第11章稳恒磁场(4-6)(大学物理)
第11章恒稳磁场(全部)
x
dB
Bx
dB sin θ
0
0I 22 R
sin θdθ
0I
0
2R
15
例3：一宽为 a 无限长载流平面，通有 电流 I , 求距平面左侧为 b 与电流共 面的 P 点磁感应强度 B 的大小。
解：以 P 点为坐标原点，向右为坐标正向；
分割电流元为无限多宽为 dx的无限长 载流直导线；
电流元电流 dI I dx a
P 点磁感应强度。
解:
分割电流元
dB
0 4
Idl sin θ r2
l actg( ) actg
dl a csc2 θdθ
r a csc
dB
0 4
Ia
csc2θ sin θdθ a2 csc2 θ
l 2
Idl
lr
o
I
1
a
dB
Px
0I sin θdθ
4 a
B
dB 2 1
0I 4a
第十章
磁场强度
1
1820年4月，丹麦物理学家奥 斯特(H.C.Oersted，1777－ 1851）发现了小磁针在通电导 线周围受到磁力作用而发生偏 转。
实验发现： 磁铁对载流导线、载流导线之间或 载流线圈之间也有相互作用。
2
结论：
磁现象与电荷的运动有着密切的关系。运动
电荷既能产生磁效应，也能受磁力的作用。
实验结果：
（1）在磁场中同一场点，Fmax/q0v 为一恒量； （2）在磁场中不同场点，Fmax/q0v 的量值不同。
定义磁感应强度 B的大小：
B Fmax 国际单位制单位： q0v 特斯拉（T）
磁感应强度B的方向： 小磁针在场点处时N极的指向。
《大学物理》稳恒磁场
第四节 安培环路定理
Bdl L
0 (I1 I2 )
（0 I1
I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
问（1）B 是否与回路 L 外电流有关？
（2）若
LB d l 0 ,是否回路 L 上各处
B
0
？
是否回路 L 内无电流穿过？
43
第四节 安培环路定理
安培环路定理的应用
例题 无限长载流圆柱体的磁场
33
第三节 磁通量 磁场的高斯定理
例题 如图载流长直导线的电流为 I, 试求通过矩形面积的磁通量.
B
I
l
d1 d2
o
x
解
B 0I
2π x
dΦm
BdS
0I
2πx
ldx
Φm
B dS 0Il
S
2π
d2 dx x d1
Φm
0 Il
2π
ln
d2 d1
34
第三节 磁通量 磁场的高斯定理 磁场的高斯定理
d
I
B1
r1
dl1
B2 dl2
r2
l
B1
0I ，
2 π r1
B2
0 I
2 π r2
B1
dl1
B2
dl2
0 I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
40
第四节 安培环路定理
多电流情况
I1
I2
I3
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
第13章
大学物理 稳恒磁场
第十一章稳恒磁场磁场由运动电荷产生。
磁场与电场性质有对称性,学习中应注意对比.§11－1 基本磁现象磁性，磁力，磁现象;磁极，磁极指向性,N极，S极，同极相斥，异极相吸。
磁极不可分与磁单极。
一、电流的磁效应1819年，丹麦科学家奥斯特发现电流的磁效应;1820年，法国科学家安培发现磁场对电流的作用。
二、物质磁性的电本质磁性来自于运动电荷，磁场是电流的场。
注:1932年,英国物理学家狄拉克预言存在“磁单极”，至今科学家一直在努力寻找其存在的证据。
§11－2 磁场磁感强度一、磁场磁力通过磁场传递,磁场是又一个以场的形式存在的物质。
二、磁感强度磁感强度B 的定义：（1）规定小磁针在磁场中N 极的指向为该点磁感强度B 的方向。
若正电荷沿此方向运动,其所受磁力为零。
（2）正运动电荷沿与磁感强度B 垂直的方向运动时,其所受最大磁力F max 与电荷电量q 和运动速度大小v 的乘积的比值，规定为磁场中某点磁感强度的大小。
即：qvF B max=磁感强度B 是描写磁场性质的基本物理量。
若空间各点B 的大小和方向均相等,则该磁场为均匀磁场．．．．；若空间各点B 的大小和方向均不随时间改变，称该磁场为稳恒磁场．．．．。
磁感强度B 的单位:特斯拉(T)。
§11－3 毕奥－萨伐尔定律 一、毕－萨定律电流元: l Id电流在空间的磁场可看成是组成电流的所有电流元l Id 在空间产生元磁感强度的矢量和。
式中μ0:真空磁导率, μ0＝4π×10－7NA 2 dB 的大小： 20sin 4rIdl dB θπμ=d B 的方向： d B 总是垂直于Id l 与r 组成的平面，并服从右手定则.一段有限长电流的磁场： ⎰⎰⨯==l l r r l Id B d B 304πμ二、应用1。
