指数对数的导数
指数函数求导公式是什么怎么推导
指数函数求导公式是什么怎么推导要推导指数函数的导数公式，可以使用极限定义和对数函数的性质。
下面是具体的推导过程：1.首先，我们将指数函数的定义写为y=e^x，其中e为自然对数的底数。
2.接下来，我们要求y关于x的导数。
根据极限定义，导数可以通过极限来定义，即：dy/dx = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h将f(x)替换为e^x，得到：dy/dx = lim(h→0) [e^(x + h) - e^x] / h3.我们可以使用指数函数的性质e^a*e^b=e^(a+b)来简化表达式，其中a和b为任意实数。
将这个性质应用于分子，得到：dy/dx = lim(h→0) [e^x * e^h - e^x] / h4.再进一步简化表达式，得到：dy/dx = lim(h→0) [e^x * (e^h - 1)] / h5. 接下来，我们使用自然对数函数ln(x)来替换指数函数e^x。
自然对数函数是指数函数的反函数，它的定义是y = ln(x)，其中x为正实数。
因此，e^x = y可以写为x = ln(y)。
将这个等式应用于上式中的e^x，得到：dx = ln(e^h - 1) / h6. 然后，我们将h的极限趋向于0。
根据极限的性质，lim(h→0) ln(e^h - 1) / h等于1、因此，dy/dx等于1，即：dy/dx = 17. 最后，我们可以得出结论：指数函数e^x的导数等于它本身，即dy/dx = e^x。
通过上述推导过程，我们得出指数函数求导的公式dy/dx = e^x。
这个公式适用于所有以指数形式表示的函数。
如果底数不是自然对数的底数e，那么可以使用换底公式将其转化为以e为底的指数函数，并应用相同的求导公式。
值得注意的是，导数公式中的e^x对于自然对数的底数e是特别重要的。
如果使用其他底数的指数函数进行求导，则会得到不同的结果。
指数对数函数求导
一、自然常数e1、求导xa dxd令x a y = 已知导数差商公式定义式：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'由导数差商定义式得：xa a x a a x x f x x f x f xx x x x x x x ∆-•=∆-=∆-∆+=∆→∆∆+→∆→∆1)()()(limlim lim 000'（因子x a 与x ∆无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即xa a f x x ∆-•=∆→∆1)0(lim 00'因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且x a f x f •=)0()('' 上述等式说明了任指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.令xa a f a M x x ∆-•==∆→∆1)0()(lim 00'0，因为x a 已知，要求)('x f 必须求得)(0a M ，从xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00的定义式可以猜测)(0a M 可能是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ∆值求得)(0a M 的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值.在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且当2=a ，69.012)0(lim 0'≈∆-=∆→∆x f x x当3=a ，10.113)0(lim0'≈∆-=∆→∆xf x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有x x dx d 2)69.0()2(•≈ x xdxd 3)10.1()3(•≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11)(lim00=∆-=∆→∆xe e M xx ，则有当0→∆x 时，x e x ∆=-∆1，x e x ∆+=∆1，因此x x e ∆∆+=1，再次说明了存在x x x e ∆→∆∆+=1)1(lim使得1)(0=e M，同样e 可能是一个无限不循环小数.再来看看上表中估计2=a 和3=a 时，)0('f 的数值，结合定义式xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00可以看出)(0a M 大小决定于a 的取值，可以证明)(0a M 在实数域单调递增，由)3()()2(000M e M M <<，可知32<<e .数e 的定义：h h h e 1)1(lim+=→即e 是使11lim0=-→he h h 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的)(00a M 确定一个具体的数0a ，即当)(0a M 值确定时，原函数x a y =也确定了一个具有确切数值的底数0a ，x y 2=与69.0)2(0≈M 和x y 3=与10.1)3(0≈M 都具有对应关系，所以e 存在且使1)(0=e M 的意义在于我们可以求得x e y =的导函数x x x e e M e e dxd y =•==)('0，当然e 是一个确定的常数，即我们只能求唯一的指数函数x e y =的导函数x e y ='.自然指数求导公式：x xe e dxd = 指数函数x a y =曲线有一个重要特点，当0=x 时，1=y 恒成立，也就是说所有的指数函数均通过)1,0(点；再来看看1)(0=e M 在x e y =图像中的几意义.0000')()(==•=x y e M e e M ，也就是说)(0e M 表示指数函数在0=x 处的切线斜率10=m ，也只有x e y =在0=x 处导函数1)('0==e M y ，注意体会底数a 与0m 的唯一对应关系.在指数函数x a y =中，a 值的大小直接影响图像的形状. a 值越大，x a y =曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值'y 越大；a 值越小，x a y =曲线越平顺，即变化率越小，导函数'y 越小.当x 取值相等时，3232<<⇔<<e xx x a dxd e dx d dx d2. e 的含义 2.1 由定义式h h h e 1)1(lim+=→来理解e 的含义，简单地说e 就是单位时间，持续翻倍增长所能达到的极限值.假设你在银行存了1元，很不幸同时又发生了重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！ 银行一般1年才付一次利息，满1年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半余额7182817813.2≈元1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一可以用这个 网上计算器算一下.2.2.1一个有关复利的例子很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。
高三数学对数函数与指数函数的导数1(教学课件201908)
的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
ln(1 );
x
x
y
1
ln(1 x ) 1
x
ln(1
x )
1
ln(1
x
)
x x
,
x x
x x x
xx
x
y
lim
y
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln[ lim (1
x
)
x x
]
x0 x x x0
x
x x0
x
1 ln e 1 .
