课时跟踪检测(十) 对数与对数函数
对数与对数运算 课时作业(含解析) (9)
课时23 对数的运算(2)对应学生用书P53知识点换底公式的应用a b c abc A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案 A解析 ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1.2．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________. 答案 9解析 由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．设3x＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解 由已知分别求出x 和y ，∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436， 由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y＝log 364，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.4．计算：(1)log 89×log 2732； (2)log 927；(3)log 21125×log 3132×log 513；(4)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． 解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109； (2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32；(3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1 ＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15；(4)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.易错点运用换底公式不熟练致误23A.14 B.12C ．2D ．4 易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．答案 D正解 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.对应学生用书P53一、选择题 1.log 29log 23＝( ) A.12 B ．2 C.32 D.92 答案 B解析 由换底公式log 39＝log 29log 23.∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.2．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．ab D.ab答案 C解析 log 27＝log 23×log 37＝ab .3．设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10. 又∵m >0，∴m ＝10，选A. 4.1log 1419＋1log1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3 C.1lg 3 D ．－1lg 3 答案C 解析 原式＝log1914＋log 1315＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 310＝1lg 3.选C. 5．已知2a ＝3b ＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 答案 D解析 a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，由2a ＋b ＝ab 得2log 2k ＋log 3k ＝log 2k ·log 3k ，即2lg k lg 2＋lg k lg 3＝lg k 2lg 2lg 3，得2lg 3＋lg 2＝lg k ，即k ＝18.二、填空题6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________． 答案 4解析 由换底公式得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)， 即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5.∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.7．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________． 答案 81解析 log a b ·log 3a ＝4，即log 3a ·log a b ＝4，即log 3b ＝4， ∴34＝b ，∴b ＝81.8．已知2x＝72y＝A ，且1x ＋1y＝1，则A 的值是________．答案 98解析 ∵2x ＝72y ＝A ，∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A . ∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7 ＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1. ∴A ＝98. 三、解答题9．计算下列各式的值： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4；(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06.解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1；(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.10．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . (1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y.解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34.∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.►2.2.2 对数函数及其性质。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十一对数与对数函数含解析
课时跟踪检测(十一) 对数与对数函数一、题点全面练1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .2．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：选D ∵log 12x ＜log 12y ＜log 121，∴x ＞y ＞1.3．(2019·新乡一模)若log 2(log 3a )＝log 3(log 4b )＝log 4(log 2c )＝1，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选D 由log 2(log 3a )＝1，可得log 3a ＝2，故a ＝32＝9；由log 3(log 4b )＝1，可得log 4b ＝3，故b ＝43＝64；由log 4(log 2c )＝1，可得log 2c ＝4，故c ＝24＝16.∴b ＞c ＞a .故选D.4．(2019·郑州模拟)设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选B a ＝log 50.5＞log 50.2＝－1，b ＝log 20.3＜log 20.5＝－1，c ＝log 0.32＞log 0.3103＝－1，log 0.32＝lg 2lg 0.3，log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴lg 2lg 0.3＜lg 2lg 0.2，即c ＜a ，故b ＜c ＜a .故选B.5．(2019·长春模拟)已知对数函数f (x )＝log a x 是增函数，则函数f (|x |＋1)的图象大致是( )解析：选B 由函数f (x )＝log a x 是增函数知，a ＞1.f (|x |＋1)＝log a (|x |＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ＋，x ≥0，log a [－x －，x ＜0.由对数函数图象知选B.6．