经典几何
(完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案).docx
初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是 45 °、30 °、22.5 °、15 °及有一个角是 30 °直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60 度旋 60 度，造等边三角形遇90 度旋 90 度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋 180 度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“ 8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
高中数学专题复习经典平面几何难题解析
AAB 经典平面几何题目解析经典难题（一）1、已知：如图，O 为半圆的圆心，C,E 是圆上的两点，CD AB ⊥，,EF AB EG CO ⊥⊥ 求证：CD=GF 。
证明：从已知条件,EF AB EG CO ⊥⊥G ,O,F,E 四点共圆，因为090EGO ∠=，所以 内接四边形的外接圆的直径为OE ，作出这个圆。
构造直角三角形，可以得到:sin sin GF NF GNF OE GNF =∠=∠又因为¼¼GOFGOF GNF GEF =⇒∠=∠ 又在RT DCO ∆中，得到sin GD OC COD =∠又圆内接四边形的性质可以得到COD GEF ∠=∠，又OE=OC 所以得到：CD=GF.2、已知，如图，P 为正方形ABCD 内点，015PAD PDA ∠=∠=. 求证：PBC ∆为等边三角形。
证明：将三角形PAD 绕点D 顺时针到DCE ，连接PE ，如图所示。
这样可以得到060PDE ∠=，因为PD=DE ，所以三角形 PDE 为等边三角形，因此PE=DE=CE(其实E 为三角形PDC 的内心)。
同时得到060PED ∠=.又0150APD DEC ∠=∠=所以有0150PEC ∠=.因此有D PEC CE ∆∆≌所以有 PC=CD.由PDC PD C P P AB ∆⇒=∆≌.所以PB=PC=BC.因此PBC ∆为等边三角形。
方法二：用三角法。
设正方形的边长为a 。
P在三角形PAD 中，用正弦定理有：00sin152sin15sin sin sin150AD PA a PA a APD ADP =⇒=⨯=∠∠ 在三角形BAD 中，依据余弦定理有：222202002cos (2sin15)22sin15cos 75AB PA AB PA BAP a a a a PB +-⋅∠=+-⨯=222022024sin 154sin 15a a a a =+-=所以PB a =这样得到PB PC BC a === 因此三角形PBC 为等边三角形。
初中经典几何定理
初中经典几何定理整理By David1.勾股定理若a,b,c 分别是一直角三角形的三边长，其中c 为斜边，则222a b c +=证明一如图，将四个全等的直角三角形围成两个正方形，根据正方形与三角形面积的关系，立即得到()22142b a abc -+´=整理即得222a b c +=证明二如图，将两个全等的直角三角形摆成梯形，根据梯形与三角形面积的关系，得()()21112222a b a b ab c +⋅+=´+整理即得222a b c +=注将方法一中相邻两个直角三角形外翻即得到了方法二.勾股定理是证明方法最多的定理之一，其它证明不多说了.2.正弦定理在△ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c.那么sin sin sin 2ABCa b c abc A B C S ===证明考虑三角形的面积公式111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C=⋅=⋅=⋅ 将等式各项取倒数并同乘12abc，即得方法一方法二sin sin sin 2ABCa b c abc A B C S ===证毕.注这显然表示锐角三角形中大角对大边，同时也可以推出钝角三角形中也是如此.3.余弦定理在△ABC 中，A B C 、、所对边长分别为a 、b 、c ，则2222cos c a b ab C=+-⋅(＊)以及2222cos a b c bc A =+-⋅2222cos b a c ac B=+-⋅证明一如图1，作△ABC 中AC 边的高BD ，则易知cos CD a C =⋅，由勾股定理()222222222222 2 2 2cos AB BD AD BD AC CD BD AC CD AC CD BC AC AC CD a b ab C=+=+-=++-⋅=+-⋅=+-⋅即2222cos c a b ab C=+-⋅那么(＊)式得证，则同理其余两式亦得证.注一其中2222AB BC AC AC CD =+-⋅称作“广勾股定理”.