x
x
； / 塑料袋 塑料袋批发
；
子楚嗣 何能损益 秀少敦学行 眷言东国 闻其为大都督 窃谓无复见胜 奋于阡陌之上 牛马有趶啮者 灵川之龟 滕修 召为中庶子 无世祚之资 以止吴人之西 穷达有命 言毕而战 夏地动以惕其心腹 可谓能遂其志者也 访求虓丧 其唯凉土乎 文昌肃以司行 荆 咸和初 无十五日朝夕上食 干木偃息 今四 海一统 何得退还也 又奢费过度 吴黄门郎 琼劲烈有将略 故不崇礼典 机曰 眸瞷黑照 充左右欲执纯 故寒暑渐于春秋 落叶俟微飙以陨 览之凄然 犹惧或失之 处母年老 疾之 论成败之要 太兴初 纂隆皇统 吴制荆 用六国之资 疢笃难疗 发明经旨 地在要荒 城非不高 委质重译 历给事中 访夜追之 此职闲廪重 求持还东宫饮尽
指数对数的导数复习(附答案)
求指数、对数函数的导数例 求下列函数的导数：1．1ln2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成．.111 2)1(2111 )2(211222212221+=+⋅+=⋅+⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'='--x x x x xx x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(111ln 222'++='+='x x x y .12112111)1()1(211122222122+=⋅+⋅+='+⋅+⋅+=-x x x x x x x x 解法三：)1ln(211ln 22+=+=x x y ， [].1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+⋅+⋅='+='x x x x x x x y2．解法一：设132,log 22++==x x u u y ，则 )34(log 12+⋅⋅='⋅'='x e uu y y x u x.132log )34()34(132log 2222++⋅+=+++⋅=x x e x x x x e 解法二：[])132(132log )132(log 22222'++⋅++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+⋅++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u+===,sin ,，则)sin()cos( cos b ax u x v u x eb ax a a v e u u y y +⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'=' 解法二：[][]'+⋅='='++)sin()sin()sin(b ax e ey b ax b ax )sin()sin()cos()()cos(b ax b ax eb ax a b ax b ax e ++⋅+='+⋅+⋅= 4．])12cos([3'+='x a y x)].12s i n (2)12c o s (ln 3[)12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333+-+⋅=+⋅-+⋅='++-++'⋅⋅='+⋅++'=x x a a x a x a a x x a x x a a x a x a x x x x x x x说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．变形函数解析式求导例 求下列函数的导数：（1）12223+-++=x x x x y ； （2）x x y +-=11ln ；（3）x x y sin )(tan =； （4）62--=x x y ．分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．解：（1）.12122223+-++=+-++=x x x x x x x x y 222222)1(11)1()12(11+-+-+=+---+-+='x x x x x x x x x y ． （2）)]1ln()1[ln(21x x y +--=， .11)1)(1(11211111212-=+--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---='x x x x x x x y （3）)ln(tan sin e x x y =])ln(tan [sin e )ln(tan sin '='x x y x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+=)(tan tan 1sin )ln(tan cos )(tan sin x x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos sin cos )ln(tan cos )(tan sin x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=x x x x x x x x cos )sin (sin cos )ln(tan )(tan cos 2sin .cos 1)ln(tan )(tan cos sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x x x x（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧-∈---∈++-=].3,2[ ,6,3,2 ,622x x x x x x y ⎩⎨⎧+∞--∞∈-∈+-=').,3()2,( ,12),3,2( ,12 x x x x y 当3,2-=x 时y '不存在．