(2018·肇庆二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A ．f (x )是奇函数，且在(0,10)上是增函数 B ．f (x )是偶函数，且在(0,10)上是增函数 C ．f (x )是奇函数，且在(0,10)上是减函数 D ．f (x )是偶函数，且在(0,10)上是减函数解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x ＞0，10－x ＞0，得x ∈(－10,10)，故函数f (x )的定义域为(－10,10)，关于原点对称．由于f (－x )＝lg(10－x )＋lg(10＋x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．而f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )＝lg(100－x 2)，y ＝100－x 2在(0,10)上递减，y ＝lg x 在(0,10)上递增，故函数f (x )在(0,10)上递减．7．(2018·郑州月考)已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 28．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m＝9.答案：99．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，－x ＞0， 由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log ax ＋，x ≥0，log a －x ＋，x ＜0.(2)∵－1＜f (1)＜1，∴－1＜log a 2＜1， ∴log a 1a＜log a 2＜log a a .①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 1a＜2，a ＞2，解得a ＞2；②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a＞2，a ＜2，解得0＜a ＜12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a ＞0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax ＞0恒成立． ∴3－2a ＞0，∴a ＜32.又a ＞0且a ≠1，∴0＜a ＜1或1＜a ＜32，∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a ＞1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，其图象的对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)，故选A.2．(2019·湛江模拟)已知log a 34＜1，那么a 的取值范围是________．解析：∵log a 34＜1＝log a a ，故当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，0＜a ＜34；当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，a ＞34，∴a ＞1.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) 3．函数f (x )＝log 13(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－4，因为y ＝log 13t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与指数函数、幂函数的交汇]已知x 1＝log 132，x 2＝2-12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 2＜x 1＜x 3D ．x 3＜x 1＜x 2解析：选A 由题意可知x 3是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝log 3x 的图象，如图所示，由图象可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0,0＜x 2＝2-12＜1，所以x 3＞x 2＞x 1.故选A.5．[与数列的交汇]已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.解析：∵log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)， ∴log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，即log 2a n ＋1a n ＝1，∴a n ＋1a n＝2. ∴数列{a n }是公比q ＝2的等比数列，则a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)q 100＝2100， ∴log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100. 答案：100(三)素养专练——学会更学通6．[逻辑推理]设x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＞0，则x 2，y 3，z5的大小关系不可能是( )A.x 2＜y 3＜z 5B.x 2＝y 3＝z 5C.z 5＜y 3＜x2D.y 3＜x 2＜z5解析：选D 设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k ＞0， 可得x ＝2k＞1，y ＝3k＞1，z ＝5k＞1. ∴x2＝2k －1，y3＝3k －1，z5＝5k －1.①若0＜k ＜1，则函数f (x )＝x k －1单调递减，∴x 2＞y 3＞z5； ②若k ＝1，则函数f (x )＝x k －1＝1，∴x 2＝y 3＝z5；③若k ＞1，则函数f (x )＝x k －1单调递增，∴x 2＜y 3＜z 5. ∴x 2，y 3，z5的大小关系不可能是D. 7．[直观想象]已知点A (1,0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选B 设B (x 0，ln x 0)，x 0＞0，线段AB 的中点为C ，则C ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋12，ln x 02，又点C 在曲线M 上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4x 0＋1.此方程根的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．故选B.8．[逻辑推理]若方程2log 2x －log 2(x －1)＝m ＋1有两个不同的解，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －1＞0，即x ＞1，方程化简为log 2x 2x －1＝m ＋1，故x 2x －1＝2m ＋1，即x 2－2m ＋1x ＋2m ＋1＝0，当x ＞1时，此方程有两个不同的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m＞1，1－2m ＋1＋2m ＋1＞0，Δ＝22m ＋2－4×2m ＋1＞0，得m ＞1.答案：(1，＋∞)。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十一对数与对数函数含解析