证明二如图，将△ABC 绕点C 旋转90°得到△ECD ，由于旋转角为90°，则AB DE ^，对于对角线互相垂直的四边形BEAD ，有21122BEAD S AB DE c =⋅=四边形，而()()()()222222221111sin 90sin 180********sin 902211sin 90221122BCE ACD BCD ACEBEAD S S S S S a b ab C ab C a b ab C a b ab C a b ab =+++éù=++⋅ - +⋅ - - ëû=++⋅ - =+-⋅ - =+-△△△△四边形cos C⋅ 这就得到了2222cos c a b ab C=+-⋅注二本证明没有用到勾股定理，所以事实上，还可以由余弦定理在90C = 时的特殊情况来得到勾股定理.1此处假定了△ABC 是锐角三角形，若是钝角三角形也可类似讨论.方法二则设为钝角三角形，请留意.4.Heron 公式若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且()12p a b c =++，则ABC S △证明设在△ABC 中，AB a =，AC b =，BC c =，BC 上的高AD h =.则c4442222222222240a b c a b b c a c c h ++---+=令444222222222a b c a b b c a c P++---=则()()()()()()()2242222224222222222222222 24 4 22 P a b a a b a b c c b c a b c b c bc a b c bc a b c a b c a b c -=-=--+--+=---+=+---++=++⋅+-åå 而h，可知12S ch =，故得S =得证.5.张角定理若P 为△ABC 的边BC 上一点，使得BAP a =，CAP b =，则()sin sin sin AC AB APa b a b++=证明事实上，由面积关系方法一方法二ABP ACP ABCS S S +=△△△就有()111sin sin sin 222AB AP AC AP AB AC a b a b ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+等式两边同除以12AB AC AP ⋅⋅就得到了()sin sin sin AC AB APa b a b ++=得证.6.Stewart 定理若P 为△ABC 的边BC 上一点，则222PC BPAP AB AC BP PC BC BC=⋅+⋅-⋅证明由余弦定理222222cos 2 cos 2AP BP AB APBAP BPAP CP AC APC AP CP+-= ⋅+-=- =-⋅则()()22222202CP AP BP AB BP AP CP AC AP BP CP+-++-=⋅⋅()()222BP CP AP AB CP AC BP BP CP BP CP +=⋅+⋅-⋅⋅+两边同除以BP CP BC +=即得222PC BPAP AB AC BP PC BC BC=⋅+⋅-⋅得证.注本定理有许多特殊情况可以产生许多有用的公式，如：(1)当AP 为BC 上的中线时，有2222111224AP AB AC BC =+-(中线长公式)(2)当AP 为BC 上的角平分线时，有2AP AB AC PB PC=⋅-⋅(角平分线长公式)(3)当AB AC =时22AP AB BP PC=-⋅(圆幂定理)7.共边比例定理如图1，△XAB 和△YAB 具有公共边AB ，△XYA 和△XYB 具有公共边XY ，XY 交AB 于P.那么就有1当X 、Y 在AB 的两则时，结论同样成立，证明与之类似.XYA XYB S APS BP=，ABX ABY S XP S YP = 证明事实上，显然同高三角形面积之比等于其高所在底边之比，那么XAP YAP XBP YBP S S APS S BP== 由等比定理，就有XYA XAP YAP YXB XBP YBP S S S APS S S BP-==- 类似地，也有YAP YBP XAP XBP S S YPS S XP== YAB YAP YBP XAB XAP XBP S S S YPS S S XP+==+ 于是命题得证.8.Menelaus 定理及其逆定理在△ABC 的边AB 、AC 及BC 的延长线上分别取点D 、E 、F.若D 、E 、F 共线，则1BD AE CFAD CE BF⋅⋅=证明连AF 、BE 就容易由共边比例定理知道BEF AEF S BD AD S = ，ABE AFE BEF S S AE CE S +=，AEF AEF AEBS CFBF S S =+ 那么就有1BEF ABE AFEAEF AEF BEF ABE AFES S S S BD AE CF AD CE BF S S S S +⋅⋅=⋅⋅=+ 于是命题即得证.反之，当1BD AE CFAD CE BF⋅⋅=时，可延长DE 交BC 的延长线于F’，那么由Menelaus 定理'1'BD AE CF AD CE BF ⋅⋅=可知''CF CF BF BF =1''''''CF BF CF BF BF CF BC CF BF CF BF BF CF BC- = ====-即F 与F’重合，D 、E 、F 共线得证.9.Ceva 定理及其逆定理在△ABC 的边AB 、AC 及BC 上分别取点F 、E 、D.若AD 、BE 、CF 共点P ，则1AF BD CE BF CD AE⋅⋅=证明同样由共边比例定理，知1BPC APCABP APC BCP ABPS S S BF AE CD AF CE BD S S S ⋅⋅=⋅⋅= 其逆定理亦由同一法可证，此处不再赘述.10.Ptolemy 定理以及Ptolemy 不等式在凸四边形ABCD 中(四点顺次)，有AB CD AD BC AC BD⋅+⋅³⋅当且仅当四边形ABCD 为圆的内接四边形时，等号成立1.