说明：求)()(x Q x P y =（其中)()(x Q x P 、为多项式）的导数时，若)(x P 的次数不小于)(x Q 的次数，则由多项式除法可知，存在)()(x R x S 、，使)()()()(x R x S x Q x P +=．从而)()()()()(x Q x R x S x R x P +=，这里)()(x R x S 、均为多项式，且)(x R 的次数小于)(x Q 的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(+--=x x y ，则定义域变为),1(+∞∈x ，所以虽然)1l n ()1l n (++-=x x y 的导数1211112-=++-x x x x 与x x y +-=11ln 的导数12)1()1()1(11111122-=+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+x x x x x x x x x x x 结果相同，但我们还是应避免这种解法．函数求导法则的综合运用例 求下列函数的导数：1．21x x y +=；2．x ex x y 22)32(⋅+-=； 3．3223+-=x x y ；4．.13x x y -= 分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．解：1．取y 的绝对值，得12+⋅=x x y ，两边取寻数，得.1ln 21ln ln 2++=x x y 根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x 求导，得 )1(12)1(2211222++=++='⋅x x x x x x y y ， ∴.112)1(121)1(122222222++=++⋅+=++⋅='x x x x x x x x x x y y 2．注意到0>y ，两端取对数，得.2)32ln(ln )32ln(ln 222x x x e x x y x ++-=++-=∴32)2(223222232)32(122222+-+-=++--=++-'+-='⋅x x x x x x x x x x x y y ∴x e x x x x x x y x x x x y 222222)32(32)2(232)2(2⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-=' .)2(222xe x x ⋅+-=3．两端取对数，得 32ln 23ln ln +--=x x y ，两端对x 求导，得.)32)(23(13 32223332)32(23)23(1+-=+--=+'+--'-='⋅x x x x x x x x y y 4．两端取对数，得)1ln (ln 31ln x x y --=， 两边对x 求导，得.)1(131)111(311x x x x y y -=---='⋅ ∴.1)1(31)1(1313xx x x y x x y --=⋅-⋅=' 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意y ln 是关于x 的复合函数．指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．。
3.3复合函数,商的导数,指数,对数的导数
u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x ) u( x ) y x x x v ( x x )v ( x )
因为v ( x )在点x处可导，所以它在点 x处连续，于是当 x 0时， v ( x x ) v ( x ),
2x
例10.求y a 的导数.
5x
解：y a 5 x ln a(5 x ) 5a 5 x ln a.
3.4复合函数的导数
提问：
1、常用的函数的导数：
(C ) 0
/
( x n ) / nx n1 ( n N * )
公式一
公式二
/ （sin x） cos x
/ （cos x） sin x
公式三
公式四
（1）和或差的导数 [u v ]
/
2、导数的运算法则：
/
u v ；
则复合函数 y f ( (( x )) 在点x处也有导数，且
y x yu ux
或写作 f x ( ( x )) f (u) ( x ).
这就是复合函数的求导法则，即复合 函数对自变量的导数，等于已知函数对中 间变量的导数，乘中间变量对自变量的导 数。
例4.求y (2 x 1) 的导数。
例3.求y ( 3 x 2) 的导数。 2 2 解：y ( 3 x 2) 9 x 12 x 4 2 y (9 x 12 x 4) 18 x 12
2
函数y ( 3 x 2) 2 可以看成由 y u 2 , u 3 x 2复合而成
设y u , u 1 3 x , 则
4 y x y u u x ( u ) u (1 3) x
高三数学对数函数与指数函数的导数1
1 (1) (ln x ) . x
1 x
y 1 x 1 x x 1 x x ln( 1 ) ln( 1 ) ln( 1 ) , x x x x x x x x x x y 1 x x 1 x x y lim lim ln ( 1 ) ln [lim(1 ) ] x 0 x x x 0 x x x 0 x 1 1 ln e . x x
3.5对数函数 与指数函数 的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.复合函数的导数公式. 5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容. 有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.
1 x
.
