人教A版高中数学必修五课件3.1.1不等关系与比较大小

又因为a≠2,所以(a-2)2>0,
而(b+1)2≥0,所以(a-2)2+(b+1)2>0,所以M>-5.故选A.
4.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水
就变甜了,试根据这个事Biblioteka 提炼一个不等式___________.
【解析】由题意 a 的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖
【例】已知a＞0,b＞0且a≠b,试比较aabb与abba的大小.
【审题指导】因为a＞0,b＞0,而且都是以幂的形式给出，
故可考虑利用作商法比较大小.
【规范解答】
aabb abba
aabbba
（ a ）ab , b
①当a＞b＞0时，a ＞1，a-b＞0,∴（ a ）ab＞1;
b
b
②当0＜a＜b时，
2.已知0<a< 1，且M= 1 1 , N= a b , 则M，N的大小
b
1a 1 b 1a 1 b
关系是( )
(A)M>N
(B)M<N
(C)M=N
(D)不能确定
【解析】选A.∵0<a< 1，∴1+a>0,1+b>0,1-ab>0,∴M-N=
b
1 1
a a

1 1
b b

方法二:由于|loga(1-x)|＞0，|loga(1+x)|＞0.
∴ loga 1 x =|log(1+x)(1-x)|
| loga (1 x) |
=-log(1+x)(1-x)=log(1+x) 1 .
1 x
……………………4分 …………………6分
∵0＜1-x2=(1-x)(1+x)＜1.
6.比较x2-2ax与2a-2a2-3的大小(a,x∈R). 【解析】(x2-2ax)-(2a-2a2-3) =(x2-2ax+a2)+(a2-2a+1)+2=(x-a)2+(a-1)2+2. ∵(x-a)2≥0,(a-1)2≥0,∴(x-a)2+(a-1)2+2>0, ∴(x2-2ax)-(2a-2a2-3)>0, ∴x2-2ax>2a-2a2-3.
【规范解答】设甲、乙两种产品产量分别为x件、y件，由
题意列不等式组如下:
0 x 2 500
即04xy6y121040000 ,
2x 8y 12 000 x, y N
0 x 2 500 02xy3y12700000. x 4y 6 000 x, y N
【例2】已知x＞1,比较x3+6x与x2+6的大小. 【审题指导】解答本题可先作差,然后再因式分解进行变形, 最后得出结论. 【规范解答】∵(x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6 =x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6). 又∵x＞1,∴x-1＞0, 又∵x2+6＞0,∴(x-1)(x2+6)＞0. ∴x3+6x＞x2+6.
比较两数(式)的大小 【名师指津】 1.实数的两个特征: （1）任意实数的平方不小于0，即任意a∈R,则a2≥0; （2）任意两个实数都可以比较大小. 2.实数比较大小的依据： 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b， 右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
3.两实数(式子)比较大小的常用方法 (1)作差法（作商法），其主要步骤是: 作差(作商)——变形——判断差的符号（商与1的大小关 系）——得出结论，其中变形是关键，通常用配方、因式分 解等办法处理，同时注意每一步变形必须是等价变形.作商法 适用于要比较的两个数是同号的. (2)利用函数单调性比较大小,通常要先构造一个函数,再利用 单调性.
【规范解答】由于对数的真数应大于0,则x的范围为
0＜x＜1.
……………………………………… 2分
方法一:|loga(1-x)|-|loga(1+x)|
… …lg…1… x… … …lg…1…x… .…………4分
lga
lga
∵0＜x＜1,∴1＜1+x＜2,0＜1-x＜1.
∴lg(1+x)＞0，lg(1-x)＜0. ……………………………6分
【例1】某厂使用两种零件A、B，装配两种产品甲、乙，该 厂的生产能力是月产甲最多2 500件，月产乙最多1 200件， 而组装一件甲需要4个A、2个B；组装一件乙需要6个A、8个 B.某个月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个.写出满足上述所有不等关系的不等式组. 【审题指导】解答本题可先设出甲、乙两种产品产量分别 为x件，y件，然后由不等关系列出不等式组.
0＜ a ＜1，a-b＜0,∴（ a ）ab＞1.
b
b
综上可得（ a ）ab ＞1,∴aabb＞abba.
b
【典例】（12分）设x＞0,a＞0且a≠1，试比较
|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小. 【审题指导】这里涉及的字母a为对数的底数，是否一定要
讨论，可选择换底公式回避讨论，可作差，也可作商比较.
（3）变量与变量之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入 f(x)大于销售成本g(x)； （4）一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与 购置椅子的费用30y的和不超过2 000元.
2.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题. 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同 性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个（或 几个）量之间不能用不等式（组）来表示. 【特别提醒】在用不等式（组）表示实际问题时一定要注 意单位统一.
b
(m>0),则糖水就变甜了，说明 a m a .
bm b
答案：a (bm>a>0a,m>0)
bm b
5.已知x≤1,f(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,则f(x)与g(x)的大小 关系是f(x)________ g(x). 【解析】f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1) =3x3-3x2+x-1=3x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(3x2+1). ∵x≤1,∴x-1≤0. 又∵3x2+1>0,∴(x-1)(3x2+1)≤0,∴f(x)≤g(x). 答案：≤
∴ 1 ＞1+x,且1+x＞1.
1 x
……………………8分
∴log(1+x)＞1log(1+x)(1+x)=1. ……………………10分
1 x
∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)|.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于 10 m，用不等式表示为（ ） （A）v≤120 km/h且d≥10 m （B）v≤120 km/h或d≥10 m （C）v≤120 km/h （D）d＞10 m 【解析】选A.选项A同时满足题目给出的两个条件，故选A.
∴
lg1 x

lg1 x

lg1 x lg1 x

lg1 x2 .
…8分
lga
lga
lga
lga
∵0＜1-x2＜1,∴lg(1-x2)＜0,
∵|lga|＞0,∴lg1 x2 ＞0.
| lga |
∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)|.
…………………10分 ……………………12分
1
2 2ab
a (1
b)
>0,故选A.
3.若a≠2,则M=a2+b2-4a+2b的值与-5的大小关系是（ ）
（A）M>-5
（B）M<-5
（C）M=-5
（D）不能确定
【解析】选A.因为M-(-5)=a2+b2-4a+2b+5
=a2-4a+4+b2+2b+1=(a-2)2+(b+1)2.
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【思考】
【点拨】
用不等式(组)表示不等关系 【名师指津】1.从数学意义上看,不等关系体现在以下几个方 面: （1）常量与常量之间的不等关系,如50 g砝码的质量大于10 g 砝码的质量; （2）变量与常量之间的不等关系，如某儿童的身高hm小于或等 于1.4m；