结构实验模态理论

工程振动测试与分析
结构实验模态理论
–实模态理论
–复模态理论
–FRFs测试技术简介
清华大学航天航空学院
陆秋海
结构动力学特性分析的两种方法
&&
M=
x
+
+&
)(t
f
Kx
C
x
物理坐标模态坐标物理坐标
FEM/BEM
分析过程(Analytical Procedure)
辨识过程(Identification Proceduce)（模态未截断，激励已知）
1 实验建模及分类
实验建模是通过系统的输入(Input)和输出(Output),或确定系统动特性模型的方法又称
仅通过输出信号,确定系统动特性模型的方法。

又称为辨识(Identification)过程。

线性非线性
系统辨识
线性？非线性？常微分方程？(System Identification)
模型的形式、阶次(order)、参数(偏微分方程？...
(parameters ）均未知
辨识的方法
本课程：二阶常
参数辨识(Parameters Identification)
模型的形式已知，阶次和参数待微分方程组反问题的解可能是不唯一的
定；或仅参数待定
反问题的解可能是不唯的
系统分类
离散多自由度线性系统运动方程
t Kx x C x
M =++&&&M,C,K 分别为N ×N 维
的系统离散质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，)(f x 为N 维广义位移矢量，f (t )为N 维广义力矢量。

定常（时不变）系统
(Time Invariant System)M,C,K 矩阵均为与时间无时变系统
(Time Varying System) M,C,K 不同时为与时间无关的常数矩阵关的常数矩阵
关的常数矩阵。

时变系统(Time Varying System)举例
And what else?And what else?
2 实模态(Real Mode Theory)
条件：
有限自由度有限自由度N N 阻尼可对角化
质量阵、刚度阵、阻尼阵实对称,T
M M =质量阵可逆，即
,,,T
K C M C C ∈=N
R
,
T K K =1
−∃M
2.1 特征值问题(Eigen Equation)
N 维有阻尼线性系统振动方(Motion ation Eq ation)t Kx x C x
M =++&&&程(Motion (Motion Equation Equation))(Free )(f K M 无阻尼自由振动方程(Vibration)
=+Kx x &&令j t
ω=令
x Xe
广义特征值问题特征方程
(General Form)2
MX KX
ω＝(General Form)
令K
M
A 1
−=2
标准特征值问题特征方程(Normal Form)ω
λ＝AX X
λ=(Normal Form)
i ω,1,...,i i N
φ=特征对
实模态假定：系统具有N对各异的实特征值和特征向量
特征值(Eigen Values)/模态频率(Modal Freqencies)特征向量(Eigen Vectors)/模态振型(Mode Shapes)
r
ω
r
φr=1,…,N
实模态假设的物理意义：
•可以证明：特征值和特征向量均为实数，即：
：同时过零点同时达到各点的相位差相同：同时过零点，同时达到最大值。

实模态假设成立的条件
•实模态假设成立的条件：
–系统满秩(Rank)N，特征值无缺损，个数为N；
特征值各异则特征向量各异即
–特征值各异，则特征向量各异，即N维空间中由N个正交基（特征向量）张满。

2.4 阻尼矩阵的可对角化条件
Rayleigh 阻尼，也称比例阻尼P ti l D i ＝（Proportional Damping ）是最常用的可对角化条件K
M C βα+更一般的阻尼可对角化条件是
Caughey
1965−−−==1
11
][N j
N j
A
M K M M C ααg y 于年提出的更般的阻尼可对角化条件也∑∑==0
j j j j 更一般的阻尼可对角化条件也是Caughey (考伊)于1965年提出的C
KM K CM 1
1
−−=或写成
)
)(())((1
1
1
1
C M K M K M C M −−−−=
212dr r r
ωωζ
=−dr r
ωω=212r
dr r
ωωζ
=
−P116, P223
ωω
三种导纳圆(Nyquist Circle)
jr ir k +=j r
r r c j m ωω−2
频率稀疏分布时
1
jr r=1r=2
r=3
j 222
11
e
ΦH Y Y Y H H =++=+1113
312
2111113112ϕϕϕ
|H 11|22211111212313
H Y Y Y ϕϕϕ=++反共振点
|H 21|
作业：自行画出3DOF 系统的频响函数定性曲线，并指出其中|H 31|
的特征点
3 复模态理论—Laplace变换法
p
(Complex Mode Theory)
•状态空间法(State Space Method)：Meirovitch1967,
Newland可以解耦但增加求解未知量双正交Newland,1987。

可以解耦但增加求解未知量。

双正交
关系。

•位形空间法：Fawzy和Bishop,1976。

不能利用正交条
Bishop不能利用正交条
件解耦。

正交关系复杂。

•拉普拉斯变换法（复传递函数展开法）：胡海昌，1980。

可以避开正交条件直接得到响应表达式。

•摄动法(Perturbation)：郑兆昌，1985。

用级数渐进展开()
法将实模态修正成复模态。

221
2
21(νωσσνωνωσσνω−+++−−++−1111)
())()=0
1
1σνωνω+−−2
12
1212)
()(νωνω−+−+
221
2
21(νωσσσσνωσσσ−+++−−++−1111)
())()=0
22
1
2
1νωσσσνωσσ−++−−+−111)
()(
模态参数
模参数li )()(lim
s H p s A r p s r r
−=
→)
()(lim s H p
s A r
p s r r
∗
→∗−=∗∗
复留数：
rij
rij rij rij jv u jA R +==2rij
rij rij
rij
jv u jA
R
−=−=2模态质量∗模态质量：T r
r r M m φφ=模态刚度T r
r r
K k φφ∗=模态刚度：模态阻尼T r
r r
C c φφ∗=模态阻尼：
5 基于速度或加速度信号的传递函数及
模态参数
加速度速度和位移留数之间的关系加速度、速度和位移留数之间的关系：
)
(2)
()
()2(2d r v r a R
f R
f R
ππ==度度
(a)、(v)、(d)分别指加速度、速度和位移
6 FRFs 测试技术
FRFs是被测结构的动特性近似模型，包含模型的全部模态参数，通过对模型广义力输入信号和对应响应输出信号的测试和分析，获得结构的FRFs模型是实验动力学建模的传统方法之一。

提取FRFs的原理
f
X
H=
(f
f
F
)
/)
(
(
)
一、步进式正弦激励法(Step Sine)
二、自动正弦慢扫描激励
三、快速扫描正弦激励(Swept Sine)
三快速扫描正弦激励
四、冲击激励(Impact)
五、纯随机激励(Random)
五纯随机激励(Random)
六、伪随机激励(Pseudo-Random)
()七、周期随机激励(Periodic Random)
八、瞬态随机激励( Burst Random )
Literature for further reading
•工程振动试验分析，第八、九章，李德葆、陆秋海，清华大学出版社、Springer出版社，2004
•工程振动测试与分析，第一、二、五、九章，李方泽、刘馥清、王正，高等教育出版社，1992
•实验模态分析及其应用，第一、二、三、五章，李德葆、陆秋海，科学出版社，2001
•振动测量与试验分析，第一、七章，李德葆、张元润，机械工业出版社，1992。