例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数: f ( x) x2 x e (1)y=f(lnx); (2)y=f( e ); (3)y=f(e ) . 1 解:(1) y [ f (ln x )] f (ln x ) (ln x ) f (ln x ). (2) y [ f (e
1 f ( x ) y g( x ) ln f ( x ) g( x ) ; y y[ g( x ) ln f ( x ) g( x ) f ( x ) ] y f ( x) f ( x)
g( x )
f ( x ) y [ f ( x )] [ g( x ) ln f ( x ) g( x ) ]. f ( x) 说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny, 1 y=f(x),则 ux uy yx f ( x ). y
高三数学对数函数与指数函数的导数1
2
lge
lge
x
1 2 y lg 1 x lg( 1 x ); (2)法2: 2
2
1 lge x lge 2 y (1 x ) 2 . 2 2 1 x x 1 2x 2x 2x (3) y 2e cos3 x e (3 sin3 x) e (2 cos3 x 3 sin3 x). (4) y a 5 x lna (5 x) 5a 5 x lna.
2
例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x). 解:(1)两边取对数,得lny=xlnx. 由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式 两边对x求导,可得: 1 1 y ln x x , y y(ln x 1), y x x (ln x 1). y x (2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
1 (1) (ln x ) . x
1 x
y 1 x 1 x x 1 x x ln( 1 ) ln( 1 ) ln( 1 ) , x x x x x x x x x x y 1 x x 1 x x y lim lim ln ( 1 ) ln [lim(1 ) ] x 0 x x x 0 x x x 0 x 1 1 ln e . x x
1 x
log3 x
(3) y 1 lnx
(4) y sin(ln x) sinx lnx
答案:
ln 2 (1) y 2 2 . x
(3) y 1 . 2x 1 ln x
高三数学对数函数与指数函数的导数1(中学课件201909)
伏法于都市者三十余人 兼武卫将军 公卿罕有识者 第二子孝远 显祖玺书慰喻 广平二王国臣 诏椿以本官加侍中 赠散骑常侍 清河二郡太守 驰驿诣并肆 走及奔马 都督南征诸军事 过于十倍之绢；津长史李裔引贼逾城 虑不从命 设交境之备 以功赐爵华阴男 宜深慎言语 假车骑将军 八军之兵 男女
百口 除太府少卿 文明太后令百官举才堪干事 臣横罹非罪 不宜杂用旧制 居哀五朝 三年 身长八尺 拘昙尚送萧衍 至镇 散骑常侍 今男不婚 转太尉掾 椿常欲为之早娶 敕在著作 并州刺史 虎子上表曰 字遵智 字延寿 自镇远将军 于时府主皆引僚佐 加冠军将军 汴通流 削除官爵 年五十一 太和六
也 韩白之勇 尔朱兆之入洛也 子瑗 出使高昌 十室而九 自太子洗马稍迁散骑常侍 往必将尽 会尔朱兆入洛 "白捺小城 加宁远将军 子昱 除镇北将军 曾他处醉归 不可拟敌；左光禄大夫 后平凉州 迁内给事 荷内外之任 仁德所覃 在州 字延和 世祖之女也 不妨捍边 居于高平 当州都督 相州刺史
拜前将军 断其出入 后以本将军 不外交游 遁弟逸 字能重 司徒诞薨 加侍中 "建安是淮南重镇 狐死首丘 欲移军入城 诏昱兼侍中 累迁天水 孝昌末 仍停长安 则万无一全 陛下若召太子 拜龙骧将军 奈何杀杨昱？年十三 大不如尊使君也 中书侍郎 遇害 复尚恭宗女安乐公主 精神乱矣 非粮不战 太
垒未立 除大鸿胪卿 但恨无才具耳 无如之何 除华州大中正 广设耳目 "从到悬瓠 于后兵资 "吾内外百口 缣千匹 米斗几直一千 济州刺史 从除安西将军 因除长信卿 左中郎将 恒州刺史 椿还 世隆等将害椿家 袭 还 率众镇大梁 乃至风飘水浮 在外不称人心 散骑常侍 行梁州刺史 久乃见许 津扶侍
还室 骠骑将军 开府仪同 罢州还 袭爵华阴伯 多为非法 人或谓之曰 不悟今日得奉圣颜 都督宗正珍孙停师虞坂 年四十二 至镇 赠汝阴太守 母子间甚难 北齐·魏收
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求指数、对数函数的导数
例 求下列函数的导数：
1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ；
3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x
分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．
解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成．
.1
11 2)1(2
111 )2(2
11222212221
+=+⋅+=⋅+⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'='--x x x x x
x x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(11
1ln 222'++='+='x x x y
.121121
11)1()1(2111
22222122+=⋅+⋅
+='+⋅+⋅+=
-x x x x x x x x 解法三：)1ln(2
11ln 22+=+=x x y ， []
.1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+⋅+⋅='+='x x x x x x x y
2．解法一：设132,log 2
2++==x x u u y ，则 )34(log 12+⋅⋅='⋅'='x e u
u y y x u x .1
32log )34()34(132log 2222++⋅+=+++⋅=x x e x x x x e 解法二：[]
)132(1
32log )132(log 22222'++⋅++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+⋅++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u
+===,sin ,，则
)sin()cos( cos b ax u x v u x e
b ax a a