一段载流直导线的磁场 )cos (cos 42100θθπμ-=r IB 说明:(1)导线“无限长"：002r I B πμ=（2）半“无限长”： 00004221r I r IB πμπμ==2.圆电流轴线上的磁场 磁偶极矩232220)(2x R R IB +=μ讨论：（1）圆心处的磁场：x = 0 RIB 20μ=；（2）半圆圆心处的磁场： RIR I B 422100μμ==（3）远场:x >>R ,引进新概念 磁偶极矩0n IS m =则: m xB 3012πμ=3.载流螺线管轴线上的磁场)cos (cos 2120ββμ-=nIB讨论：（1)“无限长”螺线管：nI B 0μ=（2）半“无限长”螺线管：nI B 021μ=例：求圆心处的B .§11－4 磁通量 磁场的高斯定理 一、磁感线作法类似电场线。
第十一章稳恒电流的磁场(一)作业解答
一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度毕奥—萨法尔定律：304r rl Id B d⨯=πμ1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a IB πμ20=半无限长载流直导线a IB πμ40=,直导线延长线上0=B2. 圆环电流的磁场232220)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθμ220∙=R I B电荷转动形成的电流：πωωπ22q q T q I === 【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B的大小为(A))(20b a I+πμ． (B)b b a aI +πln20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I+πμ． 解法：【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法：根据直线电流的磁场公式和圆弧电流产生磁场公式可得【 】自测提高7、边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷．此正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为 (A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2． (C) B 1 = 21B 2． (D) B 1 = B 2 /4． 解法：设正方形边长为a ω 相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同， 为当正方形绕AC 轴旋转时，一个点电荷在O 旋转产生电流，在O 点产生的总磁感小为O 点产生的磁感应强度的大小为基础训练12、一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O 处取一电流元l Id ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 ，方向为 。
大学物理第十一章
r
+ q>0
•
v
q q 00
r v
矢量式：
0 qv r B 3 4 r
E
q r 3 4 0 r 1
运动电荷除激发磁场外，同时还在其周围空间激发 电场。
q
v B
r
P
E
0 qv r B 3 4 r
E
对整个曲面，磁通量：
S
B dS
单位：韦伯(Wb)
3 静磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 进入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
B dS 0
S
Q E dS 0 S
0 qnvS d l sin dB 4 r2
设电流元内共有dN个以速度v运动的带电粒子：
d N nS d l
每个带电量为q的粒子以速度v通过电流元所在位置时， 在P点产生的磁感应强度大小为：
0 qv sin dB B dN 4 r2
其方向根据右手螺旋 、 组成的 法则，B 垂直v r 平面。q为正， 为 v r 的 B 方向；q为负， 与v r 的 B 方向相反。
q r 3 4 0 r 1
B 0 0v E
运动电荷所激发的电场和磁场是紧密联系的。
0 Idl r B dB 3 4 r
3 说明
•该定律是在实验的基础上总结出来的，不能由实验直接证明，
但是由该定律出发得出的一些结果，却能很好地与实验符合。
0 I dl r B L r 3 4
第11章-恒定磁场
3、当带电粒子在磁场中 垂直于此特定方向运动时 受力最大.
Fmax 大小与 q, v 无关
qv
13
11-3
磁场
磁感强度
磁感强度 B的定义：
➢ 方向：若带电粒子在磁场中某点向某方向运动
不受力，且该方向与小磁针在该点指向一致，此特
定方向定义为该点的 B 的方向.