证明以BC 为边向内作BEC BAD ，则知亦有ABE DBC ，于是AD BD CE BC =，AB AEBD CD=于是知AD BC CE BD ⋅=⋅，AB CD BD AE⋅=⋅从而() AB CD AD BC BD AE CE BD AE CE BD AC BD⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅³⋅其中等号成立时，有AE CE AC+=180180AEB BEC BCD BAD + = + =即等价于四边形ABCD 为圆的内接四边形.命题得证.1等号成立时称作“Ptolemy 定理”.注对矩形使用Ptolemy 定理，可以得到勾股定理.11.圆幂定理在O 所在平面内有一点P ，过点P 的直线与O 交于A 、B .则()()()2222 R PA PB P OP R P R PA PB P ìï-⋅ïïïï=íïïï+⋅ïïî当在圆内当在圆上当在圆外证明作OK AB ^于K ，连OB ，则由垂径定理知BK AK =，当P 在圆内时，()()222222R OP BO OP BK PK BK PK AK PK BP AP-=-=-=-+=⋅以及P 在圆外时，()()222222OP R PO BO PK BK PK BK PK AK BP AP-=-=-=-+=⋅这就得到了证明.圆幂定理包含了相交弦定理和割线定理，分别是：(1)A 、B 、C 、D 都是圆上的点，若直线AC 、BD 交于圆内一点P ，则PA PC PB PD ⋅=⋅(2)A 、B 、C 、D 都是圆上的点，若直线AB 、DC 交于圆外一点P ，则PA PB PD PC ⋅=⋅12.弦切角定理如图，直线MN 与O 切于K ，A 、B 是O 上不同于K 的两点，则1BKM BAK = ，AKN ABK = .证明作过K 的直径PK ，由切线定义知90PKN = ，而PK 是直径，所以APK AKP + =90°，即AKP AKN AKP APK + = + ，故AKN APK ABK = = ，得证.另一1其中AKN 、BKM 分别称作“弦切角”.组角的关系同理亦可证.13.鸡爪定理AD 平分△ABC 中的A ，交其外接圆于D .I 、P 分别为△ABC 的内心和A-旁心.则DI DB DC DP ===证明事实上，通过导角即易得DIC DAC ACI ICB BAD ICB BCD = + = + = + =∠ICD ，于是DI DC =，同理DI DB =.由90IBP ICP = = ，又知I 、B 、P 、C 共圆，而D 即为圆心，故得证.注由同一法亦不难证，若在角平分线AD 所在直线截取DI DP DB ==，则所得I 、P 分别为内心和旁心.14.定差幂线定理在四边形ABCD 1中，等式2222AB BC AD CD -=-被满足的充要条件是AC BD ^.证明先证明充分性.设对角线AC 、BD 交于E.若AC BD ^，则易知222222AB BC AE CE AD CD -=-=-，充分性得证.再证必要性.若2222AB BC AD CD -=-，作1BE AC ^于1E ，2DE AC ^于2E ，则知222222221122AE CE AB BC AD CD AE CE -=-=-=-而1本定理对凸四边形和凹四边形都适用.1122AE CE AE CE +=+这表明1122AE CE AE CE -=-1212,AE AE CE CE ==即1E 、2E 重合为一点，易知这点就是四边形对角线之交点，必要性得证.15.Euler 线定理△ABC 的垂心H ，外心O ，重心G 共线.此线称为Euler 线.证明首先，我们证明一个引理.在△ABC 中，OK BC ^于K ，则2AH OK=事实上，作△ABC 的高AD 和BE ，则知CHE BAC KOC = = ，于是Rt OKC Rt HEC而AHE BCA = ，就又有Rt AHE Rt BCE那么2OK HE AH AHCK CE BC CK===2AH OK=这就使引理得到了证明.这个引理在做其它的几何问题时也常常用到，十分有用.接下来用引理证明原命题.现在，我们设OH 与中线AK 交于G ，注意到OK ∥AH ，由引理我们就知道了12KG OK AG AH ==而重心也恰好把中线(由顶点到对边中点)分为2:1两部分，这说明了G 即为△ABC 的重心，这就证明了O 、H 、G 共线.16.Euler 定理设△ABC 的外心为O ，内心为I ，外接圆、内切圆半径分别为R 、r ，则222OI R Rr=-证明设直线AI 交△ABC 外接圆于D ，作直径DE ，连结CD 、CE .容易知道Rt AIF Rt ECD 这是由于12IAF DEC BAC= = 于是即有AI IF AI CD DE IF DE CD= ⋅=⋅而由鸡爪定理CD ID =，又由圆幂定理22R OI AI ID -=⋅，于是222R OI AI CD IF DE Rr-=⋅=⋅=命题得证.17.九点圆定理H 为△ABC 的垂心，AD 、BE 、CF 为△ABC 的高，X 、Y 、Z 分别为AB 、BC 、AC 的中点，R 、S 、T 分别为AH 、BH 、CH 的中点，则△XYZ 的外接圆还通过D 、E 、F 、R 、S 、T.