高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 9 对数与对数函数课时作业 理

课时作业9 对数与对数函数

一、选择题

1．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

解析：f (－2)＋f (log 212)＝1＋log 24＋2log 212－1＝3＋2log 26＝3＋6＝9.

答案：C

2．若f (x )＝1log 12

（2x ＋1）

，则f (x )的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，2 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 12

（2x ＋1）≠0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，

即x >－12且x ≠0，∴选C. 答案：C

3．函数y ＝log 2(x 2

＋1)－log 2x 的值域是( )

A ．[0，＋∞)

B ．(－∞，＋∞)

C ．[1，＋∞)

D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：y ＝log 2(x 2

＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x ＝log 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x ≥log 22＝1(x >0)． 答案：C

4．函数f (x )＝log a |x |＋1(0

解析：由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.

答案：A

5．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( )

A ．f (3)

B ．f (1)

C ．f (－2)

D ．f (3)

解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)

答案：B

6．(2015·四川卷)设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：∵y ＝log 2x 是增函数，∴当a >b >1时，有log 2a >log 2b >log 21＝0.另一方面，当log 2a >log 2b >0＝log 21时，有a >b >1.故选A.

答案：A

二、填空题

7．(2015·浙江卷)若a ＝log 43，则2a ＋2－a

＝________．

解析：由于a ＝log 43＝12log 23＝log 23，故2a ＋2－a ＝2log 23＋2－log 23＝3＋33

＝433.

答案：433

8．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫lg 12＝________． 解析：∵f (x )＝ln(1＋9x 2

－3x )＋1，

∴f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，

∴f (x )＋f (－x )＝ln1＋1＋1＝2，

又lg 12＝－lg2，∴f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫lg 12＝2. 答案：2

9．(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．

解析：因为x ≤2时，f (x )＝－x ＋6≥4，

所以x >2时，f (x )＝log a x ＋3的值域是[4，＋∞)的子集，

所以a >1且log a 2＋3≥4，

所以a ≤2，所以1

答案：(1，2]

10．(2015·天津卷)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值． 解析：由已知条件得b ＝8a

， 令f (a )＝log 2a ·log 2(2b )，

则f (a )＝log 2a ·log 216a

＝log 2a (log 216－log 2a )＝log 2a (4－log 2a )

＝－(log 2a )2＋4log 2a ＝－(log 2a －2)2

＋4，

当log 2a ＝2，即a ＝4时，f (a )取得最大值．

答案：4

三、解答题

11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.

(1)求a 的值及f (x )的定义域． (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.