课时跟踪检测(十一) 对数与对数函数一、题点全面练1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .2．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：选D ∵log 12x ＜log 12y ＜log 121，∴x ＞y ＞1.3．(2019·新乡一模)若log 2(log 3a )＝log 3(log 4b )＝log 4(log 2c )＝1，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选D 由log 2(log 3a )＝1，可得log 3a ＝2，故a ＝32＝9；由log 3(log 4b )＝1，可得log 4b ＝3，故b ＝43＝64；由log 4(log 2c )＝1，可得log 2c ＝4，故c ＝24＝16.∴b ＞c ＞a .故选D.4．(2019·郑州模拟)设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选B a ＝log 50.5＞log 50.2＝－1，b ＝log 20.3＜log 20.5＝－1，c ＝log 0.32＞log 0.3103＝－1，log 0.32＝lg 2lg 0.3，log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴lg 2lg 0.3＜lg 2lg 0.2，即c ＜a ，故b ＜c ＜a .故选B.5．(2019·长春模拟)已知对数函数f (x )＝log a x 是增函数，则函数f (|x |＋1)的图象大致是( )解析：选B 由函数f (x )＝log a x 是增函数知，a ＞1.f (|x |＋1)＝log a (|x |＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ＋，x ≥0，log a [－x －，x ＜0.由对数函数图象知选B.6．(2018·肇庆二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A ．f (x )是奇函数，且在(0,10)上是增函数 B ．f (x )是偶函数，且在(0,10)上是增函数 C ．f (x )是奇函数，且在(0,10)上是减函数 D ．f (x )是偶函数，且在(0,10)上是减函数解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x ＞0，10－x ＞0，得x ∈(－10,10)，故函数f (x )的定义域为(－10,10)，关于原点对称．由于f (－x )＝lg(10－x )＋lg(10＋x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．而f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )＝lg(100－x 2)，y ＝100－x 2在(0,10)上递减，y ＝lg x 在(0,10)上递增，故函数f (x )在(0,10)上递减．7．(2018·郑州月考)已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 28．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm＝9.答案：99．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，－x ＞0， 由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log ax ＋，x ≥0，log a －x ＋，x ＜0.(2)∵－1＜f (1)＜1，∴－1＜log a 2＜1， ∴log a 1a＜log a 2＜log a a .①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 1a＜2，a ＞2，解得a ＞2；②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a＞2，a ＜2，解得0＜a ＜12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a ＞0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax ＞0恒成立． ∴3－2a ＞0，∴a ＜32.又a ＞0且a ≠1，∴0＜a ＜1或1＜a ＜32，∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a ＞1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，其图象的对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)，故选A.2．(2019·湛江模拟)已知log a 34＜1，那么a 的取值范围是________．解析：∵log a 34＜1＝log a a ，故当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，0＜a ＜34；当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，a ＞34，∴a ＞1.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) 3．函数f (x )＝log 13(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－4，因为y ＝log 13t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与指数函数、幂函数的交汇]已知x 1＝log 132，x 2＝2-12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 2＜x 1＜x 3D ．x 3＜x 1＜x 2解析：选A 由题意可知x 3是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝log 3x 的图象，如图所示，由图象可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0,0＜x 2＝2-12＜1，所以x 3＞x 2＞x 1.故选A.5．[与数列的交汇]已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.解析：∵log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)， ∴log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，即log 2a n ＋1a n ＝1，∴a n ＋1a n＝2. ∴数列{a n }是公比q ＝2的等比数列，则a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)q 100＝2100， ∴log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100. 答案：100(三)素养专练——学会更学通6．[逻辑推理]设x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＞0，则x 2，y 3，z5的大小关系不可能是( )A.x 2＜y 3＜z 5B.x 2＝y 3＝z 5C.z 5＜y 3＜x2D.y 3＜x 2＜z5解析：选D 设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k ＞0， 可得x ＝2k＞1，y ＝3k＞1，z ＝5k＞1. ∴x2＝2k －1，y3＝3k －1，z5＝5k －1.①若0＜k ＜1，则函数f (x )＝x k －1单调递减，∴x 2＞y 3＞z5； ②若k ＝1，则函数f (x )＝x k －1＝1，∴x 2＝y 3＝z5；③若k ＞1，则函数f (x )＝x k －1单调递增，∴x 2＜y 3＜z 5. ∴x 2，y 3，z5的大小关系不可能是D. 7．[直观想象]已知点A (1,0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选B 设B (x 0，ln x 0)，x 0＞0，线段AB 的中点为C ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12，ln x 02，又点C 在曲线M 上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4x 0＋1.此方程根的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．故选B.8．[逻辑推理]若方程2log 2x －log 2(x －1)＝m ＋1有两个不同的解，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －1＞0，即x ＞1，方程化简为log 2x 2x －1＝m ＋1，故x 2x －1＝2m ＋1，即x 2－2m ＋1x ＋2m ＋1＝0，当x ＞1时，此方程有两个不同的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m＞1，1－2m ＋1＋2m ＋1＞0，Δ＝22m ＋2－4×2m ＋1＞0，得m ＞1.答案：(1，＋∞)。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解)