➢ 大小：B F / qv
Fmax
➢ 运动电F荷在q磁v 场B中 受力
Idl er r2
真空磁导率 0 4π 107 N A2
P * r
Idl
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度叠加原理
B
dB
0I dl er
4π r2
15
11-4 毕奥—萨伐尔定律
dB 0 Idl er 毕奥—萨伐尔定律
4π r2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
1、5 点 ：dB 0
30
11-5 磁通量 磁场的高斯定理
二 磁通量 磁场的高斯定理
磁感线密度：磁场中某点处垂直于 B矢量的单位 面积上通过的磁感线数目 N / S
磁场中某点处的磁感线密度等于该点 B矢量的大小
B N S
S B
31
11-5 磁通量 磁场的高斯定理
enB B
磁通量：通过某一曲面的 磁感线数为通过此曲面的 磁通量.
方向有关。
➢ 实验结论
1、带电粒子在磁场中某 点P 沿某一特定方向（或 其反方向）运动时不受力， 此特定方向与小磁针指向 一致.
y
F 0
v +* v
P
o
z
x
12
11-3 磁场 磁感强度
2、带电粒子在磁场中沿
第十一章 电磁学 恒定磁场 Ma 2016
0 qnS d lv er dB 4 r2
d B 0 qv er B d N 4 r 2 方向根据右手螺旋法则， B 垂直 v 、 正， B 为 v r 的方向；q为负， B 与
q
+
r B
v
q－
q为 r组成的平面。 v r 相反。
μ0 I B (cos θ1 cos θ 2 ) 4πr0
0 π
2
I
无限长载流长直导线的磁场
θ1 θ2
μ0 I B 2πr0
注意用右手螺旋关系判断方向。 半无限长载流长直导线的磁场
1
r0
P
θ1 θ2
2 π
μ0 I B 4πr0
I
r0
P
大学物理 电磁学
2、载流圆线圈轴线上的磁场 真空中，半径为R的载流导线，通有电流I，称圆电流。求其 轴线上一点 P的磁感强度的方向和大小
1、5 点 ： dB 0
7
6 5
Idl
R
×
× 3
3、7点 ： dB
0 Idl 4 π R2
4
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R
2
sin 45
0
大学物理 电磁学
3. 毕—萨定律应用举例
dB 的方向均
沿x 轴负方向
(1) 载流长直导线的磁场
z
dz
解
2
dB
大学物理 电磁学
磁现象与电现象有没有联系？
静电场 ？
静止的电荷 运动的电荷
1820年奥斯特：发现电流的磁效应
N
大学物理稳恒电流 电流密度
大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。 方向：正电荷运动的方向。
I dq dt
单位：A
二、电流密度
电流强度对电流的描述比较粗糙：
对于横截面不相等的导体， I 不能反映不同截面处及同 一截面不同位置处电流流动的情况。
电流密度矢量—描写空间各点电流大小和方向的 物理量。
方向：该点正电荷定向运动的方向。
第11章 真空中的稳恒磁场
1、静止电荷周围存在电场，电场对处于其中的电荷施加 电场力。 2、当电荷运动时，它周围不仅有电场，还有磁场。 3、磁场对运动电荷施加作用力，对静止电荷毫无影响。
学习提示：
稳恒磁场与静电场的性质完全不同，但在研究方法 上有许多类似之处，学习过程中注意与静电场进行对 比。
§11-1 稳恒电流 电流密度 一、电流强度
大小：通过垂直于该点正电荷运动方向的单位面积
上的电流强度。
dS
n
j
j
dI dS
dI
dS cos
单位：A/㎡
三、电流密度和电流强度的关系 (1)通过面元dS的电流强度
dI jds cos
(2)通过电流场中任一面积S的电流强度
四、稳恒电流
定义：电流强度I等于常量，这种
电流叫做稳恒电流。
特点：通过导线中任意两个横截面
1.电流（现象）
电流—带电粒子的定向运动。 载流子—电子、质子、离子、空穴。 电流形成条件(导体内)： (1)导体内有可以自由运动的电荷； (2)导体内要维持一个电场。 (导体内有电荷运动说明导体内肯定有电场，这和静电 平衡时导体内场强为零情况不同。)
2.电流强度
电流的大小强弱，通过 电流强度来度量
的电流强度相等
I1 I2
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O
a R2 I
O
R1
解:由于空心部分的存在,磁场的柱对称性被破坏 , 因而
此题解法需用补偿法，使电流恢复对轴线的对称性。
(应保持原有的电流密度不变.)