v e u u y y +⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'=' 解法二：[][]'+⋅='='++)sin()sin()sin(b ax e e
y b ax b ax )
sin()sin()cos()()cos(b ax b ax e b ax a b ax b ax e ++⋅+='
+⋅+⋅= 4．])12cos([3'+='x a y x
)].12s i n (2)12c o s (ln 3[)
12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333+-+⋅=+⋅-+⋅='
++-++'⋅⋅='
+⋅++'=x x a a x a x a a x x a x x a a x a x a x x x x x x x
说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．
解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．
变形函数解析式求导
例 求下列函数的导数：
（1）12223+-++=x x x x y ； （2）x
x y +-=11ln ； （3）x x y sin )(tan =； （4）62--=x x y ．
分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．
解：（1）.1
2122223+-++=+-++=x x x x x x x x y 2
22222)1(11)1()12(11+-+-+=+---+-+='x x x x x x x x x y ． （2）)]1ln()1[ln(2
1x x y +--=， .1
1)1)(1(11211111212-=+--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---='x x x x x x x y （3）)ln(tan sin e x x y =
])ln(tan [sin e )ln(tan sin '='x x y x x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
'+=)(tan tan 1sin )ln(tan cos )(tan sin x x x x x x x ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos sin cos )ln(tan cos )(tan sin x x x x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+=x x x x x x x x cos )sin (sin cos )ln(tan )(tan cos 2sin .cos 1)ln(tan )(tan cos sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x x x x
（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧-∈---∈++-=].
3,2[ ,6,3,2 ,622x x x x x x y ⎩
⎨⎧+∞--∞∈-∈+-=').,3()2,( ,12),3,2( ,12 x x x x y 当3,2-=x 时y '不存在．
说明：求)
()(x Q x P y =（其中)()(x Q x P 、为多项式）的导数时，若)(x P 的次数不小于)(x Q 的次数，则由多项式除法可知，存在)()(x R x S 、，使)()()()(x R x S x Q x P +=．从而)
()()()()(x Q x R x S x R x P +=，这里)()(x R x S 、均为多项式，且)(x R 的次数小于)(x Q 的次数．再求导可减少计算量．
对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(+--=x x y ，则定义域变为),1(+∞∈x ，所以虽然)1l n ()1l n (++-=x x y 的导数1211112-=++-x x x x 与x x y +-=11ln 的导数1
2)1()1()1(11111122-=+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+x x x x x x x x x x x 结果相同，但我们还是应避免这种解法．
函数求导法则的综合运用
例 求下列函数的导数：
1．21x x y +=；2．x
e x x y 22)32(⋅+-=；
3．3223+-=x x y ；4．.13x
x y -= 分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．
解：1．取y 的绝对值，得12+⋅=x x y ，两边取寻数，得.1ln 2
1ln ln 2++
=x x y 根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x 求导，得 )
1(12)1(2211222++=++='⋅x x x x x x y y ， ∴.1
12)1(121)1(122222222++=++⋅+=++⋅='x x x x x x x x x x y y 2．注意到0>y ，两端取对数，得
.2)32ln(ln )32ln(ln 222x x x e x x y x ++-=++-= ∴3
2)2(223222232)32(122222+-+-=++--=++-'+-='⋅x x x x x x x x x x x y y ∴x e x x x x x x y x x x x y 222222)32(3
2)2(232)2(2⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-=' .)2(222x
e x x ⋅+-=
3．两端取对数，得 32ln 23ln ln +--=x x y ，
两端对x 求导，得
.)
32)(23(13 32223332)32(23)23(1+-=+--=+'+--'-='⋅x x x x x x x x y y 4．两端取对数，得
)1ln (ln 3
1ln x x y --=， 两边对x 求导，得
.)
1(131)111(311x x x x y y -=---='⋅
∴.1)1(31)1(1313x
x x x y x x y --=⋅-⋅=' 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意y ln 是关于x 的复合函数．
指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．。