专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <- C ．01b a << D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（ ）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（ ） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ）A b a <<B ．b a <C a b <D ．a b <<二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减． 其中所有正确结论的序号为______． 四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==， 而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-， 则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】 【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误； 对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确． 故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=， 所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =， 所以4x =，2y =，所以6x y +=， 故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤； 当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =， 方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=， 从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =， 所以原方程的根为9x =或181x =； （2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =， 即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =， 所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=， 所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点， 由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <， 其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <． 故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2． 故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分1a >和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <； 由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】 【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥， 令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<， 因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥， 所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同， 所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数， 所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数课件 理
D．①②④
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解析：若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2， 即 M2＝N2，则|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．
答案：C
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2.写出下列各式的值： (1)log2 22＝________； (2)log53＋log513＝________； (3)lg 52＋2lg 2－12－1＝________；
「应用提示研一研」 1.换底公式的两个重要推论
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
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2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故 0 ＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
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「基础小题练一练」
1.对于 a＞0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2. A.①③
B．②④
C.②
5＋(lg 5＋lg 2)·lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)81
5 (2)4
(3)15
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对数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
[典 例 导 引] (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)若不等式(x－1)2＜logax 在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
对数与对数函数知识点及例题讲解学生版
基础例题1.函数f （x ）=|log 2x|的图象是CD2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x+1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y=f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y=x 7zC.y=7x zD.y=z x 5.已知1＜m ＜n ，令a=（log n m ）2，b=log n m 2，c=log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22 C.41 D.21 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21B.－21 C.2D.－28.函数f （x ）=log2|x|，g （x ）=－x2+2，则f （x ）·g（x ）的图象只可能是ABCD9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x+1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a+b ）的值为 A.1 B.2 C.3 D.log 23 10.方程lgx+lg （x+3）=1的解x=___________________. 典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31B.61C.121D.241 【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.【例4】已知y=log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.【例6】 求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x ）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x探究创新1.若f （x ）=x 2－x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y= f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y= f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y=g （x ）的图象，若2 f－1（x+m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.。