此圆称作△ABC 的九点圆.证明我们先说明△XYZ 的垂心就是△ABC 的外心.事实上，注意到XZ 、XY 、YZ 都是△ABC 的中位线，均平行于△ABC 的三边.设△XYZ 的垂心为XYZ H ，那么XYZ H X YZ ^，即是XYZ H X AB ^，从而XYZ H 事实上也是△ABC 三边中垂线的交点，即其外心.我们再说明△XYZ 的重心与△ABC 的重心重合.事实上，注意到四边形AXYZ 、BYZX 、CZXY 都是平行四边形，对角线互相平分，所以△XYZ 的中线都在△ABC 的中线上，结论就显然了.这样，就容易知道G 、O 、XYZ H 都在△XYZ 的Euler 线上，而G 、H 、XYZ H 又在△ABC 的Euler 线上，而且122XYZ H G GH OG==我们取△ABC 的中线AY ，交XZ 于N ，显然122XYZ H Y ON AH AR===而1,2YN AY NO AR=于是YNO YAR知NYO AYR= 故Y 、O 、R 共线且O 成为YR 之中点，所以YR 就是⊙O 的一条直径.设⊙O 交BC 于D’，那么RD’就垂直于BC ，故D’与D 重合，这就证明了⊙O 通过D 与R.同理可证⊙O 还通过E 、S 和F 、T ，于是命题就得到了证明.18.蝴蝶定理如图，M 为⊙O 中的弦AB 的中点，过M 任意两条不与AB 重合的不同直线分别交圆于C 、D 以及E 、F ，连结CF 、DE 交弦于P 、Q .则MP MQ =.证明一作K 与F 关于OM 对称，显然K 在⊙O 上，且KMB FMA = ，对⊙O 上的弧进行运算，知：m m KMB FMA BE AFBEBK EK QDK= =+=+== 故M 、D 、K 、Q 共圆，于是知QKM QDM PFM = = ，而MF MK =，故PMF QMK@ 故MP MQ =.证毕.证明二连结OM 、OP 、OQ.作OR CF ^，OS DE ^于R 、S .易知OM AB ^，故M 、P 、R 、O 共圆，Q 、M 、O 、S 共圆，则MOP MRP = ，MOQ MSQ = ，而由CMF EMD而R 、S 恰是对应边的中点，那么显然CRM ESM故CRM ESM = ，那么MOP MOQ = ，这就显然证明了MP MQ =.证毕.注改变观察⊙O 的视角，将其“压缩”成一个椭圆，可以知道本定理在椭圆中也成立，但这不是一个严密的证明，只是一个理解方式，这个证明超出了本文档的范围，就不给出了.19.Simson(Wallace)1定理如图，P 为△ABC 的外接圆上一点，过P 作△ABC 三边所在直线的垂线，垂足分别为X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线2.证明由于90BXP BYP CZP = = = ，容易知道X 、B 、P 、Y 以及Y 、P 、Z 、C 分别四点共圆，于是导角得：()180180XYP ZYP ABP PCZ PCA PCZ + = - + = + =故知X 、Y 、Z 共线，证毕.反之，若X 、Y 、Z 共线，则P 在外接圆上.这个逆定理也成立.事实上，以同样的方法倒过来证明就可以了(即用180ABP ACP + = 来得到结论).20.Fermat 点定理以最大角小于120°的△ABC 的三边向外作三个正三角形△ABD 、△BCE 、△ACF ，连结CD 、AE 、BF ，则这三条直线交于一点P ，这点P 是三角形中到三顶点距离之和最小的点.证明首先证明CD 、AE 、BF 交于一点.事实上，设BF 、AE 交于P ，那么容易得到1把本定理说成是Simson 定理实际上是张冠李戴了，这是由Wallace 首先发现的.2此直线叫“Simson 线”.ACE FCB@ 则知PAC PFC = ，于是A 、P 、C 、F 共圆，可知ACP AFB = ，而由ACD AFB@ 得到ACD AFB = ，这就表明ACD ACP = ，即D 、P 、C 共线，这就证明了结论.然后证明点P 可以使得该点到三顶点的距离之和最小，即若△ABC 中有另一点Q ，则PA PB PC QA QB QC++£++在PF 上截取PL 使AP PL =，而易知60APF = ，故有正△APL ，那么容易得到APC ALF@ 于是PC LF =，那么即有PA PB PC PL PB LF BF ++=++=.而对于点Q ，我们作正△AQK ，这也很快得到AQ QK =，CQ KF =，而显然QB QK KF BF++³那么即有QA QB QC PA PB PC++³++得证.21.Newton 线定理如图，△ABC 被一条截线DEF 所截，其中D 在AB 上，E 在BC 上，F 在AC 之延长线上，分别取CD 、BF 、AE 的中点N 、M 、K .则N 、M 、K 共线.证明一如图，构造△BDE 的中点三角形XYZ ，可知ZX 经过K ，YZ 经过M ，YX 经过N .并知ZM EF YM DF=，YN BC XN EC =，XK AD ZK AB =而对△BDE 以及截线FCA 运用Menelaus 定理，知1AD BC EF AB CE DF⋅⋅=这恰表明1ZM YN XK YM XN ZK⋅⋅=再由Menelaus 逆定理，即得到了M 、N 、K 共线.