由前面的结果
0Ir
B
2R2
0I 2r
rR rR
J
J
J
I
其电流电流密度： J R12 R22
1)大圆柱轴线上的磁感应强度B0 大圆柱电流在轴线O上产生的磁场为零
B
0nI 0
内 外
B
a
b
d
cI
3. 环形载流螺线管的磁场分布
已知：I 、N、R1、R2
N——导线总匝数 因为场具有轴对称
磁力线分布如图
作积分回路如图
方向
右手螺旋
.. . . .. .
. .
. .. . . . . . .
R1R2 r
... .. . . .
. ... . ......
I
计算环流
B dl Bdl 2 rB 利用安培环路定理求 B
B dl 0NI
B
0 NI 2r
内
0 外
当 R1、R2 R2 R1
N
n
2R1
B 0nI
.. . . .. .
. .
. .. . . . . . .
R1R2 r
... .. . . .
. ... . ......
B
O
R1 R2
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
电
电荷均匀分布 电流均匀分布
场 、 磁
长直线 E 2 0r
场 中 典 型
长 直
内
圆
柱外
面
E0
E 2 0r
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
结 论 的
长 直
内
圆
r E 2 0 R2
比 较
柱 体
外
E
2 0r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
2. 长直载流螺线管的磁场分布
即
B0
0 J a2a 2 R12
0 Ia3 2 R12 (R12
R22 )
同学们自己做
一无限长圆柱形 铜导体,半径为R,通 有均匀分布的电流 I .今取一矩形平面 S (长:1m,宽:2R),如图 阴影部分所示.求通过 该矩形平面的磁通量. （05年）
I
S 1m
2R
提示:因为内外磁场不连续,要分开计算.
已知：
I、n(单位长度导线匝数)
R
分析对称性 管内磁力线平行于管轴
L
管外靠近管壁处磁场为零
...............
B
I
计算环流
B dl
b a
Bdl
cos
0
c
b
Bdl
cos
2
cd
Bdl cos
da
Bdl
cos
2
B ab
利用安培环路定理求
B
B dl 0nabI . . . . . . . . . . . . . . .
1)先求B内和B外 2)求 m1和 m2 3)求 m m1 m2
§11.5 -6 磁力 、磁力矩
前面内容回顾： 1、用安培环路定理求解磁感应强度的条件是什么?
(除要求电流分布具有某种对称外，还必须要求是闭合的稳恒电流产生的磁场, 对于不闭合的稳恒电流产生的磁场安培环路定理是不成立的。)（即稳恒电 流的回路必须闭合或伸展到）
如果实验上找到了磁单极子，那么磁场的高 斯定律以至整个电磁理论都将作重大修改。
例1 两平行载流直导线
求 1) 两线中点
2) 过图中矩形的磁通量
l
解：1) 求 I1、I2在A点的磁场
方向
2）求磁通量：如图取微元
l
方向
例题2 ：如图，螺绕环截面为矩形 导线总匝数 外半径与内半径之比 高
设环内磁感应强度为
高斯定理的微分形式
磁场是个无源场（即磁场是不发散的）。
磁单极子(叫单独的磁极)
磁场中的高斯定理和电场的高斯定律相比， 可知磁通量反映自然界中没有与电荷相对应的“磁 荷”（或叫单独的磁极）存在。但是狄拉克1931年 在理论上指出，允许有磁单极子的存在.然而迄今为 止，人们还没有发现可以确定磁单极子存在的实验 证据。
0 Ii
L内
B A
B
B dl B dl B dl B dl B dl
L
AB
BC
CD
DA
0 Ii
L内
B lAB 0 B lCD 0 0 n lAB I
B 0 nI 2 板上下两侧为均匀磁场
讨论：如果有两块无限大载流导体薄板平行放置。 通有相反方向的电流。磁场如何分布？
求：通过截面的磁通量
解：
1. 求均匀磁场中 半球面的磁通量
课 2. 在均匀磁场
堂 中，过YOZ平面内
练 习
面积为S的磁通量。
三、磁场的安培环路定理
I
静电场 磁场
?