高一数学同步训练之11对数与对数函数学案
高一数学同步训练 第1页（共1页）对数和对数函数知识梳理1.对数及其运算性质2.对数函数的图像和性质例题1.使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为2.求值： ⑴8.1log 7log37log 235log 5555-+-⑵421938432log)2log 2)(log 3log3(log -++⑶245lg8lg344932lg21+-⑷4log]18log 2log )2log 1[(66626÷+-3.已知518,9log18==ba ，试用b a ,表示_____5log 36=4.解方程⑴()()13lg 264lg 2=---+x x x ⑵04lg 32lg 3=+--x x5.若log a53<1，则a 的取值范围是 .6.比较log 621、log 32、log 2530、log 56的大小.7.函数2)1ln()(x e x f x-+=的奇偶性为8.偶函数||log)(b x x f a-=在)0,(-∞上单调递增，则)2(__)1(++b f a f9.若0log2<-x x a在⎪⎭⎫⎝⎛21,0上恒成立，则a 的取值范围是10.若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是 巩固练习1.给出下列式子①5log 512＝12；②πlog π3－1＝13；③2log 2(－3)＝－3；④xlog x 5＝5，其中不正确的是( )C2.已知log 3(log 4(log 5a))＝log 4(log 3(log 5b))＝0，求ab 的值．53.求方程9x －6·3x －7＝0的解． x ＝log 374.如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）CA ．x =a +3b －cB ．cab x 53=C ．53cab x =D ．x =a +b 3－c 35.下列函数图象正确的是（ ）A B C D 6.下列关系式中，成立的是（ ）AA ．10log514log3103>⎪⎭⎫⎝⎛>B ． 4log5110log 331>⎪⎭⎫⎝⎛>C ． 03135110log 4log ⎪⎭⎫⎝⎛>>D ．0331514log10log ⎪⎭⎫⎝⎛>>7.函数)2(log 221x y -=的定义域是 ，值域是 . (][)2,112 --， [)+∞,0；8.如果31log2log)1()1(22++++<a a a a ，则a 的取值范围是(－1, 0)9.函数y=)124(log221-+x x 的单调递增区间是 . )2,(--∞10.设x ，y ，z ∈R +，且3x =4y =6z .(1)求证：yx z 2111=-; (2)比较3x ，4y ，6z 的大小. 3x ＜4y ＜6z .11.设函数)1lg()(2++=x x x f .(1)确定函数f (x )的定义域；R (2)判断函数f (x )的奇偶性；奇函数(3)证明函数f (x )在其定义域上是单调增函数；。
对数运算与对数函数(修改版)
对数与对数运算一、对数的概念若N a x=)1,0(≠>a a ，则x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ）， 记作：N x a log = 其中a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：1、注意底数的限制0>a ，且1≠a ；2、x N N a a x=⇔=log ； 3、 注意对数的书写格式．二、对数的基本运算法则如果0,1,0,0a a M N >≠>> 有：log ()log log log log log log log ()a a a aa a n a a MN M N MM N NM n M n R =+=-=∈三、对数的性质1、负数和零没有对数；0N >；2、1的对数是零：01log =a ；3、底数的对数是1：1log =a a ；4、对数恒等式：N a Na =log ； 5、n a n a =log ．四、一些推论1、对数换底公式： aNN m m a log log log = ( a ＞0 ,a ≠ 1 ，m ＞0 ,m ≠ 1,N ＞0)．2、两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ． ② b mnb a na m log log =（a ,b ＞0且均不为1）． 五、两种特殊的对数： 1、常用对数10log lg N N 记为；2、自然对数 e log ln N N 记为；（无理数e=2.718 28……） 六、典型例题例1、将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）45625=；（2）61264-=；（3）1() 5.733n=；(4) 12log 164=-；(5) lg0.012=-；(6) ln10 2.303=.例2、求下列各式中x 的值: (1) 82log 3x =-；(2) 3log 274x = ；(3) 25log log 1x =（） ；(4) 3log lg 0x =（）。
2022新教材高中数学第四章对数运算与对数函数章末检测含解析北师大版必修第一册
对数运算与对数函数(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：log 225·log 522＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选A log 225·log 522＝lg 25lg 2·lg 812lg 5＝3，故选A.2．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：选A 由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，故选A.3．不等式log 2(x ＋1)<1的解集为( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |－1<x ≤0} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x >－1}解析：选C ∵log 2(x ＋1)<1，∴0<x ＋1<2，即－1<x <1.故选C. 4．函数f (x )＝|log 23x |的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B ．(0，1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )－1，则f (lg 3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．－2解析：选D ∵f (－x )＝ln(1＋4x 2＋2x )－1＝ln11＋4x 2－2x－1＝－ln(1＋4x 2－2x )－1，∴f (－x )＋f (x )＝－2，∴f (lg 3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝－2.故选D. 6．若函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f (x )>0，则f (x )( ) A ．在(－∞，0)上是增函数 B ．在(－∞，0)上是减函数 C ．在(－∞，－1)上是增函数 D ．在(－∞，－1)上是减函数 解析：选C 当－1<x <0时，0<x ＋1<1. ∵log a |x ＋1|>0，∴0<a <1，∴函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减． 7．设a ＝log 23，b ＝30.01，c ＝ln22，则( ) A ．c <a <b B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <a <c解析：选A 先与0比较，a ＝log 23>log 21＝0，b ＝30.01>0，c ＝ln22<ln 1＝0，得到c 最小；再与1比较，a ＝log 23<log 22＝1，b ＝30.01>30＝1，得到b 最大．综上，b >a >c .故选A.8．