证明二取BD 、CF 的中点Y 、P ，容易证明14NPM NYP ABCD S S S == (请读者自证)，用它来进行面积的推导，知()()()()()()1111 244211 44111 44411 44ANM ADN DYN YMN BYM ABMADC DBCF BCD BFD ADC BDCF BCD BFD BDCF BCDF BFC BDCF CDF BDCF BDCF DCF BCF S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S =+++-=+++-+=+-=-+--=-+ NEMS = 若设直线MN 交AE 于K’，那么由共边比例定理知'1'ANM MENS AK EK S == 这即表明K’为AE 之中点，故K’与K 重合，得证.22.Archimedes 定理如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为 BAC之中点，过D 向AB 、AC 中较长的一条引垂线，垂足为E ，则E 平分折线AB AC +之长.证明连BD 、CD 、AD ，并在AB 上取K 使EK AE =，那么易知DK AD =.而由于D 为 BAC之中点，则BD CD =，而它们的底角DAB DCB = ，知两个等腰三角形相似.那么就有BDC KDA BDK CDA = = ，且由等腰可推知DKB DAC @ ，这即表明BK AC =，那么就有BE BK KE AE AC =+=+，得证.23.Apollonius 圆定理设平面上有不同的两点A 、B ，那么该平面上使得PB k PA=为定值()1k k ¹的P 的轨迹是一个圆1.证明我们将之放入平面直角坐标系中，设A 为原点，()1,0B k +2，(),P x y .作△ABP 的高PC ，则()22222BC PC k AC PC +=+()()222221k x y k x y +-+=+处理得222111k x y k k æöæö÷÷çç++=÷÷çç÷÷ççèøèø--这表明P 在一个圆上，且圆心为1,01k æö÷ç-÷ç÷çèø-，半径为1k k -.[主要参考文献][1]沈文选.数学奥林匹克小丛书(第二版)之三角形与四边形[M].上海:华东师范大学出版社.2012.[2]柯新立.数学奥林匹克小丛书(第二版)之圆[M].上海:华东师范大学出版社.2012.[3]单墫.平面几何中的小花[M].上海:华东师范大学出版社.2011.[4]沈康身.历史数学名题赏析[M].上海:上海教育出版社.2010.1该圆称作“Apollonius 圆”.2不失一般性.。
八年级数学几何经典题【含答案】
八年级数学几何经典题【含答案】1、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．F 求证：∠DEN＝∠F．ENCDABM2、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．D求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．GCEPFAQB3、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．DAFEBC.4、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．ADFBC1E5、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．DA求证：PA＝PF．FBPCE6、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．ADFPBEC 7如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。
求证：EF=FD。
8如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。
9、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF2，3九年级数学【答案】∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
1.AC并取其中点QQN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和EG+FH2E,C由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
4从而可得PQ=AI+BI 2=AB 2，从而得证3△A从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。
推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。
0，既得∠EAC=300，从而可得∠AEC=750。
完整版)初中数学经典几何模型
完整版)初中数学经典几何模型初中数学经典几何模型（模型即套路），是初中数学里的重要部分。
在解决几何证明问题时，我们可以运用这些模型，从而更加高效地解决问题。
人们常说几何很困难，其中一个难点就在于辅助线的运用。
为了更好地运用辅助线，我们需要把握定理和概念，并且刻苦加钻研，找出规律凭经验。
在绘制图形时，我们可以利用角平分线向两边作垂线，或者将图形对折来寻找对称关系。