E
dl
0
B dl
l
r
B
1、圆形积分回路
B
dl
0 I 2 r
dl
0 I 2 r
dl
0I 2 r 2 r
B dl 0I
m1
S B内 dS
R x
0 Ir 2R2
ldx
0 Il 4R2
(R2
x2)
m2
S B外 dS
R x 0 I ldx 0 Il ln R x
R 2r
2 R
要
求
m
最
大
，
必
有d m
dx
0
即 有 ：d dx
0 Il 4R2
(R2
x2 )
0 Il 2
ln
x
R R
0
x2 Rx R2 0 x R ( 5 1) 0
l
2rB 0 I
R
B 0I 2r
讨论：长直载流圆柱面？已知：I、R
B dl Bdl 2 rB
I
0
rR
0 I
rR
R
0
B
0I 2r
0I B
r R 2R
rR
OR
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B的分布。
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
2
例2、一根外半径为R1的无限长圆柱形导体管 , 管内空 心部分的半径为R2 , 空心部分的轴与圆柱的轴相平行 但不重合, 两轴间距离为a(a>R2) , 现有电流I沿导体管 流动 , 电流均匀分布在管的横截面上 , 方向与管轴平
行.
求: 1)圆柱轴线上的磁感应 强度的大小.
2)空心部分轴线上的磁感应 强度的大小.
11-5 带电粒子在电场和磁场中的运动
一、带电粒子在磁场中的运动
1、洛仑兹力 磁场对运动电荷施以的磁场力.
.
设均匀磁场磁感强度为
B
（洛仑兹：荷兰物理学家）
带电粒子质量为m 电量为q ，速度为v，其受力
Fm
q
B
——洛仑兹关系式
大小为：
F
B
方向： 满足右手定则。
由于Fm ，所以洛仑兹 力对施力点电荷永不作功
r
4. 无限大载流导体薄板的磁场分布
一导体，由“无限多”根平行排列的细导线组成， 每根导线都“无限长”且均通以电流 I 。设单位 长度上的导线数目为n ，求证：这无限长的电流 片各处的磁感应强度：
B
1 2
0nI
证明： 分析磁场分布： dBb
a
b
dBa
dB
I
dB
作安培环路ABCDA
CB
D
B dl L
J
I
R12 R22
所以，大圆柱轴线上的磁感应强度B0 就是小圆柱电流在 轴线O上产生的磁感应强度。
即
B0
0 JR22 2a
0 IR22 2a( R12 R22 )
2)小圆柱轴线上磁感应强度 B0 小圆柱电流在自身轴线上产生磁场为零
O
I a R2
O R1
所以，小圆柱轴线上磁感应强度就是大圆柱电流在O‘出 产生的磁感应强度。
r11
dl1
r2
I • d
L
B1
0I 2 r1
B2
0I 2 r2
B1
dl1
0 I 2 r1
cos1dl1
B2
dl2
0 I 2 r2
cos 2dl2
dl1 cos1 r1d dl2 cos2 r2d
B1 dl1 B2
对整个回路
dl2
B
0
dl
0
5、若回路所在平面不垂直导线
0
B dl 0 Ii
说明： 电流取正时与环路成右旋关系
I1 I2
I4
I3
如图
B dl 0 Ii
l
0(I2 I3)
注意：
由环路内电流决定
（1）
B dl 0 Ii 0 ( I2 I3 )
由环路内外电流产生
环路所包围的电流
I1 I2
I4
I3
l
不变
? ? B dl 0 Ii 0( I2 I3 )
本次课问题思考：
1、磁力线与电力线有什么区别？ 2、磁通量怎么定义？磁场中的高斯定理和安培环路定
理说明了稳恒磁场具有什么性质?
3、在什么条件下才能用安培环路定理求解磁感应强度?