Homework
思考题：
P157 2-1，2-4
习
题：
P159 2-1，2-6，2-7，2-15
§3 安培环路定理
一 证明
1 无限长直线电流的情况
§2 磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
一、磁感应强度 (magnetic induction)
(1) dF 0
Idl // B
dF Idl B
磁感应强度的方向
dF 0 dFmax dF 0
(2) 当 Idl B 时
dFmax Idl
L
B dl Bdl cos( )
Bdl cos 0 I
dl
d
B
r
2)不包围直导线 *闭合回路 在垂直于直导线的平面内
L
B dl L B dl L B dl
1 2
d
L1
Brd Brd
x2 R2
0 nI sin dB d 2
例2、半径为 R 的圆盘均匀带电，电荷密度为 。 若该圆盘以角速度 绕圆心 O 旋转，求轴线上距 圆心 x 处的磁感应强度。 解: dB
0 r 2dI
2( x 2 r 2 )3 2 dq 2 rdr dI T 2 / rdr
C1
I1dl1 r1 O
再对C2积分，即得到回路C1对回路C2的作用力
0 F12 4
C2
I 2d l 2
C1
I1d l1 R12 3 R12
§2 磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
一、磁感应强度 (magnetic induction)
Байду номын сангаас 0 I 2dl2 ( I1dl1 r12 ) 安培定律 dF12 2 4 r 12
0 I ,R1 r R2 2 r
0 I ( R r ) , 2 2 r ( R R2 )
2 3 2 3 2
R3
I I
R1
R2
r
R2 r R3
0,r R4
例3 半径为R的无限长直导体，内部有一与导 体轴平行、半径为a的圆柱形孔洞，两轴相距 为b。设导体横截面上均匀通有电流I，求P点 处的磁感应强度。
B1dS1 cos 1 B1dS1
d2 B 2 d S 2 B2 dS2 cos 2 B2dS2
dS 2
B1
dS1 dS2
d1 d2 0
1 dS1
Idl
任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零
推广到任意载流回路的磁场
1Gs =10 –4 T
二、毕奥-萨伐尔定律 (Biot-Savart’s law)
2.毕奥 – 萨伐尔定律的应用
0 I B (cos1 cos 2 ) 4a
1) 无限长载流直导线
1 0 2
0 I B 2a
2) 半无限长载流导线，场点 位于导线一端的垂线上 1 /2 2
0 I B 4a
Idl
R
dB dB
r
x
x
dB//
B
2 R2 x2
0 IR ex
2
3
2
讨论
(1)
B
0 IR 2
2( R 2 x 2 )3 / 2
x 0 载流圆线圈的圆心处
0 I B 2R
I
(2)一段圆弧在圆心处产生的磁场
B
(3)
0 I
垂直于直导线的平面内
0 I B 2r
1)包围直导线
L
B dl Bdl 0 I dl 0 I
L
*同心圆
d
B
r
2r
dl
L
0 I B dl Bdl cos Brd d 0 I
2
*任意环路
L
L内
对称分布的电流，可以通过取合适的环路L， 利用磁场的环路定理比较方便地求解磁场。
例如:
直线电流
长直螺线管
均匀密绕螺线环
三、安培环路定理的应用 B dl 0 I
L
L内
对称分布的电流，可以通过取合适的环路L， 利用磁场的环路定理比较方便地求解磁场。 一个有用的命题
磁场 B 由所有的电流贡献！
电流正负号的规定 穿过以闭合回路为周界 的曲面的电流的正负按 右手螺旋法则规定
I1
I3
L1 L2
L1B dl 0 I 2 I3 B dl 0 I1 I 2 I3
L2
I2
讨论
L
B dl 0 I