利用角平分线的平行线，我们可以构造等腰三角形。
同时，我们也可以尝试将角平分线加上垂线，从而将三条线合为一条。
线段垂直平分线时，我们可以将线段向两端延长或缩短来验证线段的倍数与半数关系。
在三角形中，连接两中点可以构造出中位线，同时延长中线也可以等于中线。
对于平行四边形，我们可以找到对称中心等分点。
在梯形中，我们可以利用高线平移一腰来解决问题。
同时，平行移动对角线，补成三角形也是常见的方法。
当证明相似时，我们可以通过比线段，添加平行线来构造相似三角形。
在等积式子比例换时，寻找线段也是很关键的。
直接证明有困难时，我们可以通过等量代换来简化问题。
在计算圆的相关问题时，我们可以利用半径与弦长计算，或者利用勾股定理来计算切线长度。
同时，在判断是否为切线时，我们可以通过半径垂线来进行辨别。
在解决相交圆的问题时，我们需要注意作公共弦。
对于内外相切的两个圆，我们可以通过切点来构造公切线。
同时，我们也可以利用连心线来确定切点。
在绘制图形时，我们需要注意勿改变虚线的位置。
基本作图也是很关键的，我们需要熟练掌握。
在解题时，我们需要多动脑筋，经常总结方法。
同时，我们也需要注意方法的灵活性，不要盲目乱添线。
在选用分析综合方法时，我们需要根据具体情况进行选择。
最重要的是，我们需要虚心勤学，加以苦练，才能在数学上取得更好的成绩。
斜边上作高线，比例中项一大片。
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在斜边上作高线，可以得到比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
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通过计算半径和弦长，可以得到弦心距。
小学解几何经典50题
小学解几何经典50题前言几何是数学中的一门重要分支，对小学生的数学研究具有重要的意义。
在解决几何题目时，需要掌握一些基本概念和技巧。
本文提供了小学生解几何题目的经典50题，帮助学生巩固和应用所学的几何知识。
题目列表1. 两条平行线上一点到另一条平行线的距离是多少？2. 如何用两个垂直平分线确定一个点的位置？3. 一个正方形的对角线是多长？4. 如何判断一个多边形是凸多边形还是凹多边形？5. 已知一个三角形的两边长和夹角，如何确定第三边的长度？6. 如何用直尺和圆规画一个等边三角形？7. 如何判断一个四边形是矩形？8. 如何找出一个圆的圆心？9. 如何计算一个圆的周长？10. 如何判断两个线段相等？11. 如何判断两个角相等？12. 如何计算一个三角形的面积？13. 如何计算一个正方形的面积？14. 如何计算一个长方形的面积？15. 如何计算一个梯形的面积？16. 如何计算一个圆的面积？17. 什么是相似三角形？18. 如何判断两个三角形相似？19. 如何计算两个相似三角形之间的比例关系？20. 如何计算两个相似三角形之间的面积比？21. 如何计算一个四边形的面积？22. 如何计算一个五边形的面积？23. 如何计算一个六边形的面积？24. 如何计算一个七边形的面积？25. 如何计算一个八边形的面积？26. 一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，如何计算斜边的长度？27. 如何计算一个正方体的体积？28. 如何计算一个长方体的体积？29. 如何计算一个圆柱体的体积？30. 如何计算一个圆锥体的体积？31. 如何计算一个棱锥体的体积？32. 如何计算一个棱柱体的体积？33. 如何判断一个三角形是直角三角形？34. 如何判断一个三角形是锐角三角形？35. 如何判断一个三角形是钝角三角形？36. 如何判断一个三角形是等边三角形？37. 如何判断一个三角形是等腰三角形？38. 如何计算一个半圆的周长？39. 如何计算一个半圆的面积？40. 如何计算一个椭圆的周长？41. 如何计算一个椭圆的面积？42. 如何判断两个直线平行？43. 如何判断两个直线垂直？44. 什么是正多边形？45. 什么是正五边形？46. 什么是正六边形？47. 什么是正七边形？48. 什么是正八边形？49. 如何计算一个正八边形的面积？50. 如何判断一个三角形是等腰直角三角形？结论通过解这些几何题目，小学生可以巩固几何知识，提高解题能力。
初中数学九大经典几何模型
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立体几何经典试题（含答案）
1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC BC⊥⊥1CC ,BC ,BC⊥⊥AC AC，，1CC AC C Ç=,∴BC ^面11ACC A , , 又又∵1DC Ì面11ACC A ，∴1DC BC ^,由题设知01145A DC ADC Ð=Ð=,∴1CDC Ð=090,即1DC DC ^, 又∵DC BC C Ç=, , ∴∴1DC ⊥面BDC , , ∵∵1DC Ì面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+´´´=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ^平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ^平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；的体积；（3）证明：EF ^平面PAB . B 1C B A D C 1A 1【解析】（1）证明：因为AB ^平面PAD ，所以PH AB ^。