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1，1)，N (1，2)，P (2，1)，Q (2，2)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12中，可以是“好点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设指数函数为y ＝a x(a >0，且a ≠1)，显然其图象不过点M ，P ；设对数函数为y ＝log b x (b >0，且b ≠1)，显然其图象不过点N .故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．有以下四个结论，其中正确的有( ) A ．ln(lg 10)＝0 B ．lg(ln e 10)＝1 C ．若e ＝ln x ，则x ＝e 2D ．ln(lg 1)＝0解析：选AB ln(lg 10)＝ln 1＝0，lg(ln e 10)＝lg 10＝1，所以A 、B 均正确；C 中若e ＝ln x ，则x ＝e e，故C 错误；D 中lg 1＝0，而ln 0没意义，故D 错误．10．若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log c a <log c b B ．c a >c bC ．a c>b cD ．log c (a ＋b )>0解析：选AC 因为0<c <1，所以y ＝log c x 在定义域内为减函数，由a >b >0得log c a <log c b ，故A 正确；因为0<c <1，所以y ＝c x在定义域内为减函数，由a >b >0，得c a<c b，故B 错误；因为a >b >0，0<c <1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c>1，所以a c >b c，故C 正确；取c ＝12，a ＋b ＝2，则log c (a ＋b )＝log 122＝－1<0，故D 错误．11．函数f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上是减函数，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值 C ．f (x )在定义域内是偶函数 D ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称解析：选AD 由|x －1|＞0得，函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，－x ＋1，x ＜1，则g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g (x )的图象关于x ＝1对称，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，D 正确；因为函数f (x )在(0，1)上是减函数，所以a >1，所以f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A 正确，B 错误；又f (－x )＝log a |－x －1|＝log a |x ＋1|≠f (x )，所以C 错误，故选A 、D. 12．已知函数f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)，给出下列论述，其中正确的是( ) A ．当a ＝0时，f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．f (x )一定有最小值C ．当a ＝0时，f (x )的值域为RD ．若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是{a |a ≥－4}解析：选AC 对A ，当a ＝0时，解x 2－1>0有x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A 正确；对B ，当a ＝0时，f (x )＝lg(x 2－1)，此时x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x 2－1∈(0，＋∞)，此时f (x )＝lg(x 2－1)的值域为R ，故B 错误，C 正确；对D ，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y ＝x 2＋ax －a －1对称轴x ＝－a2≤2.解得a ≥－4.但当a ＝－4时f (x )＝lg(x2－4x ＋3)在x ＝2处无意义，故D 错误．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知log b a >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝__________，b ＝________．解析：因为log a b ＋log b a ＝52，所以1log b a ＋log b a ＝52，所以2(log b a )2－5log b a ＋2＝0，所以log b a ＝2或log b a ＝12(舍去)，所以a ＝b 2，代入a b ＝b a ，得b 2b ＝b b 2，所以2b ＝b 2，因为b ≠0，所以b ＝2，从而a ＝b 2＝4，故a ＝4，b ＝2.答案：4 214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，log 12x ，x ≥1，则f (0)＋f (2)等于________．解析：易得f (0)＋f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120－1＋log 122＝2＋(－1)＝1.答案：115．已知函数y ＝log a 1－xx ＋1(0<a <1)在区间(a ，1)上的值域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．解析：由题意，y ＝log a 1－xx ＋1在区间(a ，1)上是增函数．∵函数在区间(a ，1)上的值域是(1，＋∞)， ∴log a 1－a a ＋1＝1，∴1－a a ＋1＝a ，∴a 2＋2a －1＝0.∵0<a <1，∴a ＝2－1. 答案：2－116．里氏地震等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特制定的，它同震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23 lg E －3.2，其中E (焦耳)为地震时以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗原子弹释放的能量，那么里氏8.0级大地震所释放的能量相当于________颗原子弹的能量．解析：设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2，E 1，则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3，∴E 2E 1＝103＝1 000.故里氏8.0级大地震所释放的能量相当于1 000颗原子弹的能量．答案：1 000四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解答下列各题： (1)计算：lg 0.000 1；log 2164；log 3.12(log 1515)； (2)已知log 4x ＝－32，log 3(log 2y )＝1，求xy 的值．解：(1)因为10－4＝0.000 1， 所以lg 0.000 1＝－4.因为2－6＝164，所以log 2164＝－6.log 3.12(log 1515)＝log 3.121＝0.(2)因为log 4x ＝－32，所以x ＝4－32＝2－3＝18.因为log 3(log 2y )＝1，所以log 2y ＝3. 所以y ＝23＝8.所以xy ＝18×8＝1.18．(本小题满分12分)画出函数f (x )＝|log 6x |的图象，并求出其值域、单调区间以及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤136，6上的最大值．解：因为f (x )＝|log 6x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 6x ，x ≥1，－log 6x ，0<x <1，所以在[1，＋∞)上f (x )的图象与y ＝log 6x 的图象相同，在(0，1)上的图象与y ＝log 6x 的图象关于x 轴对称，据此可画出其图象如图所示．由图象可知，函数f (x )的值域为[0，＋∞)，单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤136，6时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤136，1上单调递减，在(1，6]上单调递增．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫136＝2，f (6)＝1<2，故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤136，6上的最大值为2.19．(本小题满分12分)已知函数f (x －1)＝lg x2－x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解关于x 的不等式f (x )≥lg(3x ＋1)．解：(1)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1.由题意知x2－x>0，即0<x <2，则－1<t <1.所以f (t )＝lg t ＋12－（t ＋1）＝lg t ＋11－t. 故f (x )＝lg x ＋11－x(－1<x <1)．(2)lg x ＋11－x ≥lg(3x ＋1)⇔x ＋11－x≥3x ＋1>0.由3x ＋1>0，得x >－13.因为－1<x <1，所以1－x >0. 由x ＋11－x≥3x ＋1，得x ＋1≥(3x ＋1)(1－x )， 即3x 2－x ≥0，解得x ≥13或x ≤0.又x >－13，－1<x <1，所以－13<x ≤0或13≤x <1.故不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．解：(1)要使函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故函数f (x )的定义域为(－1，1)． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为(－1，1)，定义域关于原点对称，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．21．(本小题满分12分)已知不等式log 2(x ＋1)≤log 2(7－2x )． (1)求不等式的解集A ；(2)若当x ∈A 时，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2≥m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≤7－2x ，解得－1<x ≤2，因此，原不等式的解集A ＝(－1，2]．(2)令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2，x ∈(－1，2]，则原问题等价于f (x )min ≥m .∵f (x )＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2， 则y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1，当t ＝12，即x ＝1时，函数f (x )取得最小值，即f (x )min ＝1，∴m ≤1.因此，实数m 的取值范围是(－∞，1]．22．(本小题满分12分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14，45]时，曲线是函数y ＝log a (t －5)＋83(a >0且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于80时听课效果最佳．(1)试求p ＝f (t )的函数关系式；(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．解：(1)由题意知，当t ∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12，82)，且曲线过点(14，81)，则可得f (t )＝－14(t －12)2＋82，t ∈(0，14]．又当t ∈[14，45]时，曲线是函数y ＝log a (t －5)＋83(a >0且a ≠1)图象的一部分，且曲线过点(14，81)，则易得a ＝13，则f (t )＝log 13(t －5)＋83，t ∈[14，45]．则p ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－14（t －12）2＋82，t ∈（0，14]，log 13（t －5）＋83，t ∈（14，45].(2)由题意知，注意力指数p 大于80时听课效果最佳， 当t ∈(0，14]时，令f (t )＝－14(t －12)2＋82>80，解得12－22<t ≤14.当t ∈(14，45]时，令f (t )＝log 13(t －5)＋83>80，解得14<t <32.综上可得，12－22<t <32.故老师在(12－22，32)这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．。
高考数学复习讲义： 对数与对数函数
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[易错提醒] 应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求 解错误，要记准记牢图象的变换规律．
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[集训冲关]
1.[考法一]函数 f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为 ( )
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解析：由函数 f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关 于 y 轴对称．设 g(x)＝loga|x|，先画出 x>0 时，g(x)的图象， 然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x<0 时 g(x)的图象， 最后由函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位即得 f(x)的图 象，结合图象知选 A. 答案：A
() ()
(3)存在这样的 M，N 使得 log2(MN)＝log2M·log2N.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
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二、填空题
1．已知 log62＝p，log65＝q，则 lg 5＝________(用 p，q 表示)．
解析：lg 5＝lloogg66150＝log62＋q log65＝p＋q q. 答案：p＋q q
抓牢双基·自学回扣
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对数函数的性质
[基本知识]
函数
y＝logax(a>0，且 a≠1)
a>1
0<a<1
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性 单调性 在(0，＋∞)上是_增__函__数_ 在(0，＋∞)上是_减__函__数_
质 函数值
当 x＝1 时， y＝0
变化规 当 x>1 时， y>0 ； 当 x>1 时， y<0 ；
N 叫做真数，logaN 叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔ x＝logaN loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝ N
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第 1 页 共 6 页 课时跟踪检测（十） 对数与对数函数
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·徐州调研)函数y＝log232x－1的定义域是________． 解析：由log23 (2x－1)≥0⇒0<2x－1≤1⇒12答案：12，1 2．函数f(x)＝log12 (x2－4)的单调递增区间为________．
解析：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝log12t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log12t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增． 答案：(－∞，－2) 3．(2016·南通模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．
解析：因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32答案：a＝b>c
4．(2015·安徽高考)lg52＋2lg 2－12－1＝________.