因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，边上的高， 所以PH AD ^。
因为AB AD A = ，所以PH ^平面ABCD 。
（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。
初中数学经典几何题(难)及答案分析
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A FG CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．AP CB ACBPDEDCB A A CBPD1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
七年级上册数学 经典平面几何题
七年级上册数学经典平面几何题1. 直线与线段* 题目：已知一条直线上有两个点A和B，点C在直线上，且AC=4 cm，BC=6 cm，求AB的长度。
* 解答：根据直线上的点关系，可以得知AC+CB=AB。
带入已知值，得到AB=10 cm。
2. 平行线与平行线判定* 题目：已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若∠AOD=105°，求∠BOC的度数。
* 解答：由平行线性质可知，对顶角度数相等，即∠AOD=∠BOC。
所以∠BOC的度数为105°。
3. 垂直线与垂直线判定* 题目：已知直线l与直线m相交于点A，∠CAB=90°，AB=10 cm。
若点B到直线l的距离为8 cm，求点C到直线m的距离。
* 解答：根据垂直线性质可知，点与直线的距离等于垂直距离（即点到直线的最短距离）。
因此，点C到直线m的距离为8 cm。
4. 平行线与直线切割* 题目：已知两个平行线l和m，线段AB为线段CD的平行线割线，AB=6 cm，CD=9 cm，求AD的长度。
* 解答：根据平行线性质可知，线段被平行线割分的部分比例相等。
所以 AB/CD = AD/DC，代入已知值得到 6/9 = AD/DC。
解得AD = 4 cm。
5. 三角形与直线切割* 题目：已知三角形ABC中，点D在边BC上，DE是AC的中线，且DE∥AB，若AB=8 cm，DE=4 cm，求AD的长度。
* 解答：由三角形的中线性质可知，中线长度为底边长度的一半。
所以 DE = 1/2 * AC。
根据题意，DE∥AB，所以 DE = AB。
带入已知值，得到 AB = 1/2 * AC。
解得 AC = 16 cm。
由三角形内角和为180°可知，∠DAB = 180° - ∠ACB。
根据三角形内角和与外角的关系，可知∠DAB = ∠ACB。
所以三角形ABC为等腰三角形，AD = AC = 16 cm。
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已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角
形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形
的判定求出即可．
解答： 证明：
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵∠PAD=∠PDA=15°，
∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，
在正方形内做△DGC与△ADP全等，
∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，
∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，
∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），
∴DP=DG=PG，
∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，
∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，
在△DGC和△PGC中
，
∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，∠DCG=∠PCG=15°，
∴PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，
∴△PBC是正三角形．
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点评： 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知
识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学
生提出了较高的要求．