解析：lg52＋2lg 2－12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1 5．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______． 解析：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)． 答案：(－∞，－1) (－1，＋∞) 第 2 页 共 6 页 二保高考，全练题型做到高考达标 1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为________． 解析：在同一坐标系中分别作函数y＝|x－2|与y＝ln x的图象如图所示．由图可知y＝|x－2|与y＝ln x有2个交点，所以函数f(x)零点的个数为2. 答案：2
2．(2016·无锡五校联考)已知函数f(x)＝ log2x，x>0，3－x＋1，x≤0，则f(f(1))＋flog312的值是________． 解析：由题意可知f(1)＝log21＝0， f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
flog312＝331-log2＋1＝33log2＋1＝2＋1＝3， 所以f(f(1))＋flog312＝5. 答案：5 3．设a＝log323，b＝log525，c＝log727，则a，b，c的大小关系为________．
解析：因为log323＝log32－1，log525＝log52－1，log727＝log72－1，log32>log52>log72，故a>b>c. 答案：a>b>c 4．计算：log2.56.25＋lg 0.001＋ln e＋2－1＋log23＝______.
解析：原式＝log2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e12＋2log232 ＝2－3＋12＋32＝1. 答案：1 5．若函数f(x)＝logax2＋32x(a>0，a≠1)在区间12，＋∞内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________． 解析：令M＝x2＋32x，当x∈12，＋∞时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1.所以函数第 3 页 共 6 页 y＝logaM为增函数，又M＝x＋342－916，因此M的单调递增区间为－34，＋∞.又x2＋32
x>0，所以x>0或x<－32.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 6．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝log22x，y＝x12，y＝
2
2x
的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
解析：由条件得，点A在函数y＝log22 x的图象上，从而由2＝log22 x，得xA＝12.而点B在函数y＝x12上，从而2＝x12，解得xB＝4.于是点C的横坐标为4.又点C在函数y＝22x上，从而yC＝14，所以点D的坐标为12，14. 答案：12，14 7．已知函数f(x)＝ log2x，x>0，3x，x≤0，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______． 解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1. 答案：(1，＋∞) 8．(2016·苏州四市调研)函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为______．
解析：依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2x＋122－14≥－14，
当且仅当log2x＝－12，即x＝22时等号成立， 因此函数f(x)的最小值为－14. 答案：－14 第 4 页 共 6 页 9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log12x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log12(－x)． 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝ log12x，x>0，0，x＝0，log12－x，x<0. (2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－5即不等式的解集为(－5，5)． 10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，(a>0且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集． 解：(1)要使函数f(x)有意义．
则 x＋1>0，1－x>0，解得－1故所求函数f(x)的定义域为(－1,1)． (2)证明：由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)， 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数． (3)因为当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f(x)>0⇔x＋11－x>1，解得0所以使f(x)>0的x的解集是(0,1). 第 5 页 共 6 页 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间12，23上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________． 解析：当00，即0<43－a<1，解得13当a>1时，函数f(x)在区间12，23上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解． 综上所述，实数a的取值范围是13，1. 答案：13，1 2．(2016·盐城中学月考)已知函数f(x)＝loga1－xb＋x(0函数f(x)的值域是(－∞，1]，则a＋b的值为________． 解析：由1－xb＋x>0，解得－b0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b＝1.所以f(x)
＝loga1－x1＋x(01，a]上单调递增．又因为函数f(x)的值域是(－∞，1]，故f(a)＝1，此时g(a)＝a，即1－aa＋1＝a，解得a＝2－1(负根舍去)，所以a＋b＝2. 答案：2 3．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2， 因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]， 故函数h(x)的值域为[0,2]． (2)由f(x2)·f(x)>k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立， 第 6 页 共 6 页 ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0,2]时，k<3－4t3－tt恒成立， 即k<4t＋9t－15， 因为4t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝32时取等号， 所以4t＋9t